Về bài toán đảm bảo chi phí điều khiển cho một lớp hệ nơ ron thần kinh phân thứ có trễ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
-------------------------------

ĐỖ THỊ PHƯƠNG

VỀ BÀI TOÁN ĐẢM BẢO CHI PHÍ ĐIỀU KHIỂN
CHO MỘT LỚP HỆ NƠ RON THẦN KINH
PHÂN THỨ CÓ TRỄ
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số
: 8 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. Mai Viết Thuận
TS. Nguyễn Hữu Sáu

THÁI NGUYÊN - 2020


1

Mục lục
Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị

6

1.1. Giải tích phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.1. Tích phân phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.2. Đạo hàm phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2. Định lý Razumikhin cho hệ phương trình vi phân phân thứ . . . 11
1.3. Bài toán đảm bảo chi phí điều khiển cho một số lớp hệ phương
trình vi phân có trễ với bậc nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4. Một số bổ đề bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Chương 2 Bài toán đảm bảo chi phí điều khiển cho một lớp hệ
nơ ron thần kinh phân thứ có trễ

19

2.1. Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2. Một tiêu chuẩn cho bài toán đảm bảo chi phí điều khiển cho
một lớp hệ nơ ron thần kinh phân thứ có trễ . . . . . . . . . . . 21
2.3. Một ví dụ số minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27


2

LỜI NÓI ĐẦU
Mô hình mạng nơ ron mô tả bởi hệ phương trình vi phân với đạo hàm bậc
nguyên được nghiên cứu đầu tiên bởi L.O. Chua và L. Yang vào năm 1988

[6, 7]. Mô hình này đã nhận được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà khoa
học trong những năm gần đây do những ứng dụng rộng lớn của nó trong xử
lí tín hiệu, xử lí hình ảnh, tối ưu hóa và các lĩnh vực khác [7, 18]. Năm 2008,
trong một nghiên cứu của mình, A. Boroomand và M.B. Menhaj [3] lần đầu
tiên mô hình hóa mạng nơ ron bởi hệ phương trình vi phân phân thứ (Caputo
hoặc Riemann–Liouville). So với mạng nơ ron mô tả bởi hệ phương trình vi
phân với đạo hàm bậc nguyên, mạng nơ ron mô tả bởi hệ phương trình vi phân
phân thứ (Caputo hoặc Riemann–Liouville) có thể mô tả các đặc tính và tính
chất của mạng nơ ron một cách chính xác hơn [3, 18]. Do đó hệ phương trình
mạng nơ ron phân thứ đã nhận được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà
khoa học. Nhiều kết quả hay và thú vị về hệ phương trình mạng nơ ron phân
thứ đã được công bố trong những năm gần đây.
Từ quan điểm của kỹ thuật, người ta mong muốn thiết kế các hệ thống
điều khiển không chỉ ổn định tiệm cận mà còn có thể đảm bảo mức hiệu suất
hệ thống phù hợp. Năm 1972, hai nhà khoa học Chang và Peng [5] đưa ra và
nghiên cứu bài toán đảm bảo chi phí điều khiển cho hệ động lực được mô tả
bởi hệ phương trình vi phân thường. Sau đó bài toán đảm bảo chi phí điều
khiển cho một số lớp hệ phương trình vi phân có trễ với bậc nguyên đã nhận
được sự quan tâm của nhiều nhà khoa học. Đối với hệ nơ ron thần kinh với
bậc nguyên, đã có một số kết quả thú vị và sâu sắc được công bố trong những
năm gần đây (xem [10, 11, 12] và các tài liệu tham khảo trong đó). Năm 2019,
Thuận và Hướng [20] nghiên cứu bài toán đảm bảo chi phí điều khiển cho một


3

lớp hệ nơ ron thần kinh phân thứ có trễ.
Luận văn tập trung trình bày một số tiêu chuẩn cho bài toán đảm bảo chi
phí điều khiển cho một lớp hệ nơ ron thần kinh phân thứ có trễ dựa trên cơ
sở đọc hiểu và tổng hợp bài báo đã được công bố trong những năm gần đây

(xem [20]). Luận văn gồm có 2 chương gồm những nội dung chính như sau:
Trong chương 1, chúng tôi trình bày một số khái niệm về giải tích phân thứ
như tích phân và đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville, tích phân và đạo hàm
phân thứ Caputo. Sau đó, chúng tôi trình bày một định lý Razumikhin cho
hệ phân thứ có trễ. Tiếp theo, chúng tôi nhắc lại một số kết quả về bài toán
đảm bảo chi phí điều khiển cho một số lớp hệ phương trình vi phân với bậc
nguyên. Cuối chương, chúng tôi trình bày một số bổ đề bổ trợ. Nội dung chính
của chương này được tham khảo chủ yếu từ các tài liệu [8, 14, 15, 17, 21].
Trong chương 2 của luận văn, chúng tôi trình bày một số tiêu chuẩn cho bài
toán đảm bảo chi phí điều khiển cho một lớp hệ nơ ron thần kinh phân thứ có
trễ. Ngoài ra, chúng tôi đưa ra một ví dụ số minh họa cho kết quả lý thuyết.
Luận văn này được thực hiện tại trường Đại học Khoa học - Đại học Thái
Nguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của Tiến sĩ Mai Viết Thuận. Tôi xin
được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học
của mình. Người đã đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn,
tận tình dìu dắt và chỉ bảo tôi trong suốt quá trình thực hiện đề tài này.
Tôi xin trân trọng cảm ơn BGH trường Đại học Khoa học - Đại học Thái
Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Toán – Tin cùng các giảng viên đã tham gia
giảng dạy, đã tạo mọi điều kiện tốt nhất để tôi học tập và nghiên cứu.
Đồng thời tôi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình thân yêu,cảm ơn những người
bạn thân thiết đã chăm sóc động viên khích lệ tôi trong suốt quá trình nghiên
cứu. Sau cùng tôi xin kính chúc toàn thể quý thầy cô trường Đại học Khoa
học - Đại học Thái Nguyên thật dồi dào sức khỏe, niềm tin để tiếp tục thực
hiện sứ mệnh cao đẹp của mình là truyền đạt tri thức cho thế hệ mai sau.
Xin chân thành cảm ơn.


