Bài Giảng Sức Bền Vật Liệu Full bộ chg 9

Ths. NGUYỄN DANH TRƯỜNG

TÍNH CHUYỂN VỊ HỆ THANH

10/15/20

1


1.1. Công đàn hồi và công khả dĩ
Xét thanh chịu tác dụng bởi ngoại lực tăng từ 0P1, thanh sẽ
bị biến dạng từ 0Δ1 tại điểm điểm đặt P1. Ngoại lực đã sinh

1
công A1 là: A1  P11 được gọi là công đàn hồi.
2
P

P1
Δ12

Δ1

P2
Δ2

A

1
P
2

Δ

Xét thêm ngoại lực P2 gây biến dạng Δ2 tại điểm đặt P2 đồng
thời gây biến dạng Δ12 tại điểm điểm đặt P1 sinh công A12 là:

A12  P112 được gọi là công khả dĩ.
10/15/20

TÍNH CHUYỂN VỊ HỆ THANH

2


1.2. Thế năng biến dạng đàn hồi
Xét hệ thanh chịu tác dụng bởi ngoại lực  thanh sẽ bị BD
 ta nói ngoại lực đã sinh công A và phát sinh trong hệ một
năng lượng đc gọi là thế năng biến dạng đàn hồi U.
Ví dụ xét đoạn thanh dz chịu lực dọc Nz. Ta có:
Nz sẽ gây biến dạng: D dz = N zdz

EF

2
1
1 N zdz
Khi đó công đàn hồi do Nz gây ra là: dA = 2 N z .D dz = 2 EF
Li

2

1 N zdz
A = ��
0 0 2 EF

Tổng công của hệ n thanh chiều dài Li là:

n

Theo định luật bảo toàn, U=A suy ra:
10/15/20

TÍNH CHUYỂN VỊ HỆ THANH

3


1.2. Thế năng biến dạng đàn hồi

n
N z2
1
Trường hợp kéo (nén) đúng tâm: U = �� N zD dz = �� dz
i =1 l 2
i =1 l 2EF
n

i

i

Tương tự:
n
n
Qy2
M x2
dz + ��
h
dz
Trường hợp uốn ngang phẳng: U = ��
i =1 l
i

2EJ

i =1 l
i

x

2GF

2

c�
�
S
F
�
x�
�dF

�
η là hệ số điều chỉnh sự pbố không đều của Q y: h = 2 �
�
c �
�
�
Jx F �
b �
�
2
n
Mz
U
=
��2GJ dz
Trường hợp xoắn thuần túy:
i =1 l
p
i

Trường hợp thanh chịu lực tổng quát ta có:
N z2

n

M x2

n

Qy2

n

M z2

n

U = ��
dz + ��
dz + ��
h
dz + ��
dz
2GF
i =1 l 2EF
i =1 l 2EJ x
i =1 l
i =1 l 2GJ p
i

10/15/20

i

i

TÍNH CHUYỂN VỊ HỆ THANH

i

4


1.3. Định lý castigliano tính chuyển vị
“ Đạo hàm riêng của thế năng biến dạng đàn hồi đối với một lực
nào đó gây nên thế năng đúng bằng chuyển vị của lực đó.”
Tức là xét hệ lực P1, P2, P3,… Pn gây nên TNBDĐH:
U(P1, P2, P3,… Pn)
Khi đó:

�
U
 i
�
Pi

Chú ý:
Để tìm chuyển vị tại điểm không đặt lực ta thêm tại đó lực giả
tạo Pgt sau đó làm như bình thường, kết quả thu được ta lấy
Pgt=0 chính là chuyển vị cần tìm.
Nếu kết quả âm  chuyển vị ngược chiều lực giả tạo.
- Ký hiệu P ở đây bao gồm cả lực và mômen tập trung.
10/15/20

