Chuyên đề 26 tích phân đáp án
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.85 MB, 102 trang )
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
TÍCH PHÂN - PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
Chuyên đề 26
TÀI LIỆU DÀNH CHO HỌC SINH KHÁ – GIỎI – XUẤT SẮC MỨC 8-9-10 ĐIỂM
Dạng 1. Tích phân Hàm ẩn
Dạng 1.1 Giải bằng phương pháp đổi biến
b
Thông thường nếu trong bài toán xuất hiện f u x dx thì ta sẽ đặt u x t
a
Câu 1.
(Chuyên Biên Hòa - Hà Nam - 2020) Cho hàm số f x liên tục trên và thỏa mãn
1
2
f x dx 9 . Tích phân 0 f 1 3 x 9 dx bằng
5
A. 15 .
B. 27 .
C. 75 .
Lời giải
Chọn D
2
2
2
D. 21 .
2
Ta có f 1 3 x 9 dx f 1 3 x dx 9dx f 1 3 x dx 18 .
0
0
0
0
2
Xét f 1 3 x dx , đặt t 1 3x dt 3dx dx
0
dt
.
3
2
Đổi cận khi x 0 t 1 ; x 2 t 5 . Suy ra f 1 3x dx
0
2
1
Khi đó f 1 3 x 9 dx
0
Câu 2.
5
1
1
1
f (t )dt f (t )dt .
31
3 5
1
1
1
f (t )dt 18 f ( x)dx 18 21 .
3 5
3 5
(Chuyên Lam Sơn - 2020) Cho hàm số f x liên tục trên đoạn 0;10 thỏa mãn
10
0
10
1
f x dx 7, f x dx 1 . Tính P f 2 x dx .
2
0
A. P 6 .
B. P 6 .
C. P 3 .
Lời giải
D. P 12 .
Chọn C
2
10
10
Ta có: f x dx f x dx f x dx 6 .
0
0
2
1
1
Xét P f 2 x dx . Đặt t 2 x dt 2dx dx dt .
2
0
Đổi cận:
1
2
Lúc đó: P f 2 x dx
0
2
1
1
f t dt f x dx 3 .
20
20
Facebook Nguyễn Vương 1
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
5
Câu 3.
2
(Chuyên Bắc Ninh - 2020) Cho I f x dx 26 . Khi đó J x f x 2 1 1 dx bằng
1
0
A. 15 .
B. 13 .
C. 54 .
D. 52 .
Lời giải
Chọn A
2
2
2
+ Ta có: J x f x 2 1 1 dx xdx xf x 2 1 dx .
0
0
0
2
+ Xét A xdx .
0
2
2
A xdx
0
x2
2 .
2 0
2
+ Xét B xf x 2 1 dx .
0
2
Đặt t x 1 dt 2 xdx .
Đổi cận:
x
0
Ta có:
t
1
5
2
B xf x 2 1 dx
0
2
5
5
1
1
1
f t dt f x dx .26 13 .
21
21
2
Vậy J A B 15 .
9
Câu 4.
(Chuyên Lào Cai - 2020) Cho hàm số y f ( x) liên tục trên thỏa mãn
f
x dx 4 và
1
x
3
2
f sin x cos xdx 2. Tích phân I f ( x)dx bằng
0
0
A. I 8 .
B. I 6 .
C. I 4 .
Lời giải
D. I 10 .
Chọn C
Đặt t
x dt
9
Suy ra
f
1
2 x
x dx 2
1
x
dx . Khi đó x 1 t 1; x 9 t 3
3
3
f (t )dt 4 f (t )dt 2.
1
1
; dt cos dx . Khi đó. x 0 t 0; x t 1
2
2 2
Đặt t sin x; x
3
1
3
Suy ra f ( x)dx f ( x) dx f ( x)dx 2 2 4.
0
0
1
5
Câu 5.
(THPT Cẩm Giàng 2019) Cho biết
1
A. P 15 .
B. P 37 .
2
f x dx 15 . Tính giá trị của P f 5 3 x 7 dx .
0
C. P 27 .
D. P 19 .
Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương />
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
Lời giải
1
Đặt t 5 3 x dt 3dx dx = dt .
3
Đổi cận: x 0 thì t 5 ; x 2 thì t 1 .
2
2
2
0
0
5
1
Ta có: P f 5 3 x 7 dx f 5 3x dx + 7dx
0
f t
5
1
dt
2
7 x 0 f t dt 14
3 1
3
1
.15 14 19 .
3
4
Câu 6.
(THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Cho
f x dx 2018 .
Tính tích phân
0
2
I f 2 x f 4 2 x dx .
0
A. I 0 .
B. I 2018 .
2
C. I 4036 .
Lời giải
D. I 1009 .
2
Ta có I f 2 x dx f 4 2 x dx H K
0
0
2
Tính K f 2 x dx .
0
4
Đặt t 2 x dt 2dx ; đổi cận: x 0 t 2; x 2 t 4 . Nên K
1
f t dt 1009
2 0
2
Tính H f 4 2 x dx ,
0
4
Đặt t 4 2 x dt 2dx ; đổi cận: x 0 t 4; x 2 t 0 . Nên H
1
f t dt 1009
2 0
Suy ra I K H 2018 .
2
Câu 7.
Cho y f x là hàm số chẵn, liên tục trên 6;6 . Biết rằng
3
f x dx 8 ; f 2 x dx 3 .
1
1
6
Giá trị của I
f x dx là
1
A. I 5 .
B. I 2 .
C. I 14 .
Lời giải
D. I 11 .
3
3
Ta có y f x là hàm số chẵn, suy ra f 2 x f 2 x . Khi đó: f 2 x dx f 2 x dx 3 .
1
1
3
Xét tích phân: I1 f 2 x dx .
1
Đặt t 2 x dt 2dx
6
1
dt dx . Đổi cận: x 1 t 2 ; x 3 t 6 .
2
6
6
6
1
1
I1 f t . dt f t dt 3 f t dt 6 f x dx 6 .
