Điều kiện cần và đủ cho tựa nghiệm hữu hiệu yếu của bài toán tối ưu đa mục tiêu không trơn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
---------------------------

VŨ VIỆT BÌNH

ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ CHO TỰA NGHIỆM
HỮU HIỆU YẾU CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU
ĐA MỤC TIÊU KHÔNG TRƠN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2020


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
---------------------------

VŨ VIỆT BÌNH

ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ CHO TỰA NGHIỆM
HỮU HIỆU YẾU CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU
ĐA MỤC TIÊU KHÔNG TRƠN
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 8 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
GS.TS. Đỗ Văn Lưu

THÁI NGUYÊN - 2020


▼ö❝ ❧ö❝
❇↔♥❣ ❦þ ❤✐➺✉
▼ð ✤➛✉
✶ ▼ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à

✶
✷
✹

✶✳✶✳ ❉÷î✐ ✈✐ ♣❤➙♥ ❈❧❛r❦❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹
✶✳✷✳ ◆â♥ t✐➳♣ t✉②➳♥ ✈➔ ♥â♥ ♣❤→♣ t✉②➳♥ ❈❧❛r❦❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻

✷ ✣✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥ ✈➔ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤õ tè✐ ÷✉

✽

✷✳✶✳ ✣✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥ ❑✉❤♥✲❚✉❝❦❡r ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽

✷✳✷✳ ✣✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥ ❑✉❤♥✲❚✉❝❦❡r ♠↕♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✺
✷✳✸✳ ✣✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤õ tè✐ ÷✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✽

✸ ✣è✐ ♥❣➝✉

✷✺

✸✳✶✳ ✣è✐ ♥❣➝✉ ②➳✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✺

✸✳✷✳ ✣è✐ ♥❣➝✉ ♠↕♥❤ ✈➔ ✤è✐ ♥❣➝✉ ♥❣÷ñ❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✼

❑➳t ❧✉➟♥
❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦

✷✾
✸✶




ớ
ổ ổ tr ự ồ ở ừ r
t tổ ữợ sỹ ữợ ồ ừ ộ ữ ở
ự t q tr tr tỹ ữ tứ ổ
ố ữợ t ý tự trữợ
r tr tổ õ sỷ ử ởt số t q ừ t
õ tr ú t ỗ ố t t ý sỹ
tổ tr ở ừ

t


ụ t




ớ ỡ
r q tr ồ t ự t tổ

ữủ sỹ ú ù t t ừ ữớ ữợ ộ ữ
ổ ụ ố ỷ ớ ỡ rữớ ồ ồ
ồ t ồ t ủ tổ õ t t
tốt tớ õ t t ỏ
õ t õ ỳ t sõt ố ữủ ỵ ỗ
õ õ ỹ ừ t ổ
ổ t ỡ

t


ụ t


✶

❇↔♥❣ ❦þ ❤✐➺✉
coM

❜❛♦ ❧ç✐ ❝õ❛ t➟♣ M

coM
coneM

❜❛♦ ❧ç✐ ✤â♥❣ ❝õ❛ t➟♣ M

M−

❝ü❝ ➙♠ ❝õ❛ M

Ms
X∗

❝ü❝ ➙♠ ❝❤➦t ❝õ❛ M

T (M, x)
TC (M, x)

♥â♥ t✐➳♣ ❧✐➯♥ ❝õ❛ M t↕✐ x

N (M, x)
f − (x, d)

♥â♥ ♣❤→♣ t✉②➳♥ ❈❧❛r❦❡ ❝õ❛ M t↕✐ x

♥â♥ ❧ç✐ s✐♥❤ r❛ ❜ð✐ M

❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✤è✐ ♥❣➝✉ tæ ♣æ ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ X
♥â♥ t✐➳♣ t✉②➳♥ ❈❧❛r❦❡ ❝õ❛ M t↕✐ x
✤↕♦ ❤➔♠ ❉✐♥✐ ❞÷î✐ ❝õ❛ f t↕✐ x t❤❡♦ ♣❤÷ì♥❣ d

f + (x, d)
f 0 (x, d)

✤↕♦ ❤➔♠ ❉✐♥✐ tr➯♥ ❝õ❛ f t↕✐ x t❤❡♦ ♣❤÷ì♥❣ d

∂C f (x)
∂f (x)

❞÷î✐ ✈✐ ♣❤➙♥ ❈❧❛r❦❡ ❝õ❛ f t↕✐ x

t✳ ÷✳

t÷ì♥❣ ù♥❣

KT
KT V CP

❑✉❤♥✲❚✉❝❦❡r

✤↕♦ ❤➔♠ s✉② rë♥❣ ❈❧❛r❦❡ ❝õ❛ f t↕✐ x t❤❡♦ ♣❤÷ì♥❣ d
❞÷î✐ ✈✐ ♣❤➙♥ ❝õ❛ ❤➔♠ ❧ç✐ f t↕✐ x

