Chương 1 phân tích cấu tạo hình học của hệ thanh phẳng (1)

Cơ học kết cấu 1

Chương 1

CHƯƠNG 1 PHÂN TÍCH CẤU TẠO HÌNH HỌC CỦA HỆ PHẲNG
1.1. CÁC KHÁI NIỆM
1.1.1. Hệ bất biến hình (BBH)
Là hệ không thay đổi hình dạng hình học ban đầu khi chịu tác dụng của tải trọng
nếu xem các cấu kiện của hệ là tuyệt đối cứng.
Ví dụ: Phân tích hệ như hình vẽ (H.1.1a)
Nếu quan niệm AB, AC, BC, trái đất là tuyệt đối cứng (chiều
dài của chúng không đổi ) thì tam giác ABC là duy nhất, nên hệ
đã cho là hệ BBH.
- Một hệ phẳng bất kỳ BBH một cách rõ rệt gọi chung là
H.1.1a
miếng cứng.
Ký hiệu miếng cứng: (H.1.1b)

Miếng cứng
Hệ BBH

H.1.1b

Nhận xét: Khái niệm về miếng cứng chỉ mang tính
chất tương đối.
Xét ví dụ như H.1.1c, ta sẽ có 3 miếng cứng ABC,
H.1.1c
AD, CD. Ba miếng cứng này tạo thành 1 hệ BBH, xem
là 1 miếng cứng ABCD.
- Ý nghĩa miếng cứng: Giúp khảo sát tính chất hình học của hệ phẳng dễ dàng hơn
(vì chỉ quan tâm đến tính chất cứng, không quan tâm đến cấu tạo chi tiết).

* Chú ý: Do hệ BBH có khả năng chịu lực tác dụng nên nó được sử dụng làm các
kết cấu xây dựng và thực tế chủ yếu chỉ sử dụng loại hệ này.
1.1.2. Hệ biến hình (BH)
Là hệ có sự thay đổi hình dạng hình học ban đầu một lượng hữu hạn khi chịu tác
dụng của tải trọng dù ta xem các cấu kiện của hệ là tuyệt đối cứng.
Ví dụ: Hệ ABCD cho trên hình (H.1.2a) có thể đổ
thành hệ AB'C'D, dù ta xem các thanh AB, BC, CD là tuyệt
đối cứng, nên hệ đã cho là hệ BH.
* Chú ý: Do Hệ BH không chịu được tải trọng nên
trong các công trình xây dựng không được sử dụng. Trong
thực tế, hệ BH cho phép sử dụng khi tải trọng tác dụng làm
H.1.2a
cho hệ nằm trong trạng thái cân bằng (H.1.2b).
1.1.3. Hệ biến hình tức thời (BHTT)
Là hệ có sự thay đổi hình dạng hình học một lượng vô
cùng bé khi chịu tác dụng của tải trọng dù xem các cấu kiện
H.1.2b
của hệ là tuyệt đối cứng. Sau khi thay đổi hình dạng hình
học một lượng vô cùng bé hệ lại trở nên BBH.

10


Cơ học kết cấu 1

Chương 1

Ví dụ: Hệ ABC có cấu tạo như trên hình (H.1.3), dưới
tác dụng của tải trọng khớp C có thể đi xuống một đoạn vô
cùng bé CC' = , nên hệ đã cho là hệ BHTT. Lúc này C'

không thể dời chuyển được nữa nên hệ ABC' trở thành hệ
BBH.



