Dáng điệu nghiệm của các phương trình vi phân và phương trình sai phân trong không gian Banach trên một khoảng vô hạn và một số mô hình ứng dụng : Đề tài NCKH. QT.03.03

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRUỒNG ĐẠI HỘC KHOA HỌC TựNHIÊN
*******

Tén đề tài:
DÁNG Đ IỆ U C Ủ A N G H IỆ M CỦA CÁC PH Ư Ơ N G T R ÌN H VI PH Â N VÀ PH Ư Ơ N G
TRÌNH SA I PH Á N T R O N G K H Ô N G G IA N B A N A C H T R Ê N M Ộ T K H O Ả N G VÔ
H Ạ N VÀ M Ộ T SỐ M Ô H ÌNH Ú N G D Ụ N G .

M Ã SỐ : Q T 0 3 .0 3

Chủ trì đề t à i : T .s ĐẶNG ĐÌNH CHÂU

OAI H Ọ C Q U Ố C ^
1'■
t r u n g t â m t h ò n g tin ỉ m .

pr/363

H à nội 2 0 0 4


REPORT ON PRỌJECT QT-03-03

I.

T itle

o f P jo je c t

:B eh avior

of

s o lu t io n s

of

s y s te m s

of

d iffe r e n tia l

Equations and difference equations in the Banach space on the inffinite
interval and som e application models.
II.

Pjoject ‘s code: QT 03-03

III. Head o f Research Group: Dr. Dang Dinh Chau
IV. Participants: Dr. Hoang Quoc Toan, Dr. Nguyen Thi Hong Minh, MSc
Nguyen Minh Man, MSc Du Duc Thang, MSc Pham

Thi To N g a .B S c M a i

N g o e D ieu
V . T a rg et and co n te n ts:
In recen t y e a r s, th an k s to the d e v e lo p m e n t o f in ío r m a tio n t e c h n o lo g y , th e
stu d y o f op erator an d the a p p lica tio n in p r a c tic e is im p r o v e d an d g e t s m u c h
a c h ie v e m e n t. A m o n g th o se stu d ie s, the th e o r y o f op erator e q u a tio n s h a s b e e n

re sea rc h e d bv m a n v s c ie n tis ts .B e s id e s th e q u a lita tiv e stu d v , s o m e q u a n tita tiv e
stu d y as the su p p le m e n ta r y a lso p la y an im p o rta n t role in m e e tin g th e d em a n d
o f s o lv in g the p ra ctic a ỉ m a th em a tic is s u e s s u c h as:
-S tu d y in g N eu ro n netvvork and e le c tr o n ic s netvvork.
-A p p ly to stu d y an d s o lv e E c o n o m ic p r o p le m s.
-A p p ly m a th e m a tic s in E n v iro n m en t p r o b le m s.
T h e r e fo r e , in th is rep ort, so m e m a in c o n te n ts

is b e in g

re fer red

th ro u g h

fo llo w in g :

-O n the asym ptotic e q uivalence o f d iffe re n t e q u a tio n s vvith tim e d e la y

in R n

s p a c e and in B a n a c h sp a c e .
-S o m e p rop erties o f d is c u r s iv e n e s s d y n a m ic s s y s te m
-S o m e a p p lica tio n s.
V I.

S o m e m ain re su lts:
a.

R e se a rch a c tiv itie s: 2 papers h a v e b e e n p u b lis h e d
p u b lic a tio n

in

in tern a tio n a l

Joumal o f Mathematicas

m a th e m a tic a l

01'

jo u r n a ls

a c c e p te d fo r

an d

V ie tn a m


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC T ự NHIÊN
*******

Tên đề tài:
DÁNG ĐIỆU CÙA NGHIỆM CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHẢN VÀ PHƯƠNG
TRÌNH SAI PHẢN TRONG KHÔNG GIAN BANACH TRÊN MỘT KHOẢNG VÔ
HẠN VÀ MỘT SỐ MÔ HÌNH ỨNG DỤNG.

M Ã SỐ: Q T 0 3 .0 3

CHỦ TRÌ ĐỂ TÀI :T.S ĐẶNG ĐÌNH CHÁU

Tên các cán bộ phối hợp :
T .s Hoàng Quốc Toàn
Thạc sỹ Nguyễn Minh Mẫn

T.s Nguyễn Thị Hổng Minh
Thạc sỹ D ư Đức Thắng
C ủ nhãn M ai Ngọc Diệu
Thạc sỹ Phạm Tô' 'Nga

Hà N ội 2 0 0 4


BÁO CÁO TÓM TẮT
a .T ê n đ ề tà i : D áng điệu của nghiệm của các phương trình vi phán và phương trình sai
phán trong không gian Banach trên một khoảng vó han và mội s ố mô hình ứng dụng .

Mã số: QT 03.03
b.Chủ trì đề tài : T.s Đặng Đình Cháu
c.Các cán bộ phối hợp:
T.s Hoàng Quốc Toàn
Thạc sỹ Nguyễn M inh Mẫn
T.s Nguyễn Thị Hồng Minh
Thạc sỹ D ư Đức Thắng
cửnhán Mai Ngọc Diệu
Thạc sỹ Phạm Thị T ố Nga.
d.
Mục tiêu và nội dung nghiên cứu:

Trong những năm gần đáy, nhờ sự phát triển n hảy vọt của c ỏ n g n ghệ thông tin ,nhiều
lĩnh vục lý thuyết toán h ọc đặc biệt trong đó c ó nghành lý thuvết phương trình vi phán,
phương trình sai phán được nhiều nhà toán h ọc quan tám n gh iên cứu và áp dụng các kết quả
nhận được vào thực tế chẳng hạn như: N g h iên cứu M ạng N euron thần kinh và trí tụé nhân
tạo, ứng dụng toán h ọc vào v iệc nghiên cứu và giải các bài toán kinh tế, ứng dụng toán h ọc
vào các bài toán m ôi sinh.
Trong báo cáo này chúng tôi sẽ trình bàv m ột sô' kết quả m ới nhận được trong v iệc
nghiên cứu các bài toán sau đãv:
-Sự tương đươne tiệm cân của các phương trình vi phân với biến sỏ' châm trong khỏng gian
hữu hạn chiều và khôn g gian Banach
-M ột số tính chất của H ệ đ ộng lực tổn g quát trên n hóm được sắp đặc biệt
-ứ n g dụng của phương pháp sai phán đối với các bài toán : X ử lý tín hiệu số, n ghiên cứu sự
hoạt đ ộng của m ạ n s N euron thần kinh, n ghiên cứu m ô hình Trí tué nhàn tạo. ứng dụng của
phương trình sai phán trone việc n ghiên cứu m ột số bài toán kinh tế và bài toán sinh hoc và
m ôi trường.
e .C á c k ét q u ả đ ạt đ ư ợ c :
- V iết được hai bài báo khoa học.
- Hoàn thành m ột luận vãn thạc sỹ (đã bảo vệ), sắp hoàn thành tiếp 2 luận vãn thạc SỸ và 2
luân vãn tốt n sh iệp . m ột luận vãn tiến sỹ (sắp bảo v ệ)
f.T ìn h h ìn h k in h p h í củ a đ ề tài: Đã thanh toán và sử dụng theo đúng dự định
X ác n h ả n củ a B a n C h ủ n h iệ m K h o a

ÔS.TSKH.