4

5

Danh mục ký hiệu

Rn

không gian vec tơ thực Euclide n chiều

AT

ma trận chuyển vị của ma trận A

I

ma trận đơn vị

λ(A)

tập hợp tất cả giá trị riêng của ma trận A

λmax (A)

= max{Reλ : λ ∈ λ(A)}

λmin (A)

= min{Reλ : λ ∈ λ(A)}

A

chuẩn phổ của ma trận A, A =

λmax (A A)

A≥0

ma trận A nửa xác định dương, tức là Ax, x ≥ 0, ∀x ∈ Rn

A≥B

nghĩa là A − B ≥ 0

A>0

ma trận A xác định dương, tức là Ax, x > 0, ∀x ∈ Rn , x = 0

LM Is

bất đẳng thức ma trận tuyến tính (Linear matrix inequalities)

x

chuẩn Euclide của véc tơ x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn

Rn×r

không gian các ma trận thực cỡ (n × r)

C([a, b], Rn )

không gian các hàm liên tục trên[a, b] nhận giá trị trong Rn

AC m [a, b]

không gian các hàm liên tục tuyệt đối cấp m trên[a, b]

α
t0 It

toán tử tích phân phân thứ Riemann - Liouville cấp α

RL α
t0 Dt

toán tử đạo hàm phân thứ Riemann - Liouville cấp α

C α
α
t0 Dt , Dt

toán tử đạo hàm phân thứ Caputo cấp α

Γ(x)

hàm Gamma

Eα,β

hàm Mittag-Leffler hai tham số

α

số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng α


l1 0 0 


L = diag{l1 , l2 , l3 } L =  0 l2 0 


0 0 l3


6

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm về giải tích phân
thứ, định lý Razumikhin cho hệ phương trình vi phân phân thứ, bài toán đảm
bảo chi phí điều khiển cho một số lớp hệ phương trình vi phân với bậc nguyên.
Chúng tôi cũng trình bày một số kết quả bổ trợ sẽ được sử dụng trong chứng
minh các kết quả chính của luận văn cho các chương sau. Kiến thức sử dụng
ở chương này được tham khảo ở [8, 14, 15, 17, 21].

1.1.
1.1.1.

Giải tích phân thứ

Tích phân phân thứ

Trong mục này, chúng tôi trình bày sơ lược về khái niệm tích phân phân
thứ. Khái niệm tích phân phân thứ là một mở rộng tự nhiên của khái niệm
tích phân lặp thông thường.
Định nghĩa 1.1. ([15]) Cho α > 0 và [a, b] ⊂ R, tích phân phân thứ RiemannLiouville cấp α của hàm x : [a, b] −→ R được cho bởi
α
t0 It x(t) :=

1
Γ(α)

t

(t − s)α−1 x(s)ds,

t ∈ (a, b],

t0
+∞

trong đó Γ(.) là hàm Gamma xác định bởi Γ(α) =

tα−1 e−t dt, α > 0.

0

Trong Định nghĩa 1.1 khi α = 0, chúng ta quy ước

α

t0 It

:= I với I là toán

tử đồng nhất. Sự tồn tại của tích phân phân thứ Riemann–Liouville cấp α với
0 < α < 1 được cho bởi định lý sau


7

Định lý 1.1. ([15]) Giả sử x : [a, b] −→ R là một hàm khả tích trên [a, b]. Khi
đó, tích phân

α
t0 It x(t)

tồn tại với hầu hết t ∈ [a, b]. Hơn nữa,

α
t0 It x

cũng là

một hàm khả tích.
Ví dụ sau đây cho ta tích phân phân thứ của một số hàm cơ bản.
Ví dụ 1.1. ([15])
(i) Cho x(t) = (t − a)β , ở đây β > −1 và t > a. Với bất kì α > 0, chúng ta có
α
t0 It x(t)

=

Γ(β + 1)
(t − a)α+β ,
Γ(α + β + 1)

t > a.

(ii) Cho x(t) = eλt , λ > 0. Với bất kì α > 0, chúng ta có
+∞
α
t0 It x(t)

−α

=λ

j=0

1.1.2.

(λt)α+j
,
Γ(α + j + 1)

t > 0.

Đạo hàm phân thứ

Mục này trình bày một cách ngắn gọn về đạo hàm Riemann–Liouville và

đạo hàm Caputo. Đây là hai loại đạo hàm được sử dụng rộng rãi trong nhiều
lĩnh vực.
Định nghĩa 1.2. ([15]) Cho trước một số thực dương α và một khoảng [a, b] ⊂
R. Đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville cấp α của hàm x : [a, b] −→ R được
cho bởi
RL α
t0 Dt x(t)

dn
:= n
dt

n−α
x(t)
t0 It

1
dn
=
Γ(n − α) dtn

t

(t − s)n−α−1 x(s)ds,
t0

trong đó n := α là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng α và

dn
dtn

là đạo

hàm thông thường cấp n.
Ví dụ 1.2. Cho hàm bước đơn vị (unit-step function)


 1, nếu t ≥ 0
f (t) =

 0, nếu t < 0.
Bằng cách sử dụng Định nghĩa 1.2, ta tính đạo hàm phân thứ Riemann–
Liouville cấp α của hàm f (t) là
RL α
0 Dt f (t)

=

t−α
.
Γ(1 − α)


8

Trước khi trình bày điều kiện cho sự tồn tại của đạo hàm phân thứ Riemann–
Liouville, chúng tôi nhắc lại một số kết quả sau.
Cho [a, b] là một khoảng hữu hạn trong R. AC[a, b] là không gian các hàm
tuyệt đối liên tục trên [a, b]. Kolmogorov và Fomin đã chỉ ra mối liên hệ giữa
các hàm tuyệt đối liên tục và các hàm khả tích Lebesgue như sau:

t

f (t) ∈ AC[a, b] ⇔ f (t) = c +

ϕ(s)ds (ϕ(s) ∈ L(a, b)),
a

do đó một hàm tuyệt đối liên tục f (t) có đạo hàm f (t) = ϕ(t) hầu khắp nơi
trên [a, b].
Với n ∈ N, ta định nghĩa lớp hàm AC n [a, b] như sau:
AC n [a, b] = {f : [a, b] −→ R, (Dn−1 f )(t) ∈ AC[a, b]

D=

d
}.
dt

Mệnh đề sau đây cho ta một số đặc tính của lớp hàm AC n [a, b].
Mệnh đề 1.1. ([15]) Không gian AC n [a, b] chứa tất cả các hàm f (t) có dạng
như sau:

n−1

f (t) =

α
t0 It ϕ(t)

ck (t − t0 )k ,

+
k=0

trong đó ϕ(t) ∈ L(a, b), ck (k = 0, 1, . . . , n − 1) là các hằng số tùy ý và
α
t0 It ϕ(t) =

1
(n − 1)!

t

(t − s)n−1 ϕ(s)ds.
t0

Ngoài ra, từ các điều kiện trên ta có
ϕ(s) = f

(n)

(s),

f (k) (t0 )
(k = 0, 1, . . . , n − 1).
ck =
k!