TÍNH CHUYỂN VỊ HỆ THANH

5


1.3. Định lý castigliano tính chuyển vị

Ví dụ 1: Tính chuyển vị thẳng đứng tại C
LAC=L/cosθ ;

PBC=P/tgθ ;

PAC=P/sinθ

TNBDĐH của thanh chịu kéo(nén) đúng tâm là:
U =

2
PBC
LBC

2EF

Rút gọn:

+

2
PAC
LAC

2EF

=

P 2L
2

2EFtg q

+

P 2Lcosq
2EF sin2 q

P 2L �
1
cosq �
�
�
�
U =
+
�
2
2 �
�
�
2EF �
tg q sin q�

Áp dụng đinh lý castigliano ta có:
�U
PL
DP =
=
�P

EF

10/15/20

�1
cosq �
�
�
�
+
�
2
2 �
�
�
tg q sin q�
�

TÍNH CHUYỂN VỊ HỆ THANH

6


1.3. Định lý castigliano tính chuyển vị
Ví dụ 2: Tính độ võng, góc xoay tại đầu tự do B của dầm AB.
Bỏ qua ảnh hưởng của lực cắt.
l
Mgt
2
M

x
TNBDĐH : U =
�2EJ dz
A
l
x
o
*) Độ võng: M x = P (z - l )
l

2

2

P (z - l )

�U = �
o

2EJ

2

dz =

x

3

P (z - l )

6EJ

x

l

o

P l
6EJ

ΔB

�U
Pl 3
� DB =
=
�P
3EJ x

2 3

=

P

x

*) Góc xoay: ta thêm vào mômen Mgt Mx = P (z - l ) + M gt
l

[P (z - l ) + M gt ]

�U = �
o

2

2EJ

3

dz =

[P (z - l ) + M gt ]
6PEJ

x

2

�j

B

M gt
�U
=
M gt = 0) =
(

�M gt
2PEJ

10/15/20

x

x

=
o

[Pl - M gt ]2
2PEJ

l

x

M gt3
6PEJ

+
x

[Pl - M gt ]3
6PEJ

x

- Pl 2  góc xoay
=
2EJ x ngc chiều Mgt.

TÍNH CHUYỂN VỊ HỆ THANH

7


1.4. Công thức Mo tính chuyển vị

Xét khung phẳng chịu tác động ngoại lực. Ta gọi là trạng thái m.
BT đặt ra là di tìm chuyển vị tại một điểm theo phương xđ?
Ví dụ tìm chuyển vị Δkm tại D theo phương k?
Cách làm:
Xét phân tố được tách ra từ thanh bởi
hai mặt cắt 1-1 và 2-2 (hình vẽ).
Phân tố sẽ có các thành phần nội lực
Mm, Nm, Qm.
Các nội lực này chính là ngoại lực
đối với phân tố đang xét, chúng gây
biến dạng cho phân tố bao gồm:
10/15/20

TÍNH CHUYỂN VỊ HỆ THANH

8


1.4. Công thức Mo tính chuyển vị

Chuyển vị dọc trục:

D dsm =

Chuyển vị góc là:

D dj

m

=

N mds
EF
M mds
EJ

Chuyển vị trượt tương đối giữa hai mặt cắt:

D bm = h

Qmds
GF

- Tưởng tưởng bỏ đi tất cả các ngoại lực,
và đặt lên hệ lực Pk theo phương “k”.
-Nội lực và là ngoại lực tác động lên phân
tố đag xét lúc này là: Mk, Nk, Qk.
10/15/20

TÍNH CHUYỂN VỊ HỆ THANH

9


1.4. Công thức Mo tính chuyển vị
- Lấy Δkm đang cần tìm là di chuyển khả dĩ
cho trạng thái “k” theo nguyên lý chuyển vị
khả dĩ: “ tổng công khả dĩ do ngoại lực và
nội lực tạo ra bằng không”. Ta có:
Pk.∆km + Anội = 0
- Mặt khác, quay lại xét phân tố ds chịu
ngoại lực là Mk, Nk, Qk. Các chuyển vị
trong slide trước chính là di chuyển khả dĩ
đối với phân tố ds. Do đó ta cũng có:
10/15/20