2
22
2
2
2
6
Vậy I
1
2
f x dx
1
6
f x dx f x dx 8 6 14 .
2
Facebook Nguyễn Vương 3
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Câu 8.
(THPT Đoàn Thượng - Hải Dương -2019) Cho hàm số f x liên tục trên và
2
f x dx 2018 , tính I xf x 2 dx.
0
0
A. I 1008 .
B. I 2019 .
C. I 2017 .
Lời giải
D. I 1009 .
Xét I xf x 2 dx.
0
1
Đặt t x 2 dt 2 xdx xdx dt.
2
Đổi cận: x 0 t 0; x t 2 .
1
2
Khi đó I
2
f t dt
0
1
2
2
f x dx 1009.
0
4
2
Câu 9.
(Chuyen Phan Bội Châu Nghệ An 2019) Cho f x dx 2 . Khi đó
B. 4 .
Đặt x t
4
Suy ra
f
4
1
f
2 x
x
2
C. 2 .
Lời giải
x
D. 8 .
1
dx 2dt . Khi x 1 thì t 1 ; x 4 thì t 2 .
x
dx dt
x dx
1
Vậy
1
x dx bằng
1
1
A. 1 .
f
2
f t .2dt 2 f t dt 2.2 4 .
1
1
x dx 4 .
x
2
5
Câu 10. (Sở Hà Nội 2019) Cho f x 2 1xdx 2 . Khi đó I f x dx bằng
1
A. 2 .
2
B. 1.
C. 4 .
D. 1 .
Lời giải
dt
.
2
Đổi cận x 1 t 2; x 2 t 5 .
Đặt x 2 1 t 2 xdx dt xdx
2
5
Suy ra: 2 f x 2 1 dx
1
5
5
1
f t dt f t dt 4 I f x dx 4 .
2 2
2
2
3
Câu 11. Cho f , g là hai hàm số liên tục trên 1;3 thỏa mãn điều kiện f x 3 g x dx=10 đồng thời
1
3
3
2
2 f x g x dx=6 . Tính f 4 x dx +2 g 2 x 1dx
1
A. 9 .
1
B. 6 .
1
C. 7 .
Lời giải
D. 8 .
Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương />
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
3
3
3
Ta có: f x 3 g x dx=10 f x dx+3 g x dx=10 .
1
1
3
3
1
3
2 f x g x dx=6 2 f x dx- g x dx=6 .
1
1
3
1
3
Đặt u f x dx; v = g x dx .
1
1
3
f x dx=4
u 3v 10
u 4
1
Ta được hệ phương trình:
3
2u v 6
v 2
g x dx=2
1
3
+ Tính f 4 x dx
1
Đặt t 4 x dt dx; x 1 t 3; x 3 t 1 .
3
1
3
3
f 4 x dx f t dt f t dt f x dx 4 .
1
3
1
1
2
+ Tính g 2 x 1dx
1
Đặt z 2 x 1 dz 2dx; x 1 z 1; x 2 z 3 .
2
3
g 2 x 1 dx
1
3
3
1
1
g z dz g x dx 1.
21
21
2
Vậy f 4 x dx +2 g 2 x 1dx = 6 .
1
1
1
2
7
Câu 12. Cho hàm số f x liên tục trên thỏa f x dx 2 và f 3 x 1 dx 6 . Tính I f x dx .
0
A. I 16 .
B. I 18 .
1
0
C. I 8 .
Lời giải
0
D. I 20 .
2
A f x dx 2 , B f 3 x 1 dx 6 đặt t 3 x 1 dt 3dx .
0
0
Đổi cận :
x 0 t 1
x 2t 7
7
Ta có: B
7
7
7
1
f t dt 6 f t dt 18 f x dx=18 .
3 1
1
1
1
7
Vậy I f x dx f x dx f x dx 20 .
0
Câu 13.
0
1
(THPT Quỳnh Lưu 3 Nghệ An 2019) Cho f x liên tục trên thỏa mãn f x f 10 x và
7
3
7
f x dx 4 . Tính I xf x dx .
A. 80 .
3
B. 60 .
C. 40 .
Lời giải
D. 20 .
Đặt t 10 x . Khi đó dt dx .
Facebook Nguyễn Vương 5
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Đổi cận: x 3 t 7 .
x 7 t 3 .
3
7
7
Khi đó I 10 t f 10 t dt 10 t f 10 t dt 10 x f 10 x dx
7
3
7
7
3
7
7
10 x f x dx 10 f x dx xf x dx 10 f x dx I .
3
3
3
3
7
Suy ra 2 I 10 f x dx 10.4 40 . Do đó I 20 .
3
1
Câu 14.
(THPT
Quang
Trung
Đống
Đa
Hà
Nội
2019)
Cho
f x dx 9 .
Tính
0
6
I f sin 3 x cos 3 xdx .
0
A. I 5 .
B. I 9 .
D. I 2 .
C. I 3 .
Lời giải
Đặt t sin 3x dt 3cos 3x.dx
x 0 t 0
Đổi cận:
x
t
1
6
1
6
I f sin 3 x cos 3 xdx
0
1
1
f t dt .9 3
30
3
4
Câu 15.
(Chuyên Quốc Học Huế -2019) Cho tích phân
I f x dx 32. Tính tích
0
2
phân J f 2 x dx.
0
A. J 32
B. J 64
Đặt t 2 x dt 2dx
C. J 8
Lời giải
D. J 16
dt
dx.
2
Đổi cận: x 0 t 0; x 2 t 4.
2
J
0
4
4
1
1
1
f 2 x dx f t dt f t dt I 16.
2
20
2
0
9
Câu 16.
(Việt Đức Hà Nội 2019) Biết f x là hàm liên tục trên và f x dx 9 . Khi đó giá trị của
0
4
f 3x 3 dx là
1
A. 0 .
B. 24 .
C. 27 .
Lời giải
D. 3 .
4
Xét I f 3 x 3 dx .
1
Đặt t 3 x 3 dt 3dx .
Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương />
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
9
9
x 4 t 9
1
1
1
Đổi cận:
. Vậy I f t dt f x dx .9 3 .
