WWW.DAYHOCTOAN.VN
HƯỚNG DẪN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN VÀ ĐƠN GIẢN
I. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX
Bài 1. Giải các phương trình sau :
2
x
x
a. sin cos 3cosx=2
2
2
b.
c. sinx+cosxsin2x+ 3cos3x=2 cos4x+sin3 x
1 2sin x cosx
1 2sin x 1 s inx
3
d. 3cos5x-2sin3xcos2x-sinx=0
Giải
x
x
2
1
3
1
a. sin cos 3cosx=2 1+sinx+ 3cosx=2 sinx+ cosx=
2
2
2
2
2
x k 2
x k 2
3 6
6
sin x sin
k Z
3
6
x 5 k 2
x k 2
3
6
2
x 6 k 2
1
1 2sin x cosx
7
s inx
b.
3 . Điều kiện :
k 2
2 x
6
1 2sin x 1 s inx
s inx 1
x 2 k 2
1 2sin x cosx 3 cosx-sin2x=1-sinx+2sinx-2sin 2 x
Khi đó :
1 2sin x 1 s inx
cosx-sinx=sin2x+cos2x 2cos 2x- 2cos x
4
4
x 2 k 2
2 x 4 x 4 k 2
2
xk
k Z
3
x k 2
2 x x k 2
3
4
4
c.
s inx+cosxsin2x+ 3cos3x=2 cos4x+sin 3 x s inx+
sin3x+sinx
3sinx-sin3x
3cos3x=2cos4x+
2
2
3s inx sin 3x 2 3cos3x=4cos4x+3sinx-sin3x
1
3
2sin 3x 2 3cos3x=4cos4x sin 3x
cos3x=cos4x
2
2
4
x
3
x
k
2
x
k 2
6
6
cos4x=cos 3x+
k Z
6
4 x 3x k 2
x k 2
6
42
7
d. 3cos5x-2sin3xcos2x-sinx=0 3cos5x- sin5x+sinx s inx=0
3cos5x-sin5x=2sinx
3
1
cos5x- sin 5x sinx
2
2
WWW.DAYHOCTOAN.VN
Trang 1
WWW.DAYHOCTOAN.VN
k
5 x x k 2
x
6 2
18 3
cos 5x+ s inx=cos x
k Z
6
2
5 x x k 2
x k
6
2
6 2
Bài 2. Giải các phương trình sau :
a. 4 sin 4 x cos4 x 3 sin 4 x 2
b. 2 2 s inx+cosx cosx=3+cos2x
c. cos 2 x 3 sin 2 x 2 s inx+cosx
d. sin 4 x cos 4 x 2 3 s inxcosx+1
Giải
a. 4 sin 4 x cos4 x 3 sin 4 x 2 4 1 sin 2 2 x 3 sin 4 x 2
1
2
3 1 2sin 2 x 3 sin 4 x 2 cos4x+ 3 sin 4 x 1
2
1
3
1
1
2
cos4x+
sin 4 x cos 4x- cos
2
2
2
3
2
3
2
k
4 x 3 3 k 2
x 4 2
k Z
4 x 2 k 2
x k
3
3
12 2
b. 2 2 s inx+cosx cosx=3+cos2x 2 sin 2 x 2 2cos 2 x 3 cos2x
2 sin 2 x 2 1 cos2x 3 cos2x 2 sin 2 x
2 1 5 2 2,
2 6 4 2 36
2
Ta có : a 2 b2 2
11 6 2 5 2
c2 3 2
2 1 cos2x=3- 2
2
11 6 2 . Do đó :
32 0 c2 a2 b2 . Phương trình vô nghiệm .
c. cos 2 x 3 sin 2 x 2 sinx+cosx cos2x- 3 sin 2 x 2sin x
4
1
3
cos2xsin 2 x sin x sin 2 x sin x
2
2
4
6
4
5
2 x 6 x 4 k 2
x 12 k 2
k Z
2 x 3 x k 2
x 11 k 2
36
3
6
4
4
4
d. sin x cos x 2 3 s inxcosx+1 cos2x+ 3 sin 2 x 1
1
3
2
cos2x+
sin 2 x 1 cos 2x- cos 2 x k 2 x
k
2
2
3
3
3
Bài 3. Giải các phương trình sau :
2
4
a. 4sin x sin x sin x 4 3cosx cos x cos x 2
3
3
b. 2sin 4 x 16sin 3 x.cosx 3cos 2 x 5
Giải
3
3
3
8
c. 1 sin 4 x cos 6 x sin 6 x
2
4
a. 4sin x sin x sin x 4 3cosx.cos x cos x 2
3
3
3
3
Trang 2
WWW.DAYHOCTOAN.VN
WWW.DAYHOCTOAN.VN
2
2
2sin x cos2x-cos
2 3cosx cos 2 x 2 cos
3
3
1
1
2sin xcos2x+2sinx. 2 3cosx.cos2x-2 3cosx. 2
2
2
sin 3 x s inx+sinx 3 cos3x+cosx - 3cosx 2
2
1
3
2
sin 3x 3cos3x= 2 sin 3x
cos3x=
cos 3x- cos
2
2
2
6
4
k 2
x 36 3
k Z
x k 2
36
3
b. 2sin 4 x 16sin 3 x.cosx 3cos 2 x 5
Ta có : 16sin 3 xcosx 4cos x 3sin x sin 3x 6sin 2 x 2.2sin 3x.cosx
=6sin2x-2 sin4x+sin2x 4sin 2 x 2sin 4 x
Cho nên (1) : 2sin 4x 4sin 2x 2sin 4x+3cos2x=5 4sin2x.+3cos2x=5
4
3
sin 2 x cos2x=1 cos 2x- 1 2 x k 2 x k k Z
5
5
2
3
4
Và : cos = ;sin
5
5
3
c. 1 sin 4 x cos 6 x sin 6 x
8
3
3 1 cos4x 5 3
Do : sin 6 x cos6 x 1 sin 2 2 x 1
cos4x
4
4
2
8 8
3
5 3
Cho nên (c) trở thành : 1 sin 4 x cos4x cos4x-sin4x=1 2cos 4x+ 1
8
8 8
4
k
x
4x+ k 2
2
2
4 4
cos 4x+
cos
k Z
4 2
4
x k
4x+ k 2
8 2
4
4
Bài 4. Giải các phương trình sau :
a. sin 8 x cos6x= 3 sin 6 x cos8x
b. cos7x-sin5x= 3 cos5x-sin7x
c. 3sin 3x 3cos9x=1+4sin 3 3x
d. 3cos5x+sin5x-2cos2x=0
Giải
a. sin 8 x cos6x= 3 sin 6 x cos8x sin 8 x 3cos8x= 3 sin 6 x cos6x
Chia hai vế ơhw[ng trình cho 2 ta có :
1
3
3
1
sin 8x
cos8x=
sin 6 x cos6x sin 8x- sin 6 x
2
2
2
2
3
6
8 x 3 6 x 6 k 2
2 x 2 k 2
x 4 k
k Z
8 x 6 x 5 k 2
14 x 7 k 2
x k
6
12 7
3
6
b. cos7x-sin5x= 3 cos5x-sin7x cos7x+ 3 sin 7 x 3cos5x+sin5x
