Hướng dẫn học sinh lớp 12 giải một số bài toán nâng cao về đồ thị hàm số

1. Lời giới thiệu
Nội dung về hàm số và ứng dụng của hàm số để giải các bài toán chiếm
một phần lớn và có một vị trí vô cùng quan trọng trong nội dung chương trình
Toán ở trường Trung học phổ thông cũng như trong các kỳ thi Trung học Phổ
thông Quốc gia, Học sinh giỏi cấp tỉnh.
Bài toán về đồ thị hàm số nằm trong lớp các bài toán về hàm số.
Bài toán về đồ thị hàm số không những rèn luyện tư duy sáng tạo, trí thông minh
mà còn đem lại niềm say mê và yêu thích môn Toán cho chính người học.
Khó khăn mà học sinh thường gặp là hệ thống bài tập liên quan đến đồ thị
hàm số rất đa dạng và phong phú nhưng nội dung chưa đề cập một cách liên tục
và có hệ thống trong sách giáo khoa phổ thông. Mặt khác trong kì thi trung học
Phổ thông Quốc gia, từ năm 2017 môn Toán lại được ra dưới hình thức trắc
nghiệm, học sinh thiếu tài liệu chuyên sâu về chủ đề này.
Vì vậy để giúp các em học sinh phổ thông trong quá trình học tập, hình thành
cho học sinh những kiến thức và kỹ năng nhất định trong việc giải các bài toán
nâng cao về đồ thị hàm số. Dưới sự góp ý của đồng nghiệp và trải qua những nhận
xét rút được từ quá trình giảng dạy, tôi đã chọn đề tài: “Hướng dẫn học sinh lớp
12 giải một số bài toán nâng cao về đồ thị hàm số”. Với nội dung chính:
- Phân dạng và hướng dẫn học sinh lớp 12 giải một số bài toán nâng cao về
đồ thị hàm số.
- Giới thiệu với học sinh một số bài toán nâng cao về đồ thị hàm số dưới
hình thức trắc nghiệm.
2. Tên sáng kiến
“Hướng dẫn học sinh lớp 12 giải một số bài toán nâng cao về đồ thị hàm số”
3. Tác giả sáng kiến
- Họ và tên: Nguyễn Thị Phương Dịu
- Chức vụ: Chủ tịch Công đoàn

1

- Địa chỉ: Trường Trung học Phổ thông Lê Xoay, Khu 2, thị trấn Vĩnh Tường,
huyện Vĩnh Tường, tỉnh Vĩnh Phúc
- Số điện thoại: 0936 383 666
- E-mail:
4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến
Trường THPT Lê Xoay- huyện Vĩnh Tường- tỉnh Vĩnh Phúc
5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến
Giảng dạy và bồi dưỡng kỹ năng giải bài tập toán giải tích cho học sinh THPT.
6. Ngày sáng kiến được áp dụng thử Từ tháng 8/2018.
7. Mô tả bản chất của sáng kiến
7.1. Các bước thực hiện sáng kiến
7.1.1. Nghiên cứu tài liệu
Thu thập các tài liệu liên quan đến chủ đề nghiên cứu: Giáo trình về phương
pháp dạy học Toán, các tạp chí về khoa học giáo dục, các sách giáo khoa và các
sách tham khảo, các trang web về toán học.
7.1.2. Điều tra sư phạm
Nghiên cứu, tìm hiểu chất lượng của học sinh, thăm dò ý kiến học sinh về
những khó khăn trong khi giải bài tập toán về đồ thị hàm số của các em.
7.1.3. Quan sát sư phạm
Ghi nhật kí chi tiết, chính xác theo đúng trình tự thời gian nhằm tìm ra
những ưu khuyết điểm trong quá trình giảng dạy.
7.1.4. Thực nghiệm sư phạm
Nhằm tìm hiệu quả của việc “Hướng dẫn học sinh lớp 12 giải một số bài
toán nâng cao về đồ thị hàm số” cho học sinh Trung học phổ thông tôi lập kế
hoạch thực nghiệm cho việc nghiên cứu đề tài chia làm các giai đoạn: Thử áp
dụng đề tài cho học sinh 3 lớp 12 ở hai năm học 2018-2019; 2019-2020. So sánh
kết quả thực nghiệm trước khi dạy và sau khi dạy để tìm ra hiệu quả của thực
nghiệm.
2