✤✐➸♠ tî✐ ❤↕♥ ✈❡❝tì ❑✉❤♥✲ ❚✉❝❦❡r





ử ừ t
t t ỳ s ởt số ỳ ữợ tt
t tố ữ t ỳ ự
ỳ rt tt ứ õ
ự tỹ ỳ st
ự tố ữ r tỹ ỳ
qs t st tỹ ỳ qs t st
ỵ ố t tố ữ ử t ổ trỡ
tr ừ tỹ
ỳ ừ t tố ữ ử t ợ st
ữỡ q ữợ r ừ st

tr t r t ss tt

ừ r ố
ố ữủ

ở ừ t
ỗ ữỡ t ử
t t

ữỡ ợ t

tự tr ởt số tự

ỡ ữợ r õ t t õ t r
ữỡ ợ t

ừ tố ữ tr

t q ự ợ ừ st

tr t r t ss tt


✸

✸✽✭✷✵✶✼✮✱ ✻✽✸✲✼✵✹ ✈➲ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥ ✈➔ ✤õ ❑✉❤♥✲❚✉❝❦❡r✱ ✤è✐ ♥❣➝✉ ②➳✉✱
♠↕♥❤ ✈➔ ✤è✐ ♥❣➝✉ ♥❣÷ñ❝✳

❈❤÷ì♥❣ ✸ ✈î✐ t✐➯✉ ✤➲✿ ✧✣è✐

♥❣➝✉✧ tr➻♥❤ ❜➔② ❝→❝ ✤à♥❤ ❧þ ✤è✐ ♥❣➝✉ ②➳✉✱

♠↕♥❤ ✈➔ ✤è✐ ♥❣➝✉ ♥❣÷ñ❝ ❝❤♦ tü❛ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✤è✐ ♥❣➝✉
▼♦♥❞✲❲❡✐r ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✭▼P✮✳

❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥✱ ♥❣➔② ✶✺ t❤→♥❣ ✸ ♥➠♠ ✷✵✷✵
❚→❝ ❣✐↔ ❧✉➟♥ ✈➠♥

❱ô ❱✐➺t ❇➻♥❤




ữỡ

ởt số tự
ữỡ tr ởt số tự ỡ ữợ r
õ t t õ t r ởt số tự ũ
tr ữỡ s tự tr tr ữỡ ữủ
t tr

ữợ r
sỷ x = (x1 , . . . , x ) y = (y1 , . . . , y ) tỡ tr R
s s ữủ sỷ ử s

x = y,

xi = yi ,

ợ ồ i,

x

y,

xi yi ,

ợ ồ i,

x < y,

xi < yi ,

ợ ồ i,

x y,

x

y x = y.

sỷ M ởt t ừ R ổ tữớ M t M (M )
(M ) ữủ õ tr ỗ õ s

M tữỡ ự ỹ ỹ t ừ M ữủ
M := R

, 0,

M ,

M s := R

, < 0,

M ,

tr õ ã, ã t ổ ữợ tr R
ởt số tổ tữớ tr t ổ trỡ



✺

●✐↔ sû ϕ : R → R ❧➔ ❤➔♠ ▲✐♣s❝❤✐t③ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶ ✣↕♦ ❤➔♠ t❤❡♦ ♣❤÷ì♥❣ s✉② rë♥❣ ✭❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❞✐r❡❝t✐♦♥❛❧
❞❡r✐✈❛t✐✈❡✮ ❝õ❛ ϕ t↕✐ x t❤❡♦ ♣❤÷ì♥❣ ν ✤÷ñ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ♥❤÷ s❛✉

ϕ◦ (x; ν) = lim sup
y→x,t↓0

ϕ(y + tν) − ϕ(y)
.
t

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷ ❉÷î✐ ✈✐ ♣❤➙♥ ❈❧❛r❦❡ ✭❈❧❛r❦❡✬s s✉❜❞✐❢❢❡r❡♥t✐❛❧✮ ❝õ❛ ϕ t↕✐
x ✤÷ñ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❜ð✐

∂C ϕ(x) = {ξ ∈ R | ξ, ν ≤ ϕ◦ (x; ν) ∀ν ∈ R }.
❈❤➥♥❣ ❤↕♥✱ ❤➔♠ f (x) = x − x0 ❦❤æ♥❣ ❦❤↔ ✈✐ t↕✐ x0 ✈➔ ❞÷î✐ ✈✐ ♣❤➙♥
❈❧❛r❦❡ ❝õ❛ ♥â t↕✐ x0 ❧➔ ❤➻♥❤ ❝➛✉ ✤ì♥ ✈à ✤â♥❣ B[0, 1] := B tr♦♥❣ R ✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✸ ❉÷î✐ ✈✐ ♣❤➙♥ ❝õ❛ ❤➔♠ ❧ç✐ ϕ : R

