Chuyên đề 1: Rút gọn và bài toán phụ

CHUYÊN ĐỀ 1: RÚT GỌN VÀ BT PHỤ
Bài 1 (2016)
Cho  và  với  
1) Tính giá trị của A khi 
2) CMR:  
3) Tìm x để P = A.B có giá trị nguyên.
Ta thấy  thoả mãn điều kiện .
Thay  vào A ta được: .
Vậy khi  thì  

Giải:

 
Vậy 
 ĐPCM
3)   ĐK:     (*), ta có:  
+) Vì  nên  
+) Do đó: .
+) Vậy  
TH1:   (thoả mãn ĐK *)
TH2:  (thoả mãn ĐK *)
Vậy P nguyên  
Bài 2 (2015)
Cho  và  với .
1) Tính giá trị của P khi  
2) Rút gọn Q
3) Tìm x để  đạt GTNN
Ta thấy  thoả mãn điều kiện .
Thay  vào P ta được: .
Vậy khi  thì  

Giải:

 
Vậy 
 ĐPCM
3)   ĐK:  (*)
 
+) Áp dụng BĐT Cô – si cho hai số dương: , ta có: 
 
+) dấu “=” trong BĐT Cô – si xảy ra (tmđk*)


Vậy  thì  đạt GTNN
Bài 3 (2015)
1) Tính giá trị của  khi .
2) Cho  với 
a) CMR:                                               b) Tìm x sao cho:  
1) +) A xđ  
    +) Ta thấy khi  thoả mãn điều kiện:  
    +) Thay vào A, ta được:
     
    +) Vậy khi  thì  
  
Vậy      ĐPCM
3) ĐK: 
(*)
  
Vậy  thì 
Bài 4 (2013)
Với  , cho  

1) Tính giá trị của A khi  .
2) Rút gọn B
3) Tìm x, để  
1) +)  thoả mãn điều kiện: 
     +)  Thay vào A, ta được:
 
     +)  Vậy khi  thì  
 
Vậy:  
3) ĐK: 
(*)
 
(Nhân cả hai vế với )
     
Kết hợp với (*) ta được:   thì 

Bài 5 (2012)

Giải:

Giải:


1) Cho  . Tính giá trị của A khi  .
2) Rút gọn  với .
3) Tìm x nguyên để  là số nguyên.
Giải:

1) +) A xđ  .
    +) Ta thấy  thoả mãn điều kiện 

    +) Thay  vào A ta được:
 
    +) Vậy khi  thì  
2)  
 
Vậy:  
3) +) ĐK:  
 +)  
   
­) Ư(2)  (Vì khi  thì  )
  tất cả đều thoả mãn điều kiện: 
Vậy  là các giá trị nguyên của x để  nhận giá trị nguyên.
Bài 6 (2011)
Cho  với  
1) Rút gọn A.
2) Tính giá trị của A khi  
3) Tìm x để  
1) +)  

Giải:

  
Vậy:  
2) +) Ta thấy  thoả mãn điều kiện: 
    +) Thay  vào A, ta được:
 
Vậy khi  thì  
3) +) ĐK: 
(*)
    +)  

(Nhân cả 2 vế với )
 
Kết hợp điều kiện (*), ta có:    thì  
Bài 7:


Cho   và  với  
1) Tính giá trị của N khi x = 25
2) Rút gọn S = M.N
3) Tìm x để  
Giải:

1) +) Ta thấy  thoả mãn đk: 
2) +)  
 
  +)  
 
Vậy: .
3) +) ĐK: 
(*)
   +)  
 
Vì:  nên:  
+) Kết hợp điều kiện (*), ta được:   thì  
Bài 8:
Cho   và    với .
1) Tính giá trị của B khi  
2) Rút gọn A.
3) Tìm x để S = A.B đạt giá trị lớn nhất
1) +) Ta thấy  thoả mãn ĐK: 

     +) Thay  vào B ta được:  
      +) Vậy khi thì  
2) +)  
 
Vậy  
3) +) ĐK: 
     
 
 
 thoả mãn đk: 
Vậy  thì S = A.B đạt GTLN

Giải:

Bài 9:  Cho  
1) Rút gọn A                                                                          2) Tìm a để  
3) Tìm a để  nhận giá trị nguyên.