C h ủ trì đ ề tài


BÁO CÁO TÓM TÁT
a .T ê n đ ề t à i : Dáng điệu của nghiệm của các phương trình vi phân và phương trình sai
phản trong không gian Banach trén mộl khoảng vó hạn và mộĩ s ố mô hình ứng dụng .

M ã số: Q T 0 3 .0 3

b.Chủ trì đề t à i : T.s Đặng Đình Châu
c.Các cán bộ phối hợp:
T.s Hoàng Quốc Toàn
Thạc sỹ Nguyễn M inh Mẫn
T.S Nguyễn Thị Hồng Minh
Thạc sỹ D ư Đức Thắng
Cử nhăn M ai Ngọc Diệu
Thạc sỹ Phạm Thị Tó'Nga.
d.
Mục tiêu và nội dung nghiên cứu:
Trong những nãm gần đây, nhờ sự phát triển n hảy vọt của c ỏ n g n g h ệ thống tin ,n hiều
lĩnh vực lý thuyết toán h ọc dặc biệt trong đó có nghành lý th u yết phương trình vi phân,
phương trình sai phán được nhiều nhà toán học quan tâm n gh iên cứu và áp dụng các kết quả
nhận được vào thực tế chẳng hạn như: N gh iên cứu M ạng N euron thần kinh và trí tụê nhân
tạo, ứng dụng toán h ọc vào v iệc n gh iên cứu và giải các bài toán kinh tế, ứng dụng toán h ọc
vào các bài toán m ôi sinh.
Trong báo cáo n ày chúng tôi sẽ trình bàv m ột s ố k ết quả m ới nhận được trong v iệc
nghiên cứu các bài toán sau đãv:
-Sự tương đương tiệm cận của các phương trình vi phán với biến số chậm trong không gian
hữu hạn chiều và k hôn g gian Banach
-M ột số tính chất của Hộ đ ộng lực tổng quát trên nhóm được sắp đặc biệt
-Úng dụng của phương pháp sai phân đối với các bài toán : X ử lý tín hiệu số, n gh iên cứu sự
hoạt đ ộng của m ạn e N euron thần kinh, nghiên cứu m ô hĩnh Trí tuệ nhân tạo, ứng dụng của
phương trình sai phán tron s việc n gh iên cứu m ột s ố bài toán kinh tế và bài toán sinh học và
m ôi trường.
e.C á c k ết q u ả đ ạt đ ư ợ c :
- V iết được hai bài báo khoa học.
- Hoàn thành m ột luận vãn thạc sỹ (đã bảo vệ), sấp hoàn thành tiếp 2 luận vãn thạc sv và 2

luận vãn tốt n ghiệp, m ột luận văn tiến sỹ (sắp bảo v ệ)
f.T ìn h h ìn h k in h p h í củ a đ ề tài: Đ ã thanh toán và sử dụng theo đúng dự định
X ác n h á n củ a B a n C h ủ n h iệm K h o a

GS.TSKH.

C h ủ trì đ é tài


REPORT ON PRỌJECT QT-03-03

I.

T itle

o f P jo je c t

:B eh avior

of

s o lu t io n s

of

s y s te m s

of

d iffe r e n tia l

E q u ation s an d d iffe r e n c e e q u a tio n s in th e B a n a ch sp a c e o n th e in ffin ite
interval and s o m e a p p lica tio n m o d e ls .

II.

Pjoject ‘s code: QT 03-03

III. Head o f Research Group: Dr. Dang Dinh Chau
I V . Participants: D r. H o a n g Q u o c T o a n , D r. N g u y e n T h i H o n g M in h , M S c
N g u y e n M in h M a n , M S c D u D u c T h a n g , M S c P h am

T h i T o N g a .B S c M a i

N g o e D ie u
V . T a rg et and co n te n ts:
In recen t y e a r s, tharxks to the d e v e lo p m e n t o f in fo r m a tio n t e c h n o lo g y , th e
stu d y o f op erator an d the ap p lication in p r a c tic e is im p r o v e d an d g e t s m u ch
a c h ie v e m e n t. A m o n g th o se stu d ie s, th e th e o r y o f op erator e q u a tio n s h as b e e n
re sea rc h e d by m a n y s c ie n tis ts .B e s id e s th e q u a lita tiv e stu d y , s o m e q u a n tita tiv e
s tu d y as the su p p le m e n ta r y a lso p la y an im p o rta n t ro le in m e e t in s th e d em a n d
o f s o lv in g the p ra ctic a l m a th em a tic is s u e s su c h as:
-S tu d y in g N eu ro n n e tw o r k and e le c tr o n ic s n etw o r k .
-A p p ly to stu d y and s o lv e E c o n o m ic p r o p le m s.
-A p p ly m a th e m a tic s in E n v iro n m en t p r o b le m s.
T h e r e ío r e , in th is rep ort, s o m e m a in c o n te n ts is b e in g

r e íe r r e d

th ro u g h

fo llo w in g :
-O n th e a sy m p to tic e q u iv a le n c e o f d iffe r e n t e q u a tio n s w ith tim e d e la y in R n
s p a c e and in B a n a c h sp a c e .
-S o m e p rop erties o f d is c u r s iv e n e s s d y n a m ic s s y s te m
-S o m e a p p lica tio n s.
V I.

S o m e m ain re su lts:
a.

R e se a rch a c tiv itie s: 2 papers h a v e b e e n p u b lis h e d OI' a c c e p te d fo r
p u b lic a tio n

in

in tern a tio n a l

Jou m al o f M a th e m a tic a s

m a th e m a tic a l

jo u r n a ls

an d

V ie tn a m


MỤC LỤC

Lời mở đầu
Chương 1. Các kiến thức chuẩn bị
1 .1 . P h ổ củ a toán tử tu y ế n tín h và lý th u y ế t nửa n h ó m ......................................... 7

Chương 2. Sự tương đương tiệm cận của các hệ phương trinh vi phán với
đ ố i s ố ch ậ m
2 .1 .

