Một số định lý điểm bất động của ánh xạ không giãn suy rộng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
----------------



---------------

ĐỖ TRUNG HIẾU

MỘT SỐ ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG
CỦA ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN SUY RỘNG
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số
:8460112

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. Trần Xuân Quý
TS. Nguyễn Thị Ngọc Oanh

THÁI NGUYÊN - 2020


Möc löc
B£ng kþ hi»u
Mð ƒu

1
2

Ch÷ìng 1. Mºt sŁ k‚t qu£ °c tr÷ng trong khæng gian Banach B i to¡n t…m i”m b§t ºng
1.1 Mºt sŁ k‚t qu£ °c tr÷ng trong khæng gian Banach . . . . . . . .
1.1.1 Khæng gian Banach lçi •u . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Khæng gian Banach lçi ch°t . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Modul lçi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 i”m b§t ºng cıa ¡nh x⁄ khæng gi¢n . . . . . . . . . . . . . . .
Ch÷ìng 2. Mºt sŁ ành lþ i”m b§t ºng cıa ¡nh x⁄ khæng gi¢n

4
4
4
8
10
10

suy rºng
2.1 V• d¢y x§p x¿ i”m b§t ºng cho ¡nh x⁄ khæng gi¢n . . . . . . .
2.2 Mºt sŁ k‚t qu£ v• i”m b§t ºng cho ¡nh x⁄ khæng gi¢n suy rºng
K‚t lu“n

14
14
26
40

T i li»u tham kh£o

41

iii


BÊng kỵ hiằu
khổng gian Banach
tp cĂc s thỹc
tp cĂc s thỹc khổng Ơm
tp cĂc s tỹ nhiản
vợi mồi x
toĂn tò ngữổc ca toĂn tò A
toĂn tò ỗng nhĐt
tp cĂc h m liản tửc trản on [a; b]
khoÊng cĂch t phn tò x n tp hổp C

X
R
R+

N
8x
1
A
I
C[a; b]
d(x; C)
lim sup

n!1

x

n

lim infn!1 xn
xn ! x0
xn * x0
Fix(T )
Lp
p
l

giợi hn trản ca dÂy s fxng
giợi hn dữợi ca dÂy s fxng
dÂy fxng hi tử mnh v x0
dÂy fxng hi tử yu v x0
tp im bĐt ng ca Ănh x T
tp hổp cĂc h m khÊ tch cĐp p
tp hổp cĂc dÂy khÊ tng cĐp p

1


M

u

B i toĂn tm im bĐt ng ca Ănh x  v ang l mt ch thu hút sỹ quan tƠm
ca nhiu nh toĂn hồc trong v ngo i nữợc. Mt trong nhng hữợng nghiản cứu
v b i toĂn im bĐt ng l xƠy dỹng phữỡng phĂp tm (xĐp x) im bĐt ng ca
Ănh x trong khổng gian Hilbert hoc khổng gian Banach. Nhiu b i toĂn liản

quan tợi phữỡng phĂp xĐp x n y  ữổc t ra v giÊi quyt cho tng lợp Ănh x
chflng hn nhữ Ănh x co, Ănh x khổng giÂn,. . . Vợi lun vôn tt nghiằp thc sắ,
em lỹa chồn mt phn trong b i toĂn xĐp x nghiằm cho cĂc Ănh x khổng gi
Ân trong khổng gian Banach. Dữợi sỹ hữợng dÔn ca TS. Trn XuƠn Quỵ v
TS. Nguyn Th Ngồc Oanh, em chồn t i lun vôn: Mt s nh lỵ im bĐt ng
ca Ănh x khổng giÂn suy rng .
Ni dung lun vôn ữổc trnh b y trong hai chữỡng, cử th nhữ sau: Chữỡng
1: Trnh b y v mt s kt quÊ c trững trong khổng gian Banach
- B i toĂn tm im bĐt ng.
Chữỡng 2: Trnh b y v nh lỵ im bĐt ng ca Ănh x khổng giÂn suy rng.
Trong quĂ trnh hồc tp v nghiản cứu ti Trữớng i hồc Khoa hồc, i hồc ThĂi
Nguyản, em luổn nhn ữổc sỹ quan tƠm giúp ù v ng viản ca cĂc thy cổ
trong Ban GiĂm hiằu, phặng o to, Khoa ToĂn Tin. Vợi bÊn lun vôn n y, em
mong mun ữổc gõp mt phn nhọ cổng sức ca mnh v o viằc gn gi v
phĂt huy vã àp, sỹ hĐp dÔn cho nhng nh lỵ toĂn hồc vn dắ Â rĐt àp. Ơy
cụng l mt cỡ hi cho em gòi lới tri Ơn tợi tp th cĂc thy cổ giÊng viản ca
trữớng i hồc Khoa hồc i hồc ThĂi Nguyản nõi chung v Khoa ToĂn Tin nõi
riảng, Â truyn thử cho em nhiu kin thức khoa hồc quỵ bĂu trong thới gian em
ữổc l hồc viản ca trữớng. TĂc giÊ xin chƠn th nh cÊm ỡn Ban GiĂm hiằu trữớng
THPT Dữỡng QuÊng H m, Hững Yản cũng to n th cĂc anh ch em ỗng
nghiằp  to iu kiằn tt nhĐt cho tĂc giÊ trong thới gian i hồc Cao hồc; cÊm ỡn
cĂc anh ch em hồc viản lợp Cao hồc ToĂn K12 v bn b
2


3

ỗng nghiằp  trao i, ng viản v khch lằ tĂc giÊ trong quĂ trnh hồc tp
v l m lun vôn ti trữớng i hồc Khoa hồc, i hồc ThĂi Nguyản. c biằt em xin
ữổc b y tọ lặng bit ỡn sƠu sc tợi giĂo viản hữợng dÔn, TS. Trn XuƠn Quỵ v