→ R t↕✐ x ∈ R ✤÷ñ❝

①→❝ ✤à♥❤ ♥❤÷ s❛✉✿

∂ϕ(x) = {ξ ∈ R : ξ, x − x ≤ ϕ(x) − ϕ(x)}.
❚❛ ❜✐➳t r➡♥❣ →♥❤ ①↕ ν → ϕ◦ (x; ν) ❧➔ ♠ët ❤➔♠ ❧ç✐✱ ❞÷î✐ ✈✐ ♣❤➙♥ ❝õ❛ ♥â
✭t❤❡♦ ♥❣❤➽❛ ❣✐↔✐ t➼❝❤ ❧ç✐✱ ①❡♠ ❬✶❪✮ t↕✐ ν = 0 tç♥ t↕✐ ✈➔ ✤÷ñ❝ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔

∂ϕ◦ (x; ·)(0) ✈➔ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ s❛✉ ❧➔ ✤ó♥❣✿
∂C ϕ(x) = ∂ϕ◦ (x; ·)(0).
❙❛✉ ✤➙② ❧➔ ♠ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ❞÷î✐ ✈✐ ♣❤➙♥ ❈❧❛r❦❡ ❝õ❛ ♠ët ❤➔♠ ▲✐♣s❝❤✐t③
✤à❛ ♣❤÷ì♥❣✳

❇ê ✤➲ ✶✳✶ ❬✷❪ ●✐↔ sû ϕ, ψ : R

❧➔ ❤➔♠ ▲✐♣s❝❤✐t③ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ tr♦♥❣
♠ët ❧➙♥ ❝➟♥ ❝õ❛ x ∈ R ✳ ❑❤✐ ✤â ❝→❝ ♣❤→t ❜✐➸✉ s❛✉ ❧➔ ✤ó♥❣✿
✐✮ ∂C ϕ(x) ❧➔ t➟♣ ❝♦♥ ❦❤→❝ ré♥❣✱ ❝♦♠♣❛❝t ✈➔ ❧ç✐ ❝õ❛ R ✳
✐✐✮ ❱î✐ ♠å✐ ν ∈ R ✱ ϕ◦ (x; ν) = max{ ξ, ν |ξ ∈ ∂C ϕ(x)}✳
✐✐✐✮ ❱î✐ ❜➜t ❦➻ sè λ, ∂C λϕ(x) = λ∂C ϕ(x).
✐✈✮ ❍➔♠ ν → ϕ◦ (x; ν) ❧➔ ❤ú✉ ❤↕♥✱ t❤✉➛♥ ♥❤➜t ❞÷ì♥❣ ✈➔ ❞÷î✐ t✉②➳♥ t➼♥❤
tr➯♥ R ✳
✈✮ ◆➳✉ ϕ ✈➔ ψ ❧➔ ❤❛✐ ❤➔♠ ❧ç✐ t❤➻ ❝â ∂C (ϕ + ψ)(x) = ∂C ϕ(x) + ∂C ψ(x).
→R

õ t t õ t r
t ữ ởt õ s ữủ sỷ ử s sỷ

M R , x0 M
õ t tt ừ M t x0
T (M, x0 ) := R tn 0, n ; x0 + tn n M .
õ t t r rs tt ừ M t x0
TC (M, x0 )
:= R tn 0, xn x0 ợ xn M, n ; xn + tn n M .
õ t r rs r ừ M t x0
N (M, x0 ) := R

w, 0,

w TC (M, x0 ) .

t r

TC (M, x0 ) T (M, x0 ).
sỷ Q ởt t ừ R r trữớ ủ fi , i {1, . . . , m}, gj , j

{1, . . . , n}, hk , k {1, . . . , p} st ữỡ tr ởt


ừ x0 Q t(Rm
+ ) t ờ fi (x0 ; ã) + i ã gj (x0 ; ã)

hk (x0 ; ã) ỳ ữợ t t tr R C (hk )(x0 ) = C hk (x0 )
hk (x0 ; ) = (hk ) (x0 ; ) ỡ ỳ TC (Q, x0 ) ởt t ỗ õ
ừ R 0 TC (Q, x0 )
t q s tt ự tố
ữ r r tỹ ỳ

q sỷ f = (f1, . . . , fm) g = (g1, . . . , gn) h = (h1, . . . , hp)

tỡ ợ t st ữỡ tr R sỷ
r Q ởt t ừ R x0 clQ int(Rm+ ) õ t
s tữỡ ữỡ
s ổ õ

f (x0 ; ) = (f1 (x0 ; ), . . . , fm
(x0 ; )) < ,

g (x0 ; ) = (g1 (x0 ; ), . . . , gn (x0 ; ))

0,




h (x0 ; ) = (h1 (x0 ; ), . . . , hp (x0 ; ))

0,

h (x0 ; ) = (h1 (x0 ; ), . . . , hp (x0 ; ))

0,

TC (Q, x0 ).


