Chuyên đề 17 công thức, biến đổi logarit đáp án

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

CÔNG THỨC, BIẾN ĐỔI LOGARIT

Chuyên đề 17

 
TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ MỨC 7-8 ĐIỂM

Công thức logarit:
Cho các số  a, b  0, a  1 và  m, n   . Ta có:
 log a b    a  b  

 lg b  log b  log10 b  

 ln b  loge b  

 loga 1  0  

 loga a  1  

 log a a n  n  

 log a b n  n log a b  

 log am bn 

b
 log a    log a b  log a c  
c

 a loga b  b
  log c
  
log a
 a b  c b

 log am b 

1
loga b  
m

 loga (bc)  loga b  loga c  
 loga b.logb c  loga c ,



 b  1  

log a c
 logb c ,   b  1  
log a b

 log a b 

n
log a b  
m

1

,   b  1  
logb a

 
Dạng. Biểu diễn biểu thức logarit này theo logarit khác
Câu 1.

(Đề Tham Khảo 2019) Đặt  log 3 2  a  khi đó  log16 27  bằng 
A.

3a
4

B.

3
4a

4
3a
lời giải
C.

D.

4a
 
3

Chọn B

Ta có  log16 27 
Câu 2.

3
3
3
log 2 3 

4
4.log 3 2 4a

(Đề Minh Họa 2017) Đặt a  log 2 3, b  log 5 3.  Hãy biểu diễn  log 6 45  theo  a  và  b .
A. log 6 45 
C. log 6 45 

2a 2  2ab
a  2ab
B. log 6 45 
ab  b
ab
2a 2  2ab
a  2ab
D. log 6 45 
 
ab
ab  b
Lời giải

Chọn B
log 2  3 .5 

2

log 6 45 

log 2  2.3



2 log 2 3  log 2 5 2a  log 2 3.log 3 5


1  log 2 3
1 a

log 2 3
a
2a 
log 5 3
b  a  2ab

1 a
1 a
ab  b

2a 

CASIO: Sto\Gán  A  log 2 3, B  log 5 3  bằng cách: Nhập  log 2 3 \shift\Sto\ A  tương tự  B  
A  2 AB
 log 6 45  1, 34  ( Loại) 
AB

A  2 AB
Thử đáp án C: 
 log 6 45  0  ( chọn ).
AB

Thử từng đáp án A: 

Câu 3.

(Chuyên Đại Học Vinh 2019) Đặt  a= log3 2 , khi đó  log6 48  bằng 
A.

3a - 1
a- 1

B.

3a + 1
 
a+ 1

C.

4a - 1
a- 1

D.

4a + 1
a+ 1

Facebook Nguyễn Vương  1


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

Lời giải 
Chọn D
Cách 1: Giải trực tiếp 
log 6 48 = log 6 6.8 = log 6 6 + log 6 8 = 1+

1
1
1
 
= 1+
= 1+
1
log8 6
log 23 2.3
(1+ log 2 3)
3

1
1+ log 2 3 + 3 4 + a 4a + 1
. Chọn đáp án D 
=
=
=
(1+ log 2 3) 1+ 1 a + 1

a

Cách 2: Dùng máy tính Casio 
Ta  có  log6 48 = 2.1605584217 .  Thay  a= log3 2 = 0.63092975375   vào 4  đáp  án  thì ta  chọn  đáp 
án D vì 

Câu 4.

4a + 1
= 2.1605584217  
a+ 1

 90 
(Chuyên  Phan  Bội  Châu  -2019)  Cho  log 3 5  a,   log 3 6  b, log 3 22  c .  Tính  P  log 3    
 11 
theo  a, b, c ?

A. P  2a  b  c . 

B. P  2a  b  c . 

C. P  2a  b  c . 
Lời giải
Ta có  log 3 6  b  log 3 2  1  b  log 3 2  b  1 , 

D. P  a  2b  c . 

log 3 22  c  log 3 2  log 3 11  c  log 3 11  c  log 3 2  c  b  1 . 
 90 
Khi đó  P  log 3    log 3 90  log 3 11  2  log 3 2  log 3 5  log 3 11  2b  a  c .

 11 

Câu 5.

(Lương  Thế  Vinh  Hà  Nội  2019)  Với  log 27 5  a ,  log3 7  b   và  log 2 3  c ,  giá  trị  của  log6 35  
bằng 
 3a  b  c  
A.
1 c

B.