TS. Nguyn Th Ngồc Oanh  luổn quan tƠm Ơn cn ch bÊo, ng viản kh
ch lằ, giúp ù tn tnh v gõp ỵ sƠu sc cho em trong sut quĂ trnh hồc tp
cụng nhữ thỹc hiằn t i. Chng ữớng va qua s l nhng k niằm Ăng nhợ
v y ỵ nghắa i vợi cĂc anh ch em hồc viản lợp K12 nõi chung v vợi bÊn
thƠn em nõi riảng. DĐu Đn Đy hin nhiản khổng th thiu sỹ hỉ trổ, sã chia y
yảu thữỡng ca cha mà hai bản v cĂc anh ch em con chĂu trong gia nh. Xin
chƠn th nh cÊm ỡn tĐt cÊ nhng ngữới thƠn yảu  giúp ù, ỗng h nh cũng em
trản chng ữớng va qua.
Cui cũng tổi xin cÊm ỡn tợi gia nh, bn b, ỗng nghiằp  trao i, ng
viản v khch lằ tổi trong quĂ trnh hồc tp v l m lun vôn ti trữớng i hồc
Khoa hồc, i hồc ThĂi Nguyản.
ThĂi Nguyản, ng y 22 thĂng 06 nôm 2020
TĂc giÊ lun vôn

ỉ Trung Hiu


Ch֓ng 1
Mºt sŁ k‚t qu£ °c tr÷ng trong khæng gian
Banach - B i to¡n t…m i”m b§t ºng

Ch÷ìng n y tr…nh b y mºt sŁ t‰nh ch§t h…nh håc khæng gian Banach v
b i to¡n i”m b§t ºng trong khæng gian Banach. Ki‚n thøc cıa ch÷ìng ÷æc
tŒng hæp tł c¡c t i li»u [1], [2] v [5].

1.1

Mºt sŁ k‚t qu£ °c tr÷ng trong khæng gian Banach

1.1.1

Khæng gian Banach lçi

•u

X†t X l khæng gian Banach v x 0 2 X cho tr÷îc, x†t Sr(x0) m°t cƒu t¥m x0
b¡n k‰nh r > 0, ngh¾a l ,

Sr(x0) := fx 2 X : jjx
ành ngh¾a 1.1.1. Khæng gian Banach X
b§t ký, tçn t⁄i = ( ) > 0 sao cho n‚u x; y 2
jjx

yjj > , th…

1

2(x + y)

61 :

x0jj = rg:
÷æc gåi l lçi •u n‚u
X vîi jjxjj = 1; jjyjj

th§y:

Tł ành ngh¾a ta

lçi •u n‚u b§t ký

khæng gian Banach X l
tçn t⁄i = ( ) > 0 sao cho n‚u x; y 2 X vîi jjxjj 6 1; jjyjj 6 1 v jjx
th…

1

2(x + y)

61 .

4

2 (0; 2]
=1v

2

(0 2]
;

yjj > ,


5

Kt quÊ dữợi

Ơy l mt v dử v khổng gian lỗi u.

nh lỵ 1.1.2. Khổng gian Lp vợi 1 < p < 1 l khổng gian Banach lỗi u.

nh lỵ 1.1.3. GiÊ sò X l
khổng gian Banach lỗi u. Khi õ vợi bĐt ký
d > 0; > 0 v cĂc vecto tũy ỵ x; y 2 X vợi jjxjj 6 d; jjyjj 6 d; jjx yjj > ,
1
tỗn ti > 0 sao cho
2(x + y) 6
dd:
1

2
x; y

Chứng minh. Vợi bĐt ký

X, xt z

=

d

y

;z

, v tp

. Hin nhiản

1

> 0; hỡn na jjz1jj 6 1; jjz2jj
lỗi u ca X , tỗn ti

x

6 1 v jjz1 z2jj =

d jjx yjj > d = : T tnh

> 0;

2(z1 + z2) 6 1 ( );
1

nghắa l

;
(x + y) 6 1d

21d

suy ra

1
2(x

+ y) 6

1

dd:

Ta cõ iu phÊi chứng
minh

Mằnh 1.1.4. Cho X l khổng gian Banach lỗi

u v giÊ sò 2 (0; 1), > 0.
Khi õ vợi bĐt ký d > 0, nu x; y 2 X thọa mÂn jjxjj 6 d; jjyjj 6 d; jjx yjj > ,
th tỗn ti =

d

> 0 sao cho

jj x + (1

)yjj 6

1 2 d minf ; 1

g d:

Mi liản hằ gi tnh lỗi u v tnh phÊn x ca khổng gian Banach X ữổc
cho bi nh lỵ dữợi Ơy.


6

nh lỵ 1.1.5. Nu X l khổng gian Banach lỗi u th X l khổng gian phÊn x.

Chứng minh. GiÊ sò X l khổng gian Banach lỗi u, ta cn chứng minh X l
khổng gian Banach phÊn x. GiÊ sò S X := fj 2 X : kjk = 1g l hnh cu ỡn v
trong X v f 2 SX .
GiÊ sò fxng l mt dÂy trong SX sao cho hxn; fi ! 1. Ta s ch ra fxng l mt
dÂy Cauchy.
GiÊ sò fxng khổng l dÂy Cauchy, khi õ tỗn ti > 0 v dÂy con fx ni g ca fxng
sao cho

kxni xnj k > ; 8i 6= j:
Theo giÊ thit, X l khổng gian lỗi u, nản 9 ( ) > 0 sao cho
x ni + xnj
<1 :
2

Khi õ, ta cõ
x

ni

j

2

n

x

; f6 kfk

ni

+x

2

nj

+x

< kfk(1

)=1

;

iu n y mƠu thuÔn vợi f(xn) ! 1. V vy, fxng l dÂy Cauchy v tỗn ti x 2 X sao
cho xn ! x. Rê r ng x 2 SX v t tnh liản tửc ca chu'n ta cõ kxk = limn!1 kxnk =
1

1. Do õ, t hxn; fi ! 1, cho n ! 1, ta nhn ữổc hx; fi = 1. Theo nh lỵ James , suy
ra X l khổng gian phÊn x.
nh nghắa 1.1.6. Khổng gian Banach X ữổc gồi l
lỗi u theo hữợng ti
z 2 X khĂc khổng, nu mồi " vợi 0 < " 2
+y
n
(")
=
inf
1

k
z
2 k :kxk 1; kyk 1; kx yk ";
x

x

y = z;

o

> 0 > 0:

Ta nõi rng X lỗi u theo mồi hữợng (UCED), nu z(") > 0 vợi mồi z 2 Xnf0g.
Chú ỵ 1.1.7. Mồi khổng gian Banach lỗi u th lỗi u theo mồi hữợng. iu
ngữổc li chữa hfln úng [13].
1