Định lý sau đây cho ta một tiêu chuẩn cho sự tồn tại của đạo hàm phân
thứ Riemann–Liouville.

Định lý 1.2. ([15]) Cho α ≥ 0, n = α . Nếu f (t) ∈ AC n [a, b], khi đó đạo
hàm phân thứ

RL α
t0 Dt f (t)

tồn tại hầu khắp nơi trên [a, b] và có thể được biểu

diễn dưới dạng sau
n−1
RL α
t0 Dt f (t)

=
k=0

f (k) (t0 )
1
(t − t0 )k−α +
Γ(1 + k − α)
Γ(n − α)

Kết quả sau đây được suy ra trực tiếp từ Định lý 1.2

t
t0

f (n) (s)ds
.
(t − s)α−n+1

9

Hệ quả 1.1. ([15]) Nếu 0 < α < 1 và f (t) ∈ AC[a, b] thì
RL α
t0 Dt f (t)

1
f (t0 )
=
+
Γ(1 − α) (t − t0 )α

t
t0

f (s)ds
.
(t − s)α

Mệnh đề sau khẳng định toán tử đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville là
một toán tử tuyến tính.
Mệnh đề 1.2. ([14]) Cho trước một số thực dương α. Khi đó đạo hàm phân
thứ Riemann–Liouville cấp α là một toán tử tuyến tính, tức là
RL α
t0 Dt [λf (t)

α
RL α

+ µg(t)] = λ RL
t0 Dt f (t) + µ t0 Dt g(t)

trong đó λ, µ ∈ R, f (t), g(t) ∈ AC n [a, b].
Chứng minh. Ta có
RL α
t0 Dt [λf (t)

+ µg(t)]

dn
1
Γ(n − α) dtn
dn
λ
=
Γ(n − α) dtn

t

(t − s)n−α−1 [λf (s) + µg(s)] ds

=

t0
t

(t − s)n−α−1 f (s)ds +
t0

dn
µ
Γ(n − α) dtn

t

(t − s)n−α−1 g(s)ds
t0

α
RL α
= λ RL
t0 Dt f (t) + µ t0 Dt g(t).

Định nghĩa 1.3. ([14]) Cho trước một số thực dương α và một khoảng [a, b] ⊂
R. Đạo hàm phân thứ Caputo cấp α của hàm x : [a, b] −→ R được cho bởi
C α
t0 Dt x(t)

:=

n−α n
D x(t),
t0 It

trong đó n := α là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng α và Dn =

dn
dxn

là

đạo hàm thông thường cấp n.
T

Đối với một hàm véc tơ x(t) = (x1 (t), x2 (t), . . . , xd (t)) đạo hàm phân thứ
Caputo của x(t) được định nghĩa theo từng thành phần như sau:
C α
t0 Dt x(t)

:=

T
C α
C α
C α
t0 Dt x1 (t), t0 Dt x2 (t), . . . , t0 Dt xd (t)

.

Định lý sau đây cho ta một điều kiện đủ cho sự tồn tại đào hàm Caputo phân
thứ cấp α.


10

Định lý 1.3. ([15]) Cho α ≥ 0, n = [α] + 1. Nếu f (t) ∈ AC n [a, b], khi đó đạo
α
hàm phân thứ Caputo C
t0 Dt f (t) tồn tại hầu khắp nơi trên [a, b]. Hơn nữa, ta có

α
(i) Nếu α ∈ N thì C
t0 Dt x(t) biểu diễn dưới dạng sau:
C α
t0 Dt f (t)

=

1
Γ(n − α)

t
t0

f (n) (s)ds
.
(t − s)α−n+1

Đặc biệt, khi 0 < α < 1 và f (t) ∈ AC[a, b], ta có:
C α
t0 Dt f (t)

1
=
Γ(1 − α)

t
t0

f (s)ds

.
(t − s)α

n
(ii) Nếu α = n ∈ N thì C
t0 Dt f (t) biểu diễn dưới dạng sau:
C n
t0 Dt f (t)

= f (n) (t).

Đặc biệt,
C 0
t0 Dt f (t)

= f (t).

Mệnh đề sau khẳng định toán tử đạo hàm phân thứ Caputo là một toán tử
tuyến tính.
Mệnh đề 1.3. ([14]) Cho trước một số thực dương α. Khi đó đạo hàm phân
thứ Caputo cấp α là một toán tử tuyến tính, tức là
C α
t0 Dt [λf (t)

α
C α
+ µg(t)] = λ C
t0 Dt f (t) + µ t0 Dt g(t),

trong đó λ, µ ∈ R, f (t), g(t) ∈ AC n [a, b].

Chứng minh. Tương tự như chứng minh Mệnh đề 1.2.
Ta dễ dàng chứng minh được tính chất sau của đạo hàm phân thứ Caputo.
Mệnh đề 1.4. ([14]) Cho trước một số thực dương α. Nếu ξ là hằng số thì
C α
t0 Dt ξ

= 0.

Giống với phép tính vi–tích phân cổ điển, đạo hàm phân thứ Caputo là
nghịch đảo trái của toán tử tích phân phân thứ.
Định lý 1.4. ([15]) Cho α > 0 và f (t) ∈ C[a, b]. Khi đó ta có
C α
α
t0 Dt ( t0 It f (t))

= f (t).


11

Tuy nhiên, đạo hàm phân thứ Caputo nói chung không là toán tử nghịch
đảo phải của tích phân phân thứ. Điều này được chỉ rõ trong định lý dưới đây
Định lý 1.5. ([15]) Cho α > 0, n = [α] + 1. Nếu f (t) ∈ AC n [a, b] thì
n−1
α C α
t0 It t0 Dt f (t)

= f (t) −
k=0

f (k) (t0 )
(t − t0 )k .
k!

Đặc biệt, nếu 0 < α ≤ 1 và f (t) ∈ AC[a, b] thì
α C α
t0 It t0 Dt f (t)

= f (t) − f (t0 ).

