Chuyên đề môn Toán lớp 9 - Chuyên đề 1: Nhân, chia căn thức bậc hai

TỐN 9
CHUN ĐỀ 2 : NHÂN, CHIA CĂN THỨC BẬC HAI
A – LÝ THUYẾT
I . Liên hệ giữa phép nhân, phép chia với phép khai phương:
1. Với A ≥ 0, B ≥ 0 thì:
                Khai phương một tích
                     
             Nhân các căn thức bậc hai
2. Với A ≥ 0, B > 0 thì:
             Khai phương một thương
                       
                       Chia hai căn thức bậc hai
II . Bổ sung:
1.
2.
3.
4.

Với A1, A2, …, An ≥ 0 thì: 
Với a ≥ 0; b ≥ 0 thì:  (dấu “=” xảy ra   a = 0 hoặc b = 0)
Với a ≥ 0; b ≥ 0 thì:  (dấu “=” xảy ra   a = b hoặc b = 0)
Cơng thức “căn phức tạp”

Trong đó A > 0; B > 0 và A2 > B.
5. BĐT Cơ­si (cịn gọi là bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân)
Với a ≥ 0, b ≥ 0 thì:  (dấu “=” xảy ra   a = b).
Vài dạng khác của bất đẳng thức Cơ­si:
Dạng có chứa dấu căn:
                với a ≥ 0; b ≥ 0;
                với a > 0; b > 0.
Dạng khơng có chứa dấu căn:

               ; ; ;
6. BĐT Bu­nhi­a­cốp­xki (đối với hai bộ số)
Mỗi bộ có hai số (a1 ; a2) và (b1 ; b2)
           ;
Mỗi bộ có ba số (a1 ; a2 ; a3) và (b1 ; b2 ; b3)
           ;
Mỗi bộ có n số (a1 ; a2 ; …; an) và (b1 ; b2 ; …; bn)
          ;
     (dấu “=” xảy ra    với quy ước nếu mẫu bằng 0 thì tử bằng 0)
B – BÀI TẬP
DẠNG 1: Thực hiện phép tính.
Bài tập 1: Tính:
a) A = ;


b) B = .
Bài tập 2: Thực hiện phép tính:
a) ;
c) .
Bài tập 3: Thực hiện phép tính:

b) ;

a) ;
    c) .
b) ;
Bài tập 4: Cho a = . Tính giá trị của biểu thức: M = .
Bài tập 5: Tính:
a) ;
b) ;

c) ;
d) .
Bài tập 6: Biến đổi biểu thức dưới dấu căn về dạng tích rồi tính:
a) ;
b) ;
c) ;
d) .
Bài tập 7: Cho hai số có tổng bằng  và có hiệu bằng . Tính tích của hai số đó.
Bài tập 8: Tính  biết:
a) A = ;
c) A = .
Bài tập 9: Tính:

b) A = ;

a) ;
c) .
Bài tập 10: Thực hiện các phép tính:

b) ;

a) ;
b) ;
Bài tập 11: Biết x = .

    c) .

Tính giá trị của biểu thức: M = 
Bài tập 12: Tính:
a) Q = ;

b) R = .
Bài tập 13: So sánh:
a)  và ;
c) 18 và .
Bài tập 14*: a) Nêu một cách tính nhẩm 9972;

b)  và ;

b) Tính tổng các chữ số của A, biết rằng  = 99…96 (có 100 chữ số 9).
DẠNG 2: Rút gọn biểu thức.


Bài tập 15: Rút gọn biểu thức M = .
Bài tập 16: Rút gọn biểu thức:
a) ;
c) ;
e) ;
g) ;
i) ;
Bài tập 17: Rút gọn các biểu thức:

b) ;
d) ;
f) ;

a) A = ;
c) C = ;
Bài tập 18: Rút gọn biểu thức: M = .

b) B = ;

d) D = .

j) .