ỗ t (, à, , ) Rm+ ì Rn+ ì Rp+ ì Rp+, = 0 s
m

p

n

0

i C fi (x0 ) +
i=1

i=1
p

k=1
m

+

ự

k C hk (x0 )

àj C gj (x0 ) +

k C (hk )(x0 ) +



i i B + N (Q, x0 ).
i=1

k=1

q ữủ ự tữỡ tỹ ờ ỵ

tr t Q TC (Q, x0 ) fi , gj tữỡ
ự fi0 (x0 ; .) + i ||.|| (gj0 (x0 , .), h0k (x0 ; .), (hk )0 (x0 ; .))

q sỷ f = (f1, . . . , fm) g = (g1, . . . , gn) h = (h1, . . . , hp)

tỡ ợ t st ữỡ tr R Q
ởt t ừ R x0 clQ sỷ r int(Rm+ ) ợ ộ
i0 I = {1, . . . , m} õ




n

(C fi (x0 ) + i B) + cone co

Di0 = cone co

j=1

iI\{i0 }
p

+ cone co

C hk (x0 )
k=1

C gj (x0 )

p

+ cone co

C (hk )(x0 )

+ N (Q, x0 )

k=1

õ t t s tữỡ ữỡ
s ổ õ


f (x0 ; ) = (f1 (x0 ; ), . . . , fm
(x0 ; )) < ,

g (x0 ; ) = (g1 (x0 ; ), . . . , gn (x0 ; ))
h (x0 ; ) = (h1 (x0 ; ), . . . , hp (x0 ; ))

0,
0,

h (x0 ; ) = (h1 (x0 ; ), . . . , hp (x0 ; ))

0,

TC (Q, x0 ).


ỗ t (, à, , ) Rm++ ì Rn+ ì Rp+ ì Rp+, = 0 s ú


✽

❈❤÷ì♥❣ ✷

✣✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥ ✈➔ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤õ tè✐
÷✉
❈❤÷ì♥❣ ✷ tr➻♥❤ ❜➔② ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥ ❑✉❤♥✲❚✉❝❦❡r ✈➔ ❑✉❤♥✲❚✉❝❦❡r
♠↕♥❤ ❝ò♥❣ ✈î✐ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤õ ❝❤♦ tü❛ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ✈➔ tü❛ ♥❣❤✐➺♠
❤ú✉ ❤✐➺✉ ②➳✉ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ tè✐ ÷✉ ✤❛ ♠ö❝ t✐➯✉ ❦❤æ♥❣ trì♥ ❝â r➔♥❣ ❜✉ë❝✳
❈→❝ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔② ✤÷ñ❝ t❤❛♠ ❦❤↔♦ tr♦♥❣ ❬✸✕✽❪✳

✷✳✶✳ ✣✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥ ❑✉❤♥✲❚✉❝❦❡r
❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔②✱ ❝❤ó♥❣ t❛ ①➨t ❜➔✐ t♦→♥ ❝â r➔♥❣ ❜✉ë❝ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝✱
✤➥♥❣ t❤ù❝ ✈➔ r➔♥❣ ❜✉ë❝ t➟♣ s❛✉ ✤➙②✿

(MP)

min f (x) := (f1 (x), . . . , fm (x)),

✈î✐ r➔♥❣ ❜✉ë❝✿

g(x) := (g1 (x), . . . , gn (x))

0,

h(x) := (h1 (x), . . . , hp (x)) = 0,
x ∈ Q,
tr♦♥❣ ✤â fi , i ∈ I = {1, . . . , m}✱ gj , j ∈ J = {1, . . . , n}✱ hk , k ∈ K =

{1, . . . , p} ❧➔ ❝→❝ ❤➔♠ ▲✐♣s❝❤✐t③ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ❣✐→ trà t❤ü❝ tr➯♥ R ✈➔ Q ⊆ R
❧➔ t➟♣ ❜➜t ❦➻✳
❑➼ ❤✐➺✉ S ❧➔ ♠✐➲♥ ❝❤➜♣ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✭▼P✮✱ ❝ö t❤➸

S := x ∈ R g(x)

0, h(x) = 0, x ∈ Q .


✾

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✷✳✶ ✣✐➸♠ ❝❤➜♣ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ x0 ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔
❛✮ ◆❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ✭❤♦➦❝ ❤ú✉ ❤✐➺✉✮ ♥➳✉ tç♥ t↕✐ ♠ët ❧➙♥ ❝➟♥

U ❝õ❛ x0 s❛♦ ❝❤♦ ✈î✐ ❜➜t ❦ý x ∈ U ∩ S ✭t✳÷✱ x ∈ S ✮ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ s❛✉
❦❤æ♥❣ ✤ó♥❣

f (x) ≤ f (x0 ).
❜✮ ◆❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ②➳✉ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ✭❤♦➦❝ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ②➳✉✮ ♥➳✉ tç♥ t↕✐ ♠ët
❧➙♥ ❝➟♥ U ❝õ❛ x0 s❛♦ ❝❤♦ ✈î✐ ❜➜t ❦ý x ∈ U ∩ S ✭t✳÷✳✱ x ∈ S ✮ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝
s❛✉ ❦❤æ♥❣ ✤ó♥❣

f (x) < f (x0 ).

