Bài giảng Giải tích 12 - Bài 2: Tích phân (Đặng Thị Tố Uyên)

TRƯỜNG THPT ĐỊNH HOÁ
TỔ TOÁN

BÀI DẠY

TÍCH PHÂN
Người thực hiện: Đặng Thị Tố Uyên


§2. TÍCH PHÂN
I. Khái niệm tích phân
II. Tính chất của tích phân
III. Phương pháp tính tích phân


KIỂM TRA BÀI CŨ
Tính:

2� 2
�
�
�
1.  J = �
3
x
−
2
x
+
3
dx

�
�
�
�
1�

1

2.  I = (2x +1)2dx
0

a. Đặt u = 2x+1. Biến đổi biểu thức (2x+1)2dx thành g(u)du.
u(1)
b. Tính
g (u)du và so sánh kết quả với I trong câu 2.
u(0)
3
1
1 2
4
x
2
I=�
(2x +1) dx = �
(4x + 4x +1)dx = (
+ 2x2 + x)|1 =13
0 3
3
0
0

a.
2 du
u
(2x+1)2dx
=
Đặt u = 2x+1. Suy ra du = 2dx. Khi đó
2
b.

u(0) = 1, u(1) = 3
u(1)
g (u)du = I =13
Ta thấy
3
u(0)

u(1)
3 13
3 2
1
u
1
u du = . |3=
�g (u)du = 2 �
2 31 3
u(0)
1


§2. TÍCH PHÂN

III. PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
1. Phương pháp đổi biến số
2. Phương pháp tính tích phân từng phần


§2. TÍCH PHÂN

III. PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
1. Phương pháp đổi biến số
Định lí (SGK – 108)
Cho hs f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử hs x = (t) có đạo
hàm liên tục trên đoạn [ ; ] ( < ) sao cho a = ( ), b= ( )
và a
(t) b với mọi t [ ; ] . Khi đó:

β
b
�f ( x)dx = �f (ϕ (t))ϕ '(t)dt
a
α

1. Tính

1 1
dx
01+ x2


§2. TÍCH PHÂN

Ví dụ

III. PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN

1. Phương pháp đổi biến số

1 1
dx
1+ x2
0
β
b
2. Tính π
f
(
x
)
dx
=
f
(
ϕ
(
t
))
ϕ
'(
t
)

dt
�
�
2 2
a
α
sin xcos xdx
Chú ý
b
0
f
(
x
)
dx
Để tính
Nhóm 1 - 2
a
3. Tính 1
x

Định lí. x = (t) a = ( ), b= ( ) 1. Tính

Ta chọn u = u(x) làm biến số
mới, trong đó trên [a;b] u(x) có
đạo hàm liên tục và u(x) [ ; ]
và f(x)= g(u(x))u’(x)dx, với mọi
x [a; b], g(u) ltục trên [ ; ] thì:

u(b)

b
�f ( x)dx = �g (u)du
a
u(a)

0 1+ x2
4. Tính

1
0

�
�
�
�
�

3

dx

�
�
�
�
�

(2x +1)e x2+ x+3dx
Nhóm 3 - 4

§2. TÍCH PHÂN
III. PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN

1. Phương pháp đổi biến số

Định lí

β
b
�f ( x)dx = �f (ϕ (t ))ϕ '(t )dt
a
α
Chú ý
Để tính

b
a

f ( x)dx

1. 1

0

BÀI TẬP CỦNG CỐ

1 7
1
( A)  u dx

40

5 7
1
(C)   u du
43

�
�
�
�
�

e 3
dx =
3
x
+
5
1

Ta chọn u = u(x) làm biến số 2.
mới, trong đó trên [a;b] u(x) có
đạo hàm liên tục và u(x) [ ; ]
3e + 5
(
A
) ln
và f(x)= g(u(x))u’(x)dx, với mọi
8

x [a; b], g(u) ltục trên [ ; ] thì:

u(b)
b
�f ( x)dx = �g (u)du
a
u(a)

7

x 2x2 +3 dx =
�
�
�
�
�

(C)  ln(3e−3)

1 7
1
(B)   u du
40
5 7
(D)   u du
3

(B)  ln8(3e+ 5)
(D)  ln(3e+13)

HƯỚNG DẪN HỌC BÀI Ở NHÀ
1. Định nghĩa và các tính chất của tích phân?
2. Phương pháp đổi biến số?
3. Làm bài tập : 3, 6.a) (SGK – 113)


KIỂM TRA BÀI CŨ
Tính:

1 2x + 2
1.  I = 
dx
2
5
(
x
+
2
x
−
1)
0

2.  J =  ����x +1����exdx

1. Đặt u= x2+2x-1, du =(2x+2)dx, x=1 thì u =-1, x=2 thì u=3
Khi đó:

3 du

 I = 
= − 1 |3 = − 1 + 1 =
5
4 −2 4.34 4. −2 4
u
4
u
( )
−2

u = x +1 u ' =1
�
2. Đặt �
�v ' = e x
�v = e x
�
� x
x − e xdx
�  J =  �
e
dx
=
(
x
+
1)
e
�x +1�
�
�

�
                             = ( x +1)e x − e x + C = xe x + C
Hãy tính
1� � x
x|1 = e
  �
x
+
1
e
dx
=
xe
�
0
�
�
0
Ta có pp tính tp từng phần


§2. TÍCH PHÂN

Ví dụ

III. PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN

2. Phương pháp tính

từng phần

Định lí

tích phân

Tính
1.

