2 vận tốc gia tốc trong dao động điều hòa

CHUYÊN ĐỀ

VẬN TỐC VÀ GIA TỐC
TRONG DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA

2

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
I. Vận tốc v của một vật dao động điều hòa
Ta có:
o vận tốc là đại lượng đặc trưng cho mức độ nhanh, chậm của chuyển động.
o vận tốc của vật dao động được xác định bằng đạo hàm bậc nhất của li độ theo thời gian
dx
hay v = x
v=
dt
Vậy



v = x = − A sin (t + 0 ) =  A cos  t + 0 + 
2



hay v = vmax cos  t + 0 +  với vmax =  A
2

Vận tốc sẽ có giá trị dương khi vật chuyển động theo chiều dương của trục Ox , có giá trị âm khi vật
chuyển động theo chiều ngược lại.
− A

A
−A

O

+A

−A

x

O

+A

x

Vật chuyển động theo chiều âm

Vật chuyển động theo chiều dương

Từ biểu thức của vận tốc ta thấy rằng:
o vận tốc cực đại khi vật đi qua vị trí cân bằng theo chiều dương vmax =  A .
o vận tốc cực tiểu khi vật đi qua vị trí cân bằng
theo chiều âm vmax = − A .
o vận tốc bằng 0 khi vật đi qua vị trí biên.
 Chú ý:
o Tốc độ được hiểu là độ lớn của vận tốc. Tốc độ sẽ cực đại khi vật đi qua vị trí cân bằng (không quan
tâm đến chiều).

o Vận tốc đổi dấu, tương ứng với vật đổi chiều chuyển động tại vị trí biên.
II. Gia tốc a của một vật dao động điều hòa
Ta có:
o gia tốc là đại lượng đặc trưng cho tốc độ biến đổi nhanh hay chậm của vận tốc.
o gia tốc của vật dao động điều hòa được tính bằng đạo hàm bậc hai theo thời gian của li độ hay bằng
đạo hàm bậc nhất theo thời gian của vận tốc.
a = v hay a = x
Vậy
a = x = − 2 x =  2 A cos (t + 0 +  )
hay a = amax cos (t + 0 +  ) hoặc a = − 2 x với amax =  2 A
→ Gia tốc luôn ngược dấu với li độ và có độ lớn tỉ lệ với độ lớn của li độ. Từ biểu thức trên ta thấy rằng:

1


Vị trí gia tốc đổi chiều

−A

a0

a0
x0

O

+A

x

x0

Giản đồ gia tốc – li độ

o gia tốc cực đại khi vật đi qua vị trí biên âm amax =  2 A .
o gia tốc cực tiểu khi vật đi qua vị trí biên dương amin = − 2 A .
o gia tốc bằng 0 khi vật đi qua vị trí cân bằng.
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP ĐIỂN HÌNH
Dạng 1: Hệ thức độc lập thời gian li độ – vận tốc
 Phương pháp giải:
Ta có:
2

x
x
→ cos 2 (t +  ) =   (1).
A
 A

o

x = A cos (t +  ) → cos (t +  ) =

o

v = x = − A sin (t +  ) → sin (t +  ) = −

2

v

 v 
→ sin 2 (t +  ) = 
 (2).
A
A

Từ (1) và (2)
2

2

x  v 
  +
 = 1 (*)
 A   A
Hệ thức (*) được gọi là hệ thức độc lập thời gian giữa li độ và vận tốc. Từ (*), ta cũng thu được
v
A = x2 +  
 

2

và v 2 =  2 ( A2 − x 2 ) hay  2 =

  v 2 
v2
2
2
và
x

=
A
1 − 
 
A2 − x 2
   A  

 Ví dụ minh họa:
 Ví dụ 1: (Quốc gia – 2012) Một vật dao động điều hòa với tần số góc 5 rad/s. Khi vật đi qua li độ 5 cm
thì nó có tốc độ là 25 cm/s. Biên độ giao động của vật là
A. 5,24 cm.
B. 5 2 cm.
C. 5 3 cm.
D. 10 cm.
 Hướng dẫn: Chọn B.
Ta có:
2

o

v
A = x +  =
 
2

2

25
( 5) +   = 5 2 cm.
 5 

2



 Ví dụ 2: (BXD – 2020) Một chất điểm dao động điều hòa với phương trình x = 10 cos  2t +  cm, t
3

