Giải pháp giúp học sinh vẽ và quan sát hình vẽ hình học không gian 11

MÔ TẢ SÁNG KIẾN
Mã số : ……….….
1. Tên sáng kiến: Giải pháp giúp học sinh vẽ và quan sát hình vẽ hình
học không gian 11.
2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Công tác chuyên môn.
3. Mô tả sáng kiến:
3.1. Tình trạng giải pháp đã biết
- Hiện trạng trước khi áp dụng giải pháp:
Trong qua trình giảng dạy và quan sát các em bước đầu tiếp cận với hình
học không gian lớp 11 tôi nhận thấy:
+ Khả năng tư duy trừu tượng của các em chưa cao, học sinh còn lúng
túng khi mới bước đầu học hình học không gian vì đây là một phân môn hình
học đòi hỏi học sinh giàu trí tưởng tượng trong khi nhiều em vẽ hình chưa chính
xác, chưa phân tích đúng và đủ yêu cầu của bài.
+ Học sinh theo lối mòn sử dụng hình không gian giống như hình học
phẳng, hai đường thẳng chéo nhau hay cắt nhau còn mơ hồ,…Khả năng quan sát
hình vẽ chưa chính xác dẫn đến giải quyết sai yêu cầu bài toán.
- Sự cần thiết đề xuất giải pháp mới:
Hình vẽ chính xác và dễ quan sát là một trong những yếu tố quan trọng
giúp các em giải quyết yêu cầu bài toán. Hình vẽ đúng sẽ giúp học sinh tưởng
tượng đồng thời tư duy tốt hơn trong giải toán. Để học sinh dễ dàng tiếp cận với
môn học thì ngay khi các em làm quen với các bài toán hình học không gian tôi
đã hướng dẫn cụ thể phương pháp các em vẽ hình và quan sát hình vẽ. Do đó
việc giải toán hình học không gian sẽ không còn trở nên khó khăn và gây áp lực
cho các em nữa.
3.2. Nội dung giải pháp đề nghị công nhận là sáng kiến:
3.2.1. Mục đích của giải pháp :

1

Khi học toán hình học không gian các em rất cần sự liên tưởng và sáng
tạo. Ở lớp 10 các em đang làm quen với các dạng bài tập về hình học phẳng. Lên
lớp 11 các em bắt đầu làm quen với hình học không gian nên mọi thứ trở nên
khó khăn hơn khi các em chưa biết cách vẽ và quan sát hình. Việc áp dụng giải
pháp đã giúp các em vượt qua rào cản tâm lý e ngại với các bài toán hình học
không gian, phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh. Với hình vẽ
chính xác và khả năng quan sát phân tích hình ảnh thì các em dễ dàng vượt qua
những khó khăn do phân môn hình học mang lại.
3.2.2. Nội dung giải pháp:
Khác với trước khi áp dụng giải pháp, khi áp dụng giải pháp này học sinh
sẽ được trực quan một số hình ảnh hình học không gian và được hướng dẫn cụ
thể, chi tiết cách vẽ hình và quan sát hình vẽ. Các em sẽ được lắng nghe và tiếp
thu những kinh nghiệm cần thiết và hữu hiệu trong quá trình vẽ hình, tránh
nhiều sai sót không đáng có, dễ dàng quan sát và sử dụng hình vẽ hơn. Cụ thể là
tôi đã thực hiện như sau:
● Chuẩn bị một số kiến thức về hình học phẳng có liên quan:
Kiến thức hình học phẳng đóng vai trò rất quan trọng trong việc vẽ hình
và giải toán hình học không gian. Các em cần phải nắm và nhớ rõ các thuộc tính
của các đa giác thường gặp như: Tam giác cân, tam giác vuông, tam giác vuông
cân, hình bình hành, hình thang, hình chữ nhật, hình vuông…Và các yếu tố
trong tam giác (đường trung tuyến, đường cao, trọng tâm, trực tâm,…)…Việc
nắm vững kiến thức hình học phẳng giúp các em vẽ hình chính xác hình hơn.
Chẳng hạn: Khi vẽ trọng tâm của tam giác học sinh sẽ hiểu được và vẽ giao
điểm hai đường trung tuyến hoặc vẽ đường trung tuyến và lấy

2
đường trung
3

tuyến; Vẽ đường cao trong tam giác vuông cân học sinh sẽ liên tưởng tới đây

đồng thời sẽ là đường trung tuyến hạ từ đỉnh góc vuông tới cạnh huyền và sẽ có
đội dài bằng