7.2. Nội dung của sáng kiến
7.2.1. Cơ sở lí luận của vấn đề nghiên cứu
Khi giải bài toán nâng cao về đồ thị hàm số thì vấn đề cơ bản là học sinh
phải nắm được các dạng đồ thị của các hàm số thường gặp, các phép biến đổi đồ
thị hàm số để từ đó có sự linh hoạt trong vận dụng giải bài tập.
7.2.2. Thực trạng của vấn đề mà nội dung của đề tài đề cập đến
Trong chương trình Toán Trung học phổ thông, đồ thị hàm số được đề cập
đến từ lớp 10 khi học sinh được học về hàm số bậc nhất và hàm số bậc hai. Đến
lớp 12 thì đồ thị hàm số tiếp tục được đề cập đến khi học sinh được học chương I
- Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số, trong chương trình Giải tích. Đây là kiến thức
cần cho thi THPT Quốc gia và thi học sinh giỏi.
Trong bài viết này, Tôi xin đưa ra cách phân dạng, hướng dẫn Học sinh giải
một số bài tập nâng cao về đồ thị hàm số cùng một số bài tập trắc nghiệm về đồ
thị hàm số để minh hoạ cho Sáng kiến kinh nghiệm: “Hướng dẫn học sinh lớp 12
giải một số bài toán nâng cao về đồ thị hàm số”.
7.2.3. Chuẩn bị thực hiện đề tài
- Hướng dẫn học sinh sử dụng các tài liệu tham khảo và giới thiệu sách hay
có liên quan để học sinh tìm đọc.
- Chọn lọc, biên soạn theo hệ thống từng bài dạy.
- Nghiên cứu các đề thi Trung học phổ thông Quốc gia, đề thi học sinh giỏi,
và trao đổi kinh nghiệm cùng đồng nghiệp.
7.2.4. Những biện pháp, giải pháp đặt ra của đề tài
7.2.4.1. Hình thành thái độ học tập môn Toán cho học sinh
Học sinh cấp Trung học phổ thông đã có ý thức tương đối tốt trong việc
học hành. Nắm bắt được sự phát triển tâm lý này, giáo viên cần khơi gợi sự say
mê, tìm tòi; kích thích hứng thú học tập của học sinh trong quá trình học môn
Toán.
7.2.4.2. Phân loại và yêu cầu đối tượng
3

- Giới thiệu tính chất, hướng chứng minh.
- Đưa ra ví dụ minh hoạ, bài tập áp dụng tính chất.
7.2.4.3. Rèn luyện kỹ năng giải bài tập nâng cao về đồ thị hàm số cho học sinh
7.2.4.3.1– Kiến thức cơ bản:
Để giải các bài tập về đồ thị hàm số ta thường sử dụng các kiến thức cơ bản
sau:
 Sách giáo khoa Đại số 10 –NXB Giáo dục nêu khái niệm về đồ thị của hàm
số như sau:
“Đồ thị của hàm số y  f ( x) xác định trên tập D là tập hợp tất cả các điểm
M  x; f ( x)  trên mặt phẳng toạ độ với mọi x  D ”

 Sách giáo khoa Giải tích 12 –NXB Giáo dục nêu nhận xét:
“Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm y  f ( x)
xác định trên K.
Nếu hàm số y  f ( x) đồng biến trên K thì đồ thị đi lên từ trái sang phải;
Nếu hàm số y  f ( x) nghịch biến trên K thì đồ thị đi xuống từ trái sang
phải”.
 Cách vẽ đồ thị một số hàm đặc biệt
Đồ thị
y  f (  x)

Cách vẽ
Lấy đối xứng đồ thị hàm số y  f ( x) qua
trục Oy

y   f ( x)

Lấy đối xứng đồ thị hàm số y  f ( x) qua

trục Ox

y  f ( x)

- Giữ nguyên phần đồ thị hàm số
y  f ( x) phía trên trục Ox gọi phần đó là

 C1  ;

4


- Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số
y  f ( x) phía dưới trục Ox qua Ox gọi

phần đó là  C2  .
Đồ thị cần vẽ là hợp của  C1  và  C2  .
y  f (x)

