Bài giảng Giải tích 12 - Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

;Kh¼ng ®Þnh:

C¸c hµm sè sau ®©y lu«n ®ång biÕn trªn tõng kho¶ng x¸c ®Þnh
a nã.§óng hay sai?
1) y = tgx

2) y = cotgx

§

S

6)y =(
7) y =(

2

)

e )

x
§

x

3

S

3) y = 1 – 3x S

8) y =ex

§

4) y = lgx

§

9) y =log0,5(1- x)

§

5)y = lnx

§

10) y =3

S

2 -5x


Ch­¬ng II:øng dông cña ®¹o hµm

TiÕt 1: sù §ång biÕn, nghÞch biÕn
cña hµm sè

I .Nh¾c l¹i ®Þnh nghÜa Hµm Sè ®ång biÕn, nghÞch biÕn
Cho hµm sè f(x) x¸c ®Þnh trªn (a;b)
1. f(x) ®ång biÕn trªn ( a ;b )x1,,x2
A

2. f(x) nghÞch biÕn trªn ( a ;b )x1,,x2
A

y

O

a

(a;b) vµ x1<x2 =>f(x1)
(a;b) vµ x1<x2 =>f(x1) >f(x2)
yy =f(x)

y =f(x)

b

x

x

O
b

a


NhËn xÐt
f(x) ®ång biÕn trªn (a;b)=>f ’(x) = lim

y
x

0 trªn (a;b)

f(x) ngh biÕn trªn (a;b) =>f ’(x) = lim

y
x

0 trªn (a;b)

0

0

Giíi h¹n nµy
ChiÒu
ng­îc
cã lµ ®
iÒu
l¹i cã®
®
kiÖn

ñóng
cña
kh«ng?
tÝnh
®¬n
®iÖu?


2.Điều kiện đủ của tính đơn điệu
Định lý Lagrăng:
Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b]
có đạo hàm trên khoảng (a;b)
Thìtồn tại c (a;b) sao cho f(b) f(a) =f( c )(b a)
Hay

f(b) f(a)
f (c)=
b-a


f(b) f(a)
f (c)=
b-a

d

y

C

f(c)

B

kd =f (c)
kAB =

f(b) f(a)
b-a

f(a)
O

A
a

c

b

x


ý nghĩa hình học của định lý Lagrăng (sgk)
Cho hàm số y =f(x) thoả mãn định lý Lagrăng đồ thị ( C )

A;B

( C ) => C (c; f (c) ) cung AB
sao cho tiếp tuyến tại C // AB
d
y
C

f(c)
f(a)
O

B

A
a

c

b

x


Định lý 1Cho hàm số y =f (x) có đạo hàm trên khoảng (a;b).
a)Nếu f (x) >0 với mọi x (a;b) thìhàm số f(x) đồng biến trên
khoảng đó.

b)Nếu f (x) < 0 với mọi x (a;b) thìhàm số f(x) nghịch biến trê
khoảng đó.
Chứng minha y

áp dụng định lý Lagrăng
thoả mãn trên tập [x1;x2]

f(b)
f(x2)
f(x1)
f(a)
O

a x1

x2

b

> c (x1;x2) sao cho
f(x2) f(x1) =f ( c) (x2 x1)
Do f (x) >0 /(a;b) =>
f (x) >0 / (x2 x1) =>
x f (c ) >0 lại do x2 x1>0
=>f (x2) >f (x1)


Định lý 1 Cho hàm số y =f (x) có đạo hàm trên khoảng (a;b).
a)Nếu f (x) >0 với mọi x (a;b) thìhàm số f(x) đồng biến trên
khoảng đó.

b)Nếu f (x) < 0 với mọi x (a;b) thìhàm số f(x) nghịch biến trê
khoảng đó.

Mở rộng

ịnh lý 2 Cho hàm số y =f (x) có đạo hàm trên khoảng (a;b).
Lợi ích của
lýthì
điều
a)Nếu f (x)
0 với mọi xđịnh
(a;b)
hàm số f(x) đồng biến trên
kiện
ủ mở
khoảng đó.(Đẳng thức chỉ
xảyđra
tại hữu hạn điểm)
rộng?

b)Nếu f (x)
0 với mọi x (a;b) thìhàm số f(x) nghịch biến trên
khoảng đó.( Đẳng thức chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm)
Định lý 2

định lý 1 n t n?


Ví dụTì
1:m khoảng đồng biến hay nghịch biến của hàm số sau
y =x2 4x +6
Bài giải Tập xác định: D =R
Chiều biến thiên:

y = 2x 4 ,
Giải phương trình y =0 2x 4 =0 x =2
Dấu y

X
y

2
-

0

+

Hàm số luôn luôn đồng biến trên khoảng ( 2 ;+ )
Và nghịch biến trên khoảng (- ; 2)


Ví dụTì
2:m khoảng đồng biến hay nghịch biến của hàm số sau
y =x3 3x2 +6
Bài giải Tập xác định: D =R
Chiều biến thiên:
y = 3x2 6x ,
Giải phương trình y =0 3x3 6x =0 x =0 v x =2
Dấu y

X
y

0
+

0

2
-

0

+

Hàm số luôn luôn đồng biến trên các khoảng ( Và nghịch biến trên khoảng (0; 2)

; 0) ;(2;+


Ví dụTì
3:m khoảng đồng biến hay nghịch biến của hàm số sau
y =- x4 +2x2 +6
Bài giải Tập xác định: D =R
Chiều biến thiên:
y = - 4x3 +4x ,
Giải phương trình y =0 -4x3 +4x =0 x =0 v x = 1
Dấu y

X
y

-

-1
-

0

0
+

0

1
-

0

+
+

Hàm số luôn luôn đồng biến trên các khoảng ( Và nghịch biến trên khoảng (0; 2)

; 0) ;(2;+


Ví dụ 4:
Xác định chiều biến thiên của hàm số:

y

3

x

3x

Bài giải:

5

Nêu Quy
tắc xác
định
chiều
biến
thiên của
hàm số

*Tập xác định: D =(- ;0) (0;+ )
3( x 2
* Đạo hàm y =
x2

1)

y =0 x = 1

X
y

-1 0
+

0

1

-|| - 0

+

Hàm số đồng biến trên các khoảng (- ;-1) ;(1;+ )
Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-1;0) ;(0;1)


3.Điểm tới hạn.

Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b) và
x0 (a;b).Điểm x0 được gọi là một điểm tới hạn của hàm số f(x)
Nếu tại đó f (x) không xác định hoặc x0 là nghiệm của phương trì
f (x) =0.

Quitắc:
Tìm tập xác định của hàm số
Tìm điểm tới hạn của hàm số
xét dấu f (x)
Kết luận về khoảng đồng biến , nghịch biến theo định lý


Bµi tËp vÒ nhµ.
Tõ bµi 1 ®Õn hÕt bµi 4 sgk / Tr52 ,53