1) +) A xác định  
     +)   
Vậy  với  
2) +) ĐK: 
    +)  (nhân cả hai vế với )
 
+) Kết hợp đk  ta được: 
3) +) ĐK: 
     +)  
Dễ thấy:  

Giải:

 

Vậy:  
Do đó:  
­) TH1:  (thoả mãn đk *)
­) TH2:  (thoả mãn đk *)
Vây:  thì  
Bài 10: Cho  và  với 
1) Tính giá trị của A khi 
2) Rút gọn B
3) Tìm GTNN của S = A.B
1) +) Ta thấy  (thoả mãn Đk: )
    +) Thay  hay  vào A, ta được:
 
Vậy:  khi 
2) +)  

Giải:

Vậy: 
3) +) ĐK:  
     +)  
 Ta thấy  hay  thì  
Vậy GTNN của S là   
Bài 11: Tìm  để  
* Cách 1:
Đk:  
TH1:   nhận  

TH2:  

Giải:


+) Dễ thấy:  
+)  
+) Vậy:  
Do đó: 
­)  (loại vì  )
­)  (nhận)
KL:  thì  
*) Cách 2: Với  ta chia 2 trường hợp sau:
TH1: x là số chính phương  :   
Vì   nên:  Ư(3)
     
    
(đều là các số chính phương)
TH2: x không là số chính phương
 là số vô tỉ     là số vô tỉ
 là số vô tỉ
là số vô tỉ
 
Vậy:  để  là  
Bài 12: Tìm  sao cho:  
ĐK: 
 

(*)

Giải:

 
   (không thoả mãn đk (*))
Vậy không có x thoả mãn yêu cầu bài toán
Bài 13: Tìm GTNN của  
Giải:
ĐK:  
Đặt  
+)  
+)  
   
+) Áp dụng BĐT Cô – si cho 2 số dương: a và , ta có:
 
+) Ta thấy khi  tức là  thì  
Vậy GTNN của 
Bài 14: Cho  với . Tìm x để:  
Giải:
ĐK: 


 
     (vì: )
  
Kết hợp đk: , ta có:  thì  
Bài 15: Cho  với . Tìm x để  
ĐK: 

Giải:

       (vì: )
    
    
(vì )
   (vô nghiệm)
Vậy không có giá trị nào của x thoả mãn yêu cầu bài toán.
CHÚ Ý
1. Trong những năm gần đây đề ra theo hướng tránh sự phụ thuộc của ý 2 và 3 vào ý 
1 – Rút gọn. Thậm chí như đề năm 2016 thì cả 3 ý hỏi là độc lập với nhau do đó học 
sinh không làm được ý này có thể vẫn sử dụng kết quả của ý đó để làm khác.
2. Theo cấu tạo mới thì ý 1 là ý tính giá trị của biểu thức với biến số nhận giá trị cho  
trước. Đây là một ý dễ nhưng học sinh lại hay mất điểm trình bày ở bước 1 ­ đặt và 
ktđk và bước 3 _ kết luận. Do đó học sinh cần lưu ý điều này.
3. Ý 2 là ý rút gọn biểu thức. Nếu đề  cho như  năm 2016 thì chúng ta đã biết trước  
kết quả của việc rút gọn và do đó dễ  làm đúng hơn. Nhưng nếu đề  chỉ  yêu cầu rút 
gọn biểu thức mà chưa cho biết kết quả trước việc rút gọn chính xác rất quan trọng 
vì kết quả  rút gọn thường được sử  dụng cho ý sau nữa. Do đó, học sinh cần thận  
trọng các khâu tính toán cộng, trừ, nhân, chia đa thức, đặc biệt là việc xử lí các dấu  
trừ. Khi ra kết quả  rút gọn cuối cùng rồi thì cũng nên kiểm tra lại bằng cách cho  
biến số  ít nhất là hai giá trị  đặc biệt vào biểu thức (ban đầu và kết quả  rút gọn).  
Nếu thấy các kết quả của các biểu thức ban đầu và sau khi đã rút gọn khác nhau thì 
chắc chắn việc rút gọn là sai, do đó cần xem xét lại. Khi rút gọn xong cần kết luận  
và kèm theo cả đkxđ đã đặt ra hay đề bài cho từ ban đầu.