được tính bằng giây. Tại thời điểm chất điểm có tốc độ 10 cm/s thì nó cách vị trí cân bằng một đoạn
A. 5 cm.
B. 5 2 cm.
C. 5 3 cm.
D. 10 cm.
 Hướng dẫn: Chọn C.
Ta có:
2

o

2

 v 
 10 
x = A 1− 
 = (10 ) 1 − 
 = 5 3 cm.
 A 
 2.10 

 Ví dụ 3: (BXD – 2020) Một chất điểm dao động điều hòa với phương trình x = 10 cos ( 2t ) cm, t được
tính bằng giây. Tại thời điểm chất điểm cách vị trí cân bằng một đoạn 5 cm thì nó có tốc độ bằng

2


A. 5 cm/s.
 Hướng dẫn: Chọn C.
Ta có:
o

C. 10 3 cm/s.

B. 10 2 cm/s.

v =  A2 − x2 = ( 2 )

(10) − (5)
2

2

D. 20 cm/s.

= 10 3 cm.

Dạng 2: Hệ thức độc lập thời gian vận tốc – gia tốc
 Phương pháp giải:
Ta có:
2

v
 v 

→ sin 2 (t +  ) = 
 (1).
A
A

o

v = x = − A sin (t +  ) → sin (t +  ) = −

o

a = x = − 2 A cos (t +  ) → cos (t +  ) = −

2

 a 
→ cos 2 (t +  ) =  2  (2).
2
 A
 A

a

Từ (1) và (2)
2

2

 v   a 
 v   a 


 +  2  = 1 hay  v  +  a  = 1 (**)
 A    A 
 max   max 
Hệ thức (**) được gọi là hệ thức độc lập thời gian giữa vận tốc và gia tốc. Từ (**), ta cũng thu được
2

2

v  a 
A =   + 2 
   

2

2

và v = v
2

2
max

  a 2 
  v 2 
2
2
1 − 
  và a = amax 1 − 
 

  amax  
  vmax  

 Ví dụ minh họa:
 Ví dụ 1: (Quốc gia – 2009) Một vật dao động điều hòa có phương trình x = A cos (t +  ) . Gọi v và a
lần lượt là vận tốc và gia tốc của vật. Hệ thức đúng là
v2 a2
v2 a2
v2 a2
A. 4 + 2 = A2 .
B. 2 + 2 = A2 .
C. 2 + 4 = A2 .













D.

2
v

2

+

a2



4

= A2 .

 Hướng dẫn: Chọn C.
Ta có:
2
2
v2 a2
 v   a 
o 
hay
+ 4 = A2 .
+
=
1
  2 
2

A

A




 

 Ví dụ 2: (Quốc gia – 2011) Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox . Khi chất điểm đi qua vị trí
cân bằng thì tốc độ của nó là 20 cm/s. Khi chất điểm có tốc độ là 10 cm/s thì gia tốc của nó có độ lớn là
40 3 cm/s2. Biên độ dao động của chất điểm là
A. 5 cm.
B. 4 cm.
C. 10 cm.
D. 8 cm.
 Hướng dẫn: Chọn A.
Ta có:
o vc.bang = v max =  A = 20 cm/s.
2

2

2

2

1  a 
 v   a 
 v 
o 
 + 2
 = 1 →  = 4 rad/s.
 +  2  = 1→ 

A   A
A   A
Thay vào biểu thức đầu tiên → A = 5 cm.