Khổng gian Banach E l phÊn x khi v ch khi vợi mỉi j 2 S X , tỗn ti x 2 SX sao cho hx; ji = 1:


7

nh nghắa 1.1.8. Khổng gian Banach X ữổc xem l cõ tnh chĐt KadecKlee (KK), nu fxng l mt dÂy bĐt ký thuc X thọa mÂn kx nk ! kxk v fxng hi tử
yu tợi x 2 X, th fxng hi tử tợi x.
V dử 1.1.9. Mồi khổng gian Hilbert H u cõ tnh chĐt Kadec-Klee.
Tht vy, giÊ sò fxng l mt dÂy bĐt ký trong H thọa mÂn xn * x v kxnk ! kxk.
Khi õ, ta cõ

xk2 = hxn = x; xn xi

2hxn; xi + kxk2
kxnk2 !

kxn

2kxk2 + kxk2 = 0:

kxk2

Do õ xn ! x.

nh lỵ 1.1.10. Mồi khổng gian Banach lỗi u cõ tnh chĐt Kadec-Klee.
Chứng minh. GiÊ sò X l

mt khổng gian Banach lỗi u v fxng l mt dÂy
bĐt ký trong X thọa mÂn xn * x v
kxnk ! kxk.
9
xn

Nu x = 0, th hin nhiản x

kxnk

9 x
kxk . Do õ, tỗn ti > 0 v

n

!

0. GiÊ sò x = 0 v x n

x. Khi õ, ta cõ

6
dÂy con fxnk g ca fxng sao cho

x

x >;

nk

x

k n k
kx k
1. V X l khổng gian lỗi u nản tỗn ti >
k

vợi mồi k

1

T x

n *xv

kx

x

n

x

2

k

nk

ta cõ

k !k k

k
xn

x
k k

kxnk

1= x
k!1
2
x
1

lim inf
k

suy ra mƠu thuÔn.

Vy x

k

!

x hay X cõ tnh chĐt Kadec-Klee.

n

61 :

+ x

nk

x

0 sao cho

x
kxk

*
x

nk

x

nk

k

k

. Suy ra
x 6
x
+
1
kk

;


8

1.1.2

Khổng gian Banach lỗi cht

nh nghắa 1.1.11. Khổng gian Banach X ữổc gồi l lỗi cht nu vợi mồi x; y
2 X, x 6= y; jjxjj = jjyjj = 1, ta cõ jj x + (1 )yjj < 1 8 2 (0; 1):
Nhn xt 1.1.12. nh nghắa 1.1.11 tữỡng ữỡng vợi phĂt biu sau: Khổng gian

Banach X ữổc gồi l lỗi cht nu vợi mồi x; y 2 X thọa mÂn x 6= y, jjxjj = jjyjj =
1, ta u cõ jj(x + y)=2jj < 1:
nh lỵ 1.1.13. Mồi khổng gian Banach lỗi u l khổng gian lỗi cht.
nh lỵ 1.1.13 ch ra mt lợp khổng gian lỗi cht. Tuy nhiản, khổng phÊi
mồi khổng gian Banach u lỗi cht. Dữợi Ơy l mt v i v dử v khổng gian
Banach l lỗi cht những khổng lỗi u.
V dử 1.1.14. Cho trữợc

> 0 v xt C[0; 1] vợi chu'n jj:jj xĂc nh nhữ sau,
1

Z1

jjxjj := jjxjj0 +

2

0

x (t)dt

2

vợi jjxjj0 = supt2[0;1] jx(t)j vợi mồi x 2 C[0; 1]. Khi õ (C[0; 1]; jj:jj ) l khổng gian
lỗi cht những khổng lỗi u.
V dử 1.1.15. Xt 0 v c0 = c0(N) vợi chu'n jj:jj xĂc nh vợi x = fxng 2 c0 nhữ sau
1
2 1
jjxjj := jjxjjc +
2

x
0

i=1

X

ii

trong õ jj:jjc0 l chu'n thổng thữớng. Nhữ trong v dử trản, (c 0; jj:jj ) vợi > 0 lỗi
cht những khổng lỗi u.
V dử 1.1.16. Khổng gian l1 khổng lỗi cht. Tht vy, chồn x = (1; 0; 0; 0; :::);

y = (0; 1; 0; 0; 0; :::) . Khi õ x; y 2 l1, x 6= y v jjxjjl1 = 1 = jjyjjl1 . Tuy nhiản k(x
+ y)=2k = 1. Suy l1 khổng lỗi cht.
V dử 1.1.17. Khổng gian l1 khổng lỗi cht.
Tht vy, xt x = (1; 1; 0; 0; 0; :::) v y = ( 1; 1; 0; 0; 0; :::). Khi õ x; y 2 l 1, x
6= y v jjxjj1 = 1 = jjyjj1. Tuy nhiản k(x + y)=2k = 1. Do õ l1 khổng lỗi cht.


9

V dử 1.1.18. Xt tp hổp C[a; b] l khổng gian cĂc h m thỹc liản tửc trản [a;
b] vợi chu'n sup. Ta cõ C[a; b] khổng lỗi cht. Tht vy, chứng minh iu õ, ta
chồn h m f; g xĂc nh nhữ sau:

f(t) := 1 vợi mồi t 2 [a; b]; g(t) :=

b

t

b

a vợi mỉi t 2 [a; b]:

LĐy = 1=2. Ta cõ f; g 2 C[a; b]; jjfjj = jjgjj = 1 v f 6= g v k(f + g)=2k = 1 nhữ vy
C[a; b] khổng lỗi cht.
nh lỵ 1.1.19. Cho X l mt khổng gian Banach lỗi cht. Khi õ, vợi mỉi f 2 X
n f0g, tỗn ti duy nhĐt phn tò x 2 X sao cho kxk = 1 v hx; fi = kfk.
Chứng minh. GiÊ sò tỗn ti x; y 2 X thọa mÂn kxk = kyk = 1 v x 6= y sao cho

hx; fi = hy; fi = kfk:
Khi
õ, vợi t 2 (0; 1), t tnh lỗi cht ca X, ta cõ

kfk = thx; fi + (1
t)hy; fi = htx + (1
ktx + (1 t)ykkfk < kfk:

t)y; fi

Suy ra mƠu thuÔn. Vy tỗn ti duy nhĐt phn tò x 2 X sao cho kxk = 1 v hx; fi
= kfk.
nh lỵ 1.1.20. Cho X l mt khổng gian Banach lỗi cht. Nu kx + yk = kxk +
kyk vợi 0 6= x 2 X v y 2 X, th tỗn ti t 0 sao cho y = tx.
Chứng minh. GiÊ sò x; y 2 X n f0g thọa mÂn kx + yk = kxk + kyk. Theo hằ
quÊ ca nh lỵ Hanh-Banach, tỗn ti j 2 X sao cho

hx + y; ji = kx + yk; kjk = 1:

V hx; ji kxk v hy; ji kyk, nản ta cõ hx; ji = kxk v hy; ji = kyk. iu n y suy ra

hx=kxk; ji = hy=kyk; ji = 1:
T Mằnh 1.1.19, suy ra x=kxk = y=kyk. Chồn t = kyk=kxk ta ữổc iu phÊi
chứng minh.


10

1.1.3

Modul lỗi

nh nghắa 1.1.21. Xt X l khổng gian nh chu'n vợi dim X
lỗi ca X l h m X : (0; 2] ! [0; 1] xĂc nh nhữ sau
X

1k

( ) := inf

2

2. Modul

yjj :

k : jjxjj = jjyjj = 1; = jjx

x+y

Mằnh 1.1.22. (a) Vợi mồi khổng gian Banach, h m

X

( ) khổng giÊm trản

(0; 2]:
(b) Modul lỗi ca khổng gian Banach l h m liản tửc v

lỗi.

(c) Trong khổng gian lỗi u X, modul lỗi ca khổng gian Banach X , l h m
tông thỹc sỹ.
V dử 1.1.23. Cho H l khổng gian Hilbert, khi õ mổ un lỗi ca H ữổc xĂc
nh bi
s

"

1

H(")=1

nh lỵ dữợi

2

; "2[0;2]:

4

Ơy giợi thiằu mt s tnh chĐt ỡn giÊn ca modul lỗi.

nh lỵ 1.1.24. Khổng gian Banach X lỗi u khi v ch khi X ( ) > 0 vợi mồi
2 (0; 2]:
nh nghắa 1.1.25.

c trững ca tnh lỗi ca khổng gian Banach X l s
0

1.2

im bĐt

= 0(X) = supf > 0 :

X(

) = 0g:

ng ca Ănh x khổng giÂn

nh nghắa 1.2.1. Cho X l khổng gian Banach v C l mt tp con khĂc rỉng
ca X. nh x T : C ! C ữổc gồi l
(1) khổng giÂn nu kT (x)

T (y)k 6 kx

yk vợi mồi x; y 2 C,

11

(2) khổng giÂn tiằm cn nu cõ tỗn ti mt dÂy fkng cĂc s thỹc dữỡng vợi limn !
n

n

inf kn = 1 sao cho kT (n) T (y)k kn kx yk vợi mồi x; y thuc C v n = 1;
2; :::
n

n
(3) khổng giÂn tiằm cn theo tng im nu kT x T yk n(x) kx yk vợi õ
n(x) hi tử im v 1
mỉi s nguyản n 1 v vợi mỉi x; y thuc C
trản C.

Ta nhc li nguyản lỵ Ănh x co Banach trong khổng gian metric.
nh lỵ 1.2.2 (Nguyản lỵ Ănh x co Banach). GiÊ sò (M; p) l khổng gian
metric y v T : M ! M l
Ănh x co, tức l
tỗn ti k 2 [0; 1) sao cho
p(T x; T y) 6 p(x; y) vợi mồi x; y 2 M. Khi õ T cõ duy nhĐt im bĐt ng, nghắa l
tỗn ti duy nhĐt x 2 M thọa mÂn T x = x . Ngo i ra, vợi bĐt ký x0 2 M, dÂy lp
Picard fxng xĂc nh nhữ sau xn+1 = T xn; n 0, hi tử tợi im bĐt ng ca Ănh x T .

T nh nghắa v Ănh x khổng giÂn trản, ta cõ b cỡ bÊn sau v sỹ tỗn ti
ca dÂy xĐp x im bĐt ng i vợi Ănh x khổng giÂn.
B 1.2.3. Cho X l khổng gian Banach v C l mt tp con lỗi, õng, khĂc

rỉng v b chn ca X v
T: C!Cl
Ănh x khổng giÂn. Khi õ ta cõ
inffkx
T xk : x 2 Cg = 0:
Chứng minh. Tht vy, cho trữợc z 2 C v " 2 (0; 1). V C l tp lỗi nản, ta cõ th
nh nghắa Ănh x T" : C ! C xĂc nh nhữ sau
T"x = "z + (1

")T x:

Khi õ, T" l Ănh x co v

kT"x T"yk = (1

")kT x

T yj 6 (1

")kx yk vợi mồi x; y 2 C:

V C l tp con õng ca khổng gian Banach X, nản C l khổng gian metric y
vợi khoÊng cĂch sinh bi chu'n. Theo nguyản lỵ Ănh x co Banach, tỗn ti u 2 C
sao cho T"u = u: V vy

ku

T uk =k"z + (1 ")T u
6 "kz
T uk

6 " diam(C):

T uk


12

V C b chn nản diam(C) < 1, nản khi cho " ! 0, ta cõ iu phÊi chứng minh.

Nhn xt 1.2.4. Theo nh nghắa ca infimum, tỗn ti dÂy fu ng C sao cho limn!1
kun T unk = 0: Ta gồi dÂy fung l dÂy xĐp x im bĐt ng ca Ănh x T: D thĐy Ănh x
khổng giÂn T cõ im bĐt ng khi v ch khi h m (x) = kx T xk t C v o R cõ giĂ cõ
giĂ tr cỹc tiu bng 0: Chflng hn khi
Cl
tp lỗi, compact th Ănh x khổng giÂn T cõ im bĐt ng. Tht vy,
do fung C v C l tp compact nản tỗn ti dÂy con funk g fung sao cho
u
nk
! x 2 C. T limk!1 kunk T unk k = 0 v tnh liản tửc ca T , suy ra
T x = x hay x l mt im bĐt ng ca T .