3
30
3
x 1 t 0
0
1
Câu 17.
(Đề Thi Công Bằng KHTN 2019) Cho hàm số f ( x) thỏa mãn
f (2 x)dx 2 .Tích phân
0
2
f ( x)dx bằng
0
A. 8.
B. 1.
C. 2.
Lời giải
Đặt t 2 x dt 2dx dx
D. 4.
dt
,
2
x0t 0
x 1 t 2
1
2
Ta có 2 f (2 x)dx
0
0
2
2
f (t )dt 1
f (t )dt f (t )dt 4
2
20
0
2
2
Theo tính chất tích phân f (x)dx f (t)dt 4
0
0
2
Vậy f ( x )dx 4
0
2017
Câu 18. Cho hàm f x thỏa mãn
1
f x dx 1 . Tính tích phân I f 2017 x dx .
0
A. I
1
.
2017
0
B. I 0 .
D. I 1 .
C. I 2017 .
Lời giải
1
dt
2017
Đổi cận: x 0 t 0 ; x 1 t 2017
Đặt t 2017 x dt 2017dx dx
2017
Vậy I
0
1
1
f t .
dt
2017
2017
2017
1
f t dt 2017 .
0
2
1
Câu 19. Cho tích phân f x dx a . Hãy tính tích phân I xf x 2 1 dx theo a .
1
0
B. I
A. I 4a .
a
.
4
C. I
a
.
2
D. I 2a .
Lời giải
2
Đặt t x 1 dt 2 xdx .
Đổi cận
1
2
2
I xf x 2 1 dx f t .
0
1
2
dt 1
1
a
f t dt f x dx .
2 21
21
2
Facebook Nguyễn Vương 7
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Câu 20.
(Thpt Hoàng Hoa Thám Hưng Yên 2019) Cho hàm số f x liên tục trên và thỏa mãn
f ln 2 x
e2
4
tan x. f cos x dx 2 và
2
x ln x
e
0
A. 0 .
2
dx 2 . Tính
B. 1.
1
4
f 2x
dx .
x
D. 8 .
C. 4 .
Lời giải
2
1 4 f cos x
2
* I1 tan x. f cos x dx
.sin2xdx .
2 0 cos 2 x
0
4
Đặt cos 2 x t sin 2 xdx dt .
Đổi cận
x
0
t
1
4
1
2
1
1
f t
1 2 f t
dt 4 .
dt
Khi đó I1
t
21 t
1
2
e
* I 2
2
e
f ln x
2
e
1 f ln x 2 ln x
dx
.
dx .
x ln x
2 e ln 2 x
x
2
2
Đặt ln 2 x t
2 ln x
dx dt .
x
Đổi cận
Khi đó I 2
4
4
1 f t
d
t
1
2 1 t
2
* Tính I
1
4
x
e
t
1
f t
dt 4 .
t
e2
4
f 2x
1
dx . Đặt 2x t dx dt .
2
x
Đổi cận
x
t
4
Khi đó I
1
2
Câu 21.
1
4
1
2
2
4
1
4
f t
f t
f t
dt
dt
dt 4 4 8 .
t
t
t
1
1
2
x 2 3x 2 ; x 1
(THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Cho hàm số y f x
. Tính
5 x ; x 1
2
1
I 2 f sin x cos xdx 3 f 3 2 x dx .
0
0
Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương />
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
71
A. I .
6
B. I 31 .
D. I
C. I 32 .
32
.
3
Lời giải
2
Xét tích phân I1 f sin x cos xdx .Đặt t sin x dt cos xdx
0
Đổi cận
x
0
t
2
1
0
1
Ta có I1
0
1
1
1
x2
9
f t dt f x dx 5 x dx 5 x
2 0 2
0
0
1
Xét tích phân I 2 f 3 2 x dx .Đặt t 3 2 x dt 2dx dx
0
Đổi cận
x
t
Ta có
1
I2
0
0
3
dt
2
1
1
3
3
3
3
1
1
1
1 x3
1
10 22
f 3 2 x dx f t dt f x dx x 2 3 dx 3x 18
21
21
21
2 3
3 3
1 2
1
2
Vậy I 2 f sin x cos xdx 3 f 3 2 x dx 9 22 31 .
0
0
2
Câu 22.
(THPT Yên Khánh - Ninh Bình- 2019) Cho I f x dx 2 . Giá trị của
1
2
sin xf
0
3cos x 1
3cos x 1
dx bằng
4
B. .
3
A. 2 .
4
.
3
Lời giải
D. 2 .
C.
2
x u 1
.
Đặt u 3cos x 1 u 2 3cos x 1 udu sin xdx. Đổi cận
2
3
x 0 u 2
2
Do đó
0
sin xf
3cos x 1
3cos x 1
dx
1
2
2uf u
3u
2
du
2
2
2
4
f u du f x dx .
31
31
3
4
Câu 23.
(Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Biết
1
2
f x dx 20 . Tính
4
ln 2
f 4 x 3 dx f e e
2x
1
5
f x dx 5 và
2x
dx .
0
Facebook Nguyễn Vương 9
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
15
.
4
A. I
5
C. I .
2
Lời giải
B. I 15 .
D. I 25 .
Chọn A
Đặt t 4 x 3 dt 4dx thì
2
f 4 x 3 dx
1
5
4
5
1
1
1
25
.
f
t
dt
f
t
dt
f t dt 5 20
41
41
4
4
4
Đặt u e 2 x du 2e 2 x dx thì
ln 2
4
f e2 x e 2 x dx
0
Vậy I
Câu 24.
1
5
f u du .
21
2
25 5 15
.
4 2 4
f ( x ) là hàm số liên tục trên thỏa mãn
(Chuyên Thái Bình 2019) Cho
2
2
f ( x ) f (2 x ) x.e x , x . Tính tích phân I f ( x )dx .
0
4
A. I
e 1
.
4
B. I
2e 1
.
2
C. I e 4 2 .
D. I e4 1 .
Lời giải
Đặt x 2 t dx dt .
