Bộ đề luyện thi ĐH-CĐ môn Toán P2 - Đề 16

Câu I.1)Đồ thị hàm số (1) đi qua gốc tọa độ ị0=
-m(0+1)+0+2
m(0+1)-1
ị m=2.
Khi đó hàm số có dạng y =
-2(x + 1) + x + 2
2(x + 1) - 1
=
-x
2x + 1
.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số này dành cho bạn đọc.
2) Giả sử đỷờng thẳng y = a(x + 1) + b tiếp xúc với đồ thị hàm số (1) với mọi giá trị mạ 0. Khi đó hoành độ điểm tiếp
xúc là nghiệm của hệ phỷơng trình:
+++
+
=++

+
=



mx x
mx
ax b
mx
a
()
()
()()

[( )]
()
12
11
11
1
1
2
2




với mọi m ạ 0.
Từ(2)tacóa<0và(x+1)=
1
-1
a
m

; thế vào (1) đỷợc
-1 +
-1
a
+
1
-1
a
m
1

-1
a
-1
=a
1-
1
a
m
+b

m-1+ -
1
a
+1 -
1
a
=a-
1
a
1-
1
a
mb -
1
a

m-1+ -
1
a
+b -
1
a
+1 -
1
a

1+a -
1
a
=0 (3)
đúng với mọi m ạ 0 nên
+ + =









+








=

=
1
11
0
1
1
1
1
0
aa
aa
ab=1
Vậy đỷờng thẳngy=-(x+1)-1=-x-2luôn tiếp xúc với đồ thị hàm số (1) với mọi giá trị của m ạ 0.
Câu II. 1) Xét phỷơng trình: 3sinx + 2cosx=2+3tgx (1)
Điều kiện của nghiệm : x ạ
(2k + 1)
2

(k ẻ Z). (2)
Với điều kiện (2)
www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0
________________________________________________________________________________
(1) 3sinxcosx + 2cos
2
x = 2cosx + 3sinx 3sinx(cosx - 1) + 2cosx(cosx - 1) = 0 (cosx - 1)(3sinx + 2cosx) = 0.
a) cosx = 1 x=2k (k ẻ Z).
b) 3sinx + 2cosx = 0
3

3+2
sinx +
2
3+2
cosx = 0
22 22
sin(x + ) = 0, trong đó là góc xác đỵnh
bởi điều kiện: cos =
3
3+2
22
, sin =
2
3+2
22
.
Từ đó x + =k x=- +k(k ẻ Z).
2) Ta có p
2
=d
2
+a
2
- 2adcos
ABC
^
=d
2
+a
2

+ 2adcos
BCD
^
(1)
q
2
=c
2
+a
2
- 2accos
DAB
^
=c
2
+a
2
+ 2accos
ADC
^
. (2)
Từ (1) và (2) ta có:
p
2
+q
2
=c
2
+d
2

+2a
2
+ 2a(ccos
ADC
^
+ dcos
BCD
^
)=c
2
+d
2
+2a
2
+2a(b-a)==c
2
+d
2
+ 2ab.
Câu III. 1) Đặt x
0
=1-m.Khiđóhàmđãchocódạng:
x
2
+(m+1)
2
+2(x+m-1)=y
1
nếu x x
0

x
2
+(m+1)
2
-2(x+m-1)=y
2
nếux<x
0
Parabol y
1
có hoành độ đỉnh x
1
=
-b
2a
= -1.
Parabol y
2
có hoành độ đỉnh x
2
=
-b
2a
=1.
Để giá trị bé nhất của hàm sốy=x
2
+(m+1)
2
+2|x+m-1|không lớn
hơn 3 thì m thỏa mãn một trong các trỷỳõng hợp sau:

a)
y
x
1
0
13
1
()




hoặc
yx
x
20
0
3
1
()





mm
m
2
423
11

+




hoặc
223
11
2
m
m
+




1-mÊ -1
www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0
________________________________________________________________________________