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✷✳✷ ❬✻❪ ✣✐➸♠ ❝❤➜♣ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ x0 ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔
❛✮ ❚ü❛ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ✭❤♦➦❝ tü❛ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉✮ ❝❤♦ ✭▼P✮
♥➳✉ tç♥ t↕✐ α ∈ ✐♥t(Rm
+ ) ✈➔ ❧➙♥ ❝➟♥ U ❝õ❛ x0 s❛♦ ❝❤♦ ✈î✐ ❜➜t ❦ý x ∈ U ∩ S
✭t✳÷✳✱ x ∈ S ✮ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ s❛✉ ❦❤æ♥❣ ✤ó♥❣

f (x) ≤ f (x0 ) − α x − x0 .

✭✷✳✶✮

❜✮ ❚ü❛ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ②➳✉ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ✭❤♦➦❝ tü❛ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ②➳✉✮
❝õ❛ ✭▼P✮ ♥➳✉ tç♥ t↕✐ α ∈ ✐♥t(Rm
+ ) ✈➔ ♠ët ❧➙♥ ❝➟♥ U ❝õ❛ x0 s❛♦ ❝❤♦ ✈î✐
❜➜t ❦ý x ∈ U ∩ S ✭t✳÷✳✱ x ∈ S ✮ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ s❛✉ ❦❤æ♥❣ ✤ó♥❣

f (x) < f (x0 ) − α x − x0 .

✭✷✳✷✮

❚❛ ♥â✐ r➡♥❣ x0 ❧➔ ♠ët tü❛ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ✭❤♦➦❝ ❧➔ tü❛ ♥❣❤✐➺♠
❤ú✉ ❤✐➺✉ ②➳✉ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣✮ ❝õ❛ ✭▼P✮ t❤❡♦ α ♥➳✉ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ tr➯♥ ✤ó♥❣ ✈î✐

α ∈ ✐♥t(Rm

+ )✳
❍➺ q✉↔ trü❝ t✐➳♣ ❝õ❛ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ tr➯♥ ❧➔ ♠ët ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣
✭♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ②➳✉ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣✮ ❧➔ ♠ët tü❛ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣
✭t✳÷✳✱ tü❛ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ②➳✉ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣✮ ❝õ❛ ✭▼P✮✳ ✣✐➲✉ ♥❣÷ñ❝ ❧↕✐ ♥â✐
❝❤✉♥❣ ❦❤æ♥❣ ✤ó♥❣✱ ❝â t❤➸ t❤➜② tr♦♥❣ ✈➼ ❞ö s❛✉ ✤➙②✳


✶✵

❱➼ ❞ö ✷✳✶ ❳➨t ❜➔✐ t♦→♥ tè✐ ÷✉ ✤❛ ♠ö❝ t✐➯✉ s❛✉ ✤➙②✿
min f (x) = (x2 − x, −x),

(P1)

✈î✐ r➔♥❣ ❜✉ë❝

g(x) = −x ≤ 0,
h(x) = 0,
x ∈ Q,
tr♦♥❣ ✤â Q = {x ∈ R : |x| ≤ 1}. ❇ð✐ ✈➻ ✈î✐ α = (1, 1) ❦❤æ♥❣ tç♥ t↕✐ x ∈ S
s❛♦ ❝❤♦ ✭✷✳✶✮ ✭❤♦➦❝ ✭✷✳✷✮✮ ✤ó♥❣ t↕✐ x0 = 0✱ ♥❤÷ ✈➟② x0 ❧➔ ♠ët tü❛ ♥❣❤✐➺♠
❤ú✉ ❤✐➺✉ ✭②➳✉✮ t❤❡♦ α = (1, 1)✳ ❉➵ ❞➔♥❣ ❦✐➸♠ ❝❤ù♥❣ r➡♥❣ x0 = 0 ❦❤æ♥❣ ❧➔
♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ✭②➳✉✮ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ❝õ❛ ✭P✶✮✳
✣➸ t❤✉➟♥ t✐➺♥ t❛ ✤÷❛ ✈➔♦ ♠ët ✈➔✐ ❦þ ❤✐➺✉ s❛✉ ✤➙②✿

S l := x ∈ R fi (x) ≤ fi (x0 ) − αi x − x0 , ∀i = l, g(x)
F :=

0, h(x) = 0, x ∈ Q

(∂C fi (x0 ) + αi B)
i∈I

F l :=

(∂C fi (x0 ) + αi B)
i∈I\{l}

G :=

∂C gj (x0 )
j∈J(x0 )

∂C hk (x0 ) ∪

H :=
k∈K

∂C (−hk )(x0 ),
k∈K

tr♦♥❣ ✤â J(x0 ) ❦þ ❤✐➺✉ t➟♣ ❝❤➾ sè ❝→❝ r➔♥❣ ❜✉ë❝ t➼❝❤ ❝ü❝ t↕✐ ✤✐➸♠ ❝❤➜♣
♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ x0 ✈➔ α ∈ ✐♥t(Rm
+ ) ✈➔ B ❧➔ ❤➻♥❤ ❝➛✉ ✤ì♥ ✈à ✤â♥❣ tr♦♥❣ R ✳
▼ö❝ ✤➼❝❤ ❝õ❛ ♣❤➛♥ ♥➔② ❧➔ tr➻♥❤ ❜➔② ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥ tè✐ ÷✉ ❑✉❤♥✲
❚✉❝❦❡r ✈➔ ❑✉❤♥✲❚✉❝❦❡r ♠↕♥❤ ❝❤♦ tü❛ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ✭②➳✉✮ ✈î✐ ❝→❝ ✤✐➲✉
❦✐➺♥ ❝❤➼♥❤ q✉② s❛✉ ✤➙②✿

(F i )s

H−

Gs

TC (Q, x0 ) = ∅, ∀i ∈ I.

