Bài giảng Giải tích 12 - Tiết 64: Ôn tập chương 3

GV THỰC HIỆN : CAO LAM SƠN


ÔN TẬP CHƯƠNG III
I. Lý thuyết:
1) Nguyên hàm
2) Tích phân
3) Ứng dụng tích phân trong hình học


Nguyên hàm HS sơ cấp

dx = x + C
α

xα +1
+ C (α
=
α +1

−1)
x dx
dx
= ln x + C ( x 0)
xx
x
e dx = e + C
x
a
+ C ( 0 < a 1)
a x dx =

cosxdx =

ln a

s inx+C

s inxdx = −cosx+C
dx
= tan x + C
2
cos x
dx
= −cotx + C
2
sin x

Nguyên hàm HS hợp
du = u + C
α +1
u
u α du =
+ C ( α −1)
α +1
du
= ln u + C ( u = u ( x ) 0 )
u

eu du = eu + C
u

a
a u du =
+C(0 < a
ln a

cosudu = sin u + C
sinudu = −cosu + C
du
= tan u + C
2
cos u
du
= −cotu + C
2
sin u

1)


ÔN TẬP: NGUYÊN HÀM

Bài 1: Tìm nguyên hàm các hàm số sau:

a)

( x + 1)

b) x

x

2

2

dx

x + 5dx
3

c) (2 − x) sin xdx


ÔN TẬP: NGUYÊN HÀM

Đáp án

( x + 1)

a) �

2

x + 2x + 1
3/ 2
1/ 2
−1/ 2
dx = � 1/ 2 dx = �
( x + 2 x + x )dx
x
x

2 5/ 2 4 3/ 2
1/ 2
= x + x + 2x + C
5
3
2


ÔN TẬP: NGUYÊN HÀM

b) x

x + 5dx

2

3

t = x +5
3

Đặt

�t = x +5
2

3

2
� 2tdt = 3 x dx � x dx = tdt

3
2

x
�
2

2

2
22
x + 5dx = �
t ( tdt ) = �t dt
3
3
3

2 3
2 3
3
= t + C = ( x + 5) x + 5 + C
9
9


ÔN TẬP: NGUYÊN HÀM

c) (2 − x) sin xdx
Đặt

u = 2− x
�
�
dv = s inxdx
�

du = −dx
�
�
v = −cosx
�

(2
−
x
)
sin
xdx
=
−
(2
−
x
)
c
osx­
cos
xdx
�
�

= ( x − 2)cosx­sinx+C


ÔN TẬP: NGUYÊN HÀM

Bài 2: Tìm một nguyên hàm F(x) của
1
f ( x) =
biết F(4)=5
(1 + x)(2 − x)

1
A
B
(− A + B) x + 2 A + B
=
+
=
( x + 1)(2 − x) x + 1 2 − x
( x + 1)(2 − x)
1
A=
−A + B = 0
3
��
��
2A + B = 1
1
B=
3

1
1 1
1
�
= (
+
)
( x + 1)(2 − x) 3 x + 1 2 − x
.


ÔN TẬP: NGUYÊN HÀM

1
1 x +1
� F ( x) = (ln x + 1 − ln 2 − x ) + C = ln
+C
3
3 2−x
1 5
F (4) = 5 � ln + C = 5
3 2
1 5
� C = 5 − ln
3 2

1 1+ x
1 5
F ( x) = ln
+ 5 − ln

3 2− x
3 2


ÔN TẬP: TÍCH PHÂN
1.Phương pháp đổi biến số
Đổi biến số dạng 1: Đặt x = u(t). Có 2 loại:
β

a − x dx
2

Loại 1: Với các tích phân có dạng

2

β

hoặc

α

α

dx
a2 − x2

� �π π �
�
t ��

− ; �
.
thì ta đặt x = a sin t �
�
� �2 2�
�
β

Loại 2: Với các tích phân có dạng
α

β

dx
dx
hoặc
2
2
x2 + a2
(
ax
+
b
)
+
c
α

� �π π �
�

� �π π �
�
t ��
− ; �
t ��
− ; �
thì ta đặt x = a tgt �
hoặc ax + b = c tgt �
�
�
2
2
2
2
�
�
� �
�
� �
�


ÔN TẬP: TÍCH PHÂN
1.Phương pháp đổi biến số
Đổi biến số dạng 1: Đặt x = u(t).
Chú ý: Phương pháp đổi biến số dạng dạng 1 ngoài dùng để tính các tích
phân thuộc 2 loại trên còn được dùng trong các bài toán biến đổi tích phân.
Ví dụ:

π

2

π
2

0

0

1. CMR: �
cos n xdx = �
sin n xdx

2. Nếu f(x) là hàm số chẵn và liên tục trên đoạn [-a ; a], a > 0 thì:
a

a

−a

0

f ( x)dx
�f ( x)dx = 2�

3. Nếu f(x) là hàm số lẻ và liên tục trên đoạn [-a ; a], a > 0 thì:
a

−a

f ( x)dx = 0


ÔN TẬP: TÍCH PHÂN
1.Phương pháp đổi biến số
Đổi biến số dạng 1: Đặt x = u(t).
Ví dụ:

4. Nếu f(x) là hàm số chẵn và liên tục trên đoạn [-a ; a], a > 0 thì:
a

a

f ( x)
dx = �
f ( x)dx
x
�
−a a + 1
0
5. Nếu f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [-a ; a], a > 0 thì:
a

a

0

0

f (a − x)dx = �

f ( x)dx
�


ÔN TẬP: TÍCH PHÂN
1.Phương pháp đổi biến số

b

f (u ( x))u '( x)dx. Đặt t = u(x)