1
cạnh huyền;…
2

● Học cách vẽ hình cơ bản:
2


- Yêu cầu học sinh quan sát các góc tường, bức tường, trần nhà, cửa sổ,…
Sau đó để học sinh nhận xét trong không gian chúng có hình gì. Chẳng hạn, khi
nhìn nghiêng: Bức tường hình chữ nhật và ô la – phông trần nhà hình vuông
nhưng lại trở thành hình bình hành, hay góc vuông thì trở thành góc tù (hoặc góc
nhọn),…Từ đó rút ra cho học sinh thấy, khi biểu diễn hình trong không gian thì
hình bình hành, hình thoi, hình chữ nhật, hình vuông được biểu diễn là hình bình
hành; Các tam giác vuông, tam giác cân hay tam giác đều được biểu diễn là tam
giác thường;…
- Yêu cầu học sinh nắm vững quy tắc biểu diễn một hình không gian (quy
tắc SGK/trang 45 – Hình học 11).
- Giáo viên sử dụng mô hình sẵn có và cho học sinh quan sát lại các hình
khối đã được học ở lớp 9 như: Hình chóp tam giác, hình hộp, hình lập phương,
…Sau đó cho học sinh quan sát các góc cạnh của hình rồi tưởng tượng phác họa
ra hình vẽ. Điều đó sẽ kích thích khả năng tưởng tượng hình vẽ của các em sau
này. Sau đó cho học sinh quan sát và nhận xét hình nào thông dụng, dễ nhìn và
dễ sử dụng nhất.
Ví dụ : Trước khi vẽ hình chóp tam giác giáo viên đưa cho học sinh quan
sát mô hình khối chóp tam giác. Sau đó yêu cầu học sinh tưởng tượng có thể vẽ
được bao nhiêu hình khác nhau và cho học sinh lên bảng vẽ hình.

Hình (1)

Hình (2)

Hình (3)

Hình (1): Nhìn từ góc độ nghiêng thấy hai mặt bên của hình chóp.
Hình (2): Nhìn từ trên đỉnh hình chóp nhìn xuống.
Hình (3): Hình nhìn từ dưới đáy nhìn lên hoặc nhìn từ một mặt bên của
hình chóp.
3


+ Sau khi học sinh vẽ các trường hợp có thể xảy ra giáo viên yêu cầu học
sinh quan sát hình vẽ và cho biết hình vẽ nào thể hiện rõ thuộc tính của hình
chóp tam giác và dễ dàng sử dụng nhất. Sau khi quan sát học sinh nhận thấy
hình (2) khi cần biểu diễn đường cao hay trọng tâm của đáy sẽ gây khó khăn cho
các em trong quá trình quan sát để giải toán còn hình (1) và (3) dễ quan sát hơn
hình (2) vì các mặt phẳng được thể hiện rất rõ. Trong đó hình (1) sẽ được sử
dụng nhiều hơn vì ít đường khuất hơn so với hình (3). Từ đó, giáo viên rút ra
- Giáo viên hướng dẫn học sinh thực hiện các bước vẽ hình cơ bản: Nhiều
em biết vẽ hình vẽ hình học không gian nhưng các em vẽ theo phản xạ riêng nên
đôi lúc các em chưa nắm phương pháp vẽ hình cơ bản và thông dụng. Sau khi
cho các em phân tích hình ảnh thực tế và tự phác thảo hình vẽ hình học không
gian các em phân tích được những đường thẳng nào biểu diễn nét khuất, đường
thẳng nào biểu diễn nét liền thì giáo viên hướng dẫn các em các bước để vẽ một
hình vẽ hình học không gian hoàn chỉnh.
Chẳng hạn khi vẽ hình chóp:
+ Bước 1: Vẽ mặt đáy trước và chú ý mặt đáy mỏng, dẹt, tránh vẽ quá to

hoặc quá nhỏ hình không thật và khó quan sát.
+ Bước 2: Vẽ đỉnh hình chóp
Sau khi vẽ mặt đáy học sinh chấm một điểm phía trên là đỉnh. Chú ý:
Chiều cao là một trong những yếu tố quyết định sự cân đối và tính thẩm mỹ của
hình. Do đó để hình vẽ dễ quan sát học sinh cần chọn vị trí đỉnh hợp lý. Thông
thường tôi hướng dẫn học sinh nên chọn đỉnh sao cho khoảng cách từ đỉnh đến
cạnh bên trong của đáy dao động bằng 2 đến 3 lần bề rộng đáy khi đó hình vẽ sẽ
cân đối hơn. Học sinh có thể chọn tương đối sao cho hình vẽ rõ ràng và dễ nhìn.
+ Bước 3: Vẽ các cạnh bên.