TÍNH CHUYỂN VỊ HỆ THANH

10


1.4. Công thức Mo tính chuyển vị
� N kD dsm + M kD dj

m

+ QkD bm + dAn�i = 0

�

M kM mds N kN mds
QkQmds �
�
�
�
� dAn�i = - �
+
+
h
�
�
�
�
EJ
EF
GF
�
�

�
M kM mds
N kN mds
QkQmds �
�
�
�
� An�i = - �
+
+
h

�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
EJ
EF
GF
�
�

M kM mds

� PkD km = ��

N kN mds

+ ��

QkQmds
+ ��
h
GF

EJ

EF
Chọn Pk=1 ta có công thức Mo tính chuyển vị trong bài toán

phẳng:

M kM mds

D km = ��

N kN mds

+ ��

+ ��
h

QkQmds

EJ
EF
GF
Δkm>0 thì chuyển vị cùng chiều lực Pk và ngược lại.
10/15/20

TÍNH CHUYỂN VỊ HỆ THANH

11


1.4. Công thức Mo tính chuyển vị

Nếu muốn tìm dịch
chuyển tương đối
giữa hai điểm:

10/15/20

Nếu muốn tìm góc
xoay tại một điểm:

TÍNH CHUYỂN VỊ HỆ THANH

Nếu muốn tìm góc
xoay tương đối
giữa hai điểm:

12


1.4. Công thức Mo tính chuyển vị
Từ công thức Mo ta có:
N kN mds
M kM mds
QkQmds
PmD mk = PkD km = ��
+ ��
+ ��
h
EF
EJ
GF

“Công của lực ở trạng thái m trên chuyển vị của trạng thái k bằng
công của lực ở trạng thái k trên chuyển vị của trạng thái m”
Định lý công tương hỗ.
Chọn Pk=Pm=1 ta có:
N kN mds
M kM mds
QkQmds
dkm = dmk = ��
+ ��
+ ��
h
EF
EJ
GF
“Chuyển vị theo phương k do lực một đơn vị theo phương m gây
nên bằng với chuyển vị theo phương m do lực một đơn vị theo
phương k gây nên”
Định lý chuyển vị tương hỗ.
10/15/20

TÍNH CHUYỂN VỊ HỆ THANH

13


1.4. Công thức Mo tính chuyển vị
*) Trình tự áp dụng công thức Mohr tính chuyển vị:
B1: Tìm các thành phần nội lực của hệ chịu lực tại trạng thái
“m” ban đầu.
B2: Bỏ đi các ngoại lực và thêm vào đó lực đơn vị tương ứng

với chuyển vị cần tính.
Tính chuyển vị thẳng thì thêm lực tập trung Pk = 1.
Tính chuyển vị góc thì thêm mômen tập trung Mk = 1.
Tính chuyển vị thẳng tương đối giữa hai điểm thì thêm hai lực
tập trung Pk = 1 ngược chiều nhau.
Tính chuyển vị góc tương đối giữa hai mặt cắt thì thêm hai
mômen tập trung Mk = 1 ngược chiều nhau.
B3: Tìm các thành phần nội lực của hệ chịu lực tại trạng thái
“k” vừa tạo ra.
10/15/20

TÍNH CHUYỂN VỊ HỆ THANH

14


1.4. Công thức Mo tính chuyển vị
*) Trình tự áp dụng công thức Mohr tính chuyển vị:( tiếp)
B4: Áp dụng công thức Mo để tìm chuyển vị cần tính.
Nếu tính ra âm thì chiều chuyển vị ngược chiều so với ngoại lực
đặt ở trạng thái “k”.
Ví dụ: tính chuyển vị tại đầu tự do như trong ví dụ 2 ta có:
M m = P (z - l )
M k = (z - l )

l

3

P (z - l ).(z - l )

