Bài Giảng Sức Bền Vật Liệu Full bộ chg 8

Ths. NGUYỄN DANH TRƯỜNG

ỔN ĐỊNH

10/15/20

1


1.1. Khái niệm cơ bản về ổn định
Xét một thanh, chiều dài khá lớn so kích thước mcn, chịu lực
như hình vẽ:
Tiếp theo ta tác dụng một xung lực R. Nếu:
-Thanh trở về trạng ban đầu thanh ổn định.
- Thanh ko trở về TT ban đầu, nhưng thanh vẫn
còn trong miền đàn hồi ta nói thanh ở trạng thái
tới hạn. Khi đó P=Pth
- Thanh bị cong với biến dạng lớn ta nói thanh ở
trạng thái mất ổn định. P>Pth.
Mỗi thanh với kích thước xác định, chịu liên kết
xác định đều có một lực Pth xác định. Nếu thanh
chịu lực > Pth  thanh sẽ bị mất ổn định và làm
việc ko bình thường, thậm chí gây phá hủy cả kết
cấu
chịu lực.
10/15/20
ỔN ĐỊNH

2

1.2. Tính lực tới hạn của thanh chịu nén đúng tâm – Euler
Cho một thanh có liên kết và chịu lực như
hình vẽ. Giả sử khi đó P=Pth.
Nếu tác động xung lực R, thanh sẽ bị cong
theo mặt phẳng có độ cứng nhỏ nhất.
Gọi y là độ võng, giá trị mômen uốn sẽ là:
Mx = Pth.y
Mặc khác ta có:
y¢¢= -

Mx

EJ min

=-

Pthy

EJ min

Þ y¢¢+

Pth

EJ min

Þ y¢¢+ k y = 0 trong®ã k =
2

y=0

Pth

2

EJ min

là ptvp đường đàn hồi.
10/15/20

ỔN ĐỊNH

3


1.2. Tính lực tới hạn của thanh chịu nén đúng tâm – Euler
*) Giải phương trình vi phân đường đàn hồi:
Dạng nghiệm tổng quát :
y = C1sinkz + C2coskz
Điều kiện biên: y(z=0)=0 C2=0.
y(z=l)=0 y = C1sinkl =0  sinkl =0 ( vì C1 ko thể =0)

np
Þ k=
l

n = 0,1,2,...

np
Þ y = A sin

z
l
Þ Pth = k2EJ min

n = 0,1,2,....

n2p2
= 2 EJ min
l

Với n=1 cho ta lực tới hạn nhỏ nhất là:
10/15/20

ỔN ĐỊNH

n = 0,1,2,...

p2
Pth = 2 EJ min
l
4


1.2. Tính lực tới hạn của thanh chịu nén đúng tâm – Euler
n=1

np
k=
l

np
Þ y = A sin
z
l

10/15/20

n=2

n = 0,1,2,...
n = 0,1,2,....

ỔN ĐỊNH

5


1.2. Tính lực tới hạn của thanh chịu nén đúng tâm – Euler
*) Tính với các ĐK biên khác:
M x = - Pth ( d - y)
- Đầu ngàm, đầu tự do:
y¢¢= -

Mx
EJ min

=

Pthd
EJ min

-

Pthy
EJ min

Þ y¢¢+

Þ y¢¢+ k y = k d trong®ã k =
2

2

2

Pth
EJ min

Pth

y=

Pthd
EJ min

EJ min

*) Giải ptvp đường đàn hồi:
Dạng nghiệm tổng quát :
y = C1sinkz + C2coskz + δ

Điều kiện biên: y(z=0)=0 C2 = -δ.
y’(z=0)=0 kC1 =0  C1 =0.
y(z=l)=δ -δ coskl + δ =δ  coskl =0.
np
n2p2
2
EJ min
Þ kl =
n = 1,3,5,... Þ Pth = k EJ min =
2
(2l )
2
10/15/20