π
2
0

xsinxdx

π
Nhóm
b
b
b
4
u( x)v '( x)dx = ( u( x)v( x) ) |a − �
u '(x)v( x)dx
1
�
2.      
x
cos
xdx
a
a
0

Nhóm
e
Hay
2
3.      
x
ln
xdx
b
b
b
Nhóm
1
udv
=
uv
−
vdu
|
�
�
a
e
a
a
4.       (3x + 2)ex dx3
1
Nhóm
e
5.       (− x + 3)2 x dx4

1


π
π
Nhóm
π 4
π
π � �
4
1
2.       x cos xdx = xsinx| 4 − sin xdx =xsinx| 4 + cosx| 4 = 2 ��π +1��−1

0
0
0 2 �4 �
0
0
Nhóm
2
ex
e
2
e
x
3.       x ln xdx = ln x|1 − dx = x2 ln x|1e − x2|1e = e2 +1
2
2
4
4

1
12
Nhóm
e
e
e
3
x
4.       (3x + 2)e dx = (3x + 2)ex| − 3exdx = (3e −1)ee − 2e
1
1
1
Nhóm
e
4
5.       (− x + 3)2x dx
1


§2. TÍCH PHÂN
III. PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN

2. Phương pháp tính

tích phân từng phần
Định lí b u( x)v '( x)dx = ( u( x)v( x) ) |b − b u '( x)v( x)dx
�
�
a a
a

b
b
b
Hay
udv = uv|a − �
vdu
�
a
a
u

P(x)exdx
P(x)

P(x)axdx
P(x)

v’

ex

ax

P(x)sinxdx P(x)cosxdx
P(x)
P(x)
cosx
sinx

P(x)lnxdx

lnx
P(x)


Định lí b u( x)v '( x)dx = ( u( x)v( x) ) |b − b u '( x)v( x)dx
�
�
a a
a
u

P(x)exdx
P(x)

v’

ex

P(x)axdx
P(x)

P(x)sinxdx P(x)cosxdx
P(x)
P(x)
cosx
sinx

P(x)lnxdx
lnx
P(x)

ax
Hãy chọn phương án em cho là đúng:

2
1. ( x +1)exdx =
0
2� 2 � x
2 x
�
�
2
2
2
x
x
( A)    ���x + x ���e |0 − ���x + x ���e dx;    (B)  (2x+1)e |0 + 2 e dx;     
�
�
�
0�
0
2 x
�
� x2
(C)    ���2x +1���e |0 − 2 e dx;    
(D) Đáp án khác
0
2 x
2

x
2.  (2x+1)e |0 − 2 e dx =
0
(A) 3e2 – 3 ;

(B) 3e2 + 1 ;

(C) 3e2 ;

(D) Đáp án khác.


Nếu em chọn đáp án (A) tức là:

2
2
�
�
�
�
2
x
2
x
2
�
�
�
1. (x +1)e dx =��x + x ��e |0 − ��x + x ���e xdx.
�

�
�
0
0�
Thì em đã chọn sai đáp án. Có thể là do em bị sai lầm ở chỗ:

Đặt u = ex, và v’ = 2x + 1 suy ra u’ =ex, v = x2 + x
Hãy xác định dạng tích phân để đặt u, v’ cho đúng và
chọn phương án khác.


Nếu em chọn đáp án (B) tức là:

2
2 x
2
x
x
1. ( x +1)e dx =(2x+1)e |0 + 2 e dx.
0
0
Thì em đã chọn sai đáp án. Có thể là do em bị sai lầm ở chỗ:

2
2 x
2
x
x
1. ( x +1)e dx =(2x+1)e |0 + 2 e dx.
0

0
Sai lầm
Hãy xem lại công thức và chọn phương án khác.


Nếu em chọn đáp án (C) tức là:

2
2
2
1. ( x +1)e xdx =(2x+1)e x|0 − 2 exdx.
0
0
Xin chúc mừng em đã chọn phương án đúng!
Hãy trở lại bài toán khoanh vào phương án (C) và tiếp tục làm 2.

2 x
2
x
2.  (2x+1)e |0 − 2 e dx =
0
(A) 3e2 - 3;

(B) 3e2;

(C) 3e2 + 1 ; (D) Đáp án khác


Nếu em chọn đáp án (D) tức là em có đáp án khác:
Hãy trình bày phương án của em.

Nếu em chọn đáp án (A) tức là:

2 x
2
x
2.  (2x+1)e |0 − 2 e dx =3e2­3 
0
Thì em đã chọn sai đáp án. Có thể là do em bị sai lầm ở chỗ:

2 x
2
x
2.  (2x+1)e |0 − 2 e dx =5e2­1 ­2e2­2=3e2­3 
0
Sai lầm

Hãy tính lại và chọn phương án khác!


Nếu em chọn đáp án (B) tức là:

2
2
2.  (2x+1)e x|0 − 2 e xdx =3e2+1 
0
Xin chúc mừng em đã chọn phương án đúng!
Hãy trở lại bài toán khoanh vào phương án (B)

Nếu em chọn đáp án (C) tức là:

2 x
2
x
2.  (2x+1)e |0 − 2 e dx =3e2 
0
Thì em đã chọn sai đáp án. Có thể là do em bị sai lầm ở chỗ:

2 x
2
x
2.  (2x+1)e |0 − 2 e dx =5e2­0 ­2e2­0=3e2 
0
Sai lầm
Hãy tính lại và chọn phương án khác!

Sai lầm


Nếu em chọn đáp án (D) tức là em có đáp án khác
Hãy trình bày đáp án của em.
Em đã làm sai!
Trong các phương án trên chắc chắn có một phương án đúng.
Hãy tính lại và chọn phương án khác.


HƯỚNG DẪN HỌC BÀI Ở NHÀ

1. Học lại các công thức tính nguyên hàm.
2. Các phương pháp tính nguyên hàm tích phân.
3. Làm các bài tập còn lại.