4. Bài toán liên quan đến giá trị nguyên.


Nếu đề toán như đề  năm 2016 hay Bài 9: “Tìm x sao cho ” Thì chúng ta giải bài 
này bằng phương pháp giới hạn miền giá trị  của P, tức là tìm hai số  m, M sao  

cho: m < P < M, sau đó xét các trường hợp của P bằng các số  nguyên trong  
khoảng (m; M).



Nếu như  đề  toán hỏi: “Tìm x nguyên để  P nguyên” thì ta vẫn có thể  thực hiện  
theo cách trên nếu tình hình thực tế cho phép (như bài 11). Nhưng ta cũng có thể 
lập luận tận dụng giả thiết  để giải bài toán bằng cách khác (cách mà mọi người  
hay làm) như bài 11. Nếu sử dụng cách này thì nên nhớ rằng:

Với  thì  Ư(A) 
Rất nhiều người lập luận kiểu như   Ư(3). Đây là một lập luận sai vì rằng chưa có  
gì đảm bảo .
5. Bài toán tìm x
Dạng toán này cần có 3 bước giải:
B1: Đặt đk của x
B2: Biến đổi giải ra x
B3: Kiểm tra đk đã đặt ra và KL
Rất nhiều HS giải thiếu bước 1 và do đó thiếu bước 3 dẫn tới việc mất điểm


 Dạng toán giải pt  như bài 3, bài 12
B1: Đặt đk cho ẩn số x
B2: Biến đổi tương đương để giải x
+) Chuyển vế đổi dấu
+) Quy đồng, bỏ mẫu cả hai vế
B3: Ktđk và kết luận



 Dạng toán giải bpt  như bài 4, 6, 7, 15.
b1: Đặt đk cho ẩn số x.


b2: Biến đổi tương đương để giải x
+) Chuyển vế đổi dấu
+) Quy đồng, bỏ  mẫu nếu mẫu chung luôn dương. Còn mẫu chung không 
luôn dương, tức là đổi dấu thì không được bỏ  mẫu. Trong trường hợp này ta 
hay dùng lập luận:
 A và B cùng dấu
 A và B trái dấu.
b3: Ktđk và kết luận
6. Bài toán GTLN, GTNN
 Nếu bài toán yêu cầu tìm x để  biểu thức đạt GTLN (hay GTNN) thì chúng ta  
phải giải đủ 3 bước như bài toán tìm x nói chung (Bài 2, 8)
b1: Đặt đk của x
b2: Đánh giá biểu thức để đưa ra GTLN (hay GTNN) nghi ngờ. Sau đó giải x từ 
pt: Biểu thức bằng giá trị nghi ngờ đó (Như bài 2, 8)
b3: Ktđk và kết luận


Nếu bài toán yêu cầu tìm GTLN (hay GTNN) của biểu thức P(x) thì chúng ta 
thực hiện như bài 10, 13.
b1: Đặt đk của x
b2: Đánh giá P: Giả sử  

b3: Chỉ  ra x sao cho P(x) = M (không cần nói rõ cách tìm x) và kết luận GTLN  
của P là M.
7. Một số kiến thức hay dùng
a) 

BĐT Cô – si:  
 dấu “=” xảy ra  
b)   
c) 
 trong đó  là 2 nghiệm của pt:  
d)   
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Bài 1: Cho  với  


1) Tính A khi  
2) Rút gọn B.
3) Tìm x để  có giá trị nguyên.
Bài 2:  Cho  với 
1) Tính P khi  
2) Rút gọn Q
2) Tìm x để  đạt GTNN
Bài 3: Cho  với 
1) Tính A khi  
2) Rút gọn B.
3) Tìm x sao cho:  
Bài 4: Cho  
1) Tính A khi  
2) Rút gọn B.
3) Tìm x để  
Bài 5: Cho  với 
1) Tính giá trị của A khi  
2) Rút gọn B
3) Tìm x nguyên để  là số nguyên
Bài 6: Cho  với 

1) Rút gọn A
2) Tính giá trị của A khi  
3) Tìm x để  
Bài 7: Cho   và   với 
1) Tính N khi  
2) Rút gọn S = M.N
3) Tìm x để S < ­1
Bài 8: Cho   và  với 
1) Tính B khi  
2) Rút gọn A
3) Tìm x để S = A.B đạt GTLN