Chia hai vế phương trình cho 2 ta có kết quả :
WWW.DAYHOCTOAN.VN
Trang 3
WWW.DAYHOCTOAN.VN
1
3
3
1
cos7x+
sin 7 x
cos5x+ sin5x cos 7x+ cos 5x-
2
2
2
2
3
6
7 x 3 5 x 6 k 2
2 x 2 k 2
x 4 k
k Z
7 x 5 x k 2
12 x k 2
x k
6
72 6
3
6
3
c. 3sin 3x 3cos9x=1+4sin 3x
Từ công thức nhân ba : sin 9 x 3sin 3 x 4sin 3 3 x cho nên phương trình (c) viết lại :
1
3
1
3sin 3x 4sin 3 3x 3cos9x=1 sin 9 x 3cos9x=1 sin 9 x
cos9x=
2
2
2
k 2
9x- k 2
x
1
6 3
18
9
cos 9x- = cos
k Z
6 2
3
9x- k 2
x k 2
6
3
27
9
3
1
cos5x+ sin5x=cos2x cos 5x- cos2x
2
2
6
k 2
k 2
x
3
30
5
k Z
k 2
k 2
x
3
10
5
d. 3cos5x+sin5x-2cos2x=0
5 x 6
5 x
6
II. PHƯƠNG TRÌNH : BẬC NHẤT - BẬC HAI
ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Bài 1. Giải các phương trình sau :
cos3x+sin3x
a. 5 sinx+
b. cos 2 3x.cos2x-cos 2 x 0
3 cos2x
1 2sin 2 x
3
c. cos4 x sin 4 x cos x- .sin 3x 0 d. 4.s inxcosx+3sin 2 x 6sin x
4
4 2
Giải
1
cos3x+sin3x
a. 5 sinx+
3 cos2x . Điều kiện : sin 2 x 2 (*)
1 2sin 2 x
Phương trình (a) trở thành :
sinx+2sinx.sin2x+cos3x+sin3x
sinx+cosx-cos3x+cos3x+sin3x
5
3 cos2x 5
3 cos2x
1 2sin 2 x
1 2sin 2 x
s inx+cosx+sin3x s inx+sin3x cosx 2sin 2 x.cosx+cosx cosx 1+2sin2x
cosx
1 2sin 2 x
1 2sin 2 x
1 2sin 2 x
1 2sin 2 x
1
cosx=
2
2
Cho nên (a) 5cos x 2 2 cos x 2 cos x 5cos x 2 0
2
cosx=2>1
x k 2
1
3
Vậy : cos x
. Kiểm tra điều kiện :
2
x k 2
2
Trang 4
WWW.DAYHOCTOAN.VN
WWW.DAYHOCTOAN.VN
2
1
- 2sin 4k 1 2. 1 2 0 . Cho nên nghiệm phương trình là x k 2
3
2
3
2
1
- 2sin 4k 1 2. 1 0 Vi phạm điều kiện , cho nên loại .
3
2
k 2
3
1+cos2x
0
b. cos 2 3 x.cos2x-cos 2 x 0 cos 2 3 x.cos2x2
2cos2 3x.cos2x- 1+cos2x 0 cos2x 1+cos6x 1 cos2x=0 cos6x.cos2x=1
Tóm lại phương trình có một họ nghiệm : x
cos4x=1
cos8x+cos4x=2 2 cos 4 x cos4x-3=0
cos4x=- 3 1
2
k
Do đó : cos 4 x 1 4 x k 2 x
k Z
2
2
c.
3
1
1
3
cos4 x sin 4 x cos x- .sin 3x 0 1 sin 2 2 x sin 4 x sin 2 x 0
4 2
2
2
2
4
2
1
1
3
1 sin 2 2 x cos4x sin 2 x 0 2 sin 2 2 x 1 2sin 2 2 x sin 2 x 3 0
2
2
2
sin2x=1
sin 2 x 1 2 x k 2 x k k Z
sin 2 2 x sin 2x-2=0
2
4
sin2x=-2<-1
sinx=0
4cosx+3sinx=6
d. 4.sinxcosx+3sin 2 x 6sin x sinx 4cosx+3sinx-6 0
- Với sinx =0 x k k Z
- Do : 42 32 25 62 36 . Cho nên phương trình 4cosx+3sinx=6 vô nghiệm .
Bài 2. Giải các phương trình sau
x
x
a. sin 2 3x cos 2 4 x sin 2 5 x cos 2 6 x
b. sin 2 tan 2 x cos2 0
2
c. tan x 2 tan 2 x 2
2
2
4
2
d. 5.s inx-2=3 1-sinx .tan 2 x
Giải
a. sin 3x cos 4 x sin 5 x cos 6 x
2
2
2
2
1 cos6x 1 cos8x
1 cos10x 1 cos12x
cos8x+cos6x cos10x+cos12x
2
2
2
2
x k
2
x 2 k
cosx=0
k
2cos7xcosx 2cos11xcosx
11x 7 x k 2 x
k Z
2
cos11x=cos7x
11x 7 x k 2
x k
9
x
x
b. sin 2 tan 2 x cos2 0 . Điều kiện : cosx khác không .
2
2 4
Khi đó phương trình trở thành :
WWW.DAYHOCTOAN.VN
Trang 5
WWW.DAYHOCTOAN.VN
1 cos x- 2
2
1 s inx 1 cos x 1 cosx
2 sin x 1 cosx
0
0
2
cos 2 x
2
2
1 sin 2 x 2
1 cosx 1 cosx 1 cosx 0 1 cosx 1 cosx 1 0
2
2
2 1 s inx
1 sin x
x k 2
cosx=-1
cosx=-1
1 cosx cosx-sinx
k Z
0
x k
sinx+cosx=
t
anx
1
2 1 s inx
4
sinx
0
sinx
0
c. tan x 2 tan 2 x 2 . Điều kiện :
x k k Z
2
2
2
sin 2 x 0 cosx 0
cosx 2cos2x
2 cos 2 x cos2x
2
2
Phương trình (c) cot x 2 cot 2 x 2
sinx sin 2 x
s inx.cosx
2 cos 2 x cos2x sin 2 x 1 cos2x cos2x=sin2x sin2x=1 x= k k Z
4
Nghiệm này thỏa mãn điều kiện .
d. 5.s inx-2=3 1-sinx .tan 2 x . Điều kiện : cos x 0 x
k k Z
2
2
sin 2 x 3 1 sinx sin x 3sin 2 x
3sin 2 x
d 5.sinx-2=3 1-sinx . 2
5.sinx-2=
cos x
1 sin 2 x
1 sinx
1 sinx
1
s inx= 5.s inx-2 1 s inx =3sin 2 x 2sin 2 x 3sin x 2 0
2
s
inx=2>1
x k 2
1
6
Vậy phương trình có nghiệm : sin x
k Z ( Thỏa mãn diều kiện )
2
x 7 k 2
6
Bài 3. Giải các phương trình sau :
cosx 2sinx+3 2 2cos 2 x 1
1
1
2 cos 3 x
a. 2sin 3 x
b.