0
2
2
I f 2 t dt f 2 t dt f 2 x dx .
2
0
0
2
2
2
2
1
1 2
2 I f x f 2 x dx xe dx e x d x 2 e x
20
2
0
0
x2
Vậy I
Câu 25.
2
0
e4 1
.
2
e4 1
.
4
(Chuyên Vĩnh Phúc Năm 2019) Cho hàm số f x liên tục trên thỏa mãn f 2 x 3 f x ,
2
1
x . Biết rằng f x dx 1 . Tính tích phân I f x dx .
0
A. I 5
1
B. I 6
1
C. I 3
Lời giải.
1
1
Ta có: 3 3.1 3. f x dx 3 f x dx f 2 x dx
0
0
0
D. I 2
1
1
f 2 x d 2 x , x .
2 0
Đặt 2 x t d 2 x dt , với x 0 t 0 ; x 1 t 2 .
1
3
2
2
2
1
1
1
f 2 x d 2 x f t dt f x dx , x (do hàm số f x liên tục trên ).
20
20
20
1
2
f x dx 6, x f x dx f x dx 6, x .
0
0
1
Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương />
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
2
1 f x dx 6, x .
1
2
f x dx 5, x .
1
e2
2
Câu 26. Cho hàm số f x liên tục trên và thỏa mãn tan x. f cos x dx 2 và
2
0
f 2x
2
Tính
x
1
4
e
f ln 2 x
x ln x
dx 2 .
dx .
B. 1 .
A. 0 .
C. 4 .
Lời giải
2
2
D. 8 .
sin x.cos x
. f cos 2 x dx 2 .
2
cos x
0
Ta có tan x. f cos 2 x dx 2
0
1
Đặt t cos 2 x dt 2sin x cos xdx dt sin x cos xdx .
2
Đổi cận: x 0 t 0 và x
4
t
1
.
2
1
f t
sin x.cos x
2
4 .
.
f
cos
x
dx
2
2
cos x
t
1
0
2
2
f ln 2 x
e2
Ta có
x ln x
e
e2
dx 2
Tương tự trên ta có
1
4
f 2x
x
2
Khi đó
1
4
4
dx 2
f t
t
1
4 .
1
dt .
2
1
1
t và x 2 t 4 .
4
2
f 2x
x
dx 2 .
dx .
Đặt t 2 x dx
Đổi cận: x
f ln 2 x
x ln x
e
2
x ln 2 x
e
e2
* Tính
ln x. f ln 2 x
4
dx
1
2
f t
t
1
1
2
f t
t
4
dt
1
f t
t
4 4 8 .
Facebook Nguyễn Vương 11
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Câu 27.
f ( x) liên tục trên
Cho hàm số
(Chuyên KHTN 2019)
thỏa
mãn
8
3
2
tan x. f (cos x)dx
0
1
f (3 x)
dx 6 . Tính tích phân
x
A. 4
B. 6
2
1
2
f ( x2 )
dx
x
C. 7
Lời giải
D. 10
+) Đặt t 3 x t 3 x 3t 2 dt dx
Đổi cận x 1 t 1 và x 8 t 2 .
2
8
Khi đó
1
2
2
f (t)
f (3 x)
f (t) 2
f (t)
dt 2
dx 3 3t dt 3
dt 6
t
x
t
t
1
1
1
+) Đặt t cos 2 x dt 2 cos x sin xdx dt 2 cos 2 x tan xdx tan xdx
Đổi cận: x 0 t 1 và x
3
t
1
dt
2t
1
.
4
1
1
3
1 4 f (t)
f (t)
dt 6
dt 12
Khi đó tan x. f (cos 2 x)dx
21 t
t
1
0
4
+) Đặt t x 2 dt 2 xdx dt 2 x 2
Đổi cận: x
2
1
2
Câu 28.
dx
dx 1 dt
x
x 2 t
1
1
t và x 2 t 2 Khi đó
2
4
2
1
4
4
2
f ( x2 )
1 f (t)
1 f (t)
1 f (t)
2 12
dx
dt
dt
dt
7
x
21 t
21 t
21 t
2
(Chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng - 2018) Cho hàm số f x liên tục trên thỏa
e 2018 1
2018
f x dx 2 . Khi đó tích phân
0
0
A. 4 .
B. 1 .
e 2018 1
Đặt I
0
x
f ln x 2 1 dx bằng
x 1
2
C. 2 .
Lời giải
D. 3 .
x
f ln x 2 1 dx .
x 1
2
Đặt t ln x 2 1 dt
2x
dx .
x 1
2
Đổi cận: x 0 t 0 ; x e 2018 1 t 2018 .
2018
Vậy I
2018
f t dt f x dx 2 .
0
0
Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương />
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
4
Câu 29.
(Chuyên Vĩnh Phúc - 2018) Cho hàm số f x liên tục trên thỏa mãn f tan x dx 3 và
0
1
0
2
1
x f x
dx 1. Tính I f x dx.
x2 1
0
A. I 2 .
B. I 6 .
D. I 4 .
C. I 3 .
Lời giải
4
Ta có K f tan x dx 3 . Đặt tan x t dt d tan x
0
1
1
dx t 2 1 dx .
2
cos x
1
1
1
Vậy K f t . 2 dt f x . 2 dx 3 .
t 1
x 1
0
0
1
Lại có
x2 f x
1
1
1
1
1
dx f x 2
f x dx f x dx 2
f x dx .
2
x 1
x 1
x 1
0
0
0
0
1
Vậy suy ra I f x dx 4 .
0
Câu 30.
(SGD Thanh Hóa - 2018) Cho hàm số f x liên tục trên và thỏa mãn
16
2
cot x. f sin x dx
2
1
f
x dx 1 . Tính tích phân
x
1
8
4
3
B. I .
2
A. I 3 .
1
f 4x
dx .
x
5
D. I .
2
C. I 2 .
Lời giải
2
16
1
Đặt I1 cot x. f sin 2 x dx 1 , I 2
f
x dx 1 .
x
4
Đặt t sin 2 x dt 2 sin x.cos xdx 2sin 2 x.cot xdx 2t.cot xdx .