Đổi biến số dạng 2: Tích phân dạng:
a

Nhận xét: - Trong thực hành, ta có thể trình bày một cách thuận tiện
phép đổi biến số này mà không cần đưa ra biến t.
b

b

a

a

f (u ( x))u '( x)dx = �
f (u ( x))d (u ( x))
�
Ví dụ:

e

e
ln x
1 2 e 1
dx = �
ln xd (ln x) = ln x =
�
1 2
x
2
1
1

π
2

π
2

0

0

sin x
sin x
sin x
e
cos
xdx
=

e
d
(sin
x
)
=
e
�
�

4

π
2 = e −1
0

4
4
dx
d ( x − 2)
=�
= ln x − 2 = ln 2 − ln1 = ln 2
�
3
x−2 3 x−2
3


ÔN TẬP: TÍCH PHÂN
1.Phương pháp đổi biến số

b

f (u ( x))u '( x)dx. Đặt t = u(x)

Đổi biến số dạng 2: Tích phân dạng:
a

Nhận xét: - Trong thực hành, ta có thể trình bày một cách thuận tiện
phép đổi biến số này mà không cần đưa ra biến t.
b

b

a

a

f (u ( x))u '( x)dx = �
f (u ( x))d (u ( x))
�
Chú ý: - Nhiều khi ta phải biến đổi trước khi thực hiện phép đổi biến số.
π /4

Ví dụ:

=

π /4

T�
nh:

sin 2 x cos3 xdx

0

2
2
sin
x
cos
x cos xdx =
�
0

π /4

2
2
sin
x
(1
−
sin
x) cos xdx.
�
0

ÔN TẬP: TÍCH PHÂN
2.Phương pháp tích phân từng phần
b
b b
udv = uv − �
vdu
�
a a
a
Trong thực hành ta thường gặp các dạng tích phân sau:
b

b

b

P( x) sin xdx, P( x) cos xdx, P( x) e x dx, với P(x) là đa thức.

Dạng 1:
a

a

a

Cách giải: Đặt u = P(x), dv = sinxdx (hoặc dv = cosxdx, dv = e xdx).
b

f ( x) ln xdx.

Dạng 2:
a

Cách giải: Đặt u = lnx, dv = f(x)dx.
b

b

e x sin xdx, e x cos xdx. Tích phân hồi quy.

Dạng 3:
a

a

Cách giải: Đặt u = ex, dv = sinxdx (hoặc dv = cosxdx). Tích phân từng phần
2 lần.


ÔN TẬP: TÍCH PHÂN
2.Phương pháp tích phân từng phần
b
b b
udv = uv − �
vdu
�
a a
a
Ngoài ra ta còn gặp một số dạng tích phân sau:
b

�

Dạng 4: sin(ln x)dx,
a

b

cos(ln x)dx. Tích phân hồi quy.
�
a

Cách giải: Đặt u = sin(lnx) (u = cos(lnx)), dv = dx. Tích phân từng phần 2 lần.
Chú ý: - Có những bài toán phải tính tích phân từng phần nhiều lần.
- Đối với dạng 1: Số lần tích phân từng phần bằng số bậc của đa thức P(x).
- Đối với dạng 2: Số lần tích phân từng phần bằng số bậc của hàm số y =
lnx.


ÔN TẬP: TÍCH PHÂN

Bài 3: Tính các tích phân sau:

a) I =

3

0
1

x

1+ x

dx

xdx
b) I = 2
0 x + 3x + 2
c) I =

1
0

3x

x.e dx


ÔN TẬP: TÍCH PHÂN

Đáp án:

a) 8/3

8
b) ln
9
2 3 1
c) e +

9
9


ÔN TẬP: TÍCH PHÂN

e2

b)

Bài 4: Tính tích phân sau:

ln x
x

1

dx

u = ln x

�
−
�dv = x 2 dx

Giải : Đặt
e

2

1

ln x
x

du =

�
�

1

dx = 2 x

1/ 2

= 2x

e
1

ln x |

1/ 2

2

e

2

e
1

ln x |

dx

x
1

v = 2x 2

− 2x
2

1

1

−1/ 2

e
1/ 2

− 4x

= 4e − (4e − 4) = 4

dx

1

2


ÔN TẬP: TÍCH PHÂN
3. Bài tập
Tính các tích phân sau:
1

3

dx

1)

4− x

0

π /2

3)

2

;

dx
2) 2

;
2 x − 4x + 5
e

cos5 xdx;

0

ln x 3 2 + ln 2 x
4)
dx;
x
1
e

1

2 2x

5) x e dx;
0

π /2

7)
0

e x cos xdx;

6) x 3 ln xdx;

1


ÔN TẬP: TÍCH PHÂN
4. CỦNG CỐ
- Chú ý rèn luyện kĩ năng nhận dạng và vận dụng để tính tính phân.
- Đối với tích phân đổi biến khi tính toán cần chú ý điều gì?
- Đối với tích phân từng phần khi tính toán cần chú ý điều gì?

5. DẶN DÒ
- Về nhà xem và làm lại các bài tập trong SGK và sách bài tập.
- Ôn lại phần diện tích và thể tích, làm các bài tập trong SBT.