Định lý sau đây cho ta mối quan hệ giữa đạo hàm phân thứ Caputo và đạo
hàm phân thứ Riemann-Liouville.
Định lý 1.6. [15] Cho α > 0 và đặt n = α . Với bất kì x ∈ AC n [a, b], chúng
ta có:

n−1
C α
t0 Dt x(t)

=

RL α
t0 Dt

x(t) −
j=0

(t − t0 )j (j)
x (t0 ) ,
j!

với hầu hết t ∈ [a, b].
Định lý dưới đây có vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu tính thụ động
cho một số mạng nơ ron phân thứ.
Định lý 1.7. (Bổ đề 2.3, trang 73 trong cuốn sách chuyên khảo của A.A.
Kilbas và các đồng tác giả [15]) Cho các số dương α > 0, β > 0. Giả sử rằng
f (t) là một hàm liên tục. Khi đó ta có đẳng thức sau đây
α
t0 It

1.2.

β
t0 It f (t)

=

β
t0 It

( t0 Itα f (t)) =

α+β
f (t),
t0 It

∀t ≥ t0 ≥ 0.

Định lý Razumikhin cho hệ phương trình vi phân
phân thứ

Trong mục này chúng tôi trình bày định lý Razumikhin cho hệ phương trình
vi phân phân thứ Caputo có trễ.
Trước hết, chúng tôi nhắc lại định nghĩa về hàm Mittag-Leffler.


12

Định nghĩa 1.4. [14] Cho α ∈ C, một hàm Eα : C −→ C xác định bởi
+∞

Eα (z) =
k=0

zk
,
Γ(αk + 1)

được gọi là hàm Mittag-Leffler một tham số.
Nhận xét 1.1. Trong Định nghĩa 1.4, nếu cho α = 1, ta có
+∞

E1 (z) =
k=0

zk
=
Γ(k + 1)

+∞

k=0

zk
= ez .
k!

Do đó hàm Mittag-Leffler chính là mở rộng của khái niệm hàm mũ.
Định nghĩa 1.5. [14] Cho α, β ∈ C, một hàm Eα,β : C −→ C xác định bởi
+∞

Eα,β (z) =
k=0

zk
,
Γ(αk + β)

được gọi là hàm Mittag-Leffler hai tham số. Các hàm Mittag-Leffler nhận giá
trị ma trận được định nghĩa hoàn toàn tương tự, tức là
+∞

Eα,β (A) =
k=0

Ak
, ∀A ∈ Rn×n .
Γ(αk + β)

Các tính chất của hàm Mittag-Leffler một tham số, hai tham số đã được

trình bày chi tiết trong cuốn sách chuyên khảo của A.A. Kilbas [15]. Xét hệ
phương trình vi phân phân thứ Caputo có trễ sau đây


 C Dα x(t) = f (t, xt ), t ≥ t0 ,
t0

t

(1.1)


 x(t) = φ(t), t ∈ [t0 − τ, t0 ],
trong đó α ∈ (0, 1) xt = x(t + θ) ∈ C([t0 − τ, t0 ], Rn ), −τ ≤ θ ≤ 0, f :
[t0 , +∞)×C([t0 −τ, t0 ], Rn ) → Rn là một hàm liên tục từng khúc theo t và thỏa
mãn điều kiện Lipschitz địa phương trên [t0 , +∞), xt0 = φ ∈ C([t0 − τ, t0 ], Rn )
là điều kiện ban đầu.
Định nghĩa 1.6. ([13]) Hệ (1.1) được gọi là ổn định Mittag–Leffler nếu bất
đẳng thức sau đây được thỏa mãn
b

x(t) ≤ [m(x0 )Eα (−λ(t − t0 )α )] ,
ở đó λ > 0, b > 0 và hàm m(x) ≤ 0 (m(0) = 0) thỏa mãn điều kiện Lipschitz
địa phương theo x ∈ Rn với hằng số Lipschitz m0 .


13

Nhận xét 1.2. ([13]) Nếu hệ (1.1) ổn định Mittag–Leffler thì hệ ổn định tiệm
cận, tức là lim

t−→+∞

x(t) = 0.

Tiếp theo, chúng tôi trình bày định lý Razumikhin cho hệ phương trình vi
phân phân thứ Caputo có trễ. Đối với lớp hệ phương trình vi phân phân thứ
Caputo có trễ, S. Liu cùng các cộng sự [13] đã đưa ra một phiên bản mới của
Định lý Razumikhin cho hệ phân thứ có trễ. Theo như sự hiểu biết của chúng
tôi, đây là một trong những phương pháp quan trọng để nghiên cứu tính ổn
định và một số tính chất liên quan của hệ phương trình vi phân phân thứ
Caputo có trễ.
Định lý 1.8. [13] Xét hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo có trễ (1.1).
Giả sử tồn tại ba hằng số dương a1 , a2 , a3 và một hàm khả vi V : R × Rn −→ R
thỏa mãn
(i) a1 x

2

≤ V (x) ≤ a2 x 2 ,

và đạo hàm phân thứ cấp α của hàm V (.) thỏa mãn
α
(ii) C
t0 Dt V (x(t)) ≤ −a3 x

2

khi mà V (x(t + s)) ≤ γV (x(t)), s ∈ [−τ, 0], với

γ > 1 nào đó.
Khi đó hệ ổn định tiệm cận.

1.3.

Bài toán đảm bảo chi phí điều khiển cho một số lớp
hệ phương trình vi phân có trễ với bậc nguyên

Như đã phân tích trong phần mở đầu. Bài toán đảm bảo chi phí điều khiển
cho các hệ động lực được nghiên cứu đầu tiên bởi hai nhà toán học S.S.L.
Chang và T.K.C. Peng vào năm 1972 (xem [5]). Trong bài toán này, ngoài việc
thiết kế một bộ điều khiển để đảm bảo cho hệ thống điều khiển không những
ổn định mà còn đảm bảo rằng một hàm chi phí toàn phương liên hệ với hệ
động lực đó có giá trị hữu hạn và giá trị đó càng nhỏ càng tốt.
Xét hệ điều khiển tuyến tính ôtônôm


 x(t)
˙
= Ax(t) + Bu(t),

t ≥ 0,


 x(0) = x0 ∈ Rn , u(t) ∈ Rm ,

(1.2)