Sự

g iớ i

nội

n g h iệ m

của

phương

trình

vi

p h ân

tu y ế n

tín h

với

b iế n s ố c h ậ m .........................................................................................................................13
2 .2 . Đ ịn h lý L e v in s o n v ề sư tư ơ n g đ ư ơ n g tiệ m cận c ủ a c á c p h ư ơ n g trình
v i phán với b iế n s ố c h ậ m ...............................................................................................16
2 .3 . Sư tư ơ n g đ ư ơ n g tiệ m c ậ n tro n g k h ỏ n g g ia n B a n a c h ...................................... 2 2

C hưoìig 3. Hệ động lực được sáp đặc biệt
3 .1 . M ộ t s ố k h á i n iệ m tro n g n h ó m đ ư ợ c sấ p đặc b iê t .............................................. 2 5
3 .2 . Đ in h n g h ĩa hộ đ ộ n g lự c đ ư ợ c sấ p đ ặc b iệt và m ó t vài k h á i n iệ m
mỏ' đ ầ u .......................................................................................................................................2 8
? .? . L ớ p c h u v é n

đ õ n s tuần h o à n và lớ p c h u y ể n

động

p o a tx o n g

tr o n 2

hé đ ó n s lư c đ ư ơ c sắ p đ ãc b iê t ..................................................................................
3 .4 . Đ iể m du đ ô n s và k h ô n g du đ ổ n g t á m ......................................................................4 7
3 .5 . T ậ p cự c đ iể m ......................................................................................................................... 5 5
3 .6 . Ó n đ ịn h th eo L y a p u n o v ...................................................................................................61
C h ư o n g 4. P h á n

ứng d ung

3. ]. M ạ n g N e u r o n ...........................................................................................64

•

D an g

D in h

Chau

and K ie u T h u L inh , O n the a sym p to tic

equivalence o f solutions o f the linear evo lu tio n

e q u a tio n s ,

In tern ation al jo u m a l o f e v o lu tio n eq u a tio n s.
•

Nguyen Van Minh and Nguyen Minh Man, O n the a sym p to tic
behavior o f solutions o f ne li trai de lay differen ce

VNƯ.

eq ua tio ns,

J o u m a l o f S c ien ce. M a th e m a tic s - P h y s ic s . T .X I X , N „3 -

2003.
b.

T rain in g

a c tiv itie s:

We

in stru cted

s u c c e s s f u lly

1

m a th e m a tic .l d o cto r and 2 m a sters o f m a th e m a tic are g o in g in str u c te d .
V II.

F in a n ce

T h e P rjoect w as ĩm a n c ia lly su pp orted b y V N U H w ith a total gran t o f
1 5 .0 0 0 .0 0 0 V N D fo r 2 years.

m a s te r

of


MỤC LỤC
Lời m ở đáu
C hương 1. Các kiến thức chuẩn bị
1 .1 . P h ổ c ủ a to á n tử tu v ế n tín h và lý th u y ết nửa n h ó m ......................................... 7

Chương 2. Sự tương đương tiệm cận của các hê phương trình vi phán với
đối s ố chậm
2 .1 .

Sự

g iớ i

nội

n g h iệ m

củ a

phương

trìn h

vi

p h án

tu y ế n

tín h

với

b iế n s ố c h ậ m ........................................................................................................................ 13

2 .2 . Đ ịn h lv L e v in s o n v ề sư tư ơ n g đ ư ơ n g tiệm cận c ủ a c á c p h ư ơ n g trình
v i p h ân với b iế n s ố c h ậ m .............................................................................................. 16

2.3. Sự tương đương tiệm cận tro n g k h ố n g gian B a n a c h ............................. 22
C hưong 3. Hệ động lưc được sáp đặc biệt
3 .1 . M ộ t s ố k h á i n iệ m tro n g n h ó m đ ư ợ c sãp đ ãc b iệ t .............................................. 2 5
3 .2 . Đ ịn h n g h ĩa hệ đ ộ n g lự c đ ư ợ c sắ p đ ăc b iệ t và m ô t vài k h á i n iệ m
mỏ' đ ầ u ...................................................................................................................................... 28
3 .3 .

Lớp ch u vên

đ ô n s tu ần h o à n và lớp c h u y ể n

đón£

p o a tx o n g

tr o n 2

h é đ ộ n s lưc đư ơc sắp đ ăc b iẻ t .................................................................................. ' '
3 .4 . Đ iể m du đ ô n s và k h ỏ n g du đ ô n g t á m ......................................................................4 7
3 .5 . T áp cự c đ iể m ......................................................................................................................... 5 5
3 .6 . ó n đ ịn h th e o L y a p u n o v .................................................................................................. 61
C h u o ĩis 4. P h á n

ứng dung

3.1. M ạ n 2 N e u r o n .......................................................................................... 64

MỞ Đ Ầ U
N h ờ c ó cá c thành tựu m ới trong k hoa h ọ c và k ĩ thuật ch ú n g ta cà n g n g à y cà n g có
th ể k hám phá đư ợc n h iều hơn và đi sâu hơn v à o n hữ n g b í m ật củ a th ế g iớ i tự n h iên .
T ron g thời g ia n gần đáy n h iều nhà k h oa h ọ c đã nhận đư ợc n h iều thành tựu m ới trong
lý th u yết toán h ọ c h iện đại , trong c ô n g n g h ệ th ô n g tin và áp d ụ n e m ộ t cách c ó h iệu
quả v à o v iệ c n g h iên cứu n h iều vấn đ ề củ a thực tiễn . N h ờ đ ó đã th ú c đẩy m ộ t cách
m ạnh m ẽ sự phát triển củ a n h iều n gh àn h c ó n g n gh ệ m ới như c ó n g n g h ệ tin h ọ c và
c ô n g n g h ệ sin h h ọ c ...
M ụ c đ íc h ch ín h củ a đề tài này là c ố g ắ n g tiếp cận nhanh nhất với xu h ư ớn g phát
triển trên đ á y củ a k h o a h ọ c tự n h iên . Trên c ơ sở đ ó ch ú n g tói đã tiến hành g iả i q u y ết
m ột sổ' bài toán m an g tính chất định tính trong lĩn h vực phư ơng trình vi phân
thư ờng và h ệ đ ộ n g lực rời rạc . Cụ th ể n hữ ng bài toán được n g h iên cứu trong đ ề tài là

*Sựtươrig đưcmg tiệm cận của các phư ơng trình vi p h á n với biến s ố chậm
*M ột s ố tính chấĩ cơ bản của hệ động lực tvén nhóm được sắp
N h ữ n g k êì quả n g h iên cứu củ a các bài toán n ày c ó khả n ãng áp d ụ n g v à o m ộ t s ố
rình vực k hoa h ọ c kĩ thuật đ ang được n h iều nhà k h oa h ọ c quan tâm v í dụ n hư M ạn g
neuron thần k in h và m ỏ hình m ạn g trí tuệ nhán tạo. N ộ i dun g ch ính củ a bản b áo cá o
g ồ m c ó 3 phần :
1.T ron g ch ư ơ n g 1 và ch ư ơ n g 2 trình bày cá c kết quả n g h iên cứu v ề tính tương
đương tiệm cận củ a phương trình vi phân tu yến tính với b iến s ố ch ậm trong k h ô n g
cian R n và tron g k hón í: B anach. Đ â y là n hữ ng k ết quả m ới và c ó ý n g h ĩa k h oa h ọc
trong rình vực lí th u v ếi định tính củ a phư ơng trình vi phân.
2 .Ch
ươn 2 3 dành c h o v iệ c n g h iến cứu hệ đ ộ n s lực rời rạc( hệ đ ộ n g lực được sắp
đặc b iệt) .Nhò' sự phát triển m ạnh m ẽ củ a c ó n g n g h ệ th ôn g tin và k ĩ thuật đ iện tử

trong nhữ nc nãm £ần đảv. m ột số nghành khoa học như giải tích số. xử lý tín hiệu số
và một số n s h à n h khoa học liên quan đã nhãn được sư quan tám đặc biệt của các nhà

khoa học. N hữ ng ván để m à ch ú n c tôi đang quan tám nghiên cứu ở chươ nc 3 như là
các tập bất biến cùa hệ động lưc. sự phân lớp của các chuyển động tuần hoàn, sư ổn
định của các hệ đ ộ n s lưc rời rạc là những vấn đế m a n c tính thời sự cao và có nhiéu
khả nãnc áp d une vào thực tiễn .Thông qua việc đi sáu ù m hiểu và nghiên cún những
vấn đề này c h ú n s tỏi dần dán đi đến m ục đích cuối cùng là ứng du n e các kết quả
nchiên cứu trone lí thuvết ph ư ơ n s trình vi phân và hệ động lực tổng quái vào các
lĩnh vực khác nhau cua khoa học kĩ thuật và đời sống h à n c nsàv.
3.