 BÀI TẬP RÈN LUYỆN 
I. Chinh phục lý thuyết
Câu 1: Một vật dao động điều hòa quanh vị trí cân bằng O trên trục Ox . Kết luận nào sau đây là sai?
A. Vận tốc của vật cực đại khi vật đi qua vị trí cân bằng.
3


B. Vận tốc của vật bằng 0 tại vị trí vật đổi chiều chuyển động.
C. Gia tốc của vật cực đại tại vị trí vật có li độ cực tiểu.
D. Gia tốc của vật bằng 0 khi vật đi qua vị trí cân bằng.
Câu 2: (BXD – 2019) Trong dao động điều hòa, vật đang chuyển động từ vị trí biên dương về vị trí cân
bằng thì:
A. vận tốc của vật âm.
B. vận tốc của vật dương.
C. gia tốc của vật dương.
D. li độ của vật âm.
Câu 3: (BXD – 2019) Một vật dao động điều hòa khi đi qua vị trí cân bằng theo chiều dương đến khi đi
qua vị trí cân bằng theo chiều âm lần đầu tiên thì gia tốc của vật sẽ
A. luôn tăng.
B. luôn giảm.
C. tăng rồi lại giảm.
D. giảm rồi lại tăng.
Câu 4: (BXD – 2019) Một vật dao động điều hòa, tại thời điểm t1 vận tốc của vật là cực đại, đến thời điểm
t2 gần nhất gia tốc của vật là cực tiểu. Trong khoảng thời gian này chuyển động của vật là
A. nhanh dần đều.
B. chậm dần đều.

C. nhanh dần.
D. chậm dần.
Câu 5: Một vật dao động điều hòa khi chuyển động từ vị trí cân bằng theo chiều dương đến vị trí biên lần
đầu thì
A. vận tốc của vật sẽ giảm.
B. li độ của vật sẽ giảm.
C. gia tốc của vật sẽ tăng.
D. tốc độ của vật sẽ tăng.
Câu 6: Một chất điểm dao động điều hòa, khi chất điểm này đi từ vị trí cân bằng theo chiều âm đến vị trí
cân bằng theo chiều dương gần nhất thì
A. vận tốc của vật luôn giảm.
B. vận tốc của vật luôn tăng.
C. vận tốc của vật tăng rồi giảm.
D. vận tốc của vật giảm rồi tăng.
Câu 7: Trong quá trình dao động điều hòa của một vật, gia tốc của vật này có giá trị cực đại khi vật đi qua
vị trí
A. cân bằng theo chiều dương.
B. biên âm.
C. cân bằng theo chiều âm.
D. biên dương.
Câu 8: Một vật dao động điều hòa, khi li độ của vật cực đại thì
A. vận tốc của vật sẽ cực tiểu.
B. gia tốc của vật sẽ cực tiểu.
C. gia tốc của vật sẽ cực đại.
D. vận tốc của vật sẽ cực đại.
Câu 9: Trong quá trình dao động điều hòa của một vật, gia tốc của vật luôn
A. hướng về vị trí biên âm.
B. hướng về vị trí biên dương.
C. hướng về vị trí cân bằng.
D. hướng ra xa vị trí cân bằng.

Câu 10: Một chất điểm dao động điều hòa trên một đoạn thẳng MN , biết tại M và N vật đổi chiều
chuyển động. Tốc độ của vật này sẽ cực đại khi nó đi qua
A. điểm M .
B. điểm N .
C. trung điểm của MN .
D. không đủ cơ sở để xác định.
II. Bài tập vận dụng
Câu 1: Vật dao động điều hòa sẽ đổi chiều chuyển động khi
A. vận tốc của vật cực đại.
B. gia tốc của vật bằng một nửa gia tốc cực đại.
C. vật đi qua vị trí cân bằng.
D. vật đi qua vị trí biên.
Câu 2: Trong dao động điều hòa, gia tốc biến đổi
A. cùng pha với li độ.