2
1
1
2
I1 cot x. f sin 2 x dx
4
1
4
Suy ra
1
8
1
4
1
8
8
1
1
1 f t
1 f 4x
1 4 f 4x
f t . dt
dt
d 4x
dx .
2t
21 t
2 1 4x
21 x
2
f 4x
dx 2 I1 2
x
Đặt t x 2tdt dx .
Facebook Nguyễn Vương 13
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
x dx
f
16
I2
x
1
1
1
4
f 4x
f 4x
f t
f t
2
d
4
x
2
dx .
2
t
d
t
2
d
t
2
4x
x
t
t
1
1
1
4
1
4
1
Suy ra
f 4x
x
1
4
dx
4
1
1
I2
2
2
Khi đó, ta có:
1
1
1
8
Câu 31.
1
4
f 4x
f 4x
f 4x
1 5
dx
dx
dx 2 .
x
x
x
2 2
1
1
8
4
(SGD - Nam Định - 2018) Cho hàm số f x liên tục trên đoạn 1; 4 và thỏa mãn
ln x . Tính tích phân I
f 2 x 1
f x
x
x
2
f x dx .
3
2
A. I 3 2 ln 2 .
4
C. I ln 2 2 .
B. I 2 ln 2 .
D. I 2 ln 2 .
Lời giải
f 2 x 1
4 f 2 x 1
4
ln x
ln x
dx
Ta có f x dx
dx
dx .
x
x
x
x
1
1
1
1
4
4
4
Xét K
1
dx .
f 2 x 1
x
Đặt 2 x 1 t x
3
t 1
dx
dt .
2
x
3
K f t dt f x dx .
1
1
4
4
4
ln 2 x
ln x
2 ln 2 2 .
Xét M
dx ln xd ln x
2 1
x
1
1
4
4
3
Do đó f x dx f x dx 2 ln 2 2 f x dx 2 ln 2 2 .
1
3
1
4
2018 98
11
2018.98
197764
. I
I
Từ 1 I I
.
7
7
3
7
7.3
33
Câu 32.
(Nam Định - 2018) Cho hàm số y f ( x) liên tục trên
1; 4
và thỏa mãn
4
f ( x)
f (2 x 1) ln x
. Tính tích phân I f ( x) dx .
x
x
3
A. I 3 2 ln 2 2 .
B. I 2 ln 2 2 .
C. I ln 2 2 .
D. I 2 ln 2 .
Lời giải
4
4
4
4
f (2 x 1) ln x
f (2 x 1)
ln x
dx
dx A B .
Ta có: f ( x) dx
dx
x
x
x
x
1
1
1
1
Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương />
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
ln x
ln x
dx ln x d (ln x)
2
x
1
1
4
4
2 4
Xét B
4
Xét A
1
ln 4
2
1
2
ln1
2
2
2 ln 2 2 .
f (2 x 1)
dx .
x
4
Đặt t 2 x 1 dt
3
3
1
f (2 x 1)
dx f (t ) dt f ( x) dx
dx . Khi đó A
x
x
1
1
1
4
4
3
3
Vậy f ( x) dx f ( x) dx 2 ln 2 2 f ( x) dx f ( x) dx 2 ln 2 2 I 2 ln 2 2 .
1
1
1
1
Câu 33.
(Chuyên Hùng Vương - Gia Lai - 2020) Cho hàm số f x liên tục và là hàm số lẻ trên
0
1
đoạn 2;2 . Biết rằng f x dx 1, f 2 x dx 2 .Mệnh đề nào sau đây đúng?
1
2
1
2
A.
1
2
f x dx 2 f x dx .
2
B.
1
C.
f x dx 4 .
1
2
0
2
f x dx 1 .
f x dx 3 .
D.
0
0
Lời giải
Chọn D
0
Đặt t x
0
1
f x dx f t dt f t dt ( vì f x làhàm lẻ)
1
1
0
1
f t dt 1 .
0
1
Đặt t 2 x
1
2
1
2
2
2
1
f 2 x dx f 2 x dx
f t dt
2 1
1
2
1
f t dt 2 f t dt 4.
2 1
1
2
1
2
Vậy f x dx f x dx f x dx 1 4 3.
0
0
1
1
Câu 34.
1
(Chuyên Sơn La - 2020) Cho f x là hàm số liên tục trên thỏa f 1 1 và f t dt .
3
0
Tính
2
I sin 2 x. f sin x dx
0
A. I
4
.
3
B. I
2
.
3
C. I
2
3
D. I
1
.
3
Lời giải
Chọn A
Đặt t sin x, dt cos x dx .
Đổi cận
Facebook Nguyễn Vương 15
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
1
2
I sin 2 x. f sin x dx 2t. f t dt .
0
0
u 2t
du 2dt
Đặt
dv f t dt v f t
1
1
1 4
I 2t. f t 2 f t dt 2. f 1 2. .
0 0
3 3
Câu 35.
(Chuyên Vĩnh Phúc - 2020) Cho hàm số
9
f
x dx 4,
x
1
2
f x liên tục trên
và
3
f sin x cos xdx 2 . Tính tích phân I f x dx .
0
0
A. I 6 .
B. I 4 .
C. I 10 .
Lời giải
9
3
1
1
D. I 2 .
Chọn B
9
Ta có:
f
x dx 2
x
1
9
Mà
f
f x d x 2
x dx 4 nên 2
x
1
3
f t dt .
3
f t dt 4 f t dt 2
1
1
3
3
Vì tích phân không phụ thuộc vào biến số nên f t dt 2 f x dx 2 .
1
2
Ta có:
1
2
1
0
0
f sin x cos xdx f sin x d sin x f t dt .
0
2
1
0
0
Mà f sin x cos xdx 2 nên f t dt 2 .
1
1
Vì tích phân không phụ thuộc vào biến số nên f t dt 2 f x dx 2 .