- Giữ nguyên phần đồ thị hàm số
y  f ( x) phía bên phải trục Oy gọi phần

đó là  C1  ;
- Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số
y  f ( x) phía bên phải Oy qua Oy gọi

phần đó là  C2  .
Đồ thị cần vẽ là hợp của  C1  và  C2 
y  f ( x)  p với p  0

Tịnh tiến đồ thị hàm số y  f ( x) theo
vectơ u  0;p  ( lên phía trên p đơn vị)

y  f ( x)  p với p  0

Tịnh tiến đồ thị hàm số y  f ( x) theo
vectơ u  0;  p  ( xuống phía dưới p đơn
vị)

y  f ( x  q) với q  0

Tịnh tiến đồ thị hàm số y  f ( x) theo
vectơ u   q;0  ( sang bên trái q đơn vị)

y  f ( x  q) với q  0

Tịnh tiến đồ thị hàm số y  f ( x) theo
vectơ u  q;0  ( sang bên phải q đơn vị)

y  f ( px) với p  1

Co đồ thị hàm số y  f ( x) theo chiều
ngang hệ số p

y  f ( px) với 0  p  1

Giãn đồ thị hàm số y  f ( x) theo chiều
ngang hệ số 1/p

5

y  qf ( x) với q  1

Giãn đồ thị hàm số y  f ( x) theo chiều
dọc hệ số q

y  qf ( x) với 0  q  1

Co đồ thị hàm số y  f ( x) theo chiều dọc
hệ số 1/q

y  f ( x)  a

Vẽ đồ thị hàm số y  f ( x) trước, sau đó
tịnh tiến đồ thị hàm số y  f ( x) lên trên
hoặc xuống dưới tuỳ thuộc dấu của a

y  f ( xb)

Vẽ đồ thị hàm số y  f ( x ) trước, sau đó
tịnh tiến đồ thị hàm số y  f ( x) sang trái
hoặc sang phải tuỳ thuộc dấu của b

7.2.4.3.2 – Các dạng toán thường gặp:
7.2.4.3.2.1 – Dạng 1: Liên hệ giữa đồ thị hàm số và nghiệm của phương
trình.
7.2.4.3.2.1.1 –Bài toán 1 :
Bài toán : Biết đồ thị của hàm số y  f ( x ) . Tìm số nghiệm của phương trình

af ( x)  b,  a, b  , a  0 
Cách giải:
+ Đưa phương trình af ( x)  b về dạng f ( x) 

b
.
a

+ Số nghiệm của phương trình af ( x)  b,  a, b  , a  0  bằng số giao điểm
của đồ thị hàm số y  f ( x ) và đường thẳng y 

b
b
(đường thẳng y  song
a
a

song với trục hoành).

6


Bài 1. Cho hàm số bậc ba y  f ( x ) có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Số nghiệm
thực của phương trình 5 f ( x)  2  0 là
B. 2 .

A. 3 .

C. 1 .

D. 0 .

Hướng dẫn
2
+ Phương trình 5 f ( x)  2  0  f ( x) 
.
5
+ Số nghiệm của phương trình 5 f ( x)  2  0 bằng số giao điểm của đồ thị hàm
2
số y  f ( x ) và đường thẳng y 
.
5

Từ hình vẽ và nhận xét đường thẳng y 

2
song song với trục hoành nên có số
5

giao điểm là 3.
Vậy chọn đáp án A.
Bài 2. (Đề thi THPT QG - Mã đề 102 - 2018)
Cho hàm số f ( x)  ax  bx  c,  a, b, c   , a  0 có đồ thị như hình vẽ. Số
nghiệm thực của phương trình 4 f ( x)  3  0 là
4

A. 4 .

2

B. 2 .

C. 3 .

D. 0 .

7


Hướng dẫn
3
+ Phương trình 4 f ( x)  3  0  f ( x)  .
4
+ Số nghiệm của phương trình 4 f ( x)  3  0 bằng số giao điểm của đồ thị hàm
3
số y  f ( x ) và đường thẳng y  .
4
3
Từ hình vẽ và nhận xét đường thẳng y  song song với trục hoành nên có số
4
giao điểm là 4.
Vậy chọn đáp án A.
Bài 3. Cho hàm số y  f ( x ) liên tục trên đoạn  2;2 và có đồ thị như hình vẽ.
Số nghiệm thực của phương trình 2 f ( x)  3  0 trên đoạn  2; 1 là
A. 2 .