B. sớm pha

C. ngược pha với li độ.

D. trễ pha


so với li độ.
2


so với li độ.
2

Câu 3: Một chất điểm dao động điều hòa theo phương trình li độ và vận tốc được cho lần lượt là

x = A cos t và v =  A cos (t +  ) . Giá trị của  là


.
2



.
D.  .
2
Câu 4: (BXD – 2019) Một chất điểm dao động điều hòa với chu kì T và biên độ A . Gọi x và v lần lượt
là li độ và vận tốc của chất điểm này tại cùng một thời điểm. Hệ thức nào sau đây là đúng?
A. 0.

B.

C. −

4


A.

2

x
B.   + v 2 = 1 .
 A

v
= A.
x

 x   vT 
C.   + 
 = 1.
 A   2 A 

D.

x1
2
=−
.
x2
T

Câu 5: Một vật dao động điều hòa biên độ A và tần số góc  . Tại thời điểm vật có tốc độ v =

3
 A thì
2

vật có li độ x là
A. x =  A .

B. x = 

1

A.
2

C. x = 

2
A.
2

D. x = 

3
A.
2



Câu 6: Một vật dao động điều hòa với phương trình li độ x = 10 cos   t +  cm, t được tính bằng giây.
2

2
Lấy  = 10 . Gia tốc cực đại của vật trong quá trình dao động là
A. 10 cm/s2.
B. 20 cm/s2.
C. 100 cm/s2.
D. 50 cm/s2.
Câu 7: Một chất điểm dao động điều hòa khi đi qua vị trí biên âm thì
A. vận tốc cực tiểu.
B. vận tốc cực đại.
C. gia tốc cực tiểu.

D. gia tốc cực đại
Câu 8: Một chất điểm dao động điều hòa theo phương trình x = A cos t . Vận tốc cực tiểu của chất điểm
trong quá trình dao động là
A
A. 0.
B.  A .
C. − A .
D.
.
2
Câu 9: Một chất điểm dao động điều hòa quanh vị trí cân bằng O trên trục Ox . Biết vận tốc của chất điểm
này khi đi qua vị trí cân bằng là v0 và gia tốc của chất điểm này khi đi qua vị trí biên là a0 . Tần số góc của
dao động được xác định bởi biểu thức
a02
v02
v0
a0
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
2v0
2a0
a0
v0
Câu 10: Một chất điểm dao động điều hòa quanh vị trí cân bằng O trên trục Ox với phương trình

x = 5sin ( t −  ) cm ( t được tính bằng s). Tốc độ cực đại của chất điểm này là
A. 5 cm/s.
B. 5 cm/s.
C. 4 cm/s.
D. 20 cm/s.
Câu 11: Một chất điểm dao động điều hòa với phương trình vận tốc được cho bởi biểu thức
v = 10 cos ( t +  ) cm/s ( t được tính bằng s). Phương trình li độ của dao động này là



A. x = 10 cos   t +  cm.
2

C. x =  cos ( t +  ) cm.



B. x = 10 cos   t −  cm.
2

D. x =  cos ( t −  ) cm.

Câu 12: Một chất điểm dao động điều hòa quanh vị trí cân bằng O trên trục Ox với phương trình


x = 5sin   t −  cm ( t được tính bằng s). Phương trình vận tốc của dao động này là
2




A. v = 5 cos   t −  cm/s.
B. v = 5 cos ( t ) cm/s.
2



C. v = 5 cos ( t −  ) cm/s.
D. v = 10 cos   t −  cm/s.
2

Câu 13: Một chất điểm dao động điều hòa quanh vị trí cân bằng O trên trục Ox với phương trình



thì vận tốc của chất điểm là
x = 5cos   t −  cm ( t được tính bằng s). Khi pha của dao động là
3
2

A. 5 cm/s.
B. −2,5 2 cm/s.
C. −2,5 3 cm/s.
D. 2,5 cm/s.
Câu 14: Một chất điểm dao động điều hòa quanh vị trí cân bằng O trên trục Ox với phương trình



thì tỉ số giữa vận tốc và vận tốc cực đại của chất điểm là
x = 10cos  2t −  cm. Khi pha của dao động là
4