✭❈◗✶✮

m
−

−

−

T (S i , x0 ).

✭❈◗✷✮

TC (Q, x0 ) ⊆ T (S, x0 ).

F s G− H − T (Q, x ) ⊆ T (S, x )
C
0
0
(F i )s G− H − T (Q, x ) = ∅, ∀i ∈ I.
C
0

✭❈◗✸✮

F

G

H

TC (Q, x0 ) ⊆
i=1

Fs

G−

H−

✭❈◗✹✮

◆❤➟♥ ①➨t ✷✳✶ ▲✐ ❬✸❪ ✤➣ ❝❤➾ r❛ r➡♥❣✿ ♥➳✉ ❦❤æ♥❣ ❝â ❤➻♥❤ ❝➛✉ ✤ì♥ ✈à ✤â♥❣




B r ở tự tr trữớ ủ x0 t Q ởt
tữỡ tỹ ổ trỡ ừ q ữủ
ởt tờ qt õ ừ q tt tr trữớ ủ
tử ừ P q ởt q ỡ
q ừ ừ ữ ởt tờ qt õ ừ
q srrt
ử tở t(Rm

+ ) ú ỵ r ổ tỗ t
q ỳ q s tr


C fi (x0 )

m


G

H



T (X i , x0 ),

TC (Q, x0 )



i=1

iI

tr õ

X i := x R fj (x) fj (x0 ), j = i, g(x)

0, h(x) = 0, x Q .

ồ t t ử tr r ợ

= (2, 2) ú t x0 = 0 ữ ổ ú t x0 = 0
t t Q = [0, 1] = (1, 1) t ú t x0 = 0
ữ ổ ú t x0 = 0

ờ s s ú
,


ự

.

t ỗ t t A + B

ụ ỗ t ự tữỡ tỹ tr t
ữủ ự
ỵ B(x0 , ) t x0 tr t q
ừ t ỵ s

sỷ x0 tỹ ỳ ữỡ t
sỷ

ú t (x0, ) õ tỗ t
B(x0 , ) S s ổ tọ


> 0

s ợ ộ

x




f (x0 , x x0 ) x x0 ,
gj (x0 , x x0 ) 0 j J(x0 ),
h (x0 , x x0 )



0,

(h) (x0 , x x0 )

0,

x x0 TC (Q, x0 ).

ự

sỷ ữủ ợ ộ > 0 tỗ t x B(x0 , ) S

s ú t

x x0 F

G

H

TC (Q, x0 ).



ỡ ỵ t t = x x0 f (x0 , ) õ
tỗ t i0 I s fi0 (x0 ; ) + i0 < 0 sỷ > 0 tọ

fi0 (x0 ; ) + i0 < .


fi+0 (x0 ; ) fi0 (x0 ; ),
t s r tỗ t 0 > 0 s

fi0 (x0 + t) fi0 (x0 )
+ i0 < t (0, 0 ).
t



t tọ t (x0 , ) tứ t s r
m
i
i=1 T (S , x0 )

T (S i0 , x0 ) õ tỗ t tn 0 n s

x0 + tn n S i0 .



ớ sỷ số st ừ fi0 tr ừ x0 k
õ ợ n ừ ợ t õ

fi0 (x0 + tn n ) fi0 (x0 + tn ) + ktn n .


fi0 (x0 + tn n ) fi0 (x0 )
fi (x0 + tn ) fi0 (x0 )
0
+ k n .
tn
tn






ữỡ tỹ tứ t tự n n + t ữủ


i0 n i0 n + i0 .
k n 0 i0 n 0 t s r ợ n ừ ợ

k n < ,
4

i0 n < .
4



ứ ợ n ừ ợ t õ

fi0 (x0 + tn n ) fi0 (x0 )
+ i0 n
tn
fi (x0 + tn ) fi0 (x0 )
0
+ i 0 n + k n
tn
fi (x0 + tn ) fi0 (x0 )
0
+ i0 + i0 n + k n
tn
fi (x0 + tn ) fi0 (x0 )
0
+ i0 + (i0 + k) n
tn
< + (i0 + k) n


< 0.