H.1.3

* Chú ý: Các kết cấu xây dựng không sử dụng hệ BHTT vì nội lực trong hệ này rất
lớn.
1.1.4. Bậc tự do
Bậc tự do là số các thông số độc lập đủ để xác định vị trí của một hệ so với một hệ
cố định khác.
Trong hệ phẳng, một chất điểm có
bậc tự do bằng 2 (H.1.4a); một miếng
cứng có bậc tự do bằng 3 (H.1.4b); như
vậy một hệ có D miếng cứng sẽ có 3D
bậc tự do.
H.1.4a

H.1.4b

Nhận xét: Nếu muốn một điểm hay một miếng cứng nào đó bất động (so với một
hệ khác) thì ta phải khử hết các bậc tự do của nó bằng cách dùng các liên kết, nối điểm
hay miếng cứng đó với hệ cố định kia.
Sau đây ta sẽ nghiên cứu các loại liên kết thường dùng và cách dùng các liên kết đó
để nối các miếng cứng thành hệ bất biến hình.
1.2. CÁC LOẠI LIÊN KẾT
Liên kết được chia thành 2 loại: Liên kết đơn giản và liên kết phức tạp
1.2.1. Liên kết đơn giản: Dùng để nối hai miếng cứng với nhau.
1. Liên kết loại 1: (liên kết thanh)

a. Cấu tạo: Gồm một thanh thẳng có hai đầu khớp lý tưởng nối với 2 miếng cứng
(H.1.5a).

H.1.5a

H.1.5b

b. Tính chất
+ Về mặt động học: xét 1 miếng cứng là cố định, liên kết thanh ngăn cản không cho
miếng cứng còn lại di chuyển theo phương dọc trục thanh, tức là khử được một bậc tự
do.
+ Về mặt tĩnh học: tại liên kết xuất hiện một phản lực theo phương dọc trục thanh.
Phản lực xuất hiện theo phương ngăn cản chuyển vị (H.1.5b).
• Trường hợp đặc biệt
+ Một miếng cứng có hai đầu khớp nối vào 2 miếng cứng và không chịu tải trọng
thì có thể xem như một liên kết thanh, có trục thanh là đường nối hai khớp (H.1.5c).

11


Cơ học kết cấu 1

Chương 1

H.1.5c

+ Khi liên kết thanh nối miếng cứng với trái đất thì gọi là gối tựa di động. (H.1.5d)

H.1.5d

2. Liên kết loại 2: (liên kết khớp)
a. Cấu tạo: Gồm hai miếng cứng nối với nhau bằng một khớp lý tưởng (H.1.6a).

H.1.6b

H.1.6a

b. Tính chất
+ Về mặt động học: xét 1 miếng cứng là cố định, liên kết khớp ngăn cản không cho
miếng cứng còn lại chuyển động tịnh tiến (nhưng có thể xoay), tức là khử được hai bậc
tự do.
+ Về mặt tĩnh học: tại liên kết có thể phát sinh một phản lực có phương bất kỳ và
điểm đặt tại khớp. Phản lực này thường được phân tích thành hai thành phần theo hai
phương xác định (H.1.6b).
Tóm lại: Phản lực trong liên kết khớp có 2 cách quan niệm:
+ Một lực có phương bất kỳ có điểm đặt tại liên kết khớp.
+ Hai thành phần lực có phương xác định thường là ( V , H ).
• Trường hợp đặc biệt
+ Hai liên kết thanh cùng nối hai miếng cứng với nhau có thể xem là một liên kết
khớp (khớp giả tạo), nằm tại giao điểm đường nối hai trục thanh (H.1.6c).
+ Khi liên kết khớp nối miếng cứng với trái đất thì ta gọi là gối cố định (H.1.6d)

H.1.6c

H.1.6d

Khớp giả tạo

3. Liên kết loại 3: (liên kết hàn)
a. Cấu tạo: Gồm hai miếng cứng nối với nhau bằng một mối hàn (H.1.7a).

b. Tính chất
+ Về mặt động học: xét 1 miếng cứng là cố định, liên kết hàn ngăn cản không cho
miếng cứng còn lại có chuyển động tịnh tiến và xoay, tức là khử được 3 bậc tự do.
12


Cơ học kết cấu 1

Chương 1

H.1.7a

H.1.7b

H.1.7c

+ Về mặt tĩnh học: liên kết có thể làm phát sinh một phản lực có phương và điểm
đặt bất kì. Thường đưa phản lực này về tại vị trí liên kết và phân tích thành ba thành
phần (M,V , H ) (H.1.7b).
• Trường hợp đặc biệt
- Liên kết hàn tương đương với ba liên kết thanh hoặc một liên kết thanh và một
liên kết khớp được sắp xếp một cách hợp lý.
- Liên kết hàn nối miếng cứng với trái đất gọi là ngàm. (H.1.7c).
1.2.2. Liên kết phức tạp
Liên kết phức tạp là liên kết nối từ ba miếng cứng trở lên.
Trong thực tế ta có thể gặp liên kết khớp phức tạp (H.1.8a) và hàn phức tạp (H.1.8b).