Tng quĂt hỡn ta cõ nh lỵ dữợi Ơy v sỹ tỗn ti im bĐt ng ca Ănh x
khổng giÂn.
nh lỵ 1.2.5. Xt X l khổng gian Banach phÊn x v K l tp con lỗi õng b
chn ca X vợi cĐu trúc chu'n tc u, nghắa l tỗn ti x 2 K sao cho

supfkx

yk : y 2 Kg < diam(K) = supfku

vk : u; v 2 Kg:

GiÊ sò T : K ! K l Ănh x khổng giÂn. Khi õ T cõ im bĐt ng.
Kỵ hiằu Fix(T ) := fx 2 C : T x = xg l tp im bĐt ng ca Ănh x T . Ta cõ kt
quÊ sau v tnh chĐt ca tp Fix(T ).
nh lỵ 1.2.6. Cho C l tp con khĂc rỉng, lỗi, õng trong khổng gian Banach
lỗi cht X v T : C ! X l Ănh x khổng giÂn. Khi õ Fix(T ) l tp lỗi v õng.
Chứng minh. Trữợc ht, ta ch ra F ix(T ) l tp õng. Tht vy, v T l Ănh x
khổng giÂn nản T liản tửc trản C. GiÊ sò fxng l mt dÂy bĐt ký trong F ix(T )
thọa mÂn xn ! x, khi n ! 1. V fxng F ix(T ), nản

kT xn xnk = 0;
vợi mồi n 1. T tnh liản tửc ca chu'n, cho n ! 1, ta nhn ữổc kT x xk = 0 , tức
l x 2 F ix(T ). Do õ, F ix(T ) l tp õng.
Tip theo, ta ch ra tnh lỗi ca F ix(T ). GiÊ sò x; y 2 F ix(T ), tức l T x = x
v T y = y. Vợi mồi 2 [0; 1], ta ch ra z = x + (1 )y 2 F ix(T ). Tht vy, nu x = y,
th z = x = y 2 F ix(T ). GiÊ sò x 6= y, khi õ ta cõ
kT z xk = kT z T xk 6 kx zk = (1
)kx yk;


13

kT z
Tł

â, ta nh“n

yk = kT z

T yk 6 ky

zk = kx

yk:

־c

kx

yk

kT z

xk + kT z

yk 6 kx

yk:

Suy ra

kx yk = kT z
v

kT z

xk = (1

xk + kT z yk;

)kx yk; kT z yk = kx yk:

(1.1)

°t a = T z x v
b = y T z, th… ta nh“n ÷æc ka + bk = kak + kbk. Tł ành
lþ 1.1.20, tçn t⁄i > 0 sao cho a = b. Suy ra
(1.2)
T z = x + (1 )y;

1
vîi = 1 + .
Tł (1.1) v (1.2), ta nh“n

kx
Suy ra =

־c

T zk = (1

)kx

yk = (1

)kx

yk:

, tøc l T z = z. Do â, z 2 F ix(T ). V“y F ix(T ) l mºt t“p lçi.


Chữỡng 2
Mt s nh lỵ im bĐt ng ca Ănh x khổng
giÂn suy rng
2.1

V dÂy xĐp x im bĐt ng cho Ănh x khổng giÂn

Mửc n y trnh b y v dÂy xĐp x im bĐt ng t cun sĂch kinh in Topics in
Metric: Fixed Point Theory ca K. Goebel, W.A. Kirk [7]. Trong Chữỡng 1, ta Â
ch ra nu T l mt Ănh x khổng giÂn t tp con lỗi, õng, khĂc rỉng v b chn C
ca khổng gian Banach X v o chnh nõ, th luổn tỗn ti dÂy xĐp x im bĐt
ng fung i vợi T . Ngữới ta cõ th coi un l mt xĐp x im bĐt ng ca T khi ku n T
unk nhọ.
GiÊ sò K l mt tp hổp con khĂc rỉng, lỗi, õng ca khổng gian Banach X,
trong trữớng hổp tng quĂt, ta s khổng giÊ thit K b chn.
GiÊ sò T : K ! K l Ănh x khổng giÂn v x 0 2 K cho trữợc. Ta xt dÂy lp xn =
n

T x0: Tp hổp O(x0) = fxn : n = 0; 1; :::g ữổc gồi l qu o ca x 0 dữợi Ănh x T ,
v bao õng ca nõ ữổc gồi l qu o õng. V T l Ănh x khổng giÂn, nu fO(x) :
x 2 Kg b chn ti mt im x0 2 K th cĂc qu o khĂc O(x) vợi x 2 K cụng b
chn. Nhữ vy i vợi Ănh x khổng giÂn (t K
v o chnh nõ) th xÊy ra hai tnh hung: TĐt cÊ cĂc qu o b chn hoc
khổng b chn.
Nhn xt 2.1.1. TĐt cÊ cĂc Ănh x khổng giÂn T : K ! K cõ im bĐt ng u cõ
qu o b chn.

14


15

Th“t v“y, vîi x 2 Fix(T ), l§y b§t ký x 2 K, ta câ
n

n

kxn x k = kT x

n 1

T xk6T

x

T

n 1

x k 6 6 kx x k:

Suy ra kxnk 6 kxk + 2kx k < 1 vîi måi n. Do â O(x) bà ch°n vîi måi x 2 K.
Trong c¡c v‰ dö v• i”m b§t ºng tü do Łi vîi ¡nh x⁄ khæng gi¢n, th… d¢y l°p
khæng chøa d¢y con hºi tö. Tuy nhi¶n, n«m 1964, Edelstein ¢ ch¿ ra, th“m
ch‰ l chøa d¢y con hºi tö th… ¡nh x⁄ khæng gi¢n câ th” chøa i”m b§t ºng tü
do.
2

V‰ dö 2.1.2. X†t l l khæng gian c¡c d¢y sŁ phøc b…nh ph÷ìng kh£ tŒng
vîi chu'n:
1
X

2 1=2

jjxjj = jjfx1; x2; :::gjj = (
2

n=1

jxnj )

;

2

v ¡nh x⁄ T : l ! l x¡c ành bði T x = y trong â y = yn vîi

1)+1;

yn = [exp(2 i=n!)](xn
1

Khi â

1

X

1

X

n=1

1

X

2

jynj 6

n = 1; 2; ::::
X

2

n=1

jxnj + 4

n=1
1

jxnj sin n! + 4

X

2

n=1
1
X

6 jjxjj + 4jjxjj( sin

2

n! )1=2 + 4

n=1

2

sin n!

n=1

2

sin n!