B. 1 .

C. 4 .

D. 3 .

Hướng dẫn
3
+ Phương trình 2 f ( x)  3  0  f ( x)  .
2
+ Số nghiệm của phương trình 2 f ( x)  3  0 trên đoạn  2; 1 bằng số giao
3
điểm của đồ thị hàm số y  f ( x ) và đường thẳng y  trên đoạn  2; 1 .
2

8


Từ hình vẽ và nhận xét đường thẳng y 
giao điểm là 2.
Vậy chọn đáp án A.

3
song song với trục hoành nên có số
2

Bài 4. Cho hàm số y  f  x  xác định và liên tục trên đoạn  2;2 và có đồ thị là
đường cong trong hình vẽ sau.

Tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình f  x   m có 3 nghiệm
phân biệt trên đoạn  2;2 là
A. m  2;   .

B. m  2;2 .

C. m  2;3 .

D. m  2;2  .

Hướng dẫn
Chọn D.
Số nghiệm của phương trình f  x   m bằng số điểm chung của đồ thị hàm số
y  f  x  (hình vẽ) và đường thẳng y  m trên đoạn  2;2

Nhìn vào đồ thị ta thấy để phương trình có 3 nghiệm phân biệt thì m  2;2  .
Vậy chọn đáp án D.

9


7.2.4.3.2.1.2 – Bài toán 2 :
Bài toán : Biết đồ thị của hàm số y  f ( x ) . Xét các bài toán liên quan đến
phương trình có dạng f  x   g  m  , f  u  x    g  m  , f  x   f  m  ,

f u  x   f  m .
Cách giải:
Xét trường hợp f  u  x    g  m  ta làm như sau:
+ Chặn giá trị của x, u  x  , f  u  x  
+ Đặt t  u  x  , phương trình trở thành f  t   g  m 
+ Từ đồ thị suy ra điều kiện của g  m  , từ đó suy ra điều kiện của m .
Bài 1. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên

và có đồ thị như hình vẽ dưới đây

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình
m2  1
f  x  
 0 có hai nghiệm phân biệt ?
3
A. 3.
B. 4 .
C. 7 .
D. 6 .
Hướng dẫn
Chọn A
m2  1
x
f


 0 1 .
Phương trình đã cho tương đương với  
3
m2  1
x
Đặt t   . Điều kiện t  0. (1) trở thành f  t  
 2 .
3
Vì với mỗi nghiệm t  0 của phương trình (2) cho đúng một nghiệm x  log t
của phương trình (1) nên (1) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (2) có đúng

10

hai nghiệm phân biệt trên  0;  . Dựa vào đồ thị ta thấy điều này xảy ra khi và
m2  1
chỉ khi 1 
 1.
3
Mà m nguyên nên
m 
m 

2

 m  1;0;1 .


m 1

2

m

2

1


1


3


Vậy có 3 giá trị của m thoả mãn.

Bài 2. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên

\ 1 và có đồ thị như hình vẽ dưới

đây
y

2
1
O 1

2

x

Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình f  log 2 x   m có
nghiệm thuộc  4;   là
A.  2;   .

B. 0;1 .

C.  0;1 .

D.

\ 1 .

Hướng dẫn

Chọn B
Đặt t  log2 x . Với x  4;    thì t   2;    .
Do đó phương trình f  log 2 x   m có nghiệm thuộc  4;   khi và chỉ khi
phương trình f  t   m có nghiệm t   2;   

Quan sát đồ thị ta suy ra điều kiện của tham số m là m 0;1 .
Bài 3. Cho hàm số y  f ( x) liên tục trên

và có đồ thị như hình vẽ dưới đây:

Số các giá trị nguyên của m lớn hơn -10 để phương trình
f  x 2  2x  1  m  5  0 có đúng hai nghiệm phân biệt là
A. 13 .

B. 12 .

C. 14 .

D. 0 .
11


Hướng dẫn
Chọn A
Đặt t  x 2  2x  1, t  0 . Phương trình đã cho trở thành f  t   m  5 1

Phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt khi phương trình 1 có đúng
1 nghiệm dương.
Từ đồ thị hàm số y  f  x  ta có m  5  2  m  3 .
Do m nguyên và m lớn hơn -10 nên m9; 8; 7,...,2;3.

Vậy có 13 giá trị của m thỏa mãn.
Bài 4. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên

và có đồ thị là đường cong như hình





2
2
vẽ. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình f x  3  m  7 có nghiệm ?