Bài tập 19: Rút gọn các biểu thức:
a) A = ;
c) C = .
Bài tập 20: Rút gọn biểu thức: A = .

b) B = ;

Bài tập 21: Rút gọn biểu thức: P = .
Bài tập 22: Rút gọn biểu thức: A = .
Bài tập 23: Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức:
a) A =  (x < 5), tại x = 4;
b) B =  (x ≥ 0), tại x = .
Bài tập 24: Rút gọn biểu thức:
a) A = ;
Bài tập 25: Cho a > 0, hãy so sánh  với .

b) B = .

Bài tập 26: Rút gọn biểu thức: 
M = .
Bài tập 27: Cho biểu thức: A = .
a) Rút gọn A;
b) Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị của A là một số nguyên.
Bài tập 28: Cho biểu thức: A = .
a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức A;
b) Rút gọn biểu thức A;

c) Tìm giá trị của x để A < 2.


Bài tập 29: Lập một phương trình bậc hai với các hệ số ngun, trong đó:
a)  là một nghiệm của phương trình;
b)  là một nghiệm của phương trình.
Bài tập 30*: a) Rút gọn biểu thức A =  với a > 0;
b) Tính giá trị của tổng: 
B = .
DẠNG 3: Giải phương trình.
Bài tập 31: Giải phương trình:
a) ;
Bài tập 32: Giải phương trình:

b) .

a) ;
b) ;
c) ;
d) .
Bài tập 33: Tìm x và y biết rằng x + y + 12 = .
Bài tập 34: Tìm x, y, z biết:  trong đó a+b+c = 3.
Bài tập 35: Giải phương trình: .
Bài tập 36: Giải phương trình: .
DẠNG 4: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức.
Bài tập 37: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = .

 

Bài tập 38:  a) Tìm GTLN của biểu thức A = ;

b) Tìm GTNN của biểu thức B = .
Bài tập 39: Cho biểu thức: M = 
Rút gọn rồi tìm giá trị của x để M có giá trị lớn nhất, tìm giá trị lớn nhất đó.
DẠNG 5: Chứng minh biểu thức.
Bài tập 40: Có tồn tại các số hữu tỉ dương a, b hay khơng nếu:
a) ;
b) .
Bài tập 41: Cho ba số x, y,  là các số hữu tỉ. Chứng minh rằng mỗi số ,  đều là số hữu  
t ỉ.
Bài tập 42:  Cho a, b, c, d là các số  dương. Chứng minh rằng tồn tại một số  dương  
trong hai số  và .


Bài tập 43: a) Chứng minh rằng với a > 0 thì, b > 0 thì ; 
b) So sánh  với .
Bài tập 44: Cho a, b, x, y > 0. Chứng minh rằng .
Bài tập 45: Cho a, b, c là các số thực khơng âm.
Chứng minh: .
Bài tập 46: Chứng minh bất đẳng thức:  với 0 < |a| ≤ n.
Áp dụng (khơng dùng máy tính hoặc bảng số): chứng minh rằng: .
Bài tập 47: Cho A, B . Chứng minh rằng số 99999 +  khơng thể biểu diễn dưới dạng .
Bài tập 48: Cho A =  và B =  với a > 0, b > 0.
Chứng minh rằng nếu và đều là các số hữu tỉ thì A + B và A.B cũng là các số hữu tỉ.
Bài tập 49: Chứng minh các hằng đẳng thức sau với b ≥ 0, a ≥ :
a) ;
b) .
Bài tập 50: Chứng minh rằng:  với n   .
Áp dụng: cho S = . Chứng minh rằng 18 < S < 19.
Bài tập 51: Chứng minh rằng:  với n   .
Áp dụng chứng minh rằng: .