0
3
1
0
3
Khi đó I f x dx f x dx f x dx 2 2 4 .
0
Câu 36.
0
1
(Sở Hưng Yên - 2020) Cho f x liên tục trên thỏa mãn f x f 2020 x và
2017
2017
f x dx 4. Khi đó
3
A. 16160.
xf x dx bằng
3
B. 4040.
C. 2020.
D. 8080.
Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương />
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
Lời giải
Chọn B
Đặt u 2020 x x 2020 u . Ta có dx du .
Với x 3 thì u 2017 .
Với x 2017 thì u 3 .
2017
Khiđó
2017
xf x dx =
3
3
2017
Suy ra 2
3
2017
xf x dx =
3
Câu 37.
2017
2020 u f 2020 u du 2020 x f x dx
2017
2020 f x dx = 8080. Do đó
3
xf x dx = 4040.
3
(Sở Phú Thọ - 2020) Cho hàm số f x có đạo hàm và xác định trên . Biết f 1 2 và
1
0
x 2 f x dx
4
1
A. 1.
1
1 3 x
f 2 x dx 4 . Giá trị của f x dx bằng
0
2 x
5
3
1
B. .
C. .
D. .
7
7
7
Lời giải
Chọn D
Ta có
1
1
1
1
1
0
0
0
0
4 x 2 f x dx x 2 f x 2 xf x dx 2 2 xf x dx xf x dx 1
0
Đặt t 2 x dt
1
2 x
dx
Khi đó
4
1
1
1
0
1 3 x
f 2 x dx 4 1 3 2 t f t dt 4 7 f t dt 3 tf t dt 4
0
0
1
2 x
1
1
4 3 tf t dt
0
7
Suy ra f t dt
1
Vậy f x dx
0
Câu 38.
0
4 3. 1
7
1
.
7
1
.
7
(Sở Yên Bái - 2020) Cho hàm số y f ( x) liên tục trên và thỏa mãn
4
3
4 xf ( x ) 6 f (2 x) x3 4 . Giá trị f ( x)dx bằng
5
0
2
A.
52
.
25
B. 52.
C.
48
.
25
D. 48.
Lời giải
Chọn A
2
4 xf ( x 2 ) 6 f (2 x)
2
2
3 3
3
x 4 4 xf ( x 2 ) 6 f (2 x) dx x 3 4 dx
5
5
0
0
2
4
2 f ( x 2 )d( x 2 ) 3 f (2 x)d(2 x)
0
4
0
4
4
4
52
52
2 f (t )dt 3 f (u )du
5
5
0
0
4
52
52
52
2 f ( x)dx 3 f ( x)dx
5 f ( x)dx
f ( x)dx
5
5
25
0
0
0
0
Facebook Nguyễn Vương 17
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Câu 39.
(Đô Lương 4 - Nghệ An - 2020) Cho
1
f x liên tục trên và thỏa mãn
2
f 2 16, f 2 x dx 2 . Tích phân xf x dx bằng
0
0
A. 30 .
B. 28 .
C. 36 .
Lời giải
1
2
D. 16 .
Chọn B
1
1
Ta có: f 2 x dx 2 f 2 x d 2 x 2
20
0
f x dx 4 .
0
u x
du dx
Đặt
dv f x dx
v f x
2
2
2
xf x dx xf x 0 f x dx 2 f 2 4 32 4 28 .
0
0
2
Câu 40.
(Kim Liên - Hà Nội - 2020) Cho hàm số f x liên tục trên đoạn 0;1 và
f sin x dx 5 .
0
Tính I xf sin x dx
0
5
A. I .
2
B. I 10 .
C. I 5 .
D. I 5 .
Lời giải
Chọn D
2
Ta có I xf sin x dx xf sin x dx xf sin x dx ,
0
0
2
Tính xf sin x dx
2
Đặt x t
dx dt
xf sin x dx t f sin t dt t f sin t dt
Đổi cận x 2 t 2
x t 0
Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương />
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
0
2
2
2
2
xf sin x dx t f sin t dt f sin t dt tf sin t dt f sin x dx xf sin x dx
2
2
0
0
0
0
2
2
Do đó I xf sin x dx xf sin x dx xf sin x dx f sin x dx 5
0
0
0
2
Vậy chọn D.
Câu 41.
(THPT Hoàng Hoa Thám - Hưng Yên 2019) Cho hàm số f x liên tục trên , thỏa mãn
4
0
tan x. f cos x d x 2 và
2
e2
e
f ln x 2
x ln x
B. 1.
A. 0 .
2
d x 2 . Tính 1
4
f 2x
d x .
x
C. 4 .
Lời giải
D. 8 .
Chọn D
Đặt t cos 2 x suy ra d t 2sin x.cos x d x .
Suy
ra
I1 tan x. f cos x d x
2
4
0
4
0
Đặt t ln 2 x suy ra d t 2
sin x
1 4 2sin x cos x
1 1 f t
2
. f cos x d x
. f cos2 x d x 1
dt
2
0
cos x
2
cos x
2 2 t
ln x
d x .
x
2
1 e2 2 ln x. f ln x
1 4 f t
dx
dx
d t .
Suy ra I 2
2
e
e
x ln x
2
x ln x
2 1 t
Đặt t 2 x suy ra d t 2d x .
Ta có
2 f 2x
2 f 2x
4 f t
1 f t
4 f t
I 1
d x 1
d 2 x 1
d t 1
dt
d t 2 I1 I 2 2 2 2 8.
1
x
2x
t
t
t
4
4
2
2
e2
Câu 42.
f ln 2 x
1
(Hùng Vương Gia Lai 2019) Cho hàm số y f ( x ) liên tục trên ;3 thỏa
3
3
f ( x)
1
mãn f ( x) x. f x3 x . Giá trị tích phân I 2
dx bằng:
x
1 x x
3
A.
8
.
9
B.
16
.
9
2
.
3
Lời giải
C.
D.
3
.