P (z - l )
� DB = �
dz =
EJ x
3EJ x
o

l

o

Pl 3
=
3EJ x

Nhận xét:
Để áp dụng ĐL castigliano hay công thức Mo tìm chuyển vị ta cần
tìm được biểu thức của nội lực theo biến z và cần phải tính tích
phân phức tạp, tức sẽ ko áp dụng được p2 vẽ nhanh biểu đồ.
Phương pháp nhân biểu đồ vê-rê-sa-ghin.
là phương pháp giúp ta tính được các tích phân bằng cách nhân
các biểu đồ nội lực.
10/15/20

TÍNH CHUYỂN VỊ HỆ THANH

15


1.5. Phương pháp nhân biểu đồ vê-rê-sa-ghin

S=�
G (z)f (z)dz

Xét tích phân sau:

l

Trong đó G(z) là hàm số bậc bất kỳ theo z.
f(z) là hàm số có bậc < bậc nhất: f(z)=az+b.
Ta có:
S=�
( az + b) G(z)dz = �( az + b) dW
l

l

S = a�
zdW+ b�
dW

�

l

l

Trong đó zdΩ là mômen tĩnh của dΩ với
trục tung, vậy:

�zdW= Wz

c

Suy ra:

l

S = a�
zdW+ b�
dW= ( azc + b) W= f ( zc ) W
l

10/15/20

l

TÍNH CHUYỂN VỊ HỆ THANH

16


1.5. Phương pháp nhân biểu đồ vê-rê-sa-ghin
Áp dụng vào công thức Mo ta có:
M kM mds
N kN mds
QkQmds
D km = ��
+ ��
+ ��
h

EJ
EF
GF
- Biểu thức nội lực ở trạng thái “k” sẽ luôn là hàm < hơn bậc
nhất, vì tạo từ ngoại lực 1 đơn vị.
- Nếu độ cứng EF, EJ, GF không đổi trên chiều dài l ta có thể
áp dụng biểu thức nhân biểu đồ vê-rê-sa-ghin như sau:

WN N k (zc )

D km = �

m

EF

WM M k (zc )

+�

m

EJ

+ �h

WQ Qk (zc )
m

GF

Chú ý nhân hai biểu đồ cùng phía cho ta kết quả dương và
ngược phía cho kết quả âm.
10/15/20

TÍNH CHUYỂN VỊ HỆ THANH

17


1.5. Phương pháp nhân biểu đồ vê-rê-sa-ghin
*) Trình tự áp dụng p2 nhân biểu đồ vê-rê-sa-ghin tính chvị:
B1: Vẽ biểu đồ nội lực trạng thái “m”.
B2: Tạo nên trạng thái “k” phù hợp với chuyển vị cần tính.
B3: Vẽ biểu đồ nội lực trạng thái “k”.
B4: Áp dụng phương pháp nhân biểu đồ vêrêsaghin để tính
chuyển vị.
Chú ý quan trọng:
- Nếu cả biều đồ trạng thái “m” và “k” đều là đường bậc nhất thì
có thể tính diện tích phần biểu đồ nào cũng được rồi tìm trọng
tâm của nó dóng xuống tìm tung độ tương ứng trên biểu đồ kia
(nên chọn sao cho dễ tính diện tích và tìm trọng tâm).
10/15/20

TÍNH CHUYỂN VỊ HỆ THANH

18


1.5. Phương pháp nhân biểu đồ vê-rê-sa-ghin

Chú ý quan trọng: (tiếp theo)
- Nếu biểu đồ trạng thái “m” không phải là đường bậc nhất thì bắt
buộc phải tính diện tích trên biểu đồ “m” và tính giá trị tung độ
tương ứng trên biểu đồ “k”.
- Nếu các biều đồ nội lực có dạng phức tạp ta có thể chia chúng
thành nhiều hình đơn giản để tính. Sau đó cộng kết quả lại.
-Nếu trên biểu đồ cần tìm giá trị tung độ gồm nhiều đoạn gấp
khúc thì ta phải chia biểu đồ thành bấy nhiều đoạn để tính.
(biểu đồ tính diện tích thì không cần chia, chỉ cần tính được diện
tích và tìm được tọa độ trọng tâm là được).
10/15/20