ỔN ĐỊNH

Pth
δ

B
y

z
A

y
6


1.2. Tính lực tới hạn của thanh chịu nén đúng tâm – Euler

*) Tính với các ĐK biên khác:
- Đầu ngàm, đầu tự do:

n2p2
Pth =
EJ min
2
(2l )

p2
Pth =
EJ min
2
(2l )
10/15/20

ỔN ĐỊNH

7


1.2. Tính lực tới hạn của thanh chịu nén đúng tâm – Euler
*) Tính với các ĐK biên khác:
- Đầu ngàm, đầu gối đơn: M x = Pthy - R ( L - z)
y¢¢= -

Mx
EJ min

=

R ( L - z)

Þ y¢¢+ k y =
2

EJ min

-

Pthy
EJ min

R ( L - z)
EJ min

Þ y¢¢+

Pth
EJ min

*) Giải ptvp đường đàn hồi:
Dạng nghiệm tổng quát :
y = C1sinkz + C2coskz +
RL
Điều kiện biên: y(z=0)=0 C2 = - P
th

EJ min

Pth

2

trong®ã k =

y=

R ( L - z)

EJ min

R ( L - z)

y

Pth
z

y’(z=0)=0 kC1 =R/Pth
y(z=l)=0 tgkl =C2/C1=kl  kl =4,49 (Nghiệm min≠0)
10/15/20

ỔN ĐỊNH

8


1.2. Tính lực tới hạn của thanh chịu nén đúng tâm – Euler
*) Tính với các ĐK biên khác:

- Đầu ngàm, đầu gối đơn:
4,492 p2
p2
Pth =
EJ min »
EJ min
2
2
l
(0,7l )

10/15/20

ỔN ĐỊNH

9


1.2. Tính lực tới hạn của thanh chịu nén đúng tâm – Euler
*) Tính với các ĐK biên khác:
M x = Pthy - M B
- Hai đầu ngàm:
y¢¢= -

Mx
EJ min

=

Þ y¢¢+ k y =

2

MB
EJ min

MB

-

Pthy
EJ min

trong®ã

Þ y¢¢+

Pth
EJ min

2

k =

y=

Pth

EJ min
EJ min
*) Giải ptvp đường đàn hồi:

Dạng nghiệm tổng quát :
MB
y = C1sinkz + C2coskz + P
MB

y(z=l)=0 C2coskl +

Pth

EJ min

MB

th

Điều kiện biên: y(z=0)=0 C2 = Pth
y’(z=0)=0 kC1 =0C1=0.
MB

MB

y
z

=0coskl =1

y’(z=l)=0
 -C2sinkl =0  sinkl =0 kl=2nπ
10/15/20
ỔN ĐỊNH

10


1.2. Tính lực tới hạn của thanh chịu nén đúng tâm – Euler
*) Tính với các ĐK biên khác:
- Hai đầu ngàm:
2
Pth =

( 2np)
l

2

EJ min

 Giá trị tới hạn nhỏ nhất:
Pth =

10/15/20

( 2p)
l

2

2

EJ min =

p2

( 0,5l )

2

EJ min

ỔN ĐỊNH

11


1.2. Tính lực tới hạn của thanh chịu nén đúng tâm – Euler
Kết luận:

p2
Pth = 2 EJ min
l
10/15/20

p2
Pth =
EJ min
2
(2l )

p2
Pth =

EJ min
2
(0,7l )
ỔN ĐỊNH

p2
Pth =
EJ min
2
(0,5l )
12


1.3. Áp dụng bài toán Euler
Với giả thiết thanh vẫn trong giới hạn đàn hồi khi ở trạng thái tới
hạn nên ta có:
P
E p2i 2
p2 EJ
E p2

sth =

th

F

=

min

2

(ml )

F

=

min
2

(ml )

=

l

2

£ s tl

Trong đó μ là hệ số phụ thuộc liên kết ở biên.
i min =

J

min

F

bán kính qt nhỏ nhất của mcn.