 3a  b  c  
1 b

C.

 3a  b  c  
1 a

D.

Lời giải
Chọn A
1
1
Ta có:  log 27 5  a  a  log 3 5  3a  log 3 5  log 5 3 
 
3
3a

1
1
log 3 7  b  log 7 3  ;  bc  log 2 3.log 3 7  log 2 7  log 7 2  ; 
b
bc
1
 
3ac  log 3 5.log 2 3  log 2 5  log 5 2 
3ac
1
1
1
1
 
log 6 35  log 6 5  log 6 7 



log 5 6 log 7 6 log 5 2  log 5 3 log 7 3  log 7 2



1
1
1

3ac 3a



1
1 1

b bc



 3a  b  c
c 1

 

Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />
 3b  a  c
1 c

 


TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 

Câu 6.

(THPT  Nguyễn  Khuyến  2019)  Đặt  a  log 2 3 ;  b  log 5 3 .  Nếu  biểu  diễn  log 6 45 

a  m  nb 
ba  p

 

thì  m  n  p  bằng 
A. 3  

C. 6  
Lời giải

B. 4  

D. 3  

Chọn B
1
2
a  2b  1
log 3 45 log 3 9  log 3 5
b
 
log 6 45 



1
log 3 6 log 3 2  log 3 3
 1 b 1  a 
a
Suy ra  m  1, n  2, p  1  m  n  p  4  
Câu 7.

(THPT  Thiệu  Hóa  –  Thanh  Hóa  2019)  Cho  các  số  thực  dương  a ,  b   thỏa  mãn  log 3 a  x , 
log 3 b  y . Tính  P  log 3  3a 4b5  . 

A. P  3 x 4 y 5  

B. P  3  x 4  y 5  

C. P  60 xy  
Lời giải

D. P  1  4 x  5 y  

Chọn D
P  log 3  3a 4b 5   log 3 3  log 3 a 4  log 3 b 5  1  4 log 3 a  5 log 3 b  1  4 x  5 y . 

Câu 8.

(THPT An Lão Hải Phòng 2019) Biết  log 6 3  a, log 6 5  b . Tính  log 3 5  theo  a , b  
A.

b
 
a

B.

b
 
1 a

b
 
1 a

Lời giải

C.

D.

b
 
a 1

D.

3a  1
. 
3 a

Chọn A 
log 6 3  a  3  6a , log 6 5  b  5  6b  log 3 5  log 6a 6b 

Câu 9.

b
a

Cho  log12 3  a . Tính  log 24 18  theo  a . 
A.

3a  1
. 
3 a

B.

3a  1
. 
3a

3a  1
. 
3 a
Lời giải 

C.

Chọn B 
Ta có:  a  log12 3 

log 2 3
log 2 3
log 2 3
log 2 3
2a
     log 2 3 
. 



2
2
log 2 12 log 2  2 .3 log 2  2   log 2 3 2  log 2 3

1 a

2a
2
1  2.
log 2 18 log 2  2.3  1  2 log 2 3
1  a  3a  1 . 
Ta có:  log 24 18 



3
2a
3 a
log 2 24 log 2  2 .3
3  log 2 3
3
1 a
3a  1
Vậy  log 24 18 
. 
3 a
Câu 10.

(THPT Gia Lộc Hải Dương 2019) Đặt 
và  b . 

a  log 2 3

 và 

b  log 5 3

. Hãy biểu diễn 

log 6 45

 theo  a  

a  2ab
2 a 2  2 ab
. B. log 6 45 
. 
ab
ab
a  2ab
2 a 2  2 ab
C. log 6 45 
.  D. log 6 45 
. 
ab  b
ab  b
A. log 6 45 

Facebook Nguyễn Vương 3


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

Lời giải

log 3 45 log 3 3 .5 log 3 3  log 3 5
log 6 45 


log 3 6
log 3 2.3
log 3 2  log 3 3
1
1  2b  1 
 
2
2


log 5 3
b   2b  1 a a  2 ab

b





1
1
a 1
b
a

1

b  ab



1
1 

log 2 3
a
a


2

Câu 11.