14

với hàm chi phí toàn phương (hay còn gọi là hàm mục tiêu dạng toàn phương)
+∞

[xT (t)Qx(t) + uT (t)Ru(t)]dt,

J(u) =

(1.3)

0

trong đó Q ∈ Rn×n , R ∈ Rm×m là các ma trận đối xứng, xác định dương cho
trước. Điều khiển u(t) ∈ U Ω , Ω ⊆ Rn . Trong đó U Ω = {u(t) ∈ L2 ([0, ∞), Rn ),
u(t) ∈ Ω hầu khắp trên [0, ∞)}. Bài toán điều khiển tối ưu cho hệ điều khiển
tuyến tính (1.2) hay còn gọi là bài toán tối ưu toàn phương là tìm điều khiển
chấp nhận được u(.) ∈ U Ω sao cho với điều khiển này giá trị của hàm chi phí
toàn phương đạt giá trị nhỏ nhất, tức là J(u) → min. Bằng cách dùng nguyên
lý cực đại Pontriagin, trong [19, 22] đã đưa ra một lời giải cho bài toán này.
Khác với bài toán điều khiển tối ưu, bài toán đảm bảo chi phí điều khiển cho
hệ (1.2) là tìm một điều khiển u(t) chấp nhận được nào đó sao cho với điều
khiển này hệ (1.2) là ổn định tiệm cận và giá trị của hàm chi phí toàn phương
(1.3) là không vượt quá một giá trị hữu hạn J ∗ nào đó. Như vậy, ta có thể
phát biểu định nghĩa bài toán đảm bảo chi phí điều khiển cho lớp hệ (1.2) về
mặt toán học như sau:
Định nghĩa 1.7. Xét hệ điều khiển tuyến tính (1.2) và hàm chi phí toàn
phương (1.3), nếu tồn tại một luật điều khiển ngược u∗ (t) = Kx(t), K ∈ Rm×n
và một số dương J ∗ sao cho hệ đóng



 x(t)
˙
= [A + BK]x(t),

(1.4)


 x(0) = x0
là ổn định tiệm cận và giá trị của hàm chi phí toàn phương (1.3) thỏa mãn
J ≤ J ∗ , thì J ∗ được gọi là giá trị đảm bảo chi phí điều khiển cho hệ (1.2)
và u∗ (t) được gọi là luật điều khiển ngược đảm bảo chi phí điều khiển cho hệ
(1.2).
Bằng cách chọn hàm Lyapunov–Krasovskii V (x(t)) = xT (t)P −1 x(t), với
P ∈ Rn×n là một ma trận đối xứng, xác định dương, ta dễ dàng chứng minh
được kết quả sau:
Định lý 1.9. Cho Q ∈ Rn×n , R ∈ Rm×m là các ma trận đối xứng, xác định
dương. Xét hệ điều khiển tuyến tính ôtônôm (1.2) với hàm chi phí toàn phương


15

tương ứng (1.3). Giả sử tồn tại một ma trận đối xứng, xác định dương P ∈
Rn×n , một ma trận Y có số chiều thích hợp sao cho bất đẳng thức ma trận
tuyến tính sau được thỏa mãn:


T
T T
T
(AP + P A + BY + Y B ) P Q Y R




∗
−Q
0  < 0.


∗
∗
−R
Khi đó u(t) = Y P −1 x(t) là luật điều khiển ngược đảm bảo chi phí điều khiển
cho hệ tuyến tính ôtônôm (1.2) và giá trị đảm bảo chi phí điều khiển cho hệ
là J ∗ = xT0 P −1 x0 .
Như vậy, thông qua các định nghĩa trên ta thấy về cơ bản bài toán đảm bảo
chi phí điều khiển khác với bài toán điều khiển tối ưu. Ngoài ra, nếu ma trận
A và ma trận B bị "nhiễu" thành A + D1 ∆(t)E1 và B + D1 ∆(t)E1 , trong đó
D1 , E1 là các ma trận cho trước có số chiều thích hợp, ∆(t) là ma trận không
biết trước nhưng thỏa mãn điều kiện ∆T (t)∆(t) ≤ I, thì bài toán điều khiển
tối ưu cho bài toán trên rất khó giải nhưng bài toán đảm bảo chi phí điều khiển
cho bài toán đó đã được hai nhà toán học I.R. Petersen và D.C. McFarlane
giải quyết không mấy khó khăn (xem [17]).
Tiếp theo, chúng tôi nhắc lại một số định nghĩa và kết quả về bài toán đảm
bảo chi phí điều khiển cho hệ phương trình vi phân có trễ với bậc nguyên. Xét
hệ điều khiển tuyến tính không chắc chắn có trễ


 x(t)
˙
= [A + ∆A]x(t) + [A1 + ∆A1 ]x(t − d) + [B + ∆B]u(t),


 x(t) = φ(t),

(1.5)

t ∈ [−d, 0],

với x(t) ∈ Rn là véctơ trạng thái, u(t) ∈ Rm là véctơ điều khiển. Các ma
trận A, A1 , B là các ma trận thực hằng cho trước có số chiều thích hợp. Còn
∆A, ∆A1 , ∆B là các ma trận không biết trước nhưng thỏa mãn điều kiện
[∆A ∆B

∆A1 ] = DF (t)[E1

E2

Ed ], trong đó D, E1 , E2 , Ed là các ma

trận thực hằng cho trước có số chiều thích hợp và ma trận F (t) là không biết
trước nhưng thỏa mãn điều kiện F T (t)F (t) ≤ I, φ(t) là hàm điều kiện ban đầu


16

của hệ. Liên kết với hệ (1.5), ta xét hàm chi phí toàn phương sau
+∞

J(u) =
trong đó Q ∈ Rn×n , R ∈ R

[xT (t)Qx(t) + uT (t)Ru(t)]dt,
0
m×m

(1.6)

là các ma trận đối xứng, xác định dương cho

trước. Điều khiển u(t) ∈ U Ω , Ω ⊆ Rn .
Định nghĩa 1.8. Xét hệ điều khiển tuyến tính không chắc chắn có trễ (1.5)
và hàm chi phí toàn phương (1.6), nếu tồn tại một luật điều khiển ngược
u∗ (t) = Kx(t), K ∈ Rm×n và một số dương J ∗ sao cho với độ trễ d, hệ đóng


 x(t)
˙
= [A + ∆A + BK + ∆BK]x(t) + [A1 + ∆A1 ]x(t − d),
(1.7)