ữ tứ t t ữủ r ợ ộ > 0 tỗ t

x0 + tn n B(x0 , ) S s
f (x0 + tn n ) f (x0 ) tn n .
t ợ sỷ x0 tỹ ỳ ữỡ t


ởt tữỡ tỹ ự tr t õ t t ự
ỵ s tỹ ỳ ữỡ

sỷ x0 tỹ ỳ ữỡ t

sỷ

ú t (x0, ) õ tỗ t
x B(x0 , ) S s ổ tọ


> 0

f (x0 , x x0 ) < x x0 ,
gj (x0 , x x0 ) 0 j J(x0 ),

s ợ ộ




h (x0 , x x0 )

0,

(h) (x0 , x x0 )

0,

x x0 TC (Q, x0 ).

t ợ ử tr r Q = [0, 1]

= (2, 2) x0 = 0 ởt tỹ ỳ ữỡ t

tọ t (x0 , ) ổ ú ú
ỵ r ú t x0 = 0 ữ ồ x > 0 ởt ừ P
tr ỵ ừ ữ ỵ rở ỵ
tr trữớ ủ ỳ ữỡ s trữớ ủ
tỹ ỳ ữỡ
ổ õ r ở tự r ở t t
tợ r tố ữ ỳ
ừ P ữủ tr ữủ tờ
qt õ t P õ tỹ ỳ tỹ
ỳ

ữủ x0 ữủ ồ tợ tỡ
r r tr rt t t tt P

m

n
p
P tỗ t t(Rm
+ ) (, à, ) R+ ì R+ ì R = 0 s
m

0

i C fi (x0 ) +
i=1
m

+

p

n

àj C gj (x0 ) +
j=1

k C hk (x0 )



k=1

i i B + N (Q, x0 ),
i=1

àj gj (x0 ) = 0, j J.
õ r x0 P t P tr ú
ợ t(Rm
+ )
ỵ s tr tố ữ r tỹ
ỳ ữỡ

sỷ x0 tỹ ỳ ữỡ
t



tọ t (x0, ) õ x0 P t




ự

x0 ởt tỹ ỳ ữỡ t

tọ t (x0 , ) ỵ t tỗ t > 0 s ợ
ộ x B(x0 , ) S ổ õ ụ ữ ổ
õ àj = 0 ợ j
/ J(x0 ) sỷ ử q t
p
p
n
s r tỗ t (, à, , ) Rm
+ ì R+ ì R+ ì R+ = 0 s ú

t t k = k k Rp k õ t ổ ổ
ữỡ ỵ ữủ ự
tữỡ tỹ ự tố ữ
r tỹ ỳ ữỡ

sỷ x0 tỹ ỳ
ữỡ t




tọ t (x0, ) õ x0 P t

t ỵ rở tờ qt õ ỵ
tr

r
ớ t tr tố ữ r q ữợ
r tỹ ỳ ữỡ tỹ ỳ
ữỡ

sỷ x0 tỹ ỳ
ữỡ t sỷ





tọ t (x0, ) ợ ộ i0 I

Di0 = cone co





(C fi (x0 ) + i B) + cone co

C gj (x0 )

iI\{i0 }
p

+ cone co

C hk (x0 )
k=1

jJ(x0 )
p

+ cone co

C (hk )(x0 )

+ N (Q, x0 )

k=1

õ õ tỗ t (, à, ) Rm++ ì Rn+ ì Rp s
ú




ự

x0 tỹ ỳ ữỡ t

tọ t (x0 , ) ỵ t tỗ t > 0 s
ợ ộ x B(x0 , ) S ổ ú Di0 õ ợ ộ i0 I
tr àj = 0 ợ j
/ J(x0 ) sỷ ử q
p
p
n
tỗ t (, à, , ) Rm
++ ì R+ ì R+ ì R+ s tọ

t t k = k k Rp k õ t ổ
ổ ữỡ ỵ ữủ ự

sỷ x0 tỹ ỳ
ữỡ t

tọ t (x0, ) õ tỗ t

n
p
(, à, ) Rm
++ ì R+ ì R s ú
ự t t ỵ tỗ t (, à, )






n
p
Rm
+ ì R+ ì R , = 0 s ú ớ t sỷ r tỗ t
i I s i = 0 tỗ t i C fi (x0 ) j C gj (x0 )

k C hk (x0 ), e B d N (Q, x0 ) s
m

p

n

i i +
i=1

k k +

àj j +

j=1

m

i i e + d = 0.



i=1

k=1

t t ừ tỗ t TC (Q, x0 ) s

i , < i ,

i I \ {i },

j , 0,

j J,

k , = 0,

k K,



d, 0.
n

p
(, à, ) Rm
+ ì R+ ì R = 0 ợ ồ e B e, , t s

r
m

i i +
i=1

p

n

àj j +
j=1

m

k k +
k=1

i i e + d,

< 0.



i=1

t ợ ữ Rm
++ ỵ ữủ ự


t ỵ rở tờ qt õ ỵ

tr tứ trữớ ủ ỳ s trữớ
ủ tỹ ỳ ữỡ




t tr ử ồ r
tỹ ỳ tỹ ỳ

ử t t tố ữ ử t s
(P 2)

min f (x) = (x2 2x, 2x)