51
2
m
m
hoặc

m
m
2
1
2
2







(loại).
b)
yx
x
10
0
3
1
()




hoặc
y
x
m

m
2
0
2
13
1
223
11
()










hoặc
m
m
m
m
2
2
23
11
1
2

0
+












hoặc
m
m
m
2
1
0
10





.
(1)
c)

yx
m
10
3
11 1
()
< <



hoặc
yx
m
m
m
m
20
2
3
11 1
1
2
02
0
2
2
()
< <

<<





<
(2)
Từ (1) và (2) ta có đáp số : -1 Ê m Ê
2
2
.
2) Xét tổng các biệt thức của hai phỷơng trình:

1
+
2
=
(a - 4b ) + (a - 4b )
1
2
12
2
2
=
=
a + a - 4(b + b ) a + a - 2a a

1
2
2
2
12 1
2
2
2
12

=(a
1
-a
2
)
2
0
(vì a
1
a
2
2(b
1
+b
2
))
ị hoặc
1
0 hoặc
2

0 hoặc cả
1
,
2
0
ị hoặc một trong hai phỷơng trình hoặc cả hai phỷơng trình có nghiệm.
www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0
________________________________________________________________________________
www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0

______________________________________________________

Câu IVa.
Số cách chọn bất kì là
3
50
50.49.48
C 19600
31
==
cách.
Số cách để trong nhóm 3 ngời có cặp sinh đôi (chỉ có thể có 1 cặp sinh đôi và 1 ngời nữa bất kì) ; để
lập đợc một nhóm nh thế ta chia thành 2 "giai đoạn".
Đa một cặp vào nhóm : có 4 cách ;
Đa thêm một ngời nữa : có 48 cách.
Suy ra có 4. 48 = 192 cách để trong nhóm có cặp sinh đôi. Vậy số cách không có cặp sinh đôi là
19600 192 = 19408 cách.
Câu Va.
1) Trớc hết ta đa phơng trình của (d) về dạng pháp dạng :
3416

xy 0
55 5
+=
,
suy ra khoảng cách từ F (3, 0) đến đờng thẳng (d) là :
3.3 4.0 16 25
(F,d) 5
55
+
= ==

Từ đó suy ra đờng tròn tâm F (3, 0) tiếp xúc với đờng thẳng (d) có bán kính R = 5, có phơng trình :
22
(x 3) y 25+=
hay
22
xy6x160+=
.
2) Parabol có tiêu điểm F (3, 0) và có đỉnh tại O (0,0) có phơng trình chính tắc là :
2
y2px=
với
p
3
2
=
, suy ra p = 6. Vậy ta có phơng trình của parabol (P) là :
2
y12x=
.

Từ phơng trình đờng thẳng (d) ta có :
3x = 4y 16. (1)
Thay (1) vào phơng trình của parabol (P) :
2
y4.3x4(4y16)==

22
y16y640 (y8) 0
+==.
Phơng trình này có nghiệm duy nhất, chứng tỏ ràng đờng thẳng (d) tiếp xúc với parabol (P).
Ta có tung độ của tiếp điểm là
o
y8=
, thay giá trị này vào phơng trình của parabol (P) ta có
o
16
x
3
=
.Vậy tiếp điểm cần tìm là
16
M,8
3



.
Câu IVb.
1) Do SD (ABCD) nên các tam giác SDC và SDA vuông ở D.
Vì AB DA nên theo định lí ba đờng vuông góc ta có : AB SA.

Vậy SAB vuông ở A.
Bạn đọc có thể nhờ các kết quả đó và dùng giả thiết,
chứng tỏ đợc rằng : SBC vuông ở B (
SA a 2=
,
SB a 3=
,
SC a 5=
).
2). Gọi O là trung điểm của SC. Do
n
o
SDC 90=
và
n
o
SBC 90=

nên DO = BO = OS = OC. Vậy O là tâm mặt cầu qua
4 điểm S, C, D, B. Bán kính của mặt cầu này bằng :

BC a 5
22
=
.
3) Vì CD//AB nên CD//(SAB) MN// CD. Vậy thiết diện MNCD là hình thang. Hơn nữa, do CD
(SDA) nên CD (SDA) nên CD MD. Vậy MNCD là hình thang vuông.
Diện tích thiết diện MNCD là :
2
CD MN 2a a / 2 a 2 5a 2

S.DM.
2228
++
===
.