Bài tập 52: Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện xy + yz + xz = 1. Tính tổng:
S = .
Bài tập 53: Cho a, b, c là ba số hữu tỉ đơi một khác nhau. Chứng minh rằng:
A =  là số hữu tỉ.
Áp dụng bất đẳng thức Cơ­si. Bất đẳng thức Bu­nhi­a­cốp­xki.
Bài tập 54: Cho x, y, z > 0. Chứng minh rằng x + y + z ≥ .
Bài tập 55: Cho A = . Chứng minh rằng A ≤ 4.
Bài tập 56: Cho  B =  trong  đó  x, y  là  các  số  dương  thỏa  mãn  điều  kiện  xy = 1. 
Chứng  minh  rằng  B  ≥  1.
Bài tập 57: Cho x, y, z là ba số dương thỏa mãn điều kiện . 
Chứng minh  rằng  xyz  ≤  .


Bài tập 58: Tìm các số dương x, y, z sao cho x + y + z = 3 và x4 + y4 + z4 = 3xyz.
Bài tập 59: Cho . Chứng minh rằng x + y ≥ 20.
Bài tập 60: Cho ba số khơng âm x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1. Chứng minh 
rằng: 

A =. 

C – Hướng dẫn – trả lời – đáp số:
DẠNG 1: Thực hiện phép tính.
Bài tập 1: Tính:
a) A = 
    = .
b) B = 
    = .
Bài tập 2: Thực hiện phép tính:
a) ;
b)

= ;
c)
= .
Bài tập 3: Thực hiện phép tính:
a) ;
Bài tập 4: 

b) ;

c) 0.

Ta có: .
Vậy M = .
Bài tập 5: Tính:
a) .
b) .
c) .
d) .
Bài tập 6: Biến đổi biểu thức dưới dấu căn về dạng tích rồi tính:
a) ;


b) ;
c) ;
d) .
Bài tập 7: Tích của hai số là: .
Bài tập 8: Tính  biết:
a) A = ; ;
b) A = ; ;
c) 2A = ; .

Bài tập 9: Tính:
a)
= ;
b) Biến đổi tương tự câu a). Đáp số: ;
c) Biến đổi tương tự câu a). Đáp số: .
Bài tập 10: Thực hiện các phép tính:
a) Viết  thành  ta được:
= .
b) Đáp số: 8.
c) Đặt  = m,  = n.
Tính m2 ta được m2 = 2 nên m = . Tính n ta được . Đáp số: 1.
Bài tập 11: 
M = .
x = 
   = .
Vậy M = .
Bài tập 12: Tính:
a) Q = 
    = 
    = 


    = ;
b) R = 
= 

   

   = 
   = 

   = .
Bài tập 13: So sánh:
a) Ta có: ,
           .
Vì 180 < 192 nên  <  hay  < .
b) Tương tự câu a):  > .
c) Cách 1: Ta có: 182 = 324,
            .
Vì 324 > 255 nên 182 >  hay 18 > .
Cách 2: Ta có: 
                                      = .
Bài tập 14*: 
a) 9972 = 9972 – 32 + 32 = (997 – 3)(997 + 3) + 32 = 994.1000 + 9 = 994009.
b)
    = 
Tổng các chữ số của A bằng: 900 + 2 + 1 + 6 = 909.
DẠNG 2: Rút gọn biểu thức.
Bài tập 15:
 Cách 1:
Có:  ;
Do đó: M = .
 Cách 2:
Dễ thấy M > 0.
M2 = 


     = .
Suy ra M = . (Vì M > 0).
 Cách 3:
* Nhận xét: Với A = 4, B = 7 thì A2 – B = 16 – 7 = 9 là một số chính phương nên ta nghĩ 

đến việc sử dụng cơng thức “căn phức tạp”.
* Trình bày lời giải:
M = 
    = 
    = .
Bài tập 16: Rút gọn biểu thức:
a) ;
c) ;
e) ;
g) . Đáp số: 5.
h) ;
Bài tập 17: Rút gọn các biểu thức:

b) ;
d) ;
f) 3;
i) .

a) A = ;
b) B = ;
c) C = 
   = .
d) D = .
Bài tập 18: Tính M2 = 2. Đáp số: . (Xem lại cách 2 bài tập 15)
Bài tập 19: Rút gọn các biểu thức:
a) A = 
    = ;
b) B = 1;
c) C = 8.
Bài tập 20: Rút gọn biểu thức:

ĐKXĐ: 


* Cách 1:

         = 
         = 
         = 
TH1:  Nếu  thì .
Do đó: A = 
TH2: Nếu x ≥ 1 thì 
Do đó: A = .
* Cách 2:
Đặt  = y ≥ 0, ta có 2x – 1 = y2.
A = 
TH1:  Với 0 ≤ y < 1 (tức là ) thì: A = 
TH2:  Với y ≥ 1 (tức là x ≥ 1) thì: A = 
* Cách 3: Xét A2 ta có:
A2 = 
     = .
TH1: Với  thì A2 = 2x – 2(1 – x) = 4x – 2, do đó A = .
TH2: Với x ≥ 1 thì A2 = 2, do đó A =  (chú ý rằng A ≥ 0).
Bài tập 21: Rút gọn biểu thức:
ĐKXĐ: 
P = 
TH1: Nếu 1 ≤ x ≤ 2 thì P = 
TH2: Nếu x > 2 thì P = .
Bài tập 22: Nếu 2 ≤ x < 4 thì A = . Nếu x ≥ 4 thì A = .
Bài tập 23: 
a) A = .

Do x < 5 nên 5 – x = 5 – x. Ta có:


A = .
Tại x = 4 thì A = 
b) Với x ≥ 0 thì  và  có nghĩa. Giá trị của biểu thức B xác định. Ta có:
B =  (vì x ≥ 0).
Tại x =  thì B = .
Bài tập 24: Rút gọn biểu thức:
a) ĐK: . A = 
TH1: Nếu x > – y thì x + y > 0, ta có A = 
TH1: Nếu x < – y thì x + y < 0, ta có A = 
b) ĐK: . B = 
TH1: Nếu  thì 1 – 2a > 0, ta có B = .
TH1: Nếu  thì 1 – 2a < 0, ta có B = .
Bài tập 25: 
Đặt A =  > 0;
       B =  > 0.
Ta có: 
           
           
            (vì a > 0)
           B = 4(a + 2).
Suy ra A2 < B2   A < B (vì A > 0; B > 0).
Bài tập 26: Rút gọn biểu thức: 
ĐKXĐ: –1 ≤ x ≤ 1.
Áp dụng cơng thức “căn phức tạp” ta tính được:
                    = 
                    = 
Cả hai trường hợp đều có cùng một kết quả.

                               = .


Vậy M = 
       M = .
Bài tập 27: 
a) A = 
TH1: Nếu x < 0 thì A = 
TH2: Nếu 0 < x ≤ 2 thì A = 
TH3: Nếu x > 2 thì A = 
     b) Với x    thì |x – 2|   , do đó để A    thì  hay . Suy ra x = ±1; x = ±3.
Bài tập 28: 
a) ĐK: .
b) A =  với điều kiện trên.
c) Giải A < 2 ta được: 
                                 .
Kết hợp với điều kiện nêu ở câu a), các giá trị phải tìm của x là:
 và .
Bài tập 29: 
a) Đặt x = . Ta có .
Phương trình  nhận  là một nghiệm.
b) Phương trình  nhận  là một nghiệm.
Chú ý: Phương trình  cịn có nghiệm là .
           Phương trình  cịn có nghiệm là .
Bài tập 30*: 
a) A2 = 
         = 
         = .
Do a > 0 nên A > 0 và A = .
b) Từ câu a) suy ra: 

Do đó: B = 
               = 99 + 


DẠNG 3: Giải phương trình.
Bài tập 31: Giải phương trình:
a) Điều kiện xác định của phương trình là: 
         
Suy ra 
       
       
       
       
       
       
Vì x =  khơng thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình. Vậy phương trình đã cho  
có nghiệm x = .
b) Điều kiện xác định của phương trình là: 
Khi đó phương trình được đưa về dạng:
         