1
s inx
cosx
1 sin 2 x
x
x
x
3x 1
c. cos x.cos .cos s inx.sin .sin d. 4cos3 x 3 2 sin 2 x 8cos x
2
2
2
2 2
Giải
sinx 0
1
1
2 cos 3 x
. Điều kiện :
x k k Z
s inx
cosx
2
cosx 0
1
1
2sin 3 x.s inx-1 2 cos 3 x.cosx 1
2 cos 3 x
Khi đó : 2sin 3 x
s inx
cosx
s inx
cosx
2
cos2x-cos4x-1 cos4x+cos2x 1
cos2x-2cos 2 x cos2x+2cos 2 2 x
s inx
cosx
s inx
cosx
cosx-sinx-2cos2x cosx-sinx
1-2cos2 x 1+2cos2 x
cos2x
0 cos2x
0
cosx
sinx.cosx
s inx
a. 2sin 3 x
Trang 6
WWW.DAYHOCTOAN.VN
WWW.DAYHOCTOAN.VN
k
x
k
4
2
cos2x=0
x
1-2cos2x
4 2
cos2x cosx-sinx
k Z
0 tanx=1 x k
4
sinx.cosx
x k
1
6
cos2x=
x
k
2
6
Các họ nghiệm này thỏa mãn điều kiện .
b.
cosx 2sinx+3 2 2cos 2 x 1
1 sin 2 x
Khi đó :
1 . Điều kiện : sin 2 x 1 x
cosx 2sinx+3 2 2cos 2 x 1
1 sin 2 x
4
k k Z (*)
1 sin 2 x+3 2cosx 2cos 2 x 1 1 sin 2 x
2
2
cosx=
2cos x 3 2cosx 2 0
cosx=
x k 2
2
2
4
cosx= 2 1
Nhưng do điều kiện (*) Ta chỉ có nghiệm : x k 2 , thỏa mãn .Đó cũng là nghiệm
4
x
3x
x
3x 1
c. cos x.cos .cos s inx.sin .sin cosx cos2x+cosx s inx cosx-cos2x 1
2
2
2
2 2
2
cos2x cosx+sinx cos x sin xcosx 1 cos2x cosx+sinx sinxcosx-sin 2 x 0
2
cos2x cosx+sinx sinx cosx+sinx 0 cosx+sinx cos2x-sinx 0
x 4 k
t anx=-1
cosx+sinx 0
k 2
k Z
x
cos2x=sinx=cos x
6
3
cos2x-sinx 0
2
x k 2
2
d. 4cos3 x 3 2 sin 2 x 8cos x 2cos x 2cos2 x 3 2 sinx-4 0 .
cosx=0
2cos x 0
cosx=0
sinx= 2
2
2
2
2 1 sin x 3 2 s inx-4=0
2sin x 3 2 s inx+2=0
s inx= 2 1
x 2 k
cosx=0
Do đó Phương trình có nghiệm :
x k 2 k Z
2
sinx=
4
2
x 3 k 2
4
Bài 4. Giải các phương trình sau :
a. cos 2 x cos 2x- 4sin x 2 2 1 sinx
4
4
b. 3cot 2 x 2 2 sin 2 x 2 3 2 cosx
WWW.DAYHOCTOAN.VN
c.
4sin 2 2 x 6sin 2 x 9 3cos 2 x
0
cosx
Trang 7
WWW.DAYHOCTOAN.VN
1
3
2
5
d. Cho : f ( x) s inx+ sin 3 x sin 5 x . Hãy giải phương trình : f'(x)=0.
Giải
a.
cos 2 x cos 2x- 4sin x 2 2 1 s inx
4
4
2cos 2 x.cos
2
4sin x 2 2 1 s inx
sin x 4 2 2 2 s inx=
x k 2
2+ 2
sin
k Z
4 2
x k 2
b. 3cot 2 x 2 2 sin 2 x 2 3 2 cosx . Điều kiện : sin x 0 x k
Chia hai vế phương trình cho : sin 2 x 0 . Khi đó phương trình có dạng :
2
cosx
cosx
3cot x 2 2 sin x 2 3 2 cosx 3 2 2 2 2 3 2 2
sin x
sin x
t 2
cosx
2
Đặt : t 2 3t 2 3 2 t 2 2 0 2
t
sin x
3
cosx=- 2 1
2
2
2
cosx= 2 sin x
c
osx=
2
c
osx=
2cos x cosx- 2 0
2
2
2
cosx= 2 sin 2 x
1
2 cos x 3cos x 2 0
cosx= 1
3
cosx= 2
2
cosx=-2<-1
2
2
2
x k 2
cosx=
4
2
Do đó phương trình có nghiệm :
k Z
1
x k 2
cosx= 2
3
2
2
4sin 2 x 6sin x 9 3cos 2 x
0 . Điều kiện : cosx 0 x k k Z
c.
2
cosx
2
2
4sin 2 x 6sin x 9 3cos 2 x
0 4 1 cos 2 2 x 3 1 cos2x 9 3cos 2 x 0
Khi đó :
cosx
t cos2x; t 1
t 1
t cos2x; t 1 t 1
2
4cos 2 x 6 cos 2 x 2 0 2
t 1
1
2t 3t 1 0
2
t 2
cos2x 1
x 2 k
. Nhưng nghiệm : x k vi phạm điều kiện .
1
cos2x
2
x k
2
3
Vậy phương trình có nghiệm : x k 2 k Z
3
1
2
d. Cho : f ( x) s inx+ sin 3 x sin 5 x . Hãy giải phương trình : f'(x)=0.
3
5
Trang 8
WWW.DAYHOCTOAN.VN
WWW.DAYHOCTOAN.VN
Ta có : f ' x cosx+cos3x+2cos5x=0 cos5x+cosx coss5x+cos3x 0
t cosx; t 1
2 cos 3xcos2x 2 cos 4 x cos x 0 3
2
2
2
4t 3t 2t 1 t 2 2t 1 1 0
t 0
cosx 0
t cosx; t 1
t cosx; t 1
5
2 9 17
4
2
3
t
2cos 2 x 9 17
16t 18t 4t 0
2t 8t 9t 2 0
16
8
cosx 0
cosx 0
cos2x 9 17 1 cos2x 9 17 1 1 17
8
8
8
- Trường hợp : cosx=0 x k
2
1- 17
cos
x= +k
cos2x=
2x= +k2
8
2
- Trường hợp :
k Z
2x=
k
2
1+ 17
x= k
cos
cos2x=
2
2
Bài 5. Giải các phương trình sau :
5x
x
5cos 2 x.sin
2
2
6x
x
c. 2 cos 2 1 3cos
5
5
b. sin 2 x cot x tan 2 x 4cos2 x
a. sin
d. tan 3 x t anx-1
4
Giải
5x
x
a. sin 5cos 2 x.sin
2
2
x
Đặt : t x 2t . Khi đó phương trình trở thành : sin 5t 5cos 2 2t sin t (2)
2
Nhan hai vế với 2cost ta được :
2sin 5t.cost=5cos 2 2t.2cost.sint sin6t+sin4t=5cos 2 2t.sin 2t
5
5
sin6t+sin4t= cos2t.2 cos 2t sin 2t sin 4t.cos2t
2
2
3
3sin 2t 4sin 2t 2sin 2t.cos2t- 5cos 2 2t.sin2t=0
sin 2t 3 4sin 2 2t 2.cos2t- 5cos2 2t =0 sin 2t 3 4 1 cos 2 2t 2.cos2t- 5cos2 2t =0
sin2t=0
2t k 2
sin 2t 1 2.cos2t+cos 2 2t =0
x 2k
cos2t=1 2t k 2
b. sin 2 x cot x tan 2 x 4cos2 x
sin t 0
. Khi đó phương trình trở thành :
cos2t 0
cosx sin 2 x
cos xcos2x+sin2x.sinx
2
2
sin 2 x
4cos x sin 2 x
4cos x
sinxcos2x
sinx cos2x
1
cosx
2
2
2sin x.cosx
2 0
4cos x 2cos x
sinxcos2x
cos2x
Điều kiện :
WWW.DAYHOCTOAN.VN
Trang 9
WWW.DAYHOCTOAN.VN
2cos 2 x=0
x 2 k
k Z Các nghiệm thỏa mãn điều kiện .