(HSG 

Bắc 

Ninh 

2

2019) 

Đặt 

a  ln 2 , b  ln 5 , 

1
2
3
98
99
 theo  a  và  b . 
I  ln  ln  ln  ...  ln  ln
2
3
4
99
100
A. 2  a  b   
B. 2  a  b   
C. 2  a  b   

hãy 

biểu 

diễn 

D. 2  a  b   

Lời giải 
1
2
3
98
99

 
I  ln  ln  ln  ...  ln  ln
2
3
4
99
100
 1 2 3 98 99 
1
 ln  . . ... .
 ln102  
  ln
100
 2 3 4 99 100 
 2 ln10  2  ln 2  ln 5   2  a  b  . 

Câu 12.

(Chuyên Bắc Ninh 2019) Đặt  a  log 2 3; b  log 3 5  Biểu diễn đúng của  log 20 12  theo  a, b  là 

a 1
a2
. 
D.
. 
b2
ab  2
Lời giải
1
2

1
2
a2

Ta có  log 20 12  log 20 3  2 log 20 2 
 
.


1
2 log3 2  log3 5 log 2 5  2 2.  b ab  2 ab  2  
a
A.

Câu 13.

ab  1
. 
b2

B.

ab
. 
b2

C.

(Sở Bình Phước 2019) Cho  log 2 3  a, log 2 5  b , khi đó  log15 8  bằng 
A.

ab
 
3

B.

1
 
3(a  b)

C. 3(a  b)  

D.

3
 
ab

Lời giải 
Chọn D
log15 8  3log15 2 

Câu 14.

3
3
3
 



log 2 15 log 2 3  log 2 5 a  b

(Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Giả sử  log 27 5  a;   log 8 7  b;   log 2 3  c . Hãy biểu diễn 
log12 35  theo  a,  b,  c ? 
A.

3b  3ac
. 
c2

B.

3b  3ac
. 
c 1

3b  2ac
. 
c3
Lời giải 
C.

D.

log 2 5
1
log 27 5  a  log 3 5  a 
 3a  log 2 5  3ac.  
3

log 2 3

1
log8 7  b  log 2 7  b  log 2 7  3b.  
3

Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />
3b  2ac
. 
c2


TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 

log 2 35 log 2  5.7  log 2 5  log 2 7 3ac  3b
Xét  log12 35 



. 
log 2 12 log 2  3.2 2 
log 2 3  2
c2
Câu 15.

(Chuyen  Phan  Bội  Châu  Nghệ  An  2019)  Cho  log3 5  a ,  log3 6  b ,  log3 22  c .  Tính 
 90 
P  log 3    theo  a ,  b ,  c .
 11 
A. P  2a  b  c .

B. P  a  2b  c .

C. P  2a  b  c .
Lời giải 

D. P  2a  b  c .

Ta có: 

 90 
 180 
P  log 3    log 3 
  log3 180  log3 22  log3  36.5  log3 22  log3 36  log3 5  log3 22
 11 
 22 
 log 3  6 2   log 3 5  log 3 22  2log3 6  log3 5  log3 22  a  2b  c . 
Vậy  P  a  2b  c .
Câu 16.

(THPT - Yên Định Thanh Hóa 2019) Đặt  a  log 2 3; b  log3 5 . Biểu diễn  log20 12  theo  a, b .
ab  1
a 1
a2
.  C. log 20 12 
.  D. log 20 12 
. 
b2
b2
ab  2
Lời giải 

log 2 12 log 2 4.3 2  log 2 3
2  log 2 3
a2
Ta có  log 20 12 
.




log 2 20 log 2 4.5 2  log 2 5 2  log 2 3.log 3 5 ab  2

A. log 20 12 

Câu 17.

a b
. 
b2

B. log 20 12 

(Sở Hà Nội 2019) Nếu  log 2 3  a  thì  log 72 108  bằng 
A.

2a
. 
3 a

2  3a
. 

3  2a

B.

3  2a
. 
2  3a
Lời giải

C.

D.

2  3a
. 
2  2a

2 3
log 2 108 log 2  2 .3  2  3log 2 3 2  3a
Ta có  log 72 108 

.


log 2 72 log 2  23.32  3  2 log 2 3 3  2a

Câu 18.

(Chuyên  Trần  Phú  Hải  Phòng  2019)  Cho log 30 3  a;log 30 5  b .  Tính log 30 1350   theo  a, b ; 
log 30 1350

bằng 

A. 2a  b  

B. 2a  b  1  

C. 2a  b  1  
Lời giải

D. 2a  b  2  

Ta có  1350  30.45  30.9.5  30.32.5  
Nên  log30 1350  log30 30.32.5  log 30 30  log 30 32  log 30 5  1  2 log 30 3  log 30 5  1  2a  b  
Câu 19.