A. m  7 .

B. m  7 .

C. m  11 .

D. m  11 .

Hướng dẫn
Chọn D
Đặt t  x2  3 suy ra t  3 , ta có phương trình f  t   m2  7

Từ đồ thị suy ra phương trình f  t   m2  7 có nghiệm t  3 khi và chỉ khi
m2  7  4  m  11 .

Vậy m  11 .
Bài 5. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên



và có đồ thị là đường cong như hình



2
vẽ. Để phương trình f x  6 x  13  f  m  có nghiệm thì tất cả các giá trị m

thoả mãn là m   ; a   b;   . Tính 2020a  b ?

12


A. 6066 .

B. 2025 .
Hướng dẫn

C. 6064 .

D. 2024 .

Chọn C
Đặt t  x2  6x  13 suy ra t  4 , ta có phương trình f  t   f  m 

Dựa vào đồ thị phương trình f  t   f  m  có nghiệm t  4 khi và chỉ khi

m  3

f  m   5  
.
m

4

Suy ra a  3; b  4  2020a  b  6064 .
Vậy 2020a  b  6064 .
Bài 6. Cho hàm số y  f ( x) liên tục trên

và có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

Tất cả các giá trị của m để phương trình f (sin x)  m có nghiệm thuộc khoảng
 0;  là
A. m  1;1 .

B. m 1;3 .

C. m 1;3 .

D. m   1;1 .

Hướng dẫn
Chọn C
Đặt t  sin x , do x   0;   t   0;1 .
Phương trình trở thành f (t )  m
Phương trình f (sin x)  m có nghiệm thuộc khoảng  0;  khi và chỉ khi
phương trình f (t )  m có nghiệm t   0;1 .

13

Dựa vào đồ thị hàm số đã cho ta có giá trị cần tìm của m là m 1;3 .
Bài 7. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên

và có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình f  x 2  2 x   m có

 3 7
đúng 4 nghiệm thực phân biệt thuộc đoạn   ;  là
 2 2

A. 9 .

B. 5 .
Hướng dẫn

C. 6 .

D. 8 .

Chọn D
Đặt t  x 2  2 x, ta có bảng biến thiên

 21
 3 7
Vậy với x    ;  thì t   1;  .
4


 2 2
 21 
Dựa vào BBT ta thấy: với mỗi t   1;  sẽ cho hai nghiệm x và với t  1 sẽ
4

cho một nghiệm x.
Do đó phương trình f  x 2  2 x   m có đúng 4 nghiệm phân biệt thuộc đoạn

 21 
 3 7
  2 ; 2   f  t   m có đúng 2 nghiệm phân biệt thuộc  1; 4  .
Dựa vào đồ thị ta có phương trình f  t   m có đúng 2 nghiệm phân biệt
2  m  4
21


t   1;  khi  m  5 .

4

 m  f (4)
Vì m nguyên nên m  3, m  5 . Vậy chọn đáp án D.

14


Bài 8. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên

và có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình
f  x3  3x 2  2   m2  3m có nghiệm thuộc nửa khoảng 1;3 ?

A. 4 .

B. 6 .

C. 3 .

D. Vô số.

Hướng dẫn
Chọn A
Đặt t  x3  3x 2  2 .
Vì 1  x  3  2  t  2 .
Phương trình f  x3  3x 2  2   m2  3m  f  t   m2  3m với t   2;2  .
Phương trình có nghiệm
m 2  3m  2  0  1  m  1
2
 2  m  3m  4   2

.
m  3m  4  0
2  m  4
Vậy có tất cả 4 giá trị nguyên của tham số m thoả mãn.
Bài 9. Cho hàm số y  f  x  có đồ thị như hình vẽ.

Tính tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình f  cos x   m

   

; ?
có đúng hai nghiệm thuộc khoảng 
 2 2
A. 18 .
B. 6 .
Hướng dẫn
Chọn D

C. 5 .

D. 4 .

15


    

;   0  t  1 .
Đặt t  cos x  x  
  2 2

Nhận xét: với mỗi giá trị t thỏa mãn 0  t  1 cho tương ứng hai giá trị x0 và
 
  x0  thuộc khoảng  ;  .
 2 2
   
; 
Phương trình f  cos x   m có đúng hai nghiệm thuộc khoảng 
 2 2
 Phương trình f  t   m có đúng 1 nghiệm thuộc khoảng  0;1