< 1
1

1

2

2

v n‚u y = T x v y = T x th… ta câ
1

1

X

n=1

V… v“y ¡nh x⁄ T

jyn

1

22

X

yn j =

n=1

jxn

1

22

xn j

2

l mºt ph†p flng cü tr¶n l . Rª r ng ch¿ câ d¢y b§t bi‚n Łi

2
vîi ¡nh x⁄ T l
f1; 1; :::g, v i”m n y khæng thuºc l , T câ i”m b§t ºng tü
do.
M°t kh¡c t⁄i i”m (0) = f0; 0; :::g;

T(0) = 1

exp(2 i=n!);


16
2

k

T (0) = 1

exp(2(2 i=n!)); :::; T (0) = 1
1

v
k

2

1

X

X

2

j1

jjT (0)jj =

exp(k(2 i=n!))j = a

n=1

qk =

2

sin ( k=n!):
n=1

1

V… v“y n‚u pk = k! v

exp(k(2 i=n!))

k
j

2

(2 k)!, tł â ta suy ra

P

j

=1

0 = klim jjT

pk

(0)jj < klim jjT

!1

qk

(0)jj = +1:

!1

V‰ dö 2.1.3. X†t khæng gian c t§t c£ c¡c d¢y sŁ phøc x = fx ng hºi tö vîi kxk
= sup jxnj. nh x⁄ T : c ! c x¡c ành bði T x = y vîi y = yn x¡c ành nh÷ sau
n
n = 1; 2; ::::
yn = [exp(2 i=n!)]xn (
1) (exp(2 i=n!) 1);
Khi â ¡nh x⁄ T l
mºt ph†p flng cü tr¶n c, v vîi (0) = 0; 0; ::::
n

T (0) = ( 1) [1

2

exp(2 i=n!)];

T (0) = (

n

1) [1

exp(2(2 i=n!))];

v tŒng qu¡t
k

n

T (0) = ( 1) [1 exp(k(2 i=n!))]:
k
k!
V… v“y T (0) bà ch°n tr¶n c, v d„ d ng th§y r‹ng lim T (0) = 0. M°t kh¡c
k!1

n

T câ i”m b§t ºng tü do v… d¢y l°p x§p x¿ i”m b§t ºng x n = ( 1) khæng thuºc
k
c. Hi”n nhi¶n d¢y T (0) khæng hºi tö.
Ph÷ìng ph¡p gi¡n ti‚p ” nghi¶n cøu t‰nh ch§t i”m b§t ºng cıa ¡nh x⁄ khæng gi
¢n thæng qua d¢y x§p x¿ i”m b§t ºng ÷æc M. Edelstein ÷a ra n«m 1972. Vîi x 2
X v d¢y bà ch°n fxng X, ành ngh¾a b¡n k‰nh ti»m c“n cıa fxng t⁄i x nh÷ sau:
(2.1)
r(x; fxng) = nlim sup jjx xnjj:
!1

N‚u d¢y fxng cho tr÷îc, (2.1) x¡c ành mºt h m tr¶n X nh“n gi¡ trà thüc khæng
¥m. H m n y câ c¡c t‰nh ch§t sau:
(a) Vîi måi x 2 X; r(x; fxng) = 0 , lim xn = x:
n!1


17

r(y; fxng)j 6 jjx

(b) Vợi mồi x; y 2 X; jr(x; fxng)

(c) Vợi mồi x; y 2 X v

;

+

> 0 vợi

r( x + y; fxng) 6

yjj:

= 1;

r(x; fxng) + r(y; fxng):

Do õ h m r(x; fxng) khổng Ơm, liản tửc, v lỗi trản x, v vy ta cõ:
(d) Vợi bĐt ký a > 0, tp mức

Aa(fxng) = fx : r(x; fxng) 6 ag
l tp hổp lỗi v õng. Hin nhiản, nu dÂy fxng khổng hi tử, th tp hổp

Aa(fxng) l tp rỉng vợi a b.
Tip theo, cho K l tp hổp con khĂc rỉng, õng ca X. Ta cõ bĂn knh tiằm cn
ca dÂy fxng trong K xĂc nh nhữ sau
(2.2)

r(K; fxng) = inffr(x; fxng) : x 2 Kg:
Tữỡng ứng, cĂc tp mức xĂc nh i vợi > 0 l

A (K; fxng) = fx 2 K : r(x; fxng) 6 r(K; fxng) + g:

(2.3)

Tp hổp A0(K; fxng) ữổc gồi l tƠm tiằm cn ca fxng trong K. Thổng thữớng
ta kỵ hiằu A(K; fxng), hoc l
A(fxng) khi K cho trữợc thay cho A0(K; fxng):
tnh
Hin nhiản A (K; fxng) 6= ; vợi mồi > 0 ( iu n y suy ra t (2.2) v
chĐt ca infimum) v A 0(K; f xn g ) A (K; fxn g ) khi 0 < , những cõ th xÊy
ra trữớng hổp sau
\

A(K; xn) = A0(K; xn) =

(2.4)

A (K; fxng) = ;:

>0

Ta thĐy rng tƠm tiằm cn ca fxng trong K cụng ữổc cho bi
A (K; fxng) =

(

1 1 B (xi; r (K; fxng) + )

)

\K:

\ [ i\

>0 n=1

=n

Ta cõ cĂc b cỡ bÊn sau:
B 2.1.4. Cho dÂy fxng cĂc phn tò ca X v K l tp con khĂc rỉng ca
X.

(2.5)


18

(a) Nu K

l tp compact yu th A(K; fxng) 6= ; .