Ch ươn £ 4 dành c h o những tìm h iểu đẩu tiên về cơ c h ế hoạt đ ộ n g củ a m ạn a

thán kinh và sự m ó hình hoá của nó thành các m ỏ hình toán học.Đ ổnE thòi c hư ơ ns
này c ũ n c c ó trình bàv m ột s ố kết quà ứng d u n g củ a lí thuyết ổn định củ a phương
trình vi phán với b iến s ố ch ậm th eo xu h ư ótts nói trén. T uy n h iên n h ũ ìis n c h iê n cứu
củ a phán n à y còn ó m ức khời th ao và m an g tính m in h h oạ. nếu c ó đ iều k iện ch ơ
p hép đi xa hơn nữa th eo xu h ư ớ n c n ày c h ú n s tỏi hy v ọ n g sẽ đạt đư ợc n h ữ n g kết quả
m ĩ m ãn m à c h ú n s tỏi đ an e kv v ọ n e .


CHƯƠNG 1
CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1

PH Ổ C Ủ A T O Á N T Ử T U Y Ế N T ÍN H V À LÝ T H U Y Ế T NỬA N H Ó M

1.1.1

Không gian Banach. Toán tử tuyến tính trong không gian Banach

Cho k h ổn g gian tu yến tính X , chuẩn

trong X được ký h iệu là m ột hàm số từ X —> R

sao cho chúng thòa m ãn các tiên đề sau:
(i) ||x|| > 0 , | | x [ = 0 k hi và chỉ k hi X = 0
(ii) ||A x|| =1 A I 11 ' . VA € c , Va: € X
(iii) ||x + 2/|| ^ Ị x | : + ||y ||, V x , Ị / € X
K hông gian tuyến tính X được trang bị m ột chuẩn như trên được gọi là khống gian tuvến
tính đinh chuẩn.
Đ ịn h n g h ĩa 1. K h ồ n s gian tuyến tính đinh chuẩn X được g ọ i là không gian Banach nếu
X là đầy đủ tức là m ọi dãv C auchy trong X đều h ội tụ đến m ột phần tử thuộc X .
Đ ịn h n g h ĩa 2. Cho X là không gian Banach phức, ánh xạ Ả từ D ( A ) c X vào X được
gọi là toán tử ruvén tính nếu D ( A ) là khóng gian con tuyến tính và A là

ánh xạ tuyến

tính. M iền D ( A ) được g ọ i là m iền xác định của toán tử tuvến tính A.
Đ ịn h n g h ĩa 3. Toán từ tuvến tính A trên không gian Banach phức X được gọi là toán

tử

tuyến tính giới nội nếu nó thỏa mãn nếu nó thỏa m ãn hai điều kiện sau:
(!) D { A ) - X
(ii) Tồn tại m ột số c > 0 sao ch o |ỊA r|| 4 c |ịx Ị Ị ,V x € X . Trong đó |ịx|Ị là chuẩn của phần
tử X trong không gian Banach X theo nghĩa thông thường.

7

Định nghĩa 4. Toán tử tuyến tính A từ D(Á) c X vào X được gọi là toán tử tuyến tính
đóng nếu đồ thị của n ó là đóng, tức là tập hợp { ( z , A x ) c X X X , Vx € D ( A ) } là tập hợp
đóng trong k hôn g gian tích X X X .
Đ ịn h n g h ĩa 5. Toán tử tuyến tính liên tục từ khôn g gian Banach X vào không gian Banach
Y được g ọ i là toán tử com pact nếu với m ọi hình cầu S i trong X thì A ( S \ ) là com pact
tương đ ối trong Y .
Đ ịn h n g h ĩa 6. C ho X là khôn g gian Banach phức và Ả : X —» X là toán tử tuyến tính
giới n ộ i , khi đ ó tập p( A) := {A € C: sao cho tồn tại (XI - A ) ~ l € £ ( X ) } được gọi là
tập giải hay tập các điểm chính quy của toán tử A và R (A ,j4 ) : = (A — A ) ~ 1 được g ọ i là
giải của toán từ A.
Còn ơ ( A) := c \ p{Á)ă\iọc gọi là phổ của toán tử A
G iả sử A là toán tử tuyến tính giới n ội trong k hôn g gian Banach X , khi đó ơ( A) có
các tính chất cơ bản sau :
(i) ơ{ A) Ỷ 0
(ii) ơ ( A) là m ột tập đóng
( iii)

ơ(A)

g iớ i n ộ i

(iv) R ( \ , A ) luỏn giải tích trên táp p{A).
Trong luận vãn này chúng tôi thường sử dụng m ột số' kết quả sau:
Đ ịn h lý 1.1. Già sử X là mội không gian Banach và A € I /( X ) là toán từ compact nếu

X Ỷ 0 thuộc p h ổ ơ ( A) thì X là một giá trị riéng của A.
Chứng minh. X em [ 2]. trans 129

□

Đ ịn h lý 1.2. Già sử X là một không gian Banach, nếu A G L ( X ) là toán tủ compací thì

ơ( A) không có điém tụ khác không và tập p h ổ ơ ( Á ) có nhiếu nhất là đếm được phấn tủ.
Chửng minh. X em [2]. trang 131.

□

Đ ịn h lý 1.3. S ế u X là mộí không gian Banach, A G L ( X ) là toán tử compaci và X là

một sô'khác không thì .Y (.4 —*A /) là mộ! khóng gian con hữu hạn chiểu của X . Trong đó
N ( A — XI) là ki hiệu tập hạt nhân của (A — XI).
Chứng minh. X em [2] 129.

□

8


Đ ịn h lý 1.4. ( Định lí bao hàm phổ)

Cho A là toán tử sinh của nửa nhóm lién tục mạnh ( T( t ) ) ị > 0 trên không gian Banach X
thì: e ^ {A) c ơ{ T( t ) ) với t > 0.
Chứng minh. X em

[6] trang

84.

□

Đ ịn h lý 1.5. (Định lí ánh xạ p h ổ cho p h ổ điểm)

Cho A là toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh ( T( t ) ) ị >0 thì:eta^ A) = ơp( T( t ) ) ỏ đáy
ơp(A) là p h ổ điểm

của A.

Chứng minh. X em

[6] trang

85.