 7  m  2 .
Mà: m   m 3; 4; 5; 6 .
Vậy tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m để thoả mãn đề bài là ( 18 ).
Bài 10. Cho hàm số y  f ( x) liên tục trên
vẽ dưới đây:

và có đồ thị là đường cong như hình

Có bao nhiêu giá trị âm của tham số m để phương trình f ( x)  f (m) có đúng 2
nghiệm?
A. 2.
B. 3.
C. 4.
D. 1.
Hướng dẫn
Chọn A
Dựa vào đồ thị hàm số thì phương trình f ( x)  f (m) có đúng 2 nghiệm
 f (m)  1

(1).
 f ( m)  3

 f ( x)  1
Số giá trị m thỏa mãn (1) chính là số nghiệm x âm của hệ 
(2).
f
(
x
)


3


16


Lại dựa vào đồ thị thì đường thẳng y  3 cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm
phân biệt, đường thẳng y  1 cũng cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm phân
biệt, 4 điểm này có 2 điểm có hoành độ âm khác nhau nên hệ (2) có 2 giá trị x âm
thỏa mãn. Vậy có 2 giá trị của tham số m thỏa mãn bài toán.
7.2.4.3.2.1.3–Bài toán 3 :
Bài toán : Biết đồ thị của hàm số y  f ( x ) . Tìm số nghiệm của phương trình

af ( x)  b  c,  a, b, c  , a  0, c  0 
Cách giải 1:
+ Đưa phương trình af ( x)  b  c về dạng f ( x) 

b c
 .
a a

+ Từ đồ thị hàm số y  f ( x ) suy ra đồ thị hàm số y  f ( x) 

b
a

+ Từ đó tìm được số nghiệm của phương trình af ( x)  b  c theo bài toán
1.

17

Cách giải 2:

cb

f
(
x
)


a
+ Đưa phương trình af ( x)  b  c về dạng 
.
 f ( x )  c  b

a
+ Từ đồ thị hàm số y  f ( x ) rút ra kết luận về số nghiệm các phương trình

f ( x) 

cb
c  b
; f ( x) 
a
a

+ Từ đó tìm được số nghiệm của phương trình af ( x)  b  c
Nhận xét :

Làm tương tự khi xét các bài toán :
Biết đồ thị của hàm số y  f  x  , xét các bài toán liên quan đến phương trình
có dạng f  x   a ; f  u  x    a ... .

Bài 1. Cho hàm số bậc ba y  f  x  có đồ thị như hình vẽ.

Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m: m  5 để phương trình f  x   m
có hai nghiệm phân biệt là
A. 14.

B. 15.

C. 30.

D. 10.

Hướng dẫn
Chọn A
Từ đồ thị hàm số y  f  x  ta suy ra đồ thị hàm số y  f  x  như hình vẽ

18


Từ hình vẽ suy ra tập các giá trị nguyên của tham số m: m  5 để phương trình

f  x   m có hai nghiệm phân biệt là m0;2;3;4;5 .
Vậy có tổng các giá trị của m thoả mãn là 14.
Bài 2. Cho đồ thị của hàm số y  f  x  như hình vẽ:

Tìm số nghiệm phương trình f  x  

A. 3.
Chọn D
Cách 1:

3
.
2

B. 4.
Hướng dẫn

C. 5.

D. 6.

Đồ thị hàm y  f  x  gồm 2 phần:

+ Phần đồ thị y  f  x  nằm trên Ox (Kể cả giao điểm trên trục Ox )
+ Phần đồ thị lấy đối xứng qua Ox của đồ thị y  f  x  nằm dưới Ox
Từ đó ta có đồ thị của của hàm số y  f  x  .

19


Từ đồ thị của hàm số y  f  x  suy ra f  x  

3
có 6 nghiệm.
2

Cách 2:
3

f  x     *

3
2
f  x   
2
 f  x   3 **

2

Dựa vào đồ thị trên:

3
-Phương trình f  x    : có 4 nghiệm
2
3
-Phương trình f  x   : có 2 nghiệm
2
3
Vậy f  x   có 6 nghiệm.
2
Bài 3. Cho hàm số bậc bốn y  f  x  có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Tìm tập
hợp tất cả các giá trị của m để phương trình 2 f  x   m có tám nghiệm phân
biệt?
20

A.  0;2 .

B.  0;1 .

C.  0;2  .

D.  0;1 .

Hướng dẫn
Chọn C
Từ đồ thị hàm số y  f  x  ta suy ra đồ thị hàm số y  2 f  x  như hình vẽ (đồ
thị nét liền)