H.1.8a

H.1.8b

Để tiện cho việc nghiên cứu, người ta thường qui đổi các liên kết phức tạp thành
các liên kết đơn giản cùng loại tương đương bằng khái niệm độ phức tạp của liên kết.
Độ phức tạp của liên kết : Số liên kết đơn giản cùng loại, tương đương với liên
kết phức tạp đã cho. Ký hiệu p.
p=D-1
Công thức xác định độ phức tạp:
(1 - 1)
D: số miếng cứng quy tụ vào liên kết.
Ví dụ: Xác định độ phức tạp tại các vị trí liên kết
trên hình (H.1.8c).
(4), (6): p = 2 - 1 = 1. 1 LKH đơn giản
(1), (3), (5): p = 3 - 1 = 2. LKH phức tạp có
độ phức tạp là 2 ( tương đương 2 LKH đơn giản).
H.1.8c
(2): p = 4 - 1 = 3. LKH phức tạp có độ phức
tạp là 3 ( tương đương 3 LKH đơn giản).

13


Cơ học kết cấu 1

Chương 1

1.3. CÁCH NỐI CÁC MIẾNG CỨNG THÀNH HỆ BẤT BIẾN HÌNH
1.3.1. Nối một điểm (mắt) vào một miếng cứng
1. Điều kiện cần: một điểm trong hệ phẳng có hai bậc tự do, để khử hai bậc tự do
đó, cần dùng ít nhất hai liên kết thanh (H.1.9a).
2. Điều kiện đủ: hai liên kết thanh không được thẳng hàng (H1.9b).

Bộ đôi

H.1.9a

Hệ BHTT

H.1.9b

Kết luận: để nối một điểm (mắt) vào một miếng cứng thành một hệ bất biến hình là
phải dùng hai thanh không thẳng hàng. Gọi hệ hai thanh này là bộ đôi.
Tính chất của bộ đôi: khi thêm hay bớt lần lượt các bộ đôi thì tính chất động học
của hệ ( hệ là BH, BBH hoặc BHTT) không thay đổi. Tính chất này được sử dụng để
phân tích cấu tạo hình học của hệ, và phân tích theo hai hướng sau:
+ Phương pháp thu hẹp miếng cứng: từ hệ ban đầu, lần lượt loại bỏ dần các bộ đôi
để đưa về hệ đơn giản cuối cùng. Nếu hệ thu được là BBH hay BH thì hệ ban đầu cũng
BBH hay BH. Ví dụ hệ trên hình (H.1.9c).
Loại bỏ bộ đôi

H.1.9c
Hệ BBH

Hệ BBH

+ Phương pháp phát triển miếng cứng: từ miếng cứng ban đầu, thêm lần lượt các
bộ đôi thì cuối cùng thu được miếng cứng. Ví dụ hệ trên hình (H.1.9d)
Thêm các bộ đôi

H.1.9d

Hệ BBH

Hệ BBH

1.3.2. Cách nối hai miếng cứng
1. Điều kiện cần
Xem một miếng cứng là cố định. Để nối miếng cứng còn lại vào miếng cứng cố
định cần khử ba bậc tự do của nó, nghĩa là cần sử dụng tổ hợp các liên kết:
+ Ba liên kết thanh (H.1.10a).
+ Một liên kết thanh cộng một liên kết khớp (H.1.10b).
+ Một liên kết hàn (H.1.10c).
(A)

(B)

(A)
(A)

H.1.10a

(B)

(B)
H.1.10b

2. Điều kiện đủ

14

H.1.10c

Cơ học kết cấu 1

Chương 1

+ Nếu sử dụng một liên kết thanh cộng một liên kết khớp: yêu cầu khớp không
được nằm trên đường trục thanh (H.1.10g).