ml
l = được gọi là độ mảnh của thanh. Nó phụ thuộc hình
i min

dạng mcn, liên kết tại biên và chiều dài của thanh.
λ càng lớn thanh càng mảnh và ứng suất tới hạn càng nhỏ.
Chú ý: nếu mỗi mặt phẳng thanh có liên kết (μ) khác nhau ta
cần tìm λ cho mỗi mặt phẳng. So sánh tìm λmin và ĐK sử dụng
CT Euler là:
E p2
l ³
s tl

10/15/20

ỔN ĐỊNH

13


1.4. Tối ưu hình dạng thanh ổn định

10/15/20

ỔN ĐỊNH

14

1.5. Ví dụ tính thanh ổn định
Ví dụ 1: Cho thanh CD, tiết diện vuông cạnh b=70mm, chiều dài
L= 2,4m, E= 200GPa. Tìm [Q]? Để thanh CD ổn định.

Q=
Pth =

Pth
3
p2

( 0,6L )

10/15/20

2

EJ min

ỔN ĐỊNH

15


1.5. Ví dụ tính thanh ổn định
Ví dụ 2: Tìm [Q]? Để thanh CD, AF ổn định.

Q=

Q = Pth

PthAF

2

Pth =
10/15/20

p

(L)

2

EJ min

Q=

ỔN ĐỊNH

2

PthCD
3

=

=

2p2
9( L )

2

EJ min

2

EJ min

p2
3( L )

16


1.5. Ví dụ tính thanh ổn định
Ví dụ 3: Tìm h/b? Để lực tới hạn theo hai mp như nhau.

Pth1 =

Pth2 =

p2

( 0,5L )
p2

(L)

2

2

EJ 1

EJ 2

2

1

Pth2 = Pth1 Þ J 2 = 4J 1
bh3
b3h
Þ
=4
Þ h = 2b
12
12
10/15/20

ỔN ĐỊNH

17


1.5. Ví dụ tính thanh ổn định

Ví dụ 4: Tìm [W]? để các thanh AB, BC (mcn vành khăn) ổn định.
Biết E=210GPa, D=100mm, d=87mm, L=7m.
J =

(

4

4

p D - d

PthAB
PthBC

64

) = p ( 0,1 4

4

0,087

64

) = 2,1.10

- 6

m4

lAB = 7sin50o = 5,36m
lBC = 7sin40o = 4,5m

p2EJ
p2210.109.2,1.10- 6
= 2 =
= 151,345kN
2
lAB
5,36
p2EJ
p2210.1092,1.10- 6
= 2 =
= 214,72kN
2
lBC
4,5

PthAB Þ W1 =
PthBC Þ W2 =

10/15/20

PthAB
0

cos50
PthBC

0

cos40

= 235,451kN
= 280,36kN

ỔN ĐỊNH

18


1.5. Ví dụ tính thanh ổn định
Ví dụ 5: Tìm [T]?để cột trụ rỗng,D=40mm,d=30mm. E=200GPa.
ổn định.

Pth =

p2

( 0,7L )

10/15/20

2

EJ min

ỔN ĐỊNH

19


1.5. Ví dụ tính thanh ổn định
Ví dụ 6: Tìm d? để cột tròn ổn định.

Pth =

p2

( 2L )

10/15/20

2

EJ min

ỔN ĐỊNH

20


1.5. Ví dụ tính thanh ổn định
Ví dụ 7: Tìm [Q]? để cột vuông (a=42mm,E=190GPa, L=5.25m)
ổn định. Lấy hệ số an toàn n=2.

Pth =

p2

( 0,7L )

10/15/20

2

EJ min

ỔN ĐỊNH

21


1.5. Ví dụ tính thanh ổn định
Ví dụ 8: Tìm Pth1:Pth2:Pth3? Biết các hình có diện tích như nhau.

J

10/15/20

D

éæö3 æö3 ù 4
1 b 3 êçb÷ çb÷ú b 3
÷
÷
=
+
=

ç
êç
ú
÷
÷
ç2ø
÷ú
12 2 êç
96
è2÷
ø è
ë
û

ỔN ĐỊNH

22


Thank you
for your attention !

10/15/20

Ths.NguyÔn Danh Trêng

23