(b) Nu K

l

tp lỗi.

tp lỗi, th A(K; fxng) cụng l

B 2.1.5. Xt X l khổng gian Banach vợi K

X, v giÊ sò T : K ! K
n
l Ănh x khổng giÂn vợi qu o b chn. Vợi mỉi x0 2 K, t fxng = fT x0g. Khi
õ, vợi mỉi > 0; th A (K; fxng) bĐt bin i vợi T .
Chứng minh. Vợi mồi z 2 K, ta cõ
n

r(T z; xn) = lim nsup jjT z

T x0jj

!1

6 lim nsup jjz

T

!1

n 1

x0jj

= r(z; xn):
Suy ra, nu z 2 A (K; fxng), tức l r(z; fxng) 6 r(K; fxng) + , th ta cõ r(T z;
fxng) 6 r(K; fxng) + :
Do õ T z 2 A (K; fxng). Vy A (K; fxng) bĐt bin

i vợi T .

B 2.1.6. Xt T v K xĂc nh nhữ trong B 2.1.5 v giÊ sò fyng l mt dÂy
xĐp x im bĐt ng ca Ănh x T , nghắa l giÊ sò

lim jjyn

T ynjj = 0:

n!1

Ngo i ra, giÊ thit thảm dÂy fyng b chn. Khi õ vợi mỉi > 0; th A (K; fyng)
bĐt bin i vợi T .
Chứng minh. Tht vy, t

r(T z; yn) = nlim sup jjT z ynjj
!1
6
6

nlim
nlim

sup(jjT z

!1

sup(jjz
!1

T ynjj + jjT yn ynjj)

ynjj)

= r(z; yn):

Lp lun tữỡng tỹ nhữ chứng minh ca B 2.1.6, suy ra A (K; fyng) bĐt bin i
vợi T .


19

Theo cĂc kt quÊ trnh b y trản, ta cõ th tõm tt cĂc kt quÊ trong nh lỵ
sau:
nh lỵ 2.1.7. Xt tp hổp con K khĂc rỉng, õng v lỗi ca khổng gian
Banach X v giÊ sò Ănh x T : K ! K khổng giÂn. Khi õ cĂc khflng nh sau l tữỡng
ữỡng:
(a) T cõ t nhĐt mt qu o b chn.
(b) TĐt cĂ cĂc qu o ca T b chn.
(c) K chứa tp con khĂc rỉng, lỗi, õng b chn bĐt bin i vợi T .
(d) K chứa mt dÂy b chn xĐp x im bĐt ng.

nh lỵ 2.1.8. Xt K l tp con lỗi õng ca khổng gian Banach X, v dÂy fx ng
b chn trong X. Khi õ ta cõ

diamA(K; fxng) 6 "0(X)r(K; fxng):
Chứng minh. Nu tp A(K; fxng) l tp rỉng hoc tp ch cõ mt phn tò th
d d ng cõ iu phÊi chứng minh, do õ ta giÊ sò d = diamA(K; fx ng) > 0.
vjj > d . T
Chồn 2 (0; d) v u; v 2 A(K; fxng) sao cho jju

r(u; fxng) = nlim sup jju

xnjj = r(K; fxng);

r(v; fxng) = nlim sup jjv

xnjj = r(K; fxng);

!1

!1

nu z =

1
2 (u

+ v), th z 2 A(K; fxng) v

theo tnh chĐt ca modul lỗi ta cõ

1 (u + v)jj

r(K; fxng) = r(z; fxng) = nlim sup jjxn

2

!1

6 1r(K; fxng)

t

(2.6)
d

õ suy ra

d

6 "0(X)r(K; fxng):

V > 0 tũy ỵ, nản ta cõ iu phÊi chứng minh.

r(K; fx n g);


20

Nhn xt 2.1.9.
i) Cho K l tp con khĂc rỉng, lỗi õng ca khổng gian Banach X vợi " 0(X) < 1, v
nu Ănh x T : K ! K khổng giÂn vợi qu o b chn, th vợi bĐt ký
n
x0 2 K tp hổp K1 = A(K; fT x0g) khĂc rỉng, T -bĐt bin, b chn, õng, lỗi.
n
Chồn x1 2 K1, t K2 = A(K1; fT x1g). QuĂ trnh trản tip tửc mÂi, ta thu ữổc d
Ây giÊm cĂc tp con fKng khĂc rỉng, T -bĐt bin, compact yu ca K. Theo nh lỵ
2.1.5, ta cõ
n

n

(2.7)

diamKn 6 ("0(X)) r(K; T x0):
V vy K1 =

T1

n=1Kn

chứa duy nhĐt mt im l

im bĐt ng ca Ănh x T .

ii) Nu X l khổng gian Banach lỗi u th "0(X) = 0 v K1 l tp ch cõ mt phn
tò v phn tò n y bĐt ng dữợi Ănh x T .
nh nghắa 2.1.10. nh x khổng giÂn T : K ! K ữổc gồi l chnh quy tiằm
cn nu vợi bĐt ký x 2 K ta cõ
n

lim jjT x

T

n+1

xjj = 0:

n!1

V dử 2.1.11. GiÊ sò T : [0; 1] ! [0; 1] l Ănh x khổng giÂn v S = (I + T )=2.
Khi õ S cụng l Ănh x khổng giÂn. GiÊ sò vợi mi s tỹ nhiản n v x 2 [0; 1];
n 2
n 1
thọa mÂn
jS x S xj > 1=n:
Khi õ

2

jx
v

n

Sxj > jSx S xj > ::: > jS

S
2

n 1

jS

x TS

n 2

n 2

xj = jS

x

n 1

xj > 1=n;

x
1

S

n

xj > 1=n:

Vợi mỉi x 2 [0; 1], xÊy ra mt trong hai trữớng hổp x < Sx hoc x > Sx. GiÊ sò
x < Sx, khi õ ta cõ

Sx

2

S x = (x + T x Sx T (Sx))=2
= [ Sx xj + (T x T (Sx))]=2
6 [ T (Sx) T xj + (T x T (Sx))]=2
6 0:

21
2

Tip tửc quĂ trnh trản, ta nhn

S
Suy ra S

n 1

x6TS

n 1

n 2

x

ữổc x < Sx 6 S x 6

TS

x v do

n 2

x=S

n 2

2

iằu tông. T cĂc

jx

TS

n 2

S

n 1

x. Ta cõ

n 1

x 6 0:

õ dÂy

fx; Sx; S x; :::; S
ỡn

x

6S

n 1

Ănh giĂ trản, ta nhn

n 2

x; T S

xg

ữổc

n 2

xj = T S x x
n 2
n 1
n 1
=TS x S x+S x

1

1

S

n 2

2

x + : : : + S x Sx + Sx

x

1

> n + n + : : : + n = 1;
T yj 6 1 vợi mồi x; y 2 [0; 1].

iu n y mƠu thuÔn vợi jx

Ho n to n tữỡng tỹ, nu x > Sx, th dÂy
2

n 1

fx; Sx; S x; :::; S
ỡn

x; T S

n 2

xg

iằu giÊm. Do õ
n 2

jx T S

n 2

xj = x T S x
= x Sx + Sx S2x + : : : + Sn 1x Sn 1x + Sn 1x

1

1

TS

n 2

x

1

> n + n + : : : + n = 1;
iu n y mƠu thuÔn vợi jx
T yj 6 1 vợi mồi x; y 2 [0; 1].
T õ suy ra vợi " > 0 v x 2 [0; 1], th vợi mồi Ănh x khổng [0; 1] !
[0; 1]; ta u cõ
n

jS x
vợi bĐt ký n > "

1

S

giÂn T :

n+1

xj 6 "

2.

Kt quÊ trản l trữớng hổp

c biằt ca

nh lỵ dữợi Ơy.

nh lỵ 2.1.12. Cho X l khổng gian Banach, K l con õng, lỗi v b chn ca X,
kỵ hiằu F l tp hổp tĐt cÊ cĂc Ănh x khổng giÂn t K ! K . Cho trữợc
)I + T. Khi õ T l Ănh x chnh
2 (0; 1) v vợi mỉi T 2 F t T = (1
n
n+1
quy tiằm cn trản K. Ngo i ra, dÂy fjjT x
T
xjjg hi tử u tợi 0 vợi x 2 K
v T 2 F. Chnh xĂc hỡn, vợi mồi " > 0 th tỗn ti s nguyản N, ch phử thuc "
n
n+1
(v
K) sao cho nu n > N, nu x 2 K, v nu T 2 F, th jjT x T
xjj 6 ":

22

chứng minh

nh lỵ trản, ta cn b dữợi

B 2.1.13. GiÊ sò X l
Xv T:K!Kl

Ơy.

khổng gian Banach, K l tp con lỗi õng b chn ca
Ănh x khổng giÂn. Vợi 2 (0; 1), t T = (1 )I + T;

cho trữợc x0 2 K, v

xĂc nh dÂy fxng v dÂy fyng xĂc nh nhữ sau:
n = 0; 1; 2; :::
xn+1 = T xn;
y n = T x n;
Khi õ vợi mỉi i; n 2 N, ta cõ

jjyi+n xijj > (1

)

n

(2.8)

jjyi+n xi+njj jj yi xijj + (1 + n ) yi
i
jj

h

xijj;
(2.9)

v
nlim

(2.10)

jjxn T xnjj = 0

!1

Chứng minh. Ta chứng minh bĐt flng thức (2.9) bng quy np theo n. GiÊ sò
bĐt flng thức (2.9) úng vợi n v mồi i ((2.9) hin nhiản úng vợi n = 0.) Thay i bi i
+ 1 trong bĐt flng thức (2.9) ta ữổc:

jjyi+n+1

n

xi+1jj > (1

) kjyi+n+1

+(1 + n )jjyi+1

x

jj jj

y

i+n+1

x

i+1

i+1jj

]

xi+1jj:

(2.11)

Ta cụng cõ

jjyi+n+1 xi+1jj 6 (1

)jjyi+n+1

xijj + jjyi+n+1

Xk

6 (1

)jjyi+n+1

xijj +

n

jjy

yijj
i+k+1

yi+kjj

=0
n

T bĐt flng thức (2.11) v

jjyi+n+1 xijj > (1

x

Xk

6 (1

)jjyi+n+1 xijj +

jj

i+k+1

xi+kjj (2.12)

=0

(2.12) ta cõ

)

(n+1)

[jjyi+n+1 xi+n+1jj jj yi+1

xi+1jj]


23
1

+(1

x jj

) (1 + n )jjyi+1
Xk

1

n

jjx

(1 )

i+1

xk+ijj:

i+k+1

=0

Do

jjx

k+i+1

xk+ijj jjyk+i xk+ijj;

dÂy fjjyn xnjjg l dÂy tông, 1 + n 6 (1

jjyi+n+1 xijj > (1

)

)

n

nản ta cõ

x

(n+1)

[jjyi+n+1
1

+(1
2

jj jj y

i+n+1

)(1 + n )jjyi+1

i+1

x jj

x jj]
i+1

i+1

1

(1 ) (n + 1)jjyi xijj
= (1 )(n+1)[jjyi+n+1 xi+n+1jj jj yi xijj]
+[(1
) 1(1 + n ) (1(n+1))]jjyi+1
2
+[(1
) (n+1)
) 1(n + 1)]jjyi
(1
> (1

)

(n+1)

)

(n+1)

+[(1
+[(1
= (1

xi+1jj
xijj

[jjyi+n+1

xi+n+1jj jj yi
xijj]
) 1(1 + n ) (1 ) (n+1)]jjyi
xijj
(n+1)
2
)
) 1(n + 1)]jjyi xijj
(1
[jjyi+n+1

xi+n+1jj jj yi

xijj]

+(1 + (n + 1) )jjyi xijj:
Nhữ vy bĐt flng thức (2.9) úng vợi n + 1, ta cõ iu phÊi chứng minh.
Tip theo, ta chứng minh bĐt flng thức (2.10). GiÊ sò d = diam K v giÊ
0. Chồn N > d=r v xt " > 0 thọa mÂn
sò limn!1 jjyn xnjj = r >

"(1

)

N

< r. V dÂy fjjyn

0 6 jjyi

xnjjg tông, nản tỗn ti s nguyản i sao cho
xijj jj yi+N

xi+njj 6 ":

Do õ theo bĐt flng thức (2.9), ta thu ữổc iu

d + r 6 (1 + N )r 6 (1 + N )jjyi
6 jjyi+N
< d + r:
Do õ r = 0 v ta cõ

iu phÊi chứng minh.

iu ngữổc li:

xijj

xijj + (1 + )

N

"