□

Đ ịn h lý 1.6. ( Định lí ánh xạ p h ổ cho nửa nhóm liên tục đểu )

Mọi nửa nhóm liên tục đều {etA)t > 0 và A là toán tủ sinh có:
ơ( e tA) =

:= {e tX : A G ơ( A) } .

Với mọi t > 0.
Chứng minh. X em [14] ữ an g 19.

1.1.3

□

Phép chiếu Riezs và phán rã phổ của một toán tử

C ho X là khóng gian Banach, i : X - t X
là hợp rời rạc của các tập com pact,

liên tục. Giả sử rằng tập phổ ơ{ A) = ơ\ ỊJ Ơ2

là m ột chu tu yến Jordan bao lất cả các điểm trong

tập ƠI
Xét toán tử:

p' = ^

í

i x i - A ) ~ ' ăX

Nhận tháy toán tử Pi là m ột toán tử chiếu giới nội: Pj2 = P j. Toàn bộ không gian X được
phán tích thành tổng trực tiếp của hai khóng gian con: X = X i © x 2 ở đây X j = P ] X
và X o = ( / — P i ) X . K h ỏ n s gian con X ] nằm hoàn toàn trong m iền xác định D ( A ) của
toán từ A. Phần phổ của toán tử A\ (phần thu hep của toán tử A trên khống gian con X j )
trùns với táp ơ\. Phần thu hep A 2 của toán từ A trên táp hợp ( / — Pỵ ) D( A) — Dị A?) là
một toán tử tuyến tính đóng xác định trong x 2 m à phổ của nó trùng với táp ơ 2. Bởi vậy
việc n sh iẽn cứu toán từ A được đưa về việc nghiên cứu toán tử giới n ội Aj trong không
gian X i và toán tử A 2 trong k hôn g gian x 2. T heo định nghĩa ta có:

PlA =

í

A { \ Ị - A ^ d X = APị

Hay phép ch iếu R iezs giao hoán với A

10


1.1.2

Nửa nhóm giới nội đều và nửa nhóm liên tục mạnh

Định nghĩa

7. C ho X là m ột không gian Banach với chuẩn tương ứng. M ột họ toán tử

(tuyến tính hoặc phi tuyến) {T( t ) ) t > 0 phụ thuộc tham sô' trong k hôn g gian X được gọi là
m ột nửa n hóm các toán tử trong X (hay có cấu trúc nửa nhóm ) nếu thỏa m ãn phương trình
hàm:

( 1.1)

Định nghĩa

8. N ếu T( t ) là các toán tử tuyến tính bị chận từ X vào X thì nửa nhóm các

toán tử tuyến tính ( T{t ) ) t > 0 trên không gian X được gọi là m ột nửa nhóm của các toán tử
tuyến tính bị chặn.
Đ ịn h n g h ĩa 9. Nửa nhóm toán tử ( T( t ) ) i >0 g ọ i là liên tục manh nếu với m ọi
lim T ( t ) x =

X,

X

€ X,

khi đó toán tử A được gọi là toán tử sinh của ( T(t))t> nếu nó thoả mãn:

T (x) — X
D { Á ) — { x £ X : giới hạn l i m ------ ------- tồn tai hữu han}

A x = lim
tị

-— - , x € D{ A)

0

v

t

’

Đ ịn h n g h ĩa 10. M ột nửa nhóm liên tuc mạnh ( T( t ) ) t > 0 được gọi là com pact với t > to
nếu với m ọi t > t 0 . T{t ) là toán tử com pact, đặc biệt nếu t 0 = 0 thì ( T( t ) ) t > 0 được gọi
là nữa nhóm com pact.
Đ ịn h n g h ĩa 11. M ột nửa Khóm toán tử tuyến tính bị chăn (T(t))t>ũ đươc gọi là là liên
tục đều nếu lim ||T ( f) — / |ị = 0.
no

N ếu { T( t ) ) ị > 0 là m ột nừa nhóm liên tục đều của các toán tử tuvến tính bị chăn thì:
(a) Tồn lại m ột hằng s ố UI > 0 sao cho || r ( í ) | | (b) Tổn tại duy nhất m ột toán từ tuyến tính bị chận A sao cho T( t ) = eM .
(c) Toán tử A ờ phần b) là toán tử sinh của T{t).
(d) t - 4 T ự ) là khả vi và thoả mãn phưcmg trình:

đT{t )

-

1 = m t ) = T( t ) A

9


Đ ịn h lý 1.4. ( Định lí bao hàm phổ)

Cho A là toán tủ sinh của nửa nhóm liên tục mạnh ( T( t ) ) ị > 0 trên không gian Banach X
thì: e

c ơ( T( t ) ) với t > 0.

Chứng minh. X em [6] trang 84.

□

Đ ịn h ]ý 1.5. (Định lí ánh xạ p h ổ cho p h ổ điểm)

Cho A ỉà toán tủ sinh của nửa nhóm liên tục mạnh { T( t ) ) ị > 0 thỉ:eu’ĩ’(A) = ơ p ( T ( t )) ỏ đáy
ơp(A) là p h ổ điểm của A.

Chứng minh. X em [6] trang 85.

□

Đ ịn h lv 1.6. ( Định lí ánh xạ p h ổ cho nửa nhóm liên tục đểu )

Mọi nửa nhóm liên tục đều {etA)t > 0 và A là toán tử sinh có:

ơ(etA)

=

e* ™

:=

{etX :

A e

a{A)}.

Với mọi t > 0.
Chứng minh. X em [14] ư an g 19.

1.1.3

□

Phép chiêu Riezs và phán rã phổ của một toán tử

Cho X là không gian Banach. A : X —* X liên tục. Giả sử rằng tập phổ
là hợp rời rạc của các tập com pact,

7

!

là m ột chu tu yến Jordan

ơ{A) = ƠI u ơ 2

bao lất cả các điểm

trong

tập
Xét toán tử:

Pi = ^ ~. í (A I - A ) - l dX
2ĩĩĩ

Nhận thấy toán tử P] là m ột toán tử chiếu giới nội: P Ị = Pj. Toàn bộ không gian X được
phán tích thành tổng trực tiếp của hai khống gian con: X = X ; 0

x 2 ờ đáy X ] = P ] X

và x 2 = ( I — P ] ) X . K hốn g gian con X ] nằm hoàn toàn trong m iền xác định D ( A ) của
toán từ A . Phần phổ của toán tử A \ (phần thu hep cùa toán tử A trên khống gian con X i )
trùns với tập ơ\. Phần thu hẹp .4 2 cùa toán từ A trẽn táp hợp ( I - P i ) D ( A ) = D { A 2) là

một toán tử tuyến tính đ óng xác định trong x 2 mà phổ của nó trùng với tập ơ 2. Bởi vậy
v iệc n sh iẻ n cứu toán từ A được đưa về v iệc nghiên cứu toán tử giới nội A \ trong không
gian X ] và loán tử .4 2 trong k hôn g gian x 2. T heo định nghĩa ta có:

P\A = r ị - /

A( X I - A ) ~ l d \ = A P Ì

Hay phép ch iếu R iezs sia o hoán với A

10


CHƯƠNG 2
S ự TƯƠNG ĐƯƠNG TIỆM CẬN CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI
PHÂN VỚI ĐỐI SỐ CHẬM

Trong phần đầu của chương này chúng tôi xin nhắc lại m ột số kết quả đã biết đối vói
phương trình vi phân với biến số chậm trong k hôn g gian Banach.
Trong khôn g gian Banach X xét phương trình vi phân:

at

= A( t ) x ( t ) + f ( t , x ( t + 0 ) ) , - h

ở đáy x( t ) là hàm phải tìm với t > 0; X € X ;

< 8 ẻ 0

(2 .1 )

+ 6 )) là hàm vectơ, nhận

giá trị

trong không gian X . Giả sử rằng / ( í , x( t 4- 9 )) liên tục th eo t, xác định đối với các hàm
liên tục x(t ), với t > 0 thực hiện điều kiện:
||/( í,0 ) H m
\\f(t.y{t + 6 ) ) - f ự ì z{t + e ) ) \ \ ^ L

(2 .2 )

sup
- h < è

\\y{t + 6) - z ( t + 0)11

(2.3)

<0

K í hiệu N ( t , r ) là toán tử giải của phương trình vi phán:
^

= A( t ) x ( t )

(2 .4 )

Giả sử rằng .Y (f. r) thực h iện điều kiện:
||Ar( í , r ) | | 6 c e x p { A (f - r ) } , (c > l ; í > r )

(2 .5 )

Trong đó A là m ột số hữu hạn.
Đ ể n gh iệm cùa phương trình (1 .1 ) là duy nhất thì chúng ta cần xác định điều kiện ban
đầu:

x( t ) = ộ(t); —/ỉ Ẩ: í 4 0

(2 .6 )

ỏ đáy ộ( t ) là hàm giới n ội, liên tục hoặc liên tục từng khúc ch o trước.
Đ ịn h lý 2.7.

Già sử các điêu

kiện (2 .2 ), (2 .3 ), (2 .5 ), (2 .6 ) được thực hiện, khi đó phương

trình vi phân (2 .1 ) có nghiệm duy nhất với t > 0, và nghiệm này liên rục với
Chứng minh.

X em [35] trang 355.

t > 0.
□

11


2.1

Sự giới nội nghiệm của phương trình vi phản tuyến tính với biến sỏ
chậm
Trong khôn g gian Banach X xét phương trình vi phân tuvến tính

dx( t )

= A x ( t ) + /i

dt
Trong đó x , y € X ; - h ^

T

T

(2 .7 )

Tk)

k= 1

é: 0, (k = 1 ,2 ,

> 0; A e L ( X )

Bk( t ) : [0 ;+ o o ) —> L ( X ) , ( k = l,2 ,...,q ); liên tục, thoả m ẵn điều kiện
[

IIB( t ) \ \ dx < +OC

(2 .8 )

fc=i
K í hiệu X { t ) là toán từ C auchy của (2 .7 ) với /i = 0.
Giả sử ộ( t ) là hàm liên tục trên ị—h] 0]. X ét bài toán:

dx(t)

= Ax(t) +

Bk{t)x(t +

Tk ),

{t > 0)

(2.9)

k=l

x(t) = <Ị>(t),{t e Ị - / i; 0])
V ới ụ Ỷ 0.
Sử dụng cách chứng m inh của định lí 2.21 ta có các kết quả sau:
Đ ịn h lý 2.8. V'ới mỗĩ hàm lién tục d>{t) cho trước, phương trình (2 .7 ) lổn tại duy

nhất

nghiệm xác định ĩrén Ị—/i; + o o ] .

Chứng minh. V ì A € L ( X ) nên X ( t ) thoả mãn đánh giá Ịl^íT(t) II

(M,u>

> 0)

Phương trình (2 .9 ) có thể viết dưới dạng phương trình tích phân.

q
x{t ) — X ( t ) o ( 0 ) + ụ. / X ( t - s)
B k( s ) x( s + Tk)ds. (t > 0)
Jũ
/0=1
x ( t ) = ệ ( t ) , t € [—h: 0]
X ét dãy

f

sồ m các hàm liên tục được xác đinh:

ộ(t), ( - h < t < 0)
x 0{t) =
X (t)ợ > (0 ),(t > 0)

12

(2 .1 0 )


í <Ị>(t),(-h £ t < 0)

i„ + i(t)= <
rt
1 X ( t ) ệ ( 0) + / i / 0 X ( t -

9 _
.
s) £ B k{ s ) xn {s + Tfc)cỉs, (í > 0)
fc=i

l

n = 0 , 1 ,2 . .

(2 .11)
Đật |||x ( í ) ||| =

su p

-hzịzt

||x(O H

Ta có:

|||ín+1(t) - I„(í)||| é M í; lll*(t - s ) H l è ||S (s)|||IM s) - *n-l(5)|||d5
Jũ
£ MM

Jt=l

r é * * - ) V |Ị B ( s ) |||||x n (s ) - s „ - i ( s ) | | | ds
Jo
k=i

Xuất phát từ đánh giá đầu tiên:

||M t ) - x o ( í ) l l l * |/i| [ l M

e ^ T \ \ B ( S) \ \ \ \ X ( s ) \ \ \ \ m \ \ d s

Jo

fc=i

é |/ i |M 2ewt||ự)(0)|| í j 2 \ \ B ( s ) \ \ d s
k= 1
Xét trong khoảng [0:T] với T > 0 hữu han tuỳ ý, để ý rằng B k(t) là các hàm lién tục với
(k= 1 .2 __q). nén trone đoạn [0;T] ta có Y l ỉl-Sfc(0ll ~
Khi đó la có:
I I M O - s o M I I £ \ụ.\M2M ^ H
đánh g iá Uén tiếp ta có:
, ^ IM , ,
(ImIM M ì t r ^ M e *
|Ị |l n^ l ( í ) - x n {t) III ér ------------- — -------------(n + 1)!
, ,

( \n \M M i T ) n+1 M e^7
(n + 1)!
Ta đặt: G n {t) —

- x n (t) với n = 1.2... Khi đó:
|G , ( 0 |

Mà ch u ỗi

í

K

^
(n + 1)!

_

£
13


00
hội tụ. ta su y ra chuỗi Y i Gn( t ) h ội tụ tuyệt đ ối đều trên đoạn [0; T]. Từ đáy ta
71=1
oo
suy ra dãy tổn g riêng của chuỗi Xũ(t) +
G „ (t) là h ội tụ tức là x n (t) hội tụ đều đến
k= 0
hàm liên tục x ( t ) trong khoảng [0; TỊ, và x( t ) chính là nghiệm của phương ưình vi phân
(2 .1 0 ), n gh iệm này là duy nhất và thoả mãn điều kiện x( t ) = ộ( t ) với t e [—/i;0 ]. D o T
là sỏ' dương tuỳ ý nên ta su y ra rằng nghiệm của (2 .1 0 ) tồn tại với m ọi t € [0; oo).
Định b' được chứng m inh.