(THPT  Quang  Trung  Đống  Đa  Hà  Nội  2019)  Đặt  m   log 2   và  n  log 7 .  Hãy  biểu  diễn 

log 6125  7  theo  m  và  n . 
A.

6  6m  5n
. 
2

1
(6  6n  5m) . 
2

B.

C. 5m  6n  6 . 

D.

6  5n  6m
. 
2

Lời giải
5
2

5
10 5
Ta có  log 6125 7  log 537  3log 5  log 7  3log  log 7  
2
2 2
5
5
6  5n  6m
 3(l log 2)  log 7  3 1  m   n 
. 
2
2
2
Facebook Nguyễn Vương 5


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

Vậy  log 6125 7 
Câu 20.

6  5n  6m
. 
2

( Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Cho 
b  và  c . 
3a  b c
3a  b  c
A.
. 
B.
. 
1 c
1 b

log 27 5  a log 3 7  b log 2 3  c
log 35
, 
, 
. Tính  6  theo  a , 

C.

3a  b  c
1 a

. 

D.

3b  a  c
1 c

. 

Lời giải 
Chọn 

D.

1
Theo giả thiết, ta có  log 27 5  a  log3 5  a  log3 5  3a . 
3
Ta có  log 2 5  log 2 3  log 3 5  3ac  và  log 2 7  log 2 3 log 3 7  bc . 
Vậy  log 6 35 
Câu 21.

log 2 35 log 2 5  log 2 7 3ac  bc 3a  b c
. 



log 2 6
log 2 2  log 2 3
1 c
1 c

(Sở  Thanh  Hóa  2019)  Cho  a  log 2 m   và  A  log m 16m ,  với  0  m  1 .  Mệnh  đề  nào  sau  đây 
đúng? 
A. A 

4a
. 
a

B. A 

4a
. 
a

C. A  (4  a ) a.  

D. A  (4  a)a.  

Lời giải 
log 2 16m log 2 16  log 2 m 4  a
Ta có  A  log m 16m 


. 
log 2 m
log 2 m
a
Câu 22.

(THPT Ngô Sĩ Liên Bắc Giang 2019) Biết  log 315  a , tính  P  log 25 81  theo  a  ta được 
2
2
A. P  2  a  1  
B. P  2( a  1)  
C. P 
 
D.
 
a 1
a 1
Lời giải
Chọn D 
Ta có  log 315  a  1  log 3 5  a  log3 5  a  1  

P = log 25 81 
Câu 23.

log3 81
4
4
2



 
log3 25 2 log3 5 2  a  1 a  1

(Chuyên Phan Bội Châu 2019) Cho  log 3 5  a ,  log 3 6  b ,  log 3 22  c . Tính  P  log 3
a , b, c . 

A. P  2a  b  c  

B. P  a  2b  c  

C. P  2a  b  c  
Lời giải
Ta có:  P  log 3 90  log 3 11  log 3 90  log 3 2  log 3 11  log 3 2  

D. P  2a  b  c  

 log3 180  log 3 2  log 3  5.36   log 3 2  log3 5  2log3 6  log3 2  a  b  2c  
Câu 24.

(Chuyên ĐHSP Hà Nội 2019) Nếu 
2a
1 a
A.
. 
B.
. 
1  2a
2a

log3 5  a  thì  log 45 75  bằng 
1  2a
. 
2a
Lời giải

C.

D.

1  2a
. 
1 a

Ta có  log 45 75  2.log 45 5  log 45 3 . 

Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />
90
 theo 
11


TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 

1
1
1
a
1
1
1
Và  log 45 5 
. 




; log 45 3 


2
log5 45 2 log 5 3  1
log 3 45 2  log3 5 a  2
1 a  2
a
2a
1
1  2a
Do đó  log 45 75 
. 


a2 a2 2a
Câu 25.

(Chuyên  Phan  Bội  Châu  Nghệ  An  2019)  Cho  log 3 5  a , log 3 6  b, log 3 22  c.   Tính 
 90 
P  log3    theo  a, b, c.  
 11 
A. P  2 a  b  c . 
B. P  a  2 b  c . 
C. P  2 a  b  c . 
D. P  2 a  b  c . 
Lời giải.
 5.62 
 90 
 180 


log
Ta có  P  log 3    log 3 
3

  log 3 5  2 log 3 6  log 3 22  a  2b  c . 
 11 
 22 
 22 

Câu 26.