Hệ BBH

H.1.10g

Hệ BHTT

+ Nếu sử dụng ba liên kết thanh: yêu cầu ba thanh không được đồng quy hoặc
song song (H.1.10d, H.1.10e & H.1.10f).
+ Nếu sử dụng liên kết hàn: thì đó cũng là điều kiện đủ.

H.1.10d

Hệ BBH

Hệ BHTT

Hệ BHTT

Hệ BH

H.1.10e

H.1.10f

1.3.3. Cách nối ba miếng cứng
a. Điều kiện cần: xem một miếng cứng là cố định. Để nối hai miếng cứng còn lại
vào miếng cứng cố định cần phải khử sáu bậc tự do, nghĩa là cần phải sử dụng tổ hợp
các liên kết:
+ Sáu liên kết thanh (H.1.11a,b).
+ Ba liên kết khớp (H.1.11c)
+ Bốn liên kết thanh cộng một liên kết khớp (H.1.11d).
+ Hai liên kết hàn (H.1.11e).
+ Một liên kết hàn cộng một liên kết thanh cộng một liên kết khớp (H.1.11f)…

H.1.11a

H.1.11d

H.1.11b

H.1.11e
15

H.1.11c

H.1.11f


Cơ học kết cấu 1

Chương 1

b. Điều kiện đủ
+ Nếu các miếng cứng nối lần lượt với nhau: trở về lại bài
(A)
(B)
toán nối hai miếng cứng. Ví dụ (H.1.11a,e,f).
+ Nếu các miếng cứng nối đồng thời với nhau (nếu loại bỏ
một miếng cứng bất kỳ, hệ còn lại bị biến hình): lúc này hệ cần H.1.11g
sử dụng ba liên kết khớp (thực hoặc giả tạo) tương hỗ
(C)
(H.1.11b,c,d). Và yêu cầu các liên kết khớp không cùng nằm
trên một đường thẳng (H.1.11g).
Hệ BHTT
1.3.4. Cách nối nhiều miếng cứng: ( Số miếng cứng là D)
1. Trường hợp hệ bất kỳ không nối đất
Xét một hệ không nối đất gồm D miếng cứng. Các liên kết giữa các miếng cứng là:
T liên kết thanh, K liên kết khớp đã quy về khớp đơn giản và H liên kết hàn đã quy về
hàn đơn giản.
Về khả năng: T, K, H khử được T + 2.K + 3.H bậc tự do.
Về yêu cầu: Xem một miếng cứng là cố định. Nối (D - 1) miếng cứng còn lại vào
miếng cứng cố định, nghĩa là cần phải khử 3.(D-1) bậc tự do.
Như vậy, điều kiện cần để hệ BBH là: T + 2.K + 3.H  3.(D -1)
Gọi n: hiệu số giữa bậc tự do có thể khử được (khả năng) với số bậc tự do cần khử
(yêu cầu):
n = T + 2.K + 3.H - 3.(D -1)  0 (1 - 2)
 Các trường hợp của n:
- n = 0: khả năng đáp ứng đúng yêu cầu, hệ đã cho có khả năng là hệ BBH, và nếu
là hệ BBH thì hệ là hệ tĩnh định.
- n > 0: khả năng lớn hơn yêu cầu, hệ đã cho có khả năng là hệ BBH, và nếu là hệ
BBH thì hệ là hệ siêu tĩnh.
- n < 0: khả năng thấp hơn yêu cầu, thì hệ đã cho là hệ BH.