Suy ra: 
Hay      2x – 3 = 4(x – 1)
 khơng thỏa mãn điều kiện x ≥ 1,5.
Vậy phương trình đã cho vơ nghiệm.
Bài tập 32: Giải phương trình:
a) Điều kiện xác định của phương trình là 
Biến đổi phương trình về dạng:
     
Phương trình đã cho có nghiệm x = 1.
b) Điều kiện xác định của phương trình là: 

Phương trình được đưa về dạng;


, thỏa mãn điều kiện xác định.
Phương trình đã cho có nghiệm x = 2, x = 3.
c) Điều kiện xác định của phương trình là:
        
hoặc 
Phương tình được đưa về dạng: 
Giải phương trình này được  thỏa mãn điều kiện xác định. Vậy phương trình đã cho có  
nghiệm .
d) Điều kiện xác định của phương trình là:
        
Khi đó phương tình đưa về dạng: .
Theo câu c), ta có , nhưng khơng thỏa mãn điều kiện . Vậy phương trình đã cho vơ  
nghiệm.
Bài tập 33: ĐKXĐ: x ≥ 0; y ≥ 1.
;
Đáp số: x = 4; y = 10.
Bài tập 34: ĐKXĐ: x ≥ a; y ≥ b; z ≥ c.

Đáp số: x = a + 1; y = b + 1; z = c + 1.
Bài tập 35: ĐKXĐ: x ≥ 1.
Kết hợp với ĐKXĐ ta được .
Bài tập 36: 
ĐKXĐ: x ≥ 3.
DẠNG 4: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức.
Bài tập 37: ĐKXĐ: 5 ≤ x ≤ 13
* Cách thứ nhất: Sử dụng bất đẳng thức Cơ­si: 

P2 = 
P2 ≤ 8 + [(x – 5) + (13 – x)] = 16. (Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x – 5 = 13 – x   x = 9).
Suy ra max P2 = 16, do đó max P = 4 (khi và chỉ khi x = 9).
* Cách thứ hai: Sử dụng bất đẳng thức Bu­nhi­a­cốp­xki: 
Với a1 = a2 = 1; b1 = ; b2 = .
P2 = 
hay P2 ≤ 2 . 8 = 16 (dấu “=” xảy ra   ).
Suy ra max P2 = 16, do đó max P = 4 (khi và chỉ khi x = 9).
Bài tập 38: 
a) Áp dụng bất đẳng thức  (với a ≥ b ≥ 0) (Xem lại phần Bổ sung 3.)
A =  (dấu “=” xảy ra   x = 8)
Suy ra max A = 3 (khi và chỉ khi x = 8).
b) Áp dụng bất đẳng thức  (với a, b ≥ 0) (Xem lại phần Bổ sung 2.)
B =  (dấu “=” xảy ra   x = 3 hoặc x = 5)
Suy ra min B =  (khi và chỉ khi x = 3 hoặc x = 5).
Bài tập 39: 
        M =  (với )
Vì  với mọi x nên . Vậy max A =  khi x = 0.
DẠNG 5: Chứng minh biểu thức.
Bài tập 40: 
a) Có, chẳng hạn: .
b) Khơng. Giả sử tồn tại các số hữu tỉ dương a và b mà .
Bình phương hai vế được .
Lại bình phương hai vế ta có:
Vế phải là số hữu tỉ, vế trái là số vơ tỉ (vì a + b ≠ 0), mâu thuẫn.
Bài tập 41: Đặt x – y = a,  (1) thì a, b là các số hữu tỉ.
Xét hai trường hợp:

TH1: Nếu b ≠ 0 thì  nên  là số hữu tỉ. (2)
Từ (1) và (2) ta có:  là số hữu tỉ.
   là số hữu tỉ.
TH2: Nếu b = 0 thì x = y = 0, hiển nhiên ,  là số hữu tỉ.
Bài tập 42: Xét tổng hai số:
                                                   .
Tồn tại một trong hai số trên là số dương.
Bài tập 43:
a) Ta có:   

(1)