□

Gọi N ( t , r ) là toán tử giải của phương trình (2 .7 ) với /i Ỷ 0 (xem [35] trang 364) Khi đó
ta có kết quả sau:

Đ ịn h lý 2 .9 . (xem [35] ĩrang 365)

Già sử điều kiện (2 .8 ) ĩhoả m ã n , khi đó nếu ||X ( í ) || < M thì N ( t , T ) là toán tử giới nội.
Chứng minh. X ét phương trình:

N(t, r) = X(t) + n

Đật Ịiì-V(í,

t ) |||

=

X ( t - t ) ^ B k ( s ) N( s - Tk , r ) d s , t > T
Jt
k= 1

(2 .1 2 )

su p |ỊAt( £ , t )|| khi đó ta có:

|ị|AT( t r)||Ị ^ | ! | X ( Í ) | | | + |/i| r

Jt
rt

i

M + \ụt\M /

| | | X ( Í - s ) \ \ \ ị , | | 5 fc( s ) | | | | | N ( s , T ) | | | d 5
k= 1

9
£ | | B t ( s ) |||||A T( s ,T ) |||d S

l' T k=ĩ
áp d u n s bổ đề G rom vall-B ellm an ta có:

Im Ị A Í f j

Ị!!-V (/,r )||| □ M e

ì ;

*=!

Vậv bổ đề được chứng m inh.

|:£*(s)|ịtỉs

< K < +OC
□

14

2.2

Định lí Levinson về sự tương đương tiệm cận của các phương trình
vi phán với biến số chậm
Trong Ỉ T xét hai hệ phương trình vi phân tuyến tính:
(2 .1 3 )

= Ay ( t ) + ị i B

V ới x , y e FT\ —h £

Tk

k{t)y{t +

(2 .1 4 )

Tf c)

í 0; t > 0; / i ^ 0, A £ M n ( R ); B k : R + -» M n ( R ) với k = l,2 ..,q

Trong đó M n ( R ) là tập hợp các ma trận vuông cấp n liên tục trên R
Trong phần nàv ta luôn giả thiết

(2 .1 5 )

Đ ịn h n g h ĩa 12. Các hệ phương trình (2.13) và (2 .1 4 ) được gọi là tương đương tiệm cân nếu
m ỗi n gh iệm x( t ) của (2 .1 3 ) có m ột nghiệm y(t ) của (2 .1 4 ) sao cho:

lim

||rr(í) —y ( í) || = 0

t —» + o c

và ngược lại.
K í hiệu:

B C { X : y ) l à tập hợp tất cả các toán tử liên tục, giới n ội từ X v à o Y
X ( t ) là toán tử Cauchy c ủ a (2 .1 3 )
AT( í . r ) l à toán tử giải c ủ a í2 .1 4 )
Ta có các kết quả sau:

B ổ đề 2 .1 0 . Gi ả sử X { t ) € B C{ [ 0: +OC)) ]Mn ( R) ) khi đó X ( t ) luôn có thể viết được dưới

dang X ( t ) = U( t ) 4- V( t ) trong đó | | Ư ( í ) | |

M e ~ ^ với t > 0 ; | | V ( í ) | Ị ế 7 7 7 với V í 6 R,

ở đáy M .m .u .' ỉ à các hằng s ố dương.

15


Chứng minh. V ì th eo giả thiết X ( t ) e -BC([0; +

0 0 );

M n ( R) ) nên ta có ||X ( í ) || < +

00,

áp

dụng h ệ quả 2.11 trang 13 [15] ta suy tất cả các giá trị riêng của A thoả m ãn R e \ j ( A ) ế 0
và các giá trị riêng Aj có phần thực bằng không đều là các giá trị rién e đơn ( tức là các ố
Jordan tương ứng v ó i A có cỡ bằng 1), Hơn nữa X { t ) là nửa nhóm liên tục đều, áp dụng
định lí ánh xạ phổ ta suv ra:

cr{eA) c { A € c :| A I 4 1}Giả sử ơ ( e A) = ƠI (J ơ 2 ư o n g đó

ƠI c {A € c :| A |< 1}

Ơ2 c {A € c :| A 1= 1}
G ọi r là chu tuyến đơn bao quanh ơ\ và r p | ơ

2

= 0.

X ét phép chiếu :

p = ầ

I ỵ - ^ - ' ê>

U(t) = PX{ t ) ] V( t ) = ự - P) X( t )
Ta suy ra ơ ( ư { \ ) ) = ơ\. la suy ra r a ( U( l ) ) < 1.

T heo định nghĩa

r ơ( U( l ) ) =
Như vậy

lim

do đó với n 0€ N đủ lớn thì

n{ / \ \ u (n 0)ỊỊ èr q < 1

||ỉ/( n o )|i I g"5 = e _tJT10. {—U! — Inq )

Với # > 0 ta có :

L■( f ) = U( kn o + s ), /í 6 A : , 0 4 s < 77-0
suy ra

| jt T(f)|: - | Ị t '( n 0)||fe||^(s)|| < e~kn° . Meas i

.el'a~“)s

- . ^ e V ^ 0 '710
T heo cách xây dựng phép chiếu p và giả thiết về tính giới n ội của A '(í) ta có: /?eA j[(7 P ).4 ] = 0 và các Aj là các giá trị riéng đơn. Mặt khác ta luỏn có V( t ) = ( / - P ) e M =

eụi - P) A _ tỳ (3(3 ta su v ra ||V ( í) || - ĨĨI với Ví € /?. bổ đề được chứng m inh.
Đ ịn h lý 2 .1 1 . Giã sử 1’A ' ) II € 5 C ( [ 0 ; +

0 0 );

M n ( R) ) và điểu kiện (2 .1 5 ) được thoá mãn

khi đó hai hệ (2 .1 3 ) và (2 .1 4 ) là tương đương tiệm cận

16

□


Chứng minh. T heo định lí 2 .2 1 , với m ỗi hàm liên tục ệ( t ) xác định trên [-h;0] phương
trình (2 .1 4 ) có duy nhất n gh iệm biểu diễn dưới dạng

y( t ) = X { t ) ộ { 0) + n
Jũ

X ( t - s ) Y B k( s) y( s + r k) ds , (t > 0)
k=i

(2 .1 6 )

y ( t ) = ậ (t)v ớ i — h C t í 0
Theo bổ đề 2.23 toán tử giải N ( t , r ) của (2.14) thoả mãn đánh giá:||JV(ỉ,t)||

D K < +OC

V ới t 0 > 0 giả sử y ( t 0) = Vo khi đó n ghiệm của (2 .1 4 ) c ó dạng:

y(t ) = X ( t - t 0)y0 + ụ. / X ( t - s ) ' Y ^ B k {s)y{s + Tk )ds
•'‘o

fc=i

Mặt khác theo bổ đề 2 .2 4 ta có: X ( t ) = U( t ) + V ( t ) và theo cách xác định của V( t ) ta

chỉ ra được V ( í — s) = X ( t — t 0) V (t0 — s )
Thật vậy:

V{t

-

s) =

P X ( t - s ) = P X { t - to)X(to

-

s)