cos2x= 1
x k
2
6
x
6x
x
c. 2 cos 2 1 3cos . Đặt : t x 5t . Khi đó phương trình có dạng :
5
5
5
2
2 cos 6t 1 3cos t 2 cos12t=3cost 3cost-cos12t=2
t k 2
cost=1
t k 2
Chỉ xảy ra khi :
l . Nếu phương trình có nghiệm thì tồn
cos12t=1 12t l 2
t 6
l
tại k,l thuộc Z sao cho hệ có nghiệm chung . Có nghĩa là : k 2 k , l Z
6
l
12k
k 2 k , l Z 12k l x
2k
6
6
d. tan 3 x t anx-1
4
0
cos xĐiều kiện : 4 * . Khi đó phương trình trở thành :
cosx 0
tan x tan
4 t anx-1 tanx-1 t anx-1 0 tanx-1 1 1 0 t anx=1
tanx=0
tanx+1
tanx+1
1 t anx.tan
4
x = k
4
Nghiệm này thỏa mãn điều kiện (*)
x=k
Bài 6. Giải các phương trình sau :
sin 4 2 x cos 4 2 x
cos 4 4 x
tan x tan x
4
4
a.
b. 48
1
2
2 1 cot 2 x.cot x 0
4
cos x sin x
c. sin 8 x cos8 x 2 sin10 x cos10 x cos2x
5
4
d. cot x 1
cos2x
1
sin 2 x sin 2 x
1+tanx
2
Giải
sin 2 x cos 2 x
cos 4 4 x .
tan x tan x
4
4
Do : tan x tan x tan x cot x 1 . Cho nên mẫu số khác không .
4
4
4
4
1
Phương trình trở thành : sin 4 2 x cos 4 2 x cos 4 4 x 1 sin 2 4 x cos 4 4 x
2
t 1
t cos 2 4 x.0 t 1
2
4
2 1 cos 4 x 2cos 4 x 2
1
2t t 1 0
t 2 0
4
4
a.
Trang 10
WWW.DAYHOCTOAN.VN
WWW.DAYHOCTOAN.VN
k
.
4
Đối chiếu với điều kiện để tan x va tan x có nghĩa thì ta phải bỏ đi các nghiệm
4
4
k 2n 1 x 4 n cos 4 x 0
ứng với k là lẻ :
. Do đó phương trình chỉ có
k 2n 1 x n cos x 0
4
4
n
nghiệm ứng với k là chẵn : x= n Z
2
cosx 0
1
2
b. 48 4 2 1 cot 2 x.cot x 0 . Điều kiện :
x k (*)
cos x sin x
2
sinx 0
Vậy : t 1 cos 2 4 x 1 sin 4 x 0 x
1
2 cos2 x cos x
2 1
.
0
4
cos x sin x sin2x sinx
1
2 sin 2 x sinx cos2 x cos x
1
2
cosx
48
2
.
2
0
0 48
4
4
cos x sin x
sin2x
sinx
cos x sin x 2sin 2 x.cosx
1
1
48
4 0 48sin 4 x cos 4 x sin 4 x cos 4 x 0
4
cos x sin x
2
t 0
2
t sin 2 x;0 t 1
1
3
3sin 4 2 x 1 sin 2 2 x 0 2
1
2
t
6t t 2 0
2
1
k
Do đó : sin 2 2 x 1 2sin 2 2 x 0 cos4x=0 x=
. Thỏa mãn điều kiện (*)
2
8 4
5
sin 8 x cos8 x 2 sin10 x cos10 x cos2x
4
c.
5
sin 8 x 2sin10 x cos8 x 2 cos10 x cos2x=0
4
5
sin 8 x 1 2sin 2 x cos8 x 1 2 cos 2 x cos2x=0
4
5
5
sin8 xcos2x-cos8 xcos2x cos2x=0 cos2x sin 8 x cos8 x 0
4
4
k
- Trường hợp : cos 2 x 0 x
4 2
5
- Trường hợp : sin 8 x cos8 x 4 sin 4 x cos 4 x sin 4 x cos 4 x 5 0
4
1
1
4 sin 2 x cos2 x 1 sin 2 2 x 5 0 4cos2x 1 sin 2 2 x 5 0
2
2
3
2
4cos2x+2cos2x 1 cos 2 x 5 0 2cos 2x+2cos2x+5 0
Phương trình 48
Đặt : t cos2x t -1;1 VT f (t ) 2t 3 2t 5 f '(t ) 6t 2 2 0 t 1;1
Chứng tỏ f(t) đồng biến . Khi đó tại f(-1)=1 và f(1)=9 cho nên với mọi t 1;1 f (t ) 0
Vậy phương trình vô nghiệm .
d. cot x 1
cos2x
1
sin 2 x sin 2 x . Điều kiện :
1+tanx
2
WWW.DAYHOCTOAN.VN
cosx 0
*
tanx -1
Trang 11
WWW.DAYHOCTOAN.VN
cos x
cos 2 x sin 2 x
1
sin x s inx cosx
Phương trình trở thành :
sinx
s inx
1+
cosx
tan 1
t anx=1
1
cosx sin x
cosx sin x 0 2
s inx
cos x s inx.cosx=0
cosx cosx-sinx 0
Do cosx 0 Phương trình chỉ có nghiệm : t anx=-1 x=- k k Z
4
Bài 7. Giải các phương trình sau :
a. sin 2x 2tan x 3
b. cot x t anx+4sin2x=
c. 1 t anx 1 sin 2 x 1 t anx
d. sin 4x t anx
2
sin2x
Giải
a. sin 2x 2tan x 3 . Điều kiện : cosx 0 . Khi đó phương trình viết lại :
t t anx
2 tan x
2 tan x 3 3
t 1 2t 2 t 3 0 t 1
2
2
1 tan x
2t 3t 4t 3 0
Vậy phương trình có nghiệm là : t 1 t anx=1 x=
4
k k Z
sinx 0
2
. Điều kiện :
x m m Z *
sin2x
cosx 0
cos x sinx
2
2 cos 2 x
2
+4sin2x=
4sin 2 x
Phương trình
s inx cosx
sin2x
sin 2 x
sin 2 x
2
2
2
cos2x 2sin 2 x 2 cos2x=2 1-sin 2 x 2cos 2 x cos2x=0
b. cot x t anx+4sin2x=
k
cos2x=0
2 x 2 k sin 2 x sin 2 k 1 0 x
4 2
.
1
cos2x=
x k
2
2 x 3 2k
6
Thỏa mãn (*)
c. 1 t anx 1 sin 2 x 1 t anx . Điều kiện : cosx 0
Khi đó phương trình trở thành : 1 t anx 1
1 t anx
2 t anx
1 t anx
1+tan 2 x
2
1 tan 2 x
2 tan 2 x
1 t anx
1 t anx 1 t anx
1 0 1 t anx
0
2
1+tan 2 x
1 tan 2 x
1 tan x
t anx=1 x k
k Z . Thỏa mãn điều kiện (*).