TÍNH CHUYỂN VỊ HỆ THANH

19


1.5. Phương pháp nhân biểu đồ vê-rê-sa-ghin
Chú ý quan trọng: (tiếp theo)
- Diện tích trọng tâm một số hình thường gặp.
2h/3
2b/3

10/15/20

TÍNH CHUYỂN VỊ HỆ THANH

20

1.6. Ví dụ tính chuyển vị hệ thanh
Ví dụ 3: Tính độ võng, góc xoay tại đầu tự do B của dầm AB.
1 2 2l 1
Pl 3
yB = W1yC 1 = Pl . .
=
2
3 EJ x
3EJ x
j

B

1 2
1
Pl 2
= W1yC 2 = Pl .1.
=
2
EJ x
2EJ x

Δ
l
Pl

(Mm)

Ω1

Các chuyển vị cùng chiều ngoại lực TT “k”

2l/3

Pk=1
l

Mgt

10/15/20

P

2l/3 y
C1

(Mk)
(Mk)

1

1

TÍNH CHUYỂN VỊ HỆ THANH

yC2
21


1.6. Ví dụ tính chuyển vị hệ thanh

Ví dụ 4: Tính góc độ võng tại C,góc xoay tại A của dầm AB.
Độ võng tại C:

yC = W1yC 1 + W1yC 1 = 2.W1yC 1
3
�
�
1
Pl
l
2
l
1
Pl
�
�
�
= 2.�
.
.
=
�
�
�
2 4 2 3 4 EJ x �
�
� 48EJ x

(Mm)

l/3
Ω1

Pl/4 Ω2

Pk=1

(Mk)
l/6

10/15/20

TÍNH CHUYỂN VỊ HỆ THANH

l/4

22


1.6. Ví dụ tính chuyển vị hệ thanh
Ví dụ 4: Tính góc độ võng tại C,góc xoay tại A của dầm AB.
Góc xoay tại A:

j

A

= W1yC 1
1 Pl 1 1
Pl 2

=.l. .
=2 4 2 EJ x
16EJ x

(Mm)
Pl/4
Ω1

Góc xoay tại A ngược chiều với Mk.
1

10/15/20

TÍNH CHUYỂN VỊ HỆ THANH

(Mk)
1/2 yC1

23


1.6. Ví dụ tính chuyển vị hệ thanh
Ví dụ 5: Tính độ võng tại C, góc xoay tại A của dầm AB.
yC = W1yC 1 + W1yC 1 = 2.W1yC 1
2 ql 2 l 5l 1
5ql 4
=2
. .
=
3 8 2 32 EJ x

384EJ x
So sánh với KQ pp thông số ban đầu

q 4 ql 3 ql 3
y(z).EJ = z z +
z
24
12
24 z=l / 2

10/15/20

Ω1

TÍNH CHUYỂN VỊ HỆ THANH

Ω2

24


1.6. Ví dụ tính chuyển vị hệ thanh
Ví dụ 5: Tính góc xoay tại A của dầm AB.

j

A

= W1yC 1 =
2 ql 2 1 1

ql 3
=l. .
=3 8 2 EJ x
24EJ x

Góc xoay tại A ngược chiều với Mk.
So sánh với KQ pp thông số ban đầu

Ω1

3

q 3 ql 2 ql
j (z).EJ = z z +
6
4
24 z=0
yC1

10/15/20

TÍNH CHUYỂN VỊ HỆ THANH

25