= X ( t — t o ) PX( t o — s) = X ( t — t o)V{to ~ s)
D o đó với t > t 0 chúng ta có:
fí

9

y(t ) = X { t - t 0)y 0 + /i / U( t — s) Ỵ ' B k( s) y( s + Tk)ds
^0
k=1
+ w

V ( t - s ) Ỵ ^ B k ( s ) y ( s + r k )d s
^ío
Jt=i

= X ( t - to)yữ + ỊJL Ị
J ịữ

X ( t - t 0) V ( t 0 - s ) ỵ / B k ( s)y{s + r k)ds
fe=i

9

rt

+ /i /

u ( t — s) ỵ . B k{s) y( s + Tk)ds

Jtũ

- ụ ị

k=\

V{ t - s ) ^ 2 B k{s)y(s + Tk )ds

Jt

k=i

Q io n to sao ch o t 0 > m a x (\rk \) = tj.
1c k ũq
Đãt
/ +00

9
V ( t 0 - s)

J

B k { s ) y { s + Tk ) ds

fc=l

17
1

jr>lG ĨÃM ĨH j)NG

ti n t h ự


/ *foc

9

s)Ỵ " ' Bk(s)N(s

V(t0 -

+ Tk , t o ) y o d s

fc=i

J

Khi đó chúng ta có:

ĩ1

9

U( t — s) y , B k( s) y{s + Tk^ds
^0
k=i

Ị/(f) = X ( Ỉ - í 0) x 0 + M /

V(t-s)£

- ịx Ị
Jt

B k(s)y(s

+ Tk)ds

k=i

Và lúc này nghiệm z (í) của phương trình (2.13) với điều kiện x ( í 0) = £o có dạng x { t ) =

X ( t - to)x 0.
Xét hiệu:
/■<

y(t)-x{t)=ịỉ

/

9
C7(í -

s ) ^ 5 f c ( s ) y ( s + Tk )ds
k= 1

J to

í

^

V ( t - s ) ^ 2 B k ( s ) y( s + Tk ) d s
k=\

Ta có đánh giá sau:

I M í l - 1(011 Í M

/ ' ' l | Ư ( í - s ) | | T ' | | B » ( s ) | | | | y ( s + Tl )||k= 1

Jt°

+ l/j| [
■/í

l | y ( t - s ) | | $ 2 l | . B fc( 5 ) ||||y ( s + Tfc)||d s
fc=i

‘' ‘ó

fc=i

+ \n\mK\\yo\\ f
^

18

||Bfc(s)||ds
k= 1


V ới

t >

2 í 0 ta có :

ll» ( t ) -

\ụ.\MK\\ya\\ [

x (t)ll t

V

| | S t ( s ) ||d s

i= i

+ ImIM/CIIsdII / '

x ; l|B * (s)ll^
k=l

2
+ \fi\m K \\y0\\ í

||5 * ( s ) ||đ s

^
c

\ n ị M K ị ị y „ ị \

Ị

e

k=i

-

"

Jt°

i

^

|

|

B

t

( s ) | M s

k= 1

+ W MA-Ịiv„|| / ' Ê i i a m i *
2 fc=l

+ l/xịm^llyoll [
^

J 2 ||B fc(s)||d s
fc=i

^ D i + D 2 + D3
Hơn nữa với m ọi e > 0. tồn tại số T đủ lớn sao ch o với m ọi t > T ta có:

rị
9
ử , = M M K ị ị y ,II /
e - “ ỉ V ỊỊB i(s)||cis < I
•'‘ó
fc=:
Ổ
Í q
D 7 = \ụ.\M K \\y0\\ / 5 2 | | S fc( s ) ||d í
te< 3
2t /c=l
£ 3

€

= \n \m K \\y 0\\ Ị

5 I | | B fc(5)||d.

Jt

k= 1

s < 3

V ậy với V/ > T ta đều có ||?/(£) - x ( í) || < e hay lim ||y (t) — x ( í ) || — 0. N gư ợc lại nếu

í-*OC

chúng ta đật:

z — ụ.

V( t o — s) ]T B k { s ) N( s 4- Tk , t 0) d s Thì :
/c= 1
/■-foc

z

4 ÌAíl /

<7

S ) | | ^ | | 5 fc( s ) | | | | A ' ( s + T , , í o ) | | d 5

|! F ( í ũ -

•/<0

t=1

/

+ OC

J

Chon

II ^

||Bfc(s)||ds

Jt=i

sao cho / * £ ||£ * ( s ) ||d s <
1 —
2 k= 1 '
l/iịm A
Khi đó với m ọi f 0 > Í 2 ta đều có ||Z || < 1, điều này có nghĩa là toán tử (I+Z ) là khả
#2

>

9

#1

19


ngược với to đủ lớn. V ậ y với m ỗi nghiệm x( t ) của (2 .1 3 ) thoả m ãn x ( t 0) -

Xũ Và chọn

được hàm ộ( t ) liên rục với —h 4 t < to sao cho ộ { t ữ) = [I + Z } ~ 1Xo khi đó n ghiệm y(t)

ậ(t)

của (2 .1 4 ) với đ iều k iện đầu y(t ) =

với - h

£ t ' Ạ t 0 thoả mãn y ( t 0) = [7 + z)~l x 0

và bằng cách đánh giá tương tự như ở trên ta cũng có: lim ||ị/(í) — x ị t )II = 0. H ay (2 .1 3 )

t—►
oc

_

và (2 .1 4 ) là tương đương tiệm cận.

□

Từ chứng m inh của định lí ta suy ra:
H ệ q u ả 2 .1 2 . Nế u R e X j ( A ) 4 0, các giá trị riéng Xj có phần thực bằng không là đơn và

điểu kiện (2 .1 5 ) được thực hiện thì hai hệ phương trình

viphán (2 .1 3 ) và (2 .1 4 ) là tương

đương Tiệm cận.
V í d ụ 1. Nghiên cứu sự tương đương tiệm cận của hai phương trình vi phân cấp 2
X" ( t ) + a 2x ( t ) = 0

y"{t) + a7y(t) +

(2.17)

— r) — 0

(2 .1 8 )

V ới —h □ r _ 0

để nghiên cứu sự tương đương tiệm cận của hai phương trình nàv ta đưa về nghiên cứu hai
hệ phương trình sau:

* ỉ ơ ) = *2Ơ )

(2 .1 9 )

x'2{t) = - a 2Xi (t )

y[{t) = V2 ÌỈ)

(2.20)

y'2(t) = - a 2yi (t ) - ỵ ị ^ y i ( t - r ) .v ớ i - h é* T
Dễ dàng thấy rằng m a trận hẻ số A. B(t) tương ứng trong các hê phương trinh (2 .1 9 ) và
DC

(2 .2 0 ) thoả m ãn các điều k iện Re X( A) — 0 và f I\B(t)\\ dt = f < +OC- N ên áp dụng hệ
0

quả 2 .2 6 ta có kết luận các hệ phương trình (2.19Ì và (2 .2 0 ) là tương đương tiệm cận. váy
ta suy ra các phương trình (2 .1 7 ) và (2 .1 8 ) là tương đương tiém cán.

20