 x(t) = φ(t), t ∈ [−d, 0],
là ổn định tiệm cận và giá trị của hàm chi phí toàn phương (1.6) thỏa mãn
J ≤ J ∗ , thì J ∗ được gọi là giá trị đảm bảo chi phí điều khiển cho hệ (1.5)
và u∗ (t) được gọi là luật điều khiển ngược đảm bảo chi phí điều khiển cho hệ
(1.5).
Trong [21], các tác giả L. Yu và J. Chu đã đưa ra một điều kiện đủ cho sự
tồn tại một điều khiển ngược đảm bảo chi phí điều khiển cho hệ (1.5) như sau.
Định lý 1.10. ([21]) Cho Q ∈ Rn×n , R ∈ Rm×m là các ma trận đối xứng, xác
định dương. Xét hệ điều khiển tuyến tính không chắc chắn có trễ (1.5) với hàm
chi phí toàn phương tương ứng (1.6). Giả sử tồn tại các ma trận đối xứng, xác
định dương X, V ∈ Rn×n , một ma trận W ∈ Rm×n và một số dương

sao cho

bất đẳng thức ma trận tuyến tính sau được thỏa mãn:


Ξ A1 V (E1 X + E2 W )T
X
WT
X


 ∗ −V

T
V
E
0
0
0


d


∗
∗
−I
0
0

0 



 < 0.
−1
∗

∗
∗
−Q
0
0




−1
∗

∗
∗
∗
−R
0


∗
∗
∗

∗
∗
−V
Khi đó u∗ (t) = W X −1 x(t) là luật điều khiển ngược đảm bảo chi phí điều
khiển cho hệ (1.5) và giá trị đảm bảo chi phí điều khiển cho hệ là J ∗ =
φT (0)X −1 φ(0) +

0
T
−1
φ(τ )dτ.
−d φ (τ )V


17

Bây giờ, ta đưa ra định nghĩa tổng quát về bài toán đảm bảo chi phí điều
khiển cho hệ điều khiển có trễ với bậc nguyên.
Xét hệ điều khiển có trễ


 x(t)
˙
= f (t, xt , u(t)),

 x(t) = φ(t),

t ≥ 0,

(1.8)

t ∈ [−h, 0],

trong đó x(t) ∈ Rn là véc tơ trạng thái, u(t) ∈ Rm là véc tơ điều khiển;
h ≥ 0 là hằng số trễ, φ ∈ C := C([−h, 0], Rn ) là hàm điều kiện ban đầu
và f : R+ × C × Rm → Rn là hàm véctơ cho trước thỏa mãn điều kiện,
f (t, 0, 0) = 0, t ≥ 0. Liên kết với hệ điều khiển có trễ (1.8), ta xét hàm chi phí
toàn phương sau.
+∞

[xT (t)Qx(t) + uT (t)Ru(t)]dt,

J(u) =

(1.9)

0

trong đó Q ∈ Rn×n , R ∈ Rm×m là các ma trận đối xứng, xác định dương cho
trước. Điều khiển u(t) ∈ U Ω , Ω ⊆ Rn . Ta có định nghĩa sau.
Định nghĩa 1.9. Xét hệ điều khiển có trễ (1.8) và hàm chi phí toàn phương
(1.9), nếu tồn tại một luật điều khiển ngược u∗ (t) = g(x(t)), g : Rn → Rm và
một số dương J ∗ sao cho hệ đóng


 x(t)
˙
= f (t, xt , g(x(t))),

 x(t) = φ(t),

t ≥ 0,

(1.10)

t ∈ [−h, 0],

là ổn định tiệm cận và giá trị của hàm chi phí toàn phương (1.9) thỏa mãn
J ≤ J ∗ , thì J ∗ được gọi là giá trị đảm bảo chi phí điều khiển cho hệ điều khiển
có trễ (1.8) và u∗ (t) được gọi là luật điều khiển ngược đảm bảo chi phí điều
khiển cho hệ điều khiển có trễ (1.8).
Vì đạo hàm phân thứ và tích phân thứ có nhiều tính chất khác biệt so với
đạo hàm và tích phân cổ điển nên việc nghiên cứu bài toán đảm bảo chi phí
điều khiển cho hệ phương trình vi phân phân thứ có nhiều thách thức. Năm
2019, Thuan và Huong [20] nghiên cứu bài toán đảm bảo chi phí điều khiển
cho một lớp hệ phương trình vi phân phân thứ có trễ biến thiên bằng cách sử


18

dụng kỹ thuật bất đẳng thức ma trận tuyến tính, định lý Razumikhin cho hệ
phương trình vi phân phân thứ và một số tính chất của giải tích phân thứ.
Trong chương 2 của luận văn, chúng tôi sẽ trình bày lại một cách có hệ thống
kết quả này.

1.4.

Một số bổ đề bổ trợ

Trong mục này, chúng tôi nhắc lại một số bổ đề được sử dụng để chứng

minh các kết quả chính trong các nội dung tiếp theo của luận văn.
Bổ đề 1.1. (Bất đẳng thức Cauchy ma trận [4]) Cho x, y ∈ Rn và S ∈ Rn×n
là một ma trận đối xứng, xác định dương. Khi đó ta có đánh giá sau:
±2xT y ≤ xT Sx + y T S −1 y.
Bổ đề 1.2. (Bổ đề Schur [4]) Cho X, Y, Z là các ma trận có số chiều thích
hợp, X, Y là hai ma trận đối xứng, xác định dương. Khi đó X + Z T Y −1 Z < 0
nếu và chỉ nếu



T
X Z

 < 0.
Z −Y

Bổ đề sau đây có vai trò quan trọng trong việc ước lượng hàm Lyapunov.
Bổ đề 1.3. ([8]) Cho x(t) ∈ Rn là một véc tơ hàm khả vi liên tục và P ∈ Rn×n
là một ma trận đối xứng, xác định dương. Khi đó ta có ước lượng sau đây:
1C α T
α
D x (t)P x(t) ≤ xT (t)P C
t0 Dt x(t), ∀t ≥ t0 ≥ 0.
2 t0 t


19

Chương 2

Bài toán đảm bảo chi phí điều
khiển cho một lớp hệ nơ ron thần
kinh phân thứ có trễ
Chương này trình bày một số tiêu chuẩn cho bài toán đảm bảo chi phí điều
khiển cho một lớp hệ nơ ron thần kinh phân thứ có trễ. Nội dung được trình
bày trong chương này dựa một phần trên bài báo của M.V. Thuan và D.C.
Huong công bố trên tạp chí Optimal Control Applications and Methods năm
2019.