ợ r ở


x
x0
g(x) =
,
x x > 0

x x 0
h(x) =
,
0 x > 0

x Q = [0, 1].
ợ = (2, 2) ổ tỗ t x S s ú t x0 = 0
x0 ởt tỹ ỳ ữỡ t = (2, 2)
tr r x0 ổ ỳ ữỡ ởt t t
ỡ t õ

C f1 (0) = C f2 (0) = {2},
C g(0) = [1, 1],
C h(0) = [0, 1],
C (h)(0) = [1, 0],
N (Q, 0) = (, 0].
t r ợ i = 1, 2 Di õ tọ t (x0 , )
1 = 2 = à = = e = 1 tọ

ử t t tố ữ ử t s
(P 3)

min f (x) = (f1 (x), f2 (x))

ợ r ở

x S = {x R|g(x) 0, h(x) = 0, x Q},
tr õ Q = {x R : |x| 2} g, h, fi : R R i = 1, 2 ữủ

x2 1 (x 1), x 1
1 (x 1), x 1
2
2
f1 (x) =
, f2 (x) =
,
x,

x<1
x,
x<1





(x 1)2 , x 1
g(x) =
,
0,
x<1
ợ =

1 1
2, 3


0,
x1

h(x) =
(x 1)2 , x < 1.

ổ tỗ t x S s ú t x0 = 1,

x0 ởt tỹ ỳ ữỡ t =

C f1 (1) = 1,

1 1
2, 3

õ

3
,
2

C f2 (1) = 1,

1
,
2

C g(1) = C h(1) = C (h)(1) = {0},
N (Q, 1) = {0}.
õ tọ t (x0 , ) 1 = 2 = 1 à = =

e = 0 tọ

ừ tố ữ
ỗ tổ tữớ ừ st ữỡ
st ữỡ : X R ữủ ồ ỗ t x0 X
ợ ồ x X t õ

(x) (x0 ) + , x x0 , C (x0 ).
trữ s ừ ỗ ữủ tt tr t
ở sỹ

ỷ tử ữợ : X R ữủ ồ ỗ

rt t t x0 X ợ ồ > 0 tỗ t

> 0 s
(x) (x0 ) + , x x0 x x0 , x B(x0 , ) X, C (x0 ).
tr ởt ợ ợ s

st ữỡ : X R ữủ ồ ởt

ỗ rt s t t x0 ợ




ồ > 0 tỗ t > 0 s ợ ồ x B(x0 , ) X t õ

, x x0 + x x0 0 ợ C (x0 )
t

(x) (x0 ) x x0 .

tữỡ ữỡ ợ

(x) < (x0 ) x x0
t

, x x0 < x x0 , C (x0 ).
tr ồ ỗ ỗ t x0
ữủ õ ổ ú t t

(x) = x2 2x,

x X = [1, 0].

õ ỗ ữ ổ ỗ t x0 = 0.
t ợ s ự ừ
r tỹ ỳ tỹ ỳ
ừ P

sỷ x0 R t P ữủ ồ

ỗ t strt rt s
t x0 ợ ồ t(Rm
+ ) tỗ t > 0 s ợ ộ

x B(x0 , ) ợ f (x) f (x0 ) x x0 t ú
ỗ rt s t x0
ợ ồ t(Rm
+ ) tỗ t > 0 s ợ ộ x B(x0 , ) ợ

f (x) < f (x0 ) x x0 t ú

õ r P ỗ t tr t D R
tr ú ợ ồ x B(x0 , ) D õ r P
ỗ t tr t D R (M P ) ỗ
t t x0 tr D ợ ồ x0 D ữỡ tỹ t
ỗ ụ ữủ
ú ỵ ợ t ổ r ở t ỗ
t ỗ t tữỡ ữỡ ợ t ỗ
tr




tr r ộ ỗ t ỗ
ữủ õ ổ ú ồ
t t t tố ữ ử t s

(P 4)

min f (x) = (x2 2x, 2x),

ợ r ở

g(x) = x 0,
h(x) = 0,
x Q = [0, 1].
õ P ỗ t x0 = 0 ợ ộ =

(1 , 2 ) t(R2+ ) t t t s

2, > 2,

1
1
=
1,
1 2.
P ổ ỗ t t x0 = 0
ợ = (2, 2) ợ ộ > 0 tỗ t x B(x0 , ) S s

f (x) f (x0 ) x x0 ữ ổ ú ử t
1
ữủ x = .
2

sỷ P ỗ t t x0 tr S

sỷ x0 P t õ x0 ụ ởt tỹ ỳ
t
ự sỷ x0 ởt tỹ ỳ t ừ P
õ tỗ t x S s f (x) f (x0 ) x x0 P
ỗ r t ừ t x0 tứ
t x x0 ởt ừ àj = 0 ợ

j
/ J(x0 ) sỷ ử q s r x0 ổ t P t
õ t ợ tt ỵ ữủ ự
ự tữỡ tỹ t õ t ự ữủ ỵ s