a
(a = 2.5b)
4


b
- Giáo viên cho học sinh thực hành thêm cách vẽ một số hình thường gặp
như: Hình chóp có đáy là tứ giác (hình thang, hình bình hành, hình thoi, hình
vuông, hình chữ nhật,…), hình hộp,…
Một số hình vẽ minh họa:

Hình chóp đáy

Hình chóp đáy

tứ giác

Hình hộp

Hình lập phương

hình thang

● Truyền đạt kinh nghiệm vẽ hình để đảm bảo tính chính xác và thẩm mỹ
của hình vẽ cho học sinh: Hình vẽ đúng và rõ ràng sẽ giúp học sinh quan sát tốt
hơn và giải toán dễ dàng hơn . Việc vẽ hình sai sẽ khiến khả năng tưởng tượng
của các em bị thu hẹp và gây khó khăn trong việc giải quyết yêu cầu bài toán.
Do đó, giáo viên truyền đạt một số kinh nghiệm để học sinh tham khảo và áp
dụng:
- Vẽ hình bằng viết chì thay vì dùng bút mực. Dùng bút chì các em sẽ dễ
dàng sửa lại những chi tiết không hợp lý. Nên vẽ hình bên ngoài vào giấy nháp
trước khi vẽ vào vở hay giấy thi, vì khi chứng minh hay làm bài các em có thể
sử dụng viết màu (hai màu khác nhau) để tô lên hai mặt phẳng cần tìm giao
tuyến hay giao điểm đường thẳng và mặt phẳng,…Điều đó sẽ làm chúng nổi bật
lên và rất dễ quan sát.
- Khi vẽ hình chóp cần chú ý : Không vẽ mặt đáy quá lớn sẽ làm hình
không thật, mất cân đối, khó nhìn và khó tưởng tượng; Khi vẽ các chi tiết trong
bài toán hạn chế tối đa thể hiện ở mặt khuất.

5


- Khi có góc vuông cần chú thích góc vuông để dễ chứng minh; Các số đo
góc cũng cần được biểu diễn trên hình; Các đường cắt nhau thì vẽ theo hướng
bên trái hoặc phải tránh vẽ về phía sau sẽ khó quan sát.
- Đọc bài đến đâu vẽ hình đến đấy không vẽ một lượt hết các yêu cầu của
bài sẽ làm hình vẽ bị rối và khó sử dụng.
- Đọc kỹ đề bài và cần nắm rõ thuộc tính của hình để vẽ hình chính xác.
Ví dụ: Khi vẽ hình chú ý những đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
nên là những đường thẳng đứng để đảm bảo tính chính xác và dễ quan sát thuộc

tính cũng như đặc điểm của hình. Chẳng hạn như: Khi vẽ hình chóp đều thì học
sinh phải vẽ đường thẳng đứng nối từ đỉnh xuống trọng tâm đối với đáy tam giác
đều và từ đỉnh xuống tâm đối với đáy là đa giác đều. Do đó học sinh cần vẽ mặt
đáy trước rồi xác định tâm và kẻ đường cao của hình chóp rồi mới xác định đỉnh
của hình chóp. Và chú ý đường cao hình chóp là đường thẳng nằm trong khối
chóp nên khi vẽ sẽ được biểu diễn thành đường nét đứt.
- Chịu khó rèn luyện vẽ hình nhiều hơn để nâng cao khả năng nhận biết và
khả năng liên tưởng hình vẽ.
● Hướng dẫn học sinh quan sát hình vẽ hình học không gian để giải toán:
- Nắm vững dữ liệu và yêu cầu của đề bài trước khi quan sát hình vẽ.
- Học sinh vẽ hình và tưởng tượng, cố gắng hình dung ra hình khối thật.
- Học sinh cần phân tích được điểm hay đường thẳng nằm trên mặt phẳng
nào. Phân tích được đường thẳng đó nằm ở mặt bên hay mặt đáy hay nằm xuyên
bên trong hình khối. Đường thẳng nằm trong mặt phẳng khi có hai điểm trên
đường thẳng nằm trong mặt phẳng.
- Học sinh thường nhầm lẫn giữa hai đường thẳng cắt nhau và chéo nhau
dẫn đến học sinh thường xác định sai giao tuyến, giao điểm,…Vậy nên học sinh
phải phân biệt được đường thẳng như thế nào thì cắt nhau. Hai đường thẳng
(không song song và không trùng nhau) chỉ cắt nhau khi chúng cùng nằm trên
một mặt phẳng. Do đó, trước khi xác định giao điểm học sinh cần quan sát kiểm
tra đó là giao điểm hai đường thẳng nào, hai đường thẳng đó đồng phẳng hay