4
tanx=0
x k
d. sin 4x t anx . Điều kiện : cosx 0 (*)
Có 2 phương pháp giải :
sinx
2sin 4 x.cosx=2sinx sin5x+sin3x=2sinx
cosx
sin5x-sinx + sin3x-sinx 0 2cos3x sin 2 x 2cos 2 x sin x 0
Cách 1. sin 4 x t anx sin 4 x
2sin x cos4x+cos2x+cos2x 0 2sin x 2cos 2 2x+2cos2x-1 0
Trang 12
WWW.DAYHOCTOAN.VN
WWW.DAYHOCTOAN.VN
s inx=0
s inx=0
x k
s inx=0
-1- 3
cos2x=
1
k Z
3 1
2
2
x k
2cos
x
2
cos
2
x
1
0
cos2x=
2
2
cos2x= 3 1
2
sinx=0
sinx
Cách 2. 2sin 2 xcos2x
sinx 4cos2x.cos 2 x 1 0
cosx
2cos2x(1+cos2x)-1=0
s inx=0
s inx=0
3 1 . ( Như kết quả trên )
2
2cos
2x+2cos2x-1=0
cos2x=
2
Bài 8. Giải các phương trình sau :
b.
c. 4cos4 x 3 2 sin 2 x 8cos x
d. cos
4
sinx 3 2 2cos x 2sin 2 x 1
9
a. sin x sin x sin 4 x
4
4 8
4
1 sin 2 x
1
4x
cos 2 x
3
Giải
a.
2
2
1 cos 2x+ 1 cos 2x-
9
2
2
4
4
4
4
sin x sin x sin x 8sin x 8
9
4
4 8
2
2
1 cos2x
8
4
2
1 cos2 x 2 1 sin 2 x 2
1 4
8
9 sin 2 x 2 3 2cos 2 x 2sin 2 x 9
2
2
2
-2- 6
1
sin2x=
2
2
2
2 cos 2 x 4sin 2 x 1 0 2sin 2 x 4sin 2 x 1 0
2 6
sin 2 x
2
x 2 k
6 2
Vậy phương trình có nghiệm : sin 2 x
sin
k Z
2
x k
2 2
b.
sinx 3 2 2cos x 2sin 2 x 1
1 sin 2 x
1 . Điều kiện : sin2x khác 1 (*)
Phương trình trở thành :
sinx 3 2 2cos x 2sin 2 x 1 1 sin 2 x 3 2 sinx sin 2 x 2sin 2 x 1 1 sin 2 x
2
x k 2
s
inx=
2
4
2sin 2 x 3 2 s inx 2 0
s inx=
k Z
2
3
2
x
k 2
s inx= 2 1
4
WWW.DAYHOCTOAN.VN
Trang 13
WWW.DAYHOCTOAN.VN
k sin 2 x sin k 2 1 vi phậm điều
4
2
3
k 2
kiện . Cho nên phương trình chỉ còn nghiệm : x
4
Đối chiếu với điều kiện (*) thì với x
c. 4cos4 x 3 2 sin 2 x 8cos x 2cos x 2cos2 x 3 2 sinx-4 0
cosx=0
2 cos x 2 1 sin 2 x 3 2 s inx-4 0
2
2sin x 3 2 s inx+2=0
cosx=0
x k
2
2
sinx=
k Z
2
x k 2 x 3 k 2
4
4
s inx= 2 1
2x
1 cos3
3
2x
x t
4x
t
3
2x
2
d. cos cos x cos2
3
2 . Do đó :
3
2
3
2cos 2t 1 cos3t
u cost
2 2 cos 2 t 1 1 4 cos3 t 3cos t 3
u 1 4u 2 4u 3 0
4u 4u 3u 3 0
u 1
t k 2
x 3k
cost=1
u 1 0
3
2
u 1
k Z
t k 2
x 3k
cost= 1
2
4u 4u 3 0
3
6
2
1
u
2
Bài 9. Giải các phương trình sau :
a. sin 2 x 2 sin x 0
3x
4x
1 3cos
5
5
2
d. 3tan2x-4tan3x= tan 3 x.tan 2 x
b. 2 cos 2
4
c. 3cos 4 x 2 cos 3x 1
2
Giải
a. sin 2 x 2 sin x 0 sin 2 x sinx-cosx=0 .
4
1 5
t=sinx-cosx; t 2 sin 2 x 1 t 2
2 sin x
4
2
1
5
1
5
1 5
t
1 t 2 t 0 t 2 t 1 0 t
2 sin x
2
2
4
2
1 5
3
sin
x k 2 x
k 2
sin x
4
2 2
3
4
k Z
1 5
x k 2 x 3 k 2
sin x
sin
3
4
4 2 2
b. 2cos2
3x
4x
6x
4x
2x
2x
1 3cos
1 cos 1 3cos
cos3 2 3cos 2
5
5
5
5
5
3
Trang 14
WWW.DAYHOCTOAN.VN
WWW.DAYHOCTOAN.VN
3
2x
u cost
x t
t
4 cos3 t 3cos t 3 2 cos 2 t 1 2 0
3
2
u-1 4u 2 2u 5 0
cos3t 2 3cos 2t
x 5k
u 1
cost=1
t k 2
1- 21
5
u 1 21 u 1 21 1 cost= 1- 21
x
arxcos
t
k
2
5k
2
4
4
4
4
c. 3cos 4 x 2cos2 3x 1 3cos 2.2 x 1 cos6x 1 0
t cos2x
3 2 cos 2 2 x 1 4 cos3 2 x 3cos 2 x 2 0 3
t 1 4t 2 2t 5 0
2
4t 6t 3 5 0
x k
t 1
t 1
cos2x=1
1 21
1 21
1 21
1- 21 x arccos 1- 21 k
t
t
1
t
cos2x=
4
4
4
4
4
2
d. 3tan2x-4tan3x= tan 3 x.tan 2 x
cos2x 0
Điều kiện :
* Phương trình trở thành :
cos3x 0
3tan 2 x 4 tan 3x tan 2 3x.tan 2 x 3 tan 2 x tan 3x tan 3x tan 3x.tan 2 x 1
tan 2 x tan 3x 1 tan 3x 3tan x tan 3x 2 tan x tan 3x t anx 0
tan 3x.tan 2 x 1 3
sin x
sin 4 x
sin x 4sin x cos x cos 2 x
02
0
cosx cos3x.cosx
cosx
cos3x.cosx
2cos 2 x
1
cos3x+2cos2x.cosx
2sinx
0 2sinx
0
cosx.cos3x
cosx cos3x
x k
x k
s inx=0
3
3
cos3x+cos3x+cosx=0
2 4cos x 3cos x cosx=0
8cos x 5cos x 0
x k
x k
Đối chiếu với điều kiện ta thấy nghiệm
cosx=0
x= k
2
5
5
cosx= cos
x= arccos k 2
8
8
x k cos3x=cos 3 3k 0 . Vi phạm điều kiện , nên bị loại .
2
2
x k
Vậy phương trình còn có nghiệm là :
k Z
x= arccos 5 k 2
8
2
Bài 10. Giải các phương trình sau :
a. cos 6 x sin 6 x
c.
13
cos 2 2 x
8
cos6 x sin 6 x 1
tan 2 x
cos 2 x sin 2 x 4
WWW.DAYHOCTOAN.VN
3 x 1 3x
b sin sin
10 2 2 10 2
d. cos 2 x cos 2 2 x cos 2 3x cos 2 4 x 2
Trang 15
WWW.DAYHOCTOAN.VN
Giải
13
3
13
3 1 cos4x 13 1 cos4x
cos 2 2 x 1 sin 2 2 x cos 2 2 x 1
8
4
8
4
2
8
2
3
1
3 k
16 6 1 cos4x 13 1 cos4x 7 cos 4 x 3 cos4x=- x arccos
7
4
7 2
3 x
1
3x
3 x
3x
b. sin sin 2sin sin
10 2 2 10 2
10 2
10 2
3x
3
3
y 3y
3 x
x 3
2 10
10
10
y
Đặt : y
10 2
2 10
3
x 5 2 y *
Do đó phương trình đã cho trở thành : 2sin y sin 3 y sin 3 y 3sin y 4sin 3 y
a. cos6 x sin 6 x
sin y 0
sin y 0
sin y 0
4sin y sin y 0
2
cos 2 y 1
2
1
c
os2y
1
0
4sin y 1 0
2
3
x
2k
3
5
y k
y k
x 5 2 k
x 4 k
2 y k 2
y k
15
x 3 2 4k
3
6
5
3
x 19 4k
15
6
6
k
cos x sin x 1
tan 2 x . Điều kiện : cos2x 0 x
c.
k Z .