Từ đồ thị hàm số y  2 f  x  ta suy ra đồ thị hàm số y  2 f  x  như hình vẽ
(đồ thị nét liền)

21


Từ hình vẽ suy ra tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình

2 f  x   m có tám nghiệm phân biệt là m  0;2  .
Bài 4. (Đề thi THPT QG - Mã đề 103 - 2019) Cho hàm số bậc ba y  f  x  có
3
đồ thị như hình vẽ. Số nghiệm thực của phương trình f x3  3x  là
2



B. 4 .

A. 8 .



C. 7 .

D. 3 .

Hướng dẫn
Chọn A
3

3
f
x

3
x




3
2 .
Phương trình f  x3  3x    
2
 f  x3  3x    3

2

y

3

2

y=

2

a4

-2 a1

O a2

2

a3

x

-1
y=

-3
2

 x3  3x  a1 ,  2  a1  0 


3
* Phương trình f  x3  3x     x3  3x  a2 ,  0  a2  2  .
2
 3
 x  3x  a3 ,  a3  2 
3
* Phương trình f x3  3x    x3  3x  a4 ,  a4  2  .
2
3
Đồ thị hàm số y  x  3x có dạng như hình vẽ sau:





22


y
y = a3

2

y = a2

O

-1

1

x
y = a1

-2

y = a4

Dựa vào đồ thị trên ta có:
- Phương trình x3  3x  a1 có 3 nghiệm phân biệt.
- Phương trình x3  3x  a2 có 3 nghiệm phân biệt.
- Phương trình x3  3x  a3 có 1 nghiệm.
- Phương trình x3  3x  a4 có 1 nghiệm.
3
Vậy phương trình f x3  3x  có 8 nghiệm phân biệt.
2





Bài 5. (Đề thi THPT QG - Mã đề 101 - 2019) Cho hàm số bậc ba y  f  x  có
đồ thị như hình vẽ. Số nghiệm thực của phương trình f  x 4  2 x 2   2 là

A. 8 .

B. 9 .

C. 7 .

D. 10 .

Hướng dẫn
Chọn A



Phương trình f x  2 x
4

2



 f  x4  2x2   2
2
.
 f  x 4  2 x 2   2


23


 x 4  2 x 2  b,  1  b  0 

* Phương trình f  x 4  2 x 2   2   x 4  2 x 2  c,  0  c  1 .
 4
2
 x  2 x  d ,  2  d  3





4
2
4
2
* Phương trình f x  2 x  2  x  2 x  a,  2  a  1 .

Đồ thị hàm số y  x 4  2 x 2 như hình vẽ sau:

Dựa vào đồ thị trên ta có:
- Phương trình x 4  2 x 2  a,  2  a  1 không có nghiệm thực.

- Phương trình x 4  2 x 2  b,  1  b  0  có 4 nghiệm thực phân biệt.
- Phương trình x 4  2 x 2  c,  0  c  1 có 2 nghiệm thực phân biệt.

- Phương trình x 4  2 x 2  d ,  2  d  3 có 2 nghiệm thực phân biệt.
Vậy phương trình f  x 4  2 x 2   2 có 8 nghiệm thực phân biệt.
Bài 6. Cho hàm số trùng phương y
thuộc 0;2

f x có đồ thị như hình vẽ. Số nghiệm

của phương trình f cos 2 x

1 bằng
24

A. 4 .

B. 6 .

C. 3 .

D. 8 .

Hướng dẫn
Chọn D
Ta có f cos 2 x

 f  cos 2 x   1
1
 f  cos 2 x   1

cos 2 x  0

cos 2 x  a  1 VN 
cos 2 x  0


 sin 4 x  0
cos 2 x  b  1 VN  sin 2 x  0

cos 2 x  1
Phương trình sin 4 x 0 có 8 nghiệm thuộc 0;2 .

Bài 7. Đồ thị hàm số y  2 x3  9 x 2  12 x  4 như hình vẽ. Phương trình

2 x  9 x 2  12 x 
3

9
 0 có bao nhiêu nghiệm phân biệt?
2
y
4

1

2

x

O
1

A. 3.

B. 4.

C. 6.

D. 8.

Hướng dẫn
Chọn C
Xét phương trình

2 x  9 x 2  12 x 
3

9
0
2
25