4

1
2
3
3
A. .
B. −
.
C.
.
D. −
.
2
2
2
2
5




Câu 15: Gia tốc của một chất điểm dao động điều hòa được cho bởi phương trình a = 100cos   t + 
2

2
2
cm/s ( t được tính bằng s). Lấy   10 . Phương trình li độ của chất điểm là





A. x = 10 cos   t +  cm.
B. x = 10 cos   t −  cm.
2
2


3 
3 


C. x = 10 cos   t −
D. x = 10 cos   t +
 cm.
 cm.
2 
2 


Câu 16: Một chất điểm dao động điều hòa quanh vị trí cân bằng O trên trục Ox với phương trình


x = 2cos  4t +  cm ( t được tính bằng s). Gia tốc của chất điểm khi nó đi qua vị trí có li độ x = −2 cm là
2

2
A. 16 cm/s .
B. 24 cm/s2.
C. 32 cm/s2.

D. 12 cm/s2.
Câu 17: Một chất điểm dao động điều hòa quanh vị trí cân bằng O trên trục Ox với phương trình
2
x = 2cos ( 4t ) cm. Khi pha của dao động là
thì tỉ số giữa gia tốc và gia tốc cực đại của chất điểm là
3
1
2
3
3
A. .
B. −
.
C.
.
D. −
.
2
2
2
2
Câu 18: Một chất điểm dao động điều hòa quanh vị trí cân bằng O trên trục Ox khi gia tốc của vật bằng
một nửa gia tốc cực đại và vật chuyển động theo chiều dương thì tỉ số giữa vận tốc và vận tốc cực đại là
1
2
3
3
A. .
B. −
.

C.
.
D. −
.
2
2
2
2
Câu 19: Một vật dao động điều hòa, tại thời điểm t khi vật đi qua vị trí có li độ x = 2 cm thì gia tốc của
vật tương ứng là a = −8 cm/s2. Tần số góc dao động của vật là
A. 2 rad/s.
B. 8 rad/s.
C. 1 rad/s.
D. 5 rad/s.
Câu 20: Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox với chu kì T = 2 s. Biết rằng khi chất điểm đi qua
vị trí có li độ x = 3 cm thì vận tốc của chất điểm là 3 3 cm/s. Biên độ dao động của chất điểm là
A. 4 cm.
B. 8 cm.
C. 6 cm.
D. 5 cm.
Câu 21: Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox . Khi chất điểm đi qua vị trí cân bằng thì tốc độ của
nó là 20 cm/s. Khi chất điểm có tốc độ là 10 cm/s thì gia tốc của nó có độ lớn là 40 3 cm/s2. Biên độ dao
động của chất điểm là
A. 4 cm.
B. 8 cm.
C. 10 cm.
D. 5 cm.
Câu 22: Một vật dao động điều hòa, khi li độ của vật là x1 = −1 cm thì vận tốc của vật là v1 = 5 3 cm/s,
khi li độ của vật là x2 = 2 cm thì vận tốc của vật là v2 = 5 2 cm/s. Biên độ dao động của vật là
A. 2 cm.

B. 3 cm.
C. 4 cm.
D. 5 cm.
Câu 23: Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox , tại các thời điểm t1 , t2 vận tốc và gia tốc của vật
tương ứng có giá trị là v1 = 10 3 cm/s, a1 = −1 m/s2, v2 = −10 cm/s và a2 = − 3 m/s2 . Li độ x2 ở thời
điểm t2 là:
1
A. 3 cm.
B. 3 cm.
C. 1 cm.
D.
cm.
3
Câu 24: Một chất điểm dao động điều hòa: Tại thời điểm t1 có li độ 3 cm thì tốc độ là 60 3 cm/s. Tại thời
điểm t2 có li độ 3 2 cm thì tốc độ 60 2 cm/s. Tại thời điểm t3 có li độ 3 3 cm thì tốc độ là
A. 60 cm/s.

B. 30 3 cm/s.

C. 30 cm/s.

6

D. 30 2 cm/s.