2
2
4 2
cos x sin x 4
3
1 sin 2 2 x
t sin 2 x
1 sin 2 x
4
Khi đó PTd/ trở thành :
4 3sin 2 2 x sin 2 x 2
cos2x
4 cos2x
3t t 4 0
t 1
sin 2 x 1
t 1
x . Phương trình vô nghiệm .
4
t 1
cos2x=0
3
1 cos2x 1 cos4x 1 cos6x 1 cos8x
2
d. cos 2 x cos 2 2 x cos 2 3x cos 2 4 x 2
2
2
2
2
cos8x+cos2x cos6x+cos4x 0 2cos5x.cos3x+2cos5xcosx=0
3
k
x 10 5
cos5x=0
k
2 cos 5 x cos3x+cosx 0
x
k Z
4 2
cos3x=-cosx=cos -x
x k
2
III. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG THEO SINX, COSX
Bài 1. Giải các phương trình sau :
Trang 16
WWW.DAYHOCTOAN.VN
WWW.DAYHOCTOAN.VN
3
2
d. 3 cot x cosx 5 t anx-sinx 2
b. sin 3 x cos3 x 1 sin 2 x
a. s inx+sin 2 x cos3 x 0
c.
2 s inx+cosx t anx+cotx
Giải
a. s inx+sin x cos x 0 .
2
3
sinx+sin 2 x cos3 x 0 sinx 1 sinx cosx 1 sin 2 x 0
x
k 2
s inx=1
1 s inx s inx+cosx 1-sinx 0
2
2
sinx+cosx-sinxcosx=0
t 2t 1 0
t 1 2 2 l
2 1
2 sin x 2 1 sin x
sin
4
4
2
t 2 1
x 4 k 2
Do đó :
k Z
x 3 k 2
4
3
b. sin 3 x cos3 x 1 sin 2 x s inx+cosx 1 s inxcosx 1 3sin xcosx (1)
2
2
t 2 1
t 2 1
3 t 2 2 3 t 1
Đặt : t s inx+cosx; t 2 1 t 1
1 3
t
2
2
2
2
t 1
t 3 3t 2 3t 1 0 t 1 t 2 4t 1 0 t 2 3 2 l . Do đó phương trình :
t 2 3
1
x k 2 x k 2
sin x 4
2 sin x 4 1
2
2
32
x k 2 x 3 k 2
sin
sin x
2 sin x 3 2
4
4
4
4
2
sinx 0
2 s inx+cosx t anx+cotx . Điều kiện :
x k * . Khi đó phương trình
2
cosx 0
sinx cosx
1
+
2 s inx+cosx s inxcosx=1
(c) trở thành : 2 s inx+cosx
cosx sinx s inx.cosx
t s inx+cosx t 2
Đặt :
. Thay vào phương trình ta được :
t 2 1
s inxcosx=
2
2
t 1
3
3
2
2t
1 2t 2t 2 0 t t 2 0 t 2 t 2t 1 0
2
c.
t 2 2 sin x 2 sin x 1 x k 2 k Z
4
4
4
Thỏa mãn điều kiện .
sinx 0
x k * .
2
cosx 0
d. 3 cot x cosx 5 t anx-sinx 2 . Điều kiện :
WWW.DAYHOCTOAN.VN
Trang 17
WWW.DAYHOCTOAN.VN
Khi đó : 3
sinx-cosx 2 2sin x
1
sinx cosx
cosx
cos x
sin x
1
cosx+sinx
1 cosx
sinx+cosx-sinxcosx
3 cosx-sinx
1 2 sinx
1 2
cosx
sinxcosx
cosx
cosx+sinx-sinxcosx sinx+cosx-sinxcosx
3 cosx-sinx
2
0
sinxcosx
cosx
cosx+sinx-sinxcosx 3 cosx-sinx 2 0 cosx+sinx-sinxcosx=0
cosx
sinx
3 cosx-sinx 0
Trường hợp : cosx-sinx=0 tanx=1 x= k k Z
4
Trường hợp : sinx+cosx-sinx cosx=0 .
t s inx+cosx t 2
Đặt :
Cho nên phương trình :
t 2 1
s inxcosx=
2
t 1 2 2 l
t 2 1
t
0 t 2 2t 1 0
2 sin x 2 1
2
4
t 2 1
x k 2
2 1
4
sin x
sin
k Z
4
2
x 3 k 2
4
Bài 2. Giải các phương trình sau :
3 1+sinx
x
8cos 2
2
cos x
4 2
3
3
b. 2sin x s inx=2cos x cosx+cos2x
c. sin x sin 2 x sin 3 x sin 4 x cosx+cos 2 x cos3 x cos 4 x
a. 3 tan 3 x t anx+
Giải
3 1+sinx
x
8cos 2 . Điều kiện : cosx khác 0 . Khi đó phương
a. 3 tan 3 x t anx+
2
cos x
4 2
2
3 1+sinx
sin x
4 1 cos x 4 1 s inx
trình trở thành : t anx 3 2 1 +
2
cos x 1 s inx 1 cosx
2
3 4 cos 2 x
3 4 cos 2 x 3-4 1-sin x
3
t anx
4 1 s inx 0 t anx
0
+
+
2
2
cos x 1 s inx
cos x 1 s inx
3 2 1 cos2x 0
1
t anx
3 4 cos 2 x
0
2
2
3
cos x 1 s inx
s inx-sin x cos x 0
1
cos2x=- 2
Vì sinx=1 làm cho cosx=0 vi phậm điều kiện . Do đó
1 s inx 0
sinx+cosx-sinxcosx 0
Trang 18
WWW.DAYHOCTOAN.VN
WWW.DAYHOCTOAN.VN
1
x k
cos2x=
3
2
sinx+cosx-sinxcosx 0
sinx+cosx-sinxcosx 0
Trường hợp : sinx+cosx-sinx cosx=0 .
t s inx+cosx t 2
Đặt :
Cho nên phương trình :
t 2 1
s
inxcosx=
2
t 1 2 2 l
t 2 1
t
0 t 2 2t 1 0
2 sin x 2 1
2
4
t 2 1
x k 2
2 1
4
sin x
sin
k Z
4
2
x 3 k 2
4
x 4 k 2
3
Vậy nghiệm của phương trình là : x
k 2 k Z
4
x k
3
b. 2sin3 x sinx=2cos3 x cosx+cos2x 2 sin 3 x cos3 x sinx-cosx cos2 x sin 2 x 0
sinx=cosx
sinx-cosx 1 sinxcosx cosx sin x 0
sinx+cosx+sinxcosx+1=0
Trường hợp : sin x cosx tanx=1 x= k k Z
4
t2 1
t
s
inx+cosx;
t
2
s
inxcosx=
2
Trường hợp : sinx+cosx+sinxcosx+1=0
2
t t 1 1 0 t 2 2t 1 t 12 0
2
x k 2
1
cos
Do đó phương trình có nghiệm : t 1 cos x-
k Z
2
4
2
4
x k 2
c. sin x sin 2 x sin 3 x sin 4 x cosx+cos 2 x cos3 x cos 4 x
cosx-sinx cos2 x sin 2 x cos3 x sin 3 x cos 4 x sin 4 x 0
cosx-sinx 1 cosx+sinx 1 sinxcosx cosx+sinx 0
t anx=1
cosx-sinx=0
t anx=1
2
2
t
1
2t+
20
t 4t 3 0
2 sinx+cosx s inxcosx+2=0
2
x
k
x
k
4
4
x k 2
k Z . ( Đã bỏ nghiệm t=-3 <- 2 )
cos x- 1 cos 3
4
x k 2
2
4
2
WWW.DAYHOCTOAN.VN
Trang 19
WWW.DAYHOCTOAN.VN
Bài 3 . Giải các phương trình sau :
a. tan 2 x 1 sin 3 x cos3 x 1 0
b. 2sin x cot x 2sin 2x 1
c. Cho phương trình : m s inx+cosx+1 1 sin 2 x .
Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc đoạn 0;
2
Giải
a. tan x 1 sin x cos x 1 0 . Điều kiện : cosx 0 . Khi đó phương trình trở thành :
2
3
3
sin 2 x
1 sin 3 x cos3 x 1 0
2
cos x
1 cosx 1 cosx 1 s inx 1 s inx+sin 2 x
cosx-1 1 cosx+cos 2 x 0
1 s inx 1 s inx
1 cosx 1 sinx+sin 2 x
1 cosx
1 cosx+cos 2 x 0
1 sinx
sin 2 x cos 2 x s inxcosx cosx-sinx
0
1 cosx
1+sinx
x k 2
cosx=1
s inx+cosx-sinxcosx
1 cosx s inx-cosx
0
k Z
x k
1 s inx
sinx=cosx
4
t2 1
t=sinx+cosx;
t
2,s
inxcosx=
2
Còn trường hợp : sin x cosx-sinxcosx=0
2
t t 1 0 t 2 2t 1 t 12 0
2
x k 2
1
cos
Do đó : t 1 2cos x- 1 cos x-
k Z
2
4
2
4
4
x k 2
b. 2sin x cot x 2sin 2x 1 . Điều kiện : sinx khác 0 . Khi đó phương trình trở thành :
cosx 1-4sin 2 x
cos x
2sin x 1
4sin xcosx 0 2sin x 1
0
sinx
sinx
1
x k 2
cosx 2sinx+1
6
s inx= 2
2sin x 1 1
k Z
0
5
s
inx
x
k 2
s inx-cosx-sin2x=0
6
* Trường hợp : sinx-cosx-sin2x=0
1 5
t=sinx-cosx; t 2 sin 2 x t 2 1 t
1 5
2
t
2
2
2
1 5
t t 1 0 t t 1 0
1(l )
t
2
x k 2
1 5
1 5
4
Với : t
sin x
sin
k Z
2
4 2 2
x 5 k 2
4
Trang 20
WWW.DAYHOCTOAN.VN
WWW.DAYHOCTOAN.VN
c. Cho phương trình : m sinx+cosx+1 1 sin 2 x m sinx+cosx sinx+cosx .
Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc đoạn 0;
2
2
Giải . Đặt : t s inx+cosx t 2 sin 2 x t 1 . Thay vào phương trình ta được :
2
sinx+cosx=0
mt 1 t 2 1 t 2
sinx+cosx=m
3
Nếu : x 0; sinx,cosx 0;1 ; x ; sin x 0; 2
4 4 4
4
2
Hay : sinx+cosx= 2 sin x 0; 2 . Để phương trình có nghiệm 0; thì m ; 2
4
2
Bài 4. Cho phương trình : cos3 x sin 3 x m sin x cos x
a. Giải phương trình khi m= 2
b. Tìm m để phương trình có nghiệm .
Giải
a. Giải phương trình khi m= 2 :
cos3 x sin 3 x 2 sin x cos x s inx+cosx 1 s inxcosx 2 s inxcosx
t2 1
t 2
t
s
inx+cosx;
t
2
s
inxcosx=
2
t 2 1 2(l )
2
2
t 1 t 1 2 t 1 0 t 2 t 2 2 2t 1 0
t 2 1
2
2
x k 2
cos x- 4 1
1 2
4
; k Z
Do đó :
cos =
1 2
2
x k 2
cos x-
4
2
4
t2 1
t
s
inx+cosx;
t
2
s
inxcosx=
2
b/
2
2
3
t 1 t 1 m t 1 0 t 3t m(*)t 2; 2
2
t 2 1
2
Xét hàm số :
2
t 3 3t
2t
t 1 t 2
2
f (t ) 2
t 2
f '(t ) 1 2
1
0t 2; 2
2
2
2
t 2 1
t 1
t 1
t 1
Do vậy để phương trình có nghiệm thì :
2
2 m 2 m 2; 2
1
1
1
Bài 5. Cho phương trình : m sinx+cosx 1 t anx+cotx+
0 .
2
sinx cosx
f 2 m f
a. Giải phương trình với m=1/2
b. Tìm m để phương trình có nghiệm trên khoảng 0;
2
Giải
a. Giải phương trình với m=1/2. Khi đó phương trình trở thành :
WWW.DAYHOCTOAN.VN
Trang 21
WWW.DAYHOCTOAN.VN
1 sinx cosx
1
1
m sinx+cosx 1
+
+
0
2 cosx sinx sinx cosx
1
1
sinx+cosx
m sinx+cosx 1
+
0
2 cosxsinx sinxcosx
m sin 2 x sinx+cosx sin 2 x 1 sinx+cosx 0
sinx+cosx m sin 2 x 1 sin 2 x 1 0 sinx+cosx m sin 2 x 1 sinx+cosx 0 *
2
t s inx+cosx; t 2 sin 2 x t 2 1
t 0
1
2
t
t
1
0
Khi m= 1 2
t 1
2 t t 1 1 1 t 2 1 0
2
x k
4
2 sin x 4 0
sin x 4 0
x k 2 k Z
2
1
x k 2
2 sin x 1 sin x
4
4
2
3
b/ Từ (*) Nếu : x 0; x ; sin x 2;1 sinx+cosx
4 4 4
4
2
Do đó để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì ta tìm m dể phương trình (*) có nghiệm
t m t 2 1 1 t 2 0 t m t 1 t 1 1 t 0 t t 1 m t 1 1 0
2; 2
2; 2
- Với t=0 và t=-1 ta đã có nghiệm như câu a .
- Còn phương trình : m(t-1)=-1 , t=1 không là nghiệm ( vì : 0=-1 vô lý ) . Cho nên ta xét
hàm số f (t )
1
1
m f '(t )
0 . F(t) đồng biến , cho nên phương trình có
2
t 1
t 1
nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán thì :
f
2 m f 2 1 1 2 m 1 m 1 1 2 ; 1
Bài 6. Cho f(x)= cos2 2 x 2 sinx+cosx 3sin 2 x m .
a. Giải phương trình f(x)=0 khi m=-3
2
b. Tìm GTLN và GTNN của f(x) theo m . Tìm m để f ( x) 36x R
3
Giải
a. Giải phương trình f(x)=0 khi m=-3
Phương trình :
cos2 2 x 2 sinx+cosx 3sin 2 x m 0 sin 2 2 x 2 sinx+cosx 3 1 sin 2 x m 3 0 1
3
3
2
t s inx+cosx; t 2 sin 2 x t 1
Khi m=-3. Đặt :
0
Chú ý : cos2 2 x cosx-sinx cosx+sinx
2
t 0
2
t t 1 0
t 1
2
3
2
2
Cho nên : cos 2 2 x 2 s inx+cosx cosx+sinx cosx-sinx 2 sinx+cosx
cosx+sinx
2
1 sin 2 x 2 sinx+cosx
Trang 22
WWW.DAYHOCTOAN.VN
WWW.DAYHOCTOAN.VN
Vậy :
3
3
f(x)= cos2 2 x 2 sinx+cosx 3sin 2 x m cos 2 2 x 2 sinx+cosx 3 1 sin 2 x m 3 .