(Chuyên Nguyễn Tất Thành Yên Bái 2019) Cho  log12 3  a . Tính  log 24 18  theo  a . 

3a  1
.
3 a

3a  1
.
3 a
Lời giải
1
1
2a

 log 2 3 
Ta có  a  log12 3 
.
log312 1  2log3 2

1 a  

A.

B.

3a  1
.
3 a

C.

D.

3a  1
. 
3a

2a
1  2.
1  2 log 2 3
1  a  1  3a .
Khi đó:  log 24 18 


3
2a
3a  
log 2  2 .3 3  log 2 3
3

1-  a
log 2  32.2 

Câu 27.





(THPT Nghĩa Hưng Nđ- 2019) Đặt  log a b  m,log b c  n . Khi đó  log a ab 2 c 3  bằng 
B. 1  2m  3n . 

A. 1  6mn . 

D. 1  2m  3mn . 

C. 6mn . 
Lời giải

log a  ab 2 c 3   log a a  2 log a b  3log a c  

 1  2m  3
Câu 28.

log b c
 1  2m  3log a b.log b c  1  2m  3mn . 
log b a

(Cụm Liên Trường Hải Phòng 2019) Đặt  a  log2 3  và  b  log5 3 . Hãy biểu diễn  log6 45  theo 
a  và  b  

A. log 6 45 

a  2ab
 
ab  b

B. log 6 45 

a  2ab
ab

C. log 6 45 

2a 2  2ab
2a 2  2ab
 D. log 6 45 
 
ab
ab  b

Lời giải 
Chọn A

a
2a 
2 log 2 3  log 2 3.log3 5
2ab  a
b
log 6 45 




 
log 2  2.3
1  log 2 3
1 a
ab  b
log 2  32.5 

Câu 29.

(THPT  Thiệu  Hóa  –  Thanh  Hóa  2019)  Cho  log9 5  a; log 4 7  b; log 2 3  c .Biết 

log 24 175 
A. 27  

mb  nac
.Tính  A  m  2 n  3 p  4q . 
pc  q
B. 25  
C. 23  

D. 29  

Facebook Nguyễn Vương 7


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

Lời giải
Chọn B
Ta có  log 24 175  log 24 7.52  log 24 7  2 log 24 52 
1
2


3
log 7 3  log 7 2 log 5 3  log 5 23

1
2

 
log 7 24 log5 24

1
2

 
1
3
1
3


log 3 7 log 2 7 log 3 5 log 2 5

1
2

1
2



 
1
3
1
3
1
3
1
3




log 2 7.log3 2 log 2 7 log 3 5 log 2 3.log 3 5 2b. 1 2b 2a c.2a
c
1
2
2b
4ac 2b  4ac
. 




c

3
c
3
c

3
c

3
c

3


2b 2b 2ac 2ac
A  m  2 n  3 p  4q  2  8  3  12  25  
(Chuyên KHTN 2019) Với các số  a, b  0  thỏa mãn  a 2  b 2  6ab , biểu thức  log 2  a  b   bằng 

Câu 30.

1
1
B. 1  log 2 a  log 2 b  . 
 3  log 2 a  log 2 b  . 
2
2
1
1
C. 1   log 2 a  log 2 b  . D. 2   log 2 a  log 2 b  . 
2

2
Lời giải

A.

2

Ta có:  a 2  b 2  6ab  a 2  b 2  2ab  6ab  2 ab   a  b   8ab * . 

ab  0
Do  a, b  0  
, lấy logarit cơ số 2 hai vế của  * ta được: 
 
a  b  0
2

log 2  a  b   log 2  8ab   2 log 2  a  b   3  log 2 a  log 2 b  

 log 2  a  b  

1
 3  log 2 a  log 2 b  . 
2

 
 
BẠN HỌC THAM KHẢO THÊM DẠNG CÂU KHÁC TẠI
 />Theo dõi Fanpage: Nguyễn Bảo Vương   />Hoặc Facebook: Nguyễn Vương  />Tham gia ngay: Nhóm Nguyễn Bào Vương (TÀI LIỆU TOÁN)  />
Ấn sub kênh Youtube: Nguyễn Vương
 />Tải nhiều tài liệu hơn tại: />ĐỂ NHẬN TÀI LIỆU SỚM NHẤT NHÉ!

 
 
 
 
Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

Facebook Nguyễn Vương 9