2.1.

Phát biểu bài toán

Xét hệ nơ ron thần kinh phân thứ Caputo có trễ sau đây



Dtα x(t) = − [A + ∆A(t)] x(t) + [D + ∆D (t)] f (x(t))



+ [W + ∆W (t)] g(x(t − τ )) + [B + ∆B(t)] u(t),




 x(t) = φ(t), t ∈ [−τ, 0],

t ≥ 0,

(2.1)
T

ở đó α ∈ (0, 1), x(t) = [x1 (t) x2 (t), . . . , xn (t)]

∈ Rn là véc tơ trạng thái,
T

u(t) ∈ Rm là véc tơ điều khiển, f (x(t)) = [f1 (x1 (t)) f2 (x2 (t)), . . . , fn (xn (t))] ∈
T

Rn , g(x(t − τ )) = [g1 (x1 (t − τ )) g2 (x2 (t − τ )), . . . , gn (xn (t − τ ))] ∈ Rn là các
hàm kích hoạt của mạng nơ ron, A = diag{a1 , a2 , . . . , an } ∈ Rn×n là một
ma trận đường chéo chính xác định dương, D, W ∈ Rn×n , B ∈ Rn×m là các
ma trận thực cho trước; ∆A(t) = Ea Fa (t)Ha , ∆D(t) = Ed Fd (t)Hd , ∆W (t) =


20

Ew Fw (t)Hw , ∆B(t) = Eb Fb (t)Hb , trong đó Ea , Ha , Ed , Hd , Ew , Hw , Eb , Hb là
các ma trận hằng số cho trước có số chiều thích hợp, Fa (t), Fd (t) và Fb (t) là
các ma trận hàm không biết nhưng thỏa mãn FaT (t)Fa (t) ≤ I, FdT (t)Fd (t) ≤
I, FwT (t)Fw (t) ≤ I, FbT (t)Fb (t) ≤ I, ∀t ≥ 0; φ(t) ∈ C([−h, 0], Rn ) là điều kiện
ban đầu.
Ta giả thiết các hàm kích hoạt thỏa mãn điều kiện Lipschitz với các hệ số
Lipschitz li > 0, ki > 0, fi (0) = 0, gi (0) = 0(i = 1, . . . , n) :
|fi (ξ1 ) − fi (ξ2 )| ≤ li |ξ1 − ξ2 |, i = 1, . . . , n, ∀ξ1 , ξ2 ∈ R,

(2.2)

|gi (ξ1 ) − gi (ξ2 )| ≤ ki |ξ1 − ξ2 |, i = 1, . . . , n, ∀ξ1 , ξ2 ∈ R.
Liên kết với hệ (2.1), ta xét hàm chi phí sau đây
Tf

1
J(u) =
Γ(α)

(Tf − s)α−1 xT (s)Q1 x(s) + xT (s − τ )Q2 x(s − τ )
0

(2.3)

T

+ u (s)Q3 u(s) ds, ∀Tf > 0,
ở đó Q1 , Q2 ∈ Rn×n , Q3 ∈ Rm×m là các ma trận đối xứng, xác định dương cho
trước.
Nhận xét 2.1. Khi α = 1, hàm chi phí (2.3) đưa về hàm chi phí toàn phương
cho hệ phương trình vi phân với bậc nguyên đã được nghiên cứu bởi nhiều nhà
khoa học (chẳng hạn xem [10, 11, 16, 17, 21] và các tài liệu tham khảo trong
đó).
Định nghĩa 2.1. ([20]) Nếu tồn tại một luật điều khiển ngược u∗ (t) = Kx(t),
trong đó K ∈ Rm×n là một ma trận chưa biết sẽ được xác định sau, và một số
dương J ∗ sao cho hệ đóng dưới đây



Dtα x(t) = − [A + ∆A(t) − BK − ∆B(t)K] x(t) + [D + ∆D (t)] f (x(t))




+ [W + ∆W (t)] g(x(t − τ )), t ≥ 0,




 x(t) = φ(t), t ∈ [−τ, 0]
(2.4)
ổn định tiệm cận và giá trị của hàm chi phí (2.3) thỏa mãn J(u∗ ) ≤ J ∗ , thì J ∗
được gọi là giá trị đảm bảo chi phí điều khiển cho hệ (2.1) và u∗ (t) được gọi
là luật điều khiển ngược đảm bảo chi phí điều khiển cho hệ (2.1).


21

2.2.

Một tiêu chuẩn cho bài toán đảm bảo chi phí điều
khiển cho một lớp hệ nơ ron thần kinh phân thứ có
trễ

Trong mục này, chúng tôi trình bày một tiêu chuẩn để giải bài toán đảm
bảo chi phí điều khiển cho một lớp hệ nơ ron thần kinh phân thứ có trễ (2.1).
Định lý 2.1. Xét hệ điều khiển phân thứ (2.1) với hàm chi phí (2.3). Cho
trước các ma trận thực, đối xứng xác định dương Q1 , Q2 , Q3 , điều khiển u(t) =
Y P −1 x(t) là luật điều khiển ngược đảm bảo chi phí điều khiển cho hệ (2.1)
nếu tồn tại một ma trận đối xứng xác định dương P ∈ Rn×n , một ma trận
Y ∈ Rm×n và các số dương

1 , 2 , β,

và q > 1 sao cho bất đẳng thức ma trận

song tuyến tính dưới đây được thỏa mãn


Ξ11
D
W
P HaT Y T HbT P LT P Q1 Y T Q3




T
0
0
0
0
0
0 
 ∗ −I + Hd Hd


 ∗
T
∗
−βI + Hw Hw
0

0
0
0
0 




 ∗

∗
∗
−
I
0
0
0
0
1



 < 0,
 ∗

∗
∗
∗
−
I

0
0
0
2




 ∗

∗
∗
∗
∗
−I
0
0




 ∗

∗
∗
∗
∗
∗
−Q
0

1


∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
−Q3
(2.5a)


T
−P P Q2 βP Σ 


 ∗ −Q2
0  < 0.