f ( x) cosx+sinx 1 sin 2 x 2 sinx+cosx 3 m 3
f ( x) cosx+sinx 1 sin 2 x 2 sinx+cosx 1 m 3
.Do : 1 sin 2 x sinx+cosx . Cho nên f(x) viết lại thành :
2
f ( x) sinx+cosx sinx+cosx-1 m 3
2
2
sinx+cosx=0
sinx+cosx=1
- Khi m=-3 thì f ( x) 0 sinx+cosx sinx+cosx-1 0
x k
t anx=-1
t anx=-1
4
x
k
2
2 sin x 1 sin x+ 2 sin
4 2
4
4
x k 2
2
k Z
t 0
t s inx+cosx; t 2,sin 2 x t 2 1
2
g '(t ) 2t 2t 3t 1 0
- Đặt :
2
2
t 1 t 1
f ( x) g (t ) t t 1 m 3
2
Ta có bảng biến thiên :
t
g'(t)
+
g(t)
m+3-
2
1
2
0
- 2
2 1
0
m+3
2
-
1
0
m+3-
+
2
0
m+3
-
1
16
2
Từ bảng biến thiên ta có maxf(x)=m+3 và min f(x)=m+3- 2
6 m 3 2
Do đó : f ( x) 36 6 f ( x) 6x
m 3 6
2
Bài 7. Giải các phương trình :
a. cos 2 x 5 2 2 cosx sinx-cosx
2 1
2 1
m+3-
2 1
2
2
2
9 2
2
2 1 m 3
b. cos3 x sin 3 x cos2x
c. 3 tan 2 x 4 tan x 4 cot x 3cot 2 x 2 0
d. tan x cot x tan 2 x cot 2 x tan 3 x cot 3 x 6
Giải
a. cos 2 x 5 2 2 cosx sinx-cosx 2 2 cosx sinx-cosx sin 2 x cos 2 x 5 0
sinx-cosx 4 2cos x sin x cosx 5 0 sinx-cosx 4 sin x cosx 5 0
s inx-cosx=1
2
s inx-cosx 4 sin x cosx 5 0
sinx-cosx=-5<- 2 l
x k 2
2
sin
Vậy : sin x cosx=1 2 sin x 1 sin x
k Z
2
4
4 2
4
x k 2
b. cos3 x sin 3 x cos2x cosx+sinx 1 sinxcosx- cosx-sinx 0
WWW.DAYHOCTOAN.VN
Trang 23
WWW.DAYHOCTOAN.VN
t anx=-1
x k
cosx+sinx=0
2
4
t+ 1-t 1 0 t cosx-sinx
2
cosx-sinx+sinxcosx-1=0
t 1 0
2
Do vậy :
x k 2
2
t 1 2 sin x 1 sin x
sin
k Z
x 3 k 2
4
4
2
4
4
sinx 0
c. 3 tan 2 x 4 tan x 4 cot x 3cot 2 x 2 0 . Điều kiện :
x k k Z
cosx 0
Phương trình viết lại : 3 tan 2 x cot 2 x 4 t anx+cotx 2 0 1
2
t 2 * tan 2 x cot 2 x t 2 2 . Thay vào (1)
sin2x
2
1
1
t 1
sin 2 x
sin 2 x
2
2
3 t 2 4t 2 0 3t 4t 4 0
2
t 2
2 2
sin 2 x 3 1(l )
3
sin 2 x 3
Đặt : t t anx+cotx=
2 x 6 k 2
x 12 k
Vậy : sin 2 x sin
k Z
6
2 x 5 k 2
x 5 k
6
12
sinx 0
d. tan x cot x tan 2 x cot 2 x tan 3 x cot 3 x 6 . Điều kiện :
x k k Z
cosx 0
Phương trình viết lại : t anx+cotx tan 2 x cot 2 x tan3 x cot 3 x 6 0 1
Vì : t anx+cotx tan3 x cot 3 x 3tan x cot x t anx+cotx t 3 tan3 x cot 3 x 3.1.t
3
tan 3 x cot 3 x t 3 3t . Cho nên phương trình trở thành : t t 2 2 t 3 3t 6 0
t 2 t 2 3t 4 0 t 2
2
2 sin 2 x 1 2 x k 2 x k k Z
sin 2 x
2
4
Bài 8. Cho phương trình : cos3 x sin 3 x m
a. Giải phương trình với m=1
b. Tìm m sao cho phương trình có đúng hai nghiệm thuộc đoạn ;
4 4
Giải
a. Giải phương trình với m=1
1-t 2
t cosx-sinx; t 2 s inxcosx= 2
Đặt :
2
cos3 x sin 3 x cosx-sinx 1 s inxcosx t 1 1 t m
2
1 t 2 t 3 3t
3
f '(t ) t 2 1 0 t 1
Xét : f (t ) t 1
2
2
2
a/ Nếu m=1. Phương trình là :
t 1
t 3 3t
1 t 3 3t 2 0 t 1 t 2 t 2 0
2
t 2
Trang 24
WWW.DAYHOCTOAN.VN
WWW.DAYHOCTOAN.VN
x k 2
2
sin
Với t=-2 (loại ) do đó t=1 sin x
k Z
2
4 2
4
x k 2
b/ Nếu phương trình có đúng 2 nghiệm thuộc ; , ta tìm điều kiện cho t :
4 4
- Từ : x x 0 1 sin x 0 2 t 0
4
4
2
4
4
Do đó phương trình có đúng 2 nghiệm x thuộc ; , thì phương trình :
4 4
3
t 3t
t 3 3t
f (t )
m có 2 ngiệm , hay đường thẳng d: y=m cắt đồ thị (C) : f (t )
tại
2
2
hai điểm với t thuộc 2;0
Ta có : f '(t ) 3 1 t 2 0 t 1 . Lập bảng biến thiên :
t
f'(t)
- 2
-
-1
0
0
1
0
+
- 2
0
f(t)
1
Qua bảng ta thấy : với - 2
thuộc ;
4 4
Bài 9. Cho phương trình :
2cos 2 x sin 2 x cos x sinxcos 2 x m sinx+cosx
a. Giải phương trình với m=2
b. Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 0;
2
Giải
Phương trình viết lại :
2 cos2 x sin 2 x sin x cos x sinx cosx m sinx+cosx
cosx+sinx=0
(*)
sinx cosx 2 cos x sin x sin x cos x m 0
cosx-sinx+sinxcosx-m=0
1-t 2
a. Giải phương trình với m=2. Đặt : t cosx-sinx; t 2 s inxcosx=
2
t anx=-1
x k
x
k
cosx+sinx=0
4
.
1-t 2
4
cosx-sinx+sinxcosx-2=0
2
t+
2
0
2
t 1 2 2
t 2t 3 0
2
Vậy phương trình có nghiệm duy nhât : x
4
k
b/ Từ (*) ta thấy : sinx+cosx=0 không có nghiệm x thuộc 0; , cho nên để phương
2
1-t 2
m có ít nhất 1 nghiệm
trình có ít nhất 1 nghiệm x thuộc 0; , thì phương trình t+
WWW.DAYHOCTOAN.VN
2
2
Trang 25