       (2)
Vì a > 0, b > 0 nên  > 0, do đó từ (1) và (2) suy ra:
 hay .
b) Áp dụng câu a) cho hai số dương 2017 và 2018, ta có:
Bài tập 44: 

                                              
                                              
Bất đẳng thức cuối cùng hiển nhiên đúng nên bất đẳng thức đã cho là đúng.
(Dấu “=” xảy ra   ay = bx   ).
Bài tập 45: Áp dụng bất đẳng thức Cơ­si cho các cặp số khơng âm a và b, b và c, a và c,  
ta có:  ;  ; .
Suy ra 
Do đó .
Bài tập 46: 

Bất đẳng thức cuối cùng hiển nhiên đúng nên bất đẳng thức đã cho là đúng.

Áp dụng với n = 100; a = 1 ta được
Bài tập 47: Giả sử tồn tại A, B    để có đẳng thức:
             
Suy ra: 
Do đó:  là số hữu tỉ, vơ lý.
Bài tập 48: 
Ta có: A + B = 
  
   A . B = 
Đặt ,  (p, q   ) thì:
 A + B = p(p2 – 3q) + 2q
  A . B = q(q + 1) + pq(p2 – 3q)
là các số hữu tỉ.
Bài tập 49: (Hs tự chứng minh).
Bài tập 50: 
(1)
(2)
Từ (1) và (2) suy ra đpcm.
Áp dụng bất đẳng thức (1) ta được:
.
Áp dụng bất đẳng thức (2) ta được:
.
Vậy 18 < S < 19.
Bài tập 51: 


Suy ra 
Cho n lần lượt lấy các giá trị từ 0 đến 2499 ta được:
         

     
     
………………
Vậy 
                                          = .
Bài tập 52: 
Ta có: 
Tương tự: ; .
Vậy S = 
           = 2(xy + yz + zx) = 2.1 = 2.
Bài tập 53: Đặt a – b = x, b – c = y, c – a = z, ta có:
       =  
(vì x + y + z = a – b + b – c + c – a = 0).
Vậy A =  là số hữu tỉ.
Áp dụng bất đẳng thức Cơ­si. Bất đẳng thức Bu­nhi­a­cốp­xki.
Bài tập 54: 
Áp dụng bất đẳng thức Cơ­si đối với các số dương x, y, z ta được:
;

;

Suy ra:
hay 

 (dấu “=” xảy ra   x= y = z).

Bài tập 55: ĐKXĐ: –3 ≤ x ≤ 5
 (bất đẳng thức Cơ­si)
 (dấu “=” xảy ra   x + 3 = 5 – x   x = 1)
Vậy |A| ≤ 4 mà A > 0 nên A ≤  4 (dấu “=” xảy ra   x = 1).

Bài tập 56: 
B = 
    = 
Áp dụng bất đẳng thức Cơ­si đối với các số dương x2, y2, x4, y4 ta được:

(Dấu “=” xảy ra   x = y = 1)
Bài tập 57: 
         =  (bất đẳng thức Cơ­si)
Tương tự,  ; 
Suy ra      
Do đó  (dấu “=” xảy ra   ).
Bài tập 58: 
Áp dụng bất đẳng thức Cơ­si đối với các số dương x4, y4, z4 và x2, y2, z2 ta được:
  
= 
= xyz(x + y + z) = 3xyz.
Vậy x4 + y4 + z4 ≥ 3xyz (dấu “=” xảy ra   x = y = z = 1).
Do đó x = 1; y = 1; z = 1.
Bài tập 59: 
Áp dụng bất đẳng thức Bu­nhi­a­cốp­xki cho hai bộ hai số (1; 2) và  ta được:
                  
                x + y ≥ 20
(Dấu “=” xảy ra ).
Bài tập 60: 
Áp dụng bất đẳng thức Bu­nhi­a­cốp­xki cho hai bộ ba số (1; 1; 1) và  ta được:
      

 
Vì A > 0 nên  (Dấu “=” xảy ra   x + y = y + z = z + x   x = y = z = ).