∗
∗
−βI

(2.5b)

Hơn nữa, giá trị đảm bảo chi phí điều khiển cho hệ (2.1) xác định bởi J ∗ =
λmax (P −1 ) φ 2 , trong đó

Ξ11 = −AP − P AT + BY + Y T B T + qP +

T
1 Ea Ea

+

T
2 Eb Eb

+ Ed EdT + Ew EwT ,

L = diag{l1 , l2 , . . . , ln }, Σ = diag{k1 , k2 , . . . , kn }.
Chứng minh. Vì P là một ma trận đối xứng, xác định dương nên ma trận P −1


22

cũng là một ma trận đối xứng, xác định dương. Xét hàm Lyapunov dưới đây
V (t, x(t)) = xT (t)P −1 x(t).
Dễ dàng kiểm tra được rằng
λmin (P −1 ) x(t)

2

≤ V (t, x(t)) ≤ λmax (P −1 ) x(t) 2 .

Do đó điều kiện (i) trong Định lý 1.8 được thỏa mãn. Sử dụng Bổ đề 1.3, ta
tính được đạo hàm phân thứ Caputo cấpα của hàm V (x(t)) dọc theo quỹ đạo
nghiệm của hệ (2.4) như sau:

Dtα V (t, x(t))
≤ 2xT (t)P −1 Dtα x(t)
= xT (t) −P −1 A − AT P −1 + P −1 BK + K T B T P −1 x(t)
− 2xT (t)P −1 Ea Fa (t)Ha x(t) + 2xT (t)P −1 Eb Fb (t)Hb Kx(t)

(2.6)

+ 2xT (t)P −1 Df (x(t)) + 2xT (t)P −1 Ed Fd (t)Hd f (x(t))
+ 2xT (t)P −1 W g(x(t − τ )) + 2xT (t)P −1 Ew Fw (t)Hw g(x(t − τ )).
Từ (2.2), ta có
0 ≤ −f T (x(t))f (x(t)) + xT (t)LT Lx(t),
0 ≤ −βg T (x(t − τ ))g(x(t − τ )) + βxT (t − τ )ΣT Σx(t − τ ).

(2.7)

Sử dụng Bổ đề 1.1, ta thu được các ước lượng sau đây
− 2xT (t)P −1 Ea Fa (t)Ha x(t)
≤

T
−1
Ea EaT P −1 x(t)
1 x (t)P

T
−1 T
1 x (t)Ha Ha x(t),

(2.8)

−1 T
T T
2 x (t)K Hb Hb Kx(t),

(2.9)

+

2xT (t)P −1 Eb Fb (t)Hb Kx(t)
≤

T
−1
Eb EbT P −1 x(t)
2 x (t)P

+

2xT (t)P −1 Ed Fd (t)Hd f (x(t))
≤ xT (t)P −1 Ed EdT P −1 x(t) + f T (x(t))HdT Hd f (x(t)),
và
2xT (t)P −1 Ew Fw (t)Hw g(x(t − τ ))

(2.10)


23

≤ xT (t)P −1 Ew EwT P −1 x(t) + g T (x(t − τ ))HwT Hw g(x(t − τ )).

(2.11)

Thay (2.7)–(2.11) vào trong (2.6), ta thu được đánh giá sau
Dtα V (t, x(t)) ≤η T (t)Ωη(t) + xT (t − τ )[Q2 + βΣT Σ]x(t − τ )
− [xT (t)(Q1 + K T Q3 K)x(t) + xT (t − τ )Q2 x(t − τ )],

(2.12)

ở đó
T

η(t) = xT (t) f T (x(t)) g T (x(t − τ ))


−1
−1
Ω11 P D P W 


Ω= ∗
Ω22
0 ,


∗
∗
Ω33

,

trong đó
Ω11 = −P −1 A − AT P −1 + P −1 BK + K T B T P −1 +
+

−1 T
1 Ha Ha

+

2P

−1

Eb EbT P −1 +

1P

−1

−1 T T
2 K Hb Hb K

Ea EaT P −1

+ LT L + P −1 Ed EdT P −1

+ P −1 Ew EwT P −1 + Q1 + K T Q3 K,
Ω22 = −I + HdT Hd , Ω33 = −βI + HwT Hw .
Áp dụng Bổ đề 1.2, ta có điều kiện (2.5b) tương đương với điều kiện
P (Q2 + βΣT Σ)P < P.

(2.13)

Nhân bên trái và bên phải của (2.13) với ma trận P −1 , ta có điều kiện (2.13)
tương đương với điều kiện dưới đây
(Q2 + βΣT Σ) < P −1 .

(2.14)

Từ đó suy ra
xT (t − τ )[Q2 + βΣT Σ]x(t − τ ) ≤ xT (t − τ )P −1 x(t − τ ),
và do đó
Dtα V (t, x(t)) ≤η T (t)Ωη(t) + xT (t − τ )P −1 x(t − τ )
− [xT (t)(Q1 + K T Q3 K)x(t) + xT (t − τ )Q2 x(t − τ )].

(2.15)


24

Vì V (t, x(t)) = xT (t)P −1 x(t) nên theo Định lý 1.8, ta giả sử tồn tại số q > 1
sao cho
xT (t + s)P −1 x(t + s) < qxT (t)P −1 x(t),

∀s ∈ [−τ, 0], t ≥ 0.

Từ đó suy ra
xT (t − τ )P −1 x(t − τ ) < qxT (t)P −1 x(t).
Do đó
Dtα V (t, x(t)) ≤ η T (t)Ωη(t) − [xT (t)(Q1 + K T Q3 K)x(t) + xT (t − τ )Q2 x(t − τ )],

(2.16)
trong đó


−1
−1
Ω11 P D P W 


Ω= ∗
Ω22
0 ,


∗
∗
Ω33
ở đó
Ω11 = Ω11 + qP −1 .
Bây giờ, nhân bên trái và bên phải của Ω bởi P = diag{P, I, I} và đặt K =
Y P −1 , ta có


Φ11 D W 


Φ = PΩP =  ∗ Φ22 0  ,


∗

∗ Φ33
trong đó
Φ11 = −AP − P AT + BY + Y T B T + qP +
+

T
2 Eb Eb

+

T
1 Ea Ea

+

−1
T
1 P Ha Ha P

−1 T T
2 Y Hb Hb Y

+ P LT LP + Ed EdT + Ew EwT + P Q1 P + Y T Q3 Y,
Φ22 = −I + HdT Hd , Φ33 = −βI + HwT Hw .
Chú ý rằng điều kiện Ω < 0 tương đương với điều kiện Φ < 0. Sử dụng Bổ
đề 1.2, ta có điều kiện Φ < 0 tương đương với điều kiện (2.5a). Do đó từ điều