4
Chọn A
1
1
f
3
3 f
3
f ( x)
16
f ( x)
x
x
1
3
dx
dx (x 1)dx .
f ( x) x. f x x 2
x 1 2
9
x x
x 1
x
1 x x
1 x 1
1
3
3
3
Facebook Nguyễn Vương 19
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
3
Xét I '
1
3
1
f
x dx .
x 1
1
1
dt
t 2 dx dt dx 2 .
x
x
t
1
1
3 f
3
3
3
f (t ) d t
f (t )
f ( x)
x
I ' dx
dt
dx I .
2
2
2
1
1 x 1
1 t t
1 x x
3
1 t
3
3
3
t
16
8
Suy ra 2 I I .
9
9
Dạng 1.2 Giải bằng phương pháp từng phần
Đặt
u g x
Thông thường nếu bài toán xuất hiện g x f ' x dx ta sẽ đặt
dv f ' x dx
a
b
1
Câu 43.
(Đề tham khảo 2017) Cho hàm số f x thỏa mãn x 1 f x dx 10 và 2 f 1 f 0 2 .
0
1
Tính f x dx .
0
A. I 12
C. I 1
Lời giải
B. I 8
D. I 8
Chọn D
1
1
u x 1
du dx
. Khi đó I x 1 f x 0 f x dx
0
dv f x dx v f x
Đặt
1
1
Suy ra 10 2 f 1 f 0 f x dx f x dx 10 2 8
0
0
1
Vậy f x dx 8 .
0
Câu 44.
(Mã 104 - 2019) Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên . Biết f 3 1
1
3
0
0
và xf 3 x dx 1 , khi đó x 2 f x dx bằng
A.
25
.
3
C. 7 .
B. 3 .
D. 9 .
Lời giải
Chọn D
Đặt t 3 x dt 3dx dx
1
dt .
3
1
3
13
Suy ra 1 xf 3 x dx tf t dt tf t dt 9 .
90
0
0
Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương />
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
du f t dt
u f t
Đặt
.
t2
dv t dt
v
2
3
3
3 2
t2
t
9
13
tf t dt
f t f t dt f 3 t 2 f ' t dt .
2
2
2
20
0
0
0
9
3
9 13 2
t f t dt t 2 f t dt 9 .
2 20
0
3
Vậy x 2 f x dx 9 .
0
Câu 45.
(Mã 101 - 2019) Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên . Biết f 4 1 và
1
0
4
xf 4 x dx 1, khi đó x 2 f x dx bằng
0
A. 8.
B. 14.
C.
31
.
2
D. 16 .
Lời giải
Chọn D
Xét
1
0
xf 4 x dx 1. Đặt:
t 4x
4
0
Xét I
4
0
4
4
1
1
t. f t . dt 1 t. f t dt 16 x. f x dx 16.
0
0
4
4
4
x 2 f x dx x 2 df x
0
4
Suy ra: I x 2 . f x
0
Câu 46.
4
0
2 x. f x dx 4 2 f 4 2.16 16.
(Mã 103 - 2019) Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên . Biết f 6 1 và
1
6
2
xf 6 x dx 1 , khi đó x f x dx bằng
0
A.
0
107
.
3
B. 34 .
C. 24 .
D. 36 .
Lời giải
Chọn D
1
Theo bài ra: xf 6 x dx 1 .
0
Đặt t 6 x dt 6dx .
Đổi cận:
1
6
6
6
1
dt
1
Do đó: xf 6 x dx 1 t. f t 1
t. f t dt 1 t. f t dt 36 .
6
6
36 0
0
0
0
Facebook Nguyễn Vương 21
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
6
Tính I x 2 f x dx .
0
u x 2
du 2 x dx
Đặt
dv f x dx
v f x
6
6 6
I x 2 f x 2 xf x dx 36 f 6 2 xf x dx 36.1 2.36 36 .
0 0
0
Câu 47.
(Mã 102 - 2019) Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục trên . Biết f (5) 1 và
1
5
xf (5 x)dx 1 , khi đó x 2 f ( x)dx bằng
0
0
A. 15
123
5
Lời giải
B. 23
D. 25
C.
Chọn D
5
5
5
5
+) I x f x dx x df x x . f x f x dx 2
2
2
2
0
0
0
0
5
25. f 5 0. f x f x.2 xdx
0
5
25 2 xf x dx
0
1
+) Ta có: xf (5 x)dx 1
0
5
Đặt 5x t
0
5
t
t
f (t)d 1 tf (t)dt 25
5
5
0
Vậy I 25 2 25 25 .
Câu 48.
(Chuyên ĐH Vinh - Nghệ An -2020) Cho f x là hàm số có đạo hàm liên tục trên 0;1 và
1
1
1
1
f 1 , x. f x dx . Giá trị của f x dx bằng
36
18 0
0
A.
1
.
12
B.
1
.
36
1
.
12
Lời giải
C.
D.
1
.
36
Chọn A
u x
du dx
Đặt
, khi đó ta có
dv f x dx v f x
1
1
1
1
x. f x dx x. f x 0 f x dx f 1 f x dx
0
Câu 49.
0
0
1
1
1
1
f x dx f 1
.
36
36
12
0
(Sở Phú Thọ - 2020) Cho hàm số f x có f 1 e 2 và f x
2x 1 2x
e với mọi x khác 0 .
x2
ln 3
Khi đó
xf x dx bằng
1
Trang 22 Fanpage Nguyễn Bảo Vương />
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
6 e2
B.
.
2
A. 6 e 2 .
C. 9 e2 .
D.
9 e2
.
2
Lời giải
Chọn D
Xét tích phân f x dx
2x 1 2x
e dx
x2
u 2 x 1 e2 x
du 4 xe 2 x dx
Đặt
, khi đó
1
1
v
d
v
d
x
x
x2
f x dx
2x 1 2x
1
1
e dx 2 x 1 e2 x 4 e 2 x dx 2 x 1 e2 x 2e 2 x C .
x2
x
x
Do f 1 e 2 C 0 . Vậy f x
ln 3
Khi đó, ta có
ln 3
xf x dx
1
Câu 50.