2. Trường hợp hệ bất kỳ có nối đất
Xét một hệ nối đất gồm D miếng cứng. Các liên kết giữa các miếng cứng là:
T liên kết thanh, K liên kết khớp đã quy về khớp đơn giản và H liên kết hàn đã quy về
hàn đơn giản. Liên kết giữa hệ và trái đất gồm C liên kết đã quy về liên kết loại một.
* Các loại liên kết nối đất:
Tên gối tựa

Sơ đồ biểu diễn

Số liên kết thanh
tương đương (C)

Gối di động

1

Gối cố định

2

Ngàm cứng

3

Ngàm trượt

2

16

Cơ học kết cấu 1

Chương 1

Về khả năng: T, K, H, C khử được T + 2.K + 3.H + C bậc tự do.
Về yêu cầu: Xem trái đất là cố định. Nối D miếng cứng còn lại vào trái đất, nghĩa
là phải khử 3.D bậc tự do.
Vậy điều kiện cần để hệ BBH là: T + 2.K + 3.H + C  3.D


n = T + 2.K + 3.H + C - 3.D  0

(1-3)

- Các trường hợp của n: tương tự như cho công thức (1-2)
3. Trường hợp đặc biệt: Hệ dàn
Hệ dàn là hệ gồm những thanh thẳng liên kết với nhau chỉ bằng các khớp ở hai đầu
mỗi thanh. (H.1.12a).
Giao điểm các thanh gọi là mắt.
Đối với hệ dàn cũng cho phép áp dụng công thức (1 - 2) hoặc (1 - 3) để khảo sát
điều kiện cần. Tuy nhiên, trong hệ dàn, các liên kết khớp thường là khớp phức tạp cần
quy đổi về khớp đơn giản. Cách làm như vậy thường dễ nhầm lẫn.
Dưới đây sẽ trình bày một cách khác thuận lợi hơn mà không phải quan tâm đến độ
phức tạp của các liên kết khớp.
Thanh dàn
Mắt dàn
Hệ dàn

H.1.12a

Không phải hệ dàn

a. Trường hợp hệ dàn không nối đất
Xét hệ dàn không nối đất gồm D thanh dàn và M mắt.
Về khả năng: Xem một thanh dàn là miếng cứng cố định, (D -1) thanh còn lại có
khả năng khử (D - 1) bậc tự do.
Về yêu cầu: Nối (M - 2) mắt còn lại vào miếng cứng cố định, nghĩa là cần phải khử
2.(M-2).
Vậy điều kiện cần để hệ BBH là: (D - 1)  2.(M - 2)
n = (D - 1) - 2.(M - 2) = D - 2.M + 3  0

(1 - 4)

b. Trường hợp hệ dàn nối đất
Xét hệ dàn gồm D thanh dàn và M mắt. Ngoài ra hệ dàn còn nối đất bằng số liên
kết tương đương C liên kết loại một.
Về khả năng: Xem các thanh dàn là các liên kết thanh. Như vậy, D thanh dàn có
khả năng khử được D bậc tự do. Ngoài ra các liên kết nối đất khử được C bậc tự do.
Về yêu cầu: Nối M mắt vào miếng cứng cố định. Nghĩa là cần khử 2.M bậc tự do.
Vậy điều kiện cần để hệ BBH là: D + C  2.M
n = D - 2M + C  0

(1 - 5)

- Các trường hợp của n tương tự như cho công thức (1-2)
4. Điều kiện đủ

17

Cơ học kết cấu 1

Chương 1

Khi phân tích hệ nhiều miếng cứng, tìm cách đưa hệ về còn lại 2 miếng cứng hoặc
3 miếng cứng để xét. Cách làm như sau:
- Vận dụng tính chất bộ đôi để thu hẹp các miếng cứng (các thanh tạo thành các tam
giác liên tiếp nhau  tạo thành 1 miếng cứng).
- Xem một số miếng cứng không chịu lực có 2 đầu là liên kết khớp thành liên kết
thanh.
Nếu kết quả thu được:
- Một miếng cứng: hệ đã cho là BBH.
- Hai hoặc ba miếng cứng: sử dụng điều kiện đủ của bài toán nối hai, ba miếng cứng
đã biết để phân tích tiếp.

18