6


không, nếu có thì nằm trên mặt phẳng nào. Tránh việc xác định giao điểm của
hai đường thẳng chéo nhau.
- Nắm vững phương pháp giải toán để có định hướng quan sát hình.
Ví dụ: Với bài toán tìm giao tuyến cần xác định hai điểm chung của hai
mặt phẳng hay một điểm chung và hai đường thẳng song song lần lượt trên hai

mặt phẳng đó. Do đó, trước tiên học sinh cần quan sát tìm hai điểm chung của
hai mặt phẳng (là giao điểm của hai đường thẳng cắt nhau lần lượt trên hai mặt
phẳng và chú ý tránh nhầm lẫn với hai đường thẳng chéo nhau). Nếu chỉ tìm
thấy một điểm chung thì học sinh tiếp tục quan sát tìm một cặp đường thẳng lần
lượt nằm trên hai mặt phẳng và song song với nhau. Dựa vào các kiến thức hình
học phẳng về đường trung bình, định lý Talet, trọng tâm trong tam giác, tình
chất hình bình hành, hình thang,....Học sinh quan sát trên tam giác (đa giác) có
chứa các yếu tố đó để tìm ra cặp đường thẳng song song cần tìm.
- Học sinh khi chứng minh quan hệ vuông góc thường khó phát hiện ra
các đường thẳng vuông góc với nhau trong không gian vì hai đường thẳng
vuông góc trong không gian không được biểu diễn một cách rõ ràng. Do đó, học
sinh cần ký hiệu các góc vuông mà đề bài đã cho để trong quá trình quan sát và
chứng minh được dễ dàng hơn.
3.3. Khả năng áp dụng của sáng kiến.
Giải pháp đã được áp dụng với những lớp khối 11 mà tôi đang giảng dạy.
Theo tôi giải pháp có thể áp dụng với toàn bộ học sinh khối 11 ở trường THPT
nhằm giúp các em hoàn thiện kiến thức, kỹ năng, phương pháp để có thể học tập
tốt hình học không gian.
3.4. Hiệu quả, lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp
dụng sáng kiến.
Ban đầu khi chưa áp dụng giải pháp tôi nhận thấy khả năng vẽ và phân
tích hình ảnh của học sinh rất yếu, các em thường chưa thoát khỏi cái bóng của
hình học phẳng. Nhưng sau khi áp dụng giải pháp tôi thấy đa số học sinh nhạy
bén hơn, khả năng vẽ và quan sát hình ảnh của các em rất tốt. Những rào cản về
7


kiến thức cũng như tâm lý do hình học không gian mang lại cho các em dần
được thu hẹp. Các em sôi nổi, hứng thú và tích cực hơn. Việc học tốt hình học
không gian giúp trí tưởng tượng và khả năng tư duy của các em ngày càng được

phát triển. Các em đạt kết quả cao trong các bài kiểm tra và thi học kỳ. Chất
lượng bộ môn tăng hơn so với năm học tôi chưa áp dụng giải pháp. Năm 2019 –
2020 tôi được phân công giảng dạy môn toán lớp 11B2, 11B3, 11B4. Sau đây là
thống kê chất lượng bài kiểm tra của học sinh 3 lớp tôi giảng dạy:
Lớp
11B2
11B3
11B4
Tổng

Sĩ

Khi chưa áp dụng giải pháp
Sau khi áp dụng giải pháp
Trên TB
Dưới TB
Trên TB
Dưới TB
số
41
28 (68.3%)
13 (31.7%)
32 (78%)
9 (22%)
42
30 (71.4%)
12 (28.6%)
35 (88.3%)
7 (16.7%)
43

24 (55.8%)
19 (44.2%)
30 (69.8%)
13 (30.2%)
126 82 (65.1%)
44 (34.9%)
97 (77%)
29 (23%)
Tỉ lệ học sinh trên trung bình 77% (tăng 11.9% so với chưa áp dụng sáng

kiến), tỉ lệ học sinh dưới trung bình 23% (giảm 11.9% so với chưa áp dụng sáng
kiến).
Kiên Giang, ngày 23 tháng 12 năm 2019
Người mô tả

Khổng Thị Hồng Hạnh

8