1
2 x 1 e 2 x 2e 2 x .
x
ln 3
1 2 x e 2 x 2 xe 2 x dx
1
e 2 x dx
1
e2 x
2
ln 3
1
1
9 e 2 .
2
(HSG Bắc Ninh 2019) Cho hàm số y f ( x ) có đạo hàm liên tục trên và thỏa mãn
2
1
f (2) 16, f ( x) dx 4 . Tính I xf (2 x)dx .
0
0
A. I 20
B. I 7
1
1
Ta có: I xf (2 x)dx
0
C. I 12
Lời giải
D. I 13
1
1
1
1
1
1
xf 2 x f 2 x dx f (2) f 2 x d 2 x
2
2
2
40
0
0
2
I
Câu 51.
1
1
1
1
f (2) f ( x) dx .16 .4 7 .
2
40
2
4
(THCS - THPT Nguyễn Khuyến 2019) Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0;1 thỏa
1
1
2
1
1
, f 1 0 và f ' x dx . Giá trị của f x dx bằng
0
0
21
7
5
1
4
7
A.
.
B. .
C. .
D. .
12
5
5
10
Lời giải
du f ' x dx
u f x
Đặt
.
x3
2
dv x dx v
3
1
mãn x 2 f x dx
0
1
1
1
x3
1
f x
x 2 f x dx udv uv 10 vdu
0
0
3
21 0
1
1
x 3 f ' x dx .
0
7
1
0
1
0
x3
1 1
f ' x dx x 3 f ' x dx
3
3 0
1
1
1
1
2
2
1
1 1
x 3 f ' x dx x 6 dx 2 x 3 f ' x dx f ' x dx 2. 0
0
0
0
0
7
7 7
Facebook Nguyễn Vương 23
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
2
f ' x x3 0, x 0;1 f ' x x3 , x 0;1 .
1 4
x 1 ; x 0;1
4
1
11
1 1
1
Vậy f x dx x 4 1 dx x 4 1 dx .
0
0 4
0
4
5
Kết hợp điều kiện f 1 0 ta có f x
Câu 52.
(Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị -2019) Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên và thỏa
mãn
1
1
f x dx 1, f 1 cot1 . Tính tích phân I f x tan 2 x f x tan x dx .
0
0
B. 1 ln cos1 .
A. 1 .
D. 1 cot1 .
C. 0.
Lời giải
1
1
1
Ta có f x tan 2 x f x tan x dx f x tan 2 xdx f x tan xdx .
0
0
0
Lại có:
1
0
1
1
1
1
f x
f x
1
f x tan 2 xdx f x
1
d
x
d
x
f
x
d
x
dx 1 .
2
2
cos x
cos 2 x
cos x
0
0
0
0
1
0
1
1
1
f x tan xdx tan xd f x f x .tan x f x d tan x
0
0
1
f 1 .tan1
0
f x
2
cos x
1
dx cot1.tan1
0
f x
2
cos x
0
1
dx 1
0
f x
cos 2 x
dx .
Vậy I 0.
Câu 53.
(THPT Ngô Sĩ Liên Bắc Giang 2019) Cho hàm số
1
f x
có đạo hàm liên tục trên đoạn 0 ;1
1
1
thỏa mãn f 1 0 , x 2 f x dx Tính x 3 f ' x dx .
3
0
0
A. 1
B. 1
C. 3
D. 3
Lời giải
Chọn A
u f ( x) du f '( x) dx
x3
2
dv x dx v
3
I
1 3
1 1 x3
x3
13
x
f ( x) f '( x)dx f (1) 0. f (0) f '( x)dx
0 0 3
3
3
3
0
1
1
1 1 3
x f '( x) dx x3 f '( x) dx 1
3 3 0
0
2
Câu 54. Biết m là số thực thỏa mãn x cos x 2m dx=2 2
0
A. m 0 .
B. 0 m 3 .
2
1 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
C. 3 m 6 .
Lời giải
D. m 6 .
Trang 24 Fanpage Nguyễn Bảo Vương />
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
2
2
2
2
Ta có: x cos x 2m dx= x cos xdx 2mxdx x cos xdx
0
0
0
0
m 2
.
4
ux
du dx
2
I
x
cos
x
dx
Gọi
. Đặt
.
0
dv cos xdx v sin x
2
I x sin x | sin xdx
2
0
0
2
cos x |02
2
1 .
2
Khi đó: x cos x 2m dx=
0
Suy ra
Câu 55.
m 2
1 .
4
2
m
2 m 8 .
4
(Đề Tham Khảo 2018) Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên 0;1 thỏa mãn
1
1
1
2
f 1 0, f ( x ) dx 7 và x 2 f ( x )dx
0
0
A. 4
B.
1
. Tính tích phân f ( x)dx
3
0
7
5
C. 1
D.
7
4
Lời giải
Chọn B
Cách 1: Đặt u f x du f x dx , dv x 2 dx v
1
1
x3
.
3
1
1 x3
x3
Ta có
f x
f x dx x3 f x dx 1
3 3
3
0
0
0
1
1
1
1
2
2
Ta có 49 x 6 dx 7, f ( x ) dx 7, 2.7 x 3 . f x dx 14 7 x 3 f ( x ) dx 0
0
0
0
7 x3 f ( x) 0 f x
0
7 x4
7
C , mà f 1 0 C
4
4
1
1
7 x4 7
7
f ( x)dx
dx .
4
4
5
0
0
Cách 2: Nhắc lại bất đẳng thức Holder tích phân như sau:
2
b
b
b 2
f
x
g
x
dx
f
x
dx
.
g 2 x dx
a
a
a
Dấu bằng xảy ra khi f x k .g x , x a; b , k
2
1
1 x6 1
2
x3
1 x3
1
Ta có
f x dx dx. f x dx . Dấu bằng xảy ra khi f x k. .
9 0 3
9
3
0 9 0
1
Mặt khác
0
7 x4 7
x3
1
.
f x dx
k 21 f x 7 x 3 suy ra f x
4 4
3
3
Facebook Nguyễn Vương 25
