biện pháp góp phần nâng cao chất lượng giáo dục Đề tài kinh nghiệm dạy một số dạng toán về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong đại số 7

Đề tài: Kinh nghiệm dạy một số dạng toán về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong Đại số 7

I. MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Toán học giữ vai trò quan trọng đối với khoa học kỹ thuật. Nó ngày càng thu
hút sự quan tâm của nhiều người đối với việc học toán ở trường học và kích thích
sự ham muốn của học sinh ở mọi lứa tuổi. Là một giáo viên giảng dạy bộ môn Toán
và Vật lý, tôi nhận thấy phần kiến thức về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau là hết
sức cơ bản trong chương trình đại số lớp 7. Trong Chương II Tỉ lệ thức là phương
tiện giúp ta giải các bài toán về đại lượng tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghịch. Trong môn hình
học để học tốt định lý Talet, tam giác đồng dạng thì không thể thiếu kiến thức về
phần tỉ lệ thức. Trong môn Vật lý cũng vậy muốn giải quyết tốt về các bài toán
chuyển động không đều thì phần tỉ lệ thức và tính chất dãy tỉ số bằng nhau cũng
không thể thiếu.
Tuy phần tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau quan trọng như vậy nhưng bản
thân tôi qua quá trình giảng dạy và dự giờ động nghiệp tôi nhận thấy với các dạng
toán tỉ lệ thức tôi thấy chưa hệ thống hóa được các dạng bài tập, chưa đưa ra được
nhiều hướng suy luận khác nhau của một bài toán và chưa đưa ra được các phương
pháp giải khác nhau của cùng một bài toán để kích thích tính sáng tạo của học sinh.
Về tiết luyện tập giáo viên thường đưa ra một số bài tập rồi cho học sinh lên chữa
hoặc giáo viên chữa cho học sinh chép. Và đưa ra nhiều bài tập càng khó thì càng
tốt. Trong nhiều trường hợp thì kết quả dẫn đến ngược lại, học sinh cảm thấy nặng
nề, không tin tưởng vào bản thân trở nên chán nản việc học.
Vì vậy giáo viên cần phài có phương pháp giải bài tập theo dạng và có hướng
dẫn giải bài tập theo nhiếu cách khác nhau nhằm hình thành tư duy toán học cho
học sinh, cung cấp cho học sinh những kỹ năng thích hợp để giải quyết bài toán
một cách thích hợp.

GV: Hoàng Thị Nguyệt

1

Trường THCS Lê Văn Tám


Đề tài: Kinh nghiệm dạy một số dạng toán về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong Đại số 7

Học sinh thường lĩnh hội kiến thức một cách thụ động, chưa tìm ra cách giải
cho từng dạng toán cụ thể, không có tính sáng tạo trong bài làm. Khi học phần này
học sinh thường mắc sai lầm trong lời giải. Gặp các dạng toán hơi phức tạp là các
em sợ làm không được nên lười suy nghĩ. Để các em không sợ các dạng toán như
vậy và tránh các sai lầm mà các em mắc phải và có phương pháp khi giải các bài
tập liên quan đến phần này tôi đã quyết định chọn đề tài “Kinh nghiệm dạy một số
dạng toán về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong đại số 7” làm đề tài nghiên
cứu.
2. Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài
- Học sinh có kỹ năng phân tích để nắm yêu cầu của đề
- Tránh các lỗi sai thường mắc phải khi giải bài tập
- Nhận dạng các bài tập và chọn chọn phương pháp giải phù hợp
- Học sinh hứng thú học tập môn toán.
3. Đối tượng nghiên cứu
Cách giải một số dạng toán về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong đại số 7
chương III.
4. Giới hạn của đề tài
Các bài tập về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong chương trình đại số 7
chương III.
Học sinh lớp 7A1 và 7A2 trường THCS Lê Văn Tám xã Bình Hòa, huyện
Krông Ana, tỉnh Đăklăk.
Thời gian: Năm học 2017 – 2018
5. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu tài liệu SGK, sách tham khảo.

GV: Hoàng Thị Nguyệt

2

Trường THCS Lê Văn Tám


Đề tài: Kinh nghiệm dạy một số dạng toán về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong Đại số 7

- Phương pháp kiểm tra, đánh giá.
- Phương pháp phát vấn, đàm thoại nghiên cứu vấn đề.
- Phương pháp luyện tập, thực hành.
- Phương tổng kết rút kinh nghiệm.
II. Phần nội dung:
1. Cơ sở lý luận:
Nhân loại ngày càng phát triển nên tri thức ngày càng được đòi hỏi cao hơn.
Chính vì vậy việc giảng dạy trong nhà trường đòi hỏi phải được nâng cao chất
lượng toàn diện đào tạo thế hệ trẻ cho đất nước có tri thức cơ bản có phẩm chất đạo
đức của người lao động.
Bài tập toán nhằm phát triển năng lực tư duy của học sinh đặc biệt rèn các
thao tác trí tuệ hình thành những phẩm chất tư duy sáng tạo, bài tập toán nhằm
đánh giá mức độ kết quả dạy và học, đánh giá mức độ độc lập và trình độ phát triển
của học sinh
Dạy toán và học toán là quá trình tư duy liên tục cho nên việc đúc kết kinh
nghiệm, tìm tòi kiến thức của người dạy, học toán là không thể thiếu. Trong đó việc
mà nhiều giáo viên trăn trở là phải chuyển tải kinh nghiệm làm thế nào để dạy tốt
để học sinh lĩnh hội dễ dàng? Vậy việc dạy như thế nào để các em nắm chắc kiến
thức cơ bản một cách hệ thống mà còn giải được các bài toán nâng cao thì giáo viên
phải truyền đạt kiến thức hấp dẫn, sinh động và nắm kiến thức một cách có hệ

thống, dẫn dắt học sinh đi từ điều đã biết đến điều chưa biết. Đôi khi giáo viên phải
biết nhìn nhận, phân tích và chỉnh sửa những sai lầm thường xuyên mắc phải cho
học sinh.
2. Thực trạng vấn đề nghiên cứu:

GV: Hoàng Thị Nguyệt

3

Trường THCS Lê Văn Tám


Đề tài: Kinh nghiệm dạy một số dạng toán về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong Đại số 7

Xuất phát từ thực tiễn đổi mới phương pháp dạy học giáo dục thì việc tự học,
tự quản giúp cho học sinh phát huy tính tích cực, gây hứng thú trong học tập, phát
triển tư duy cho các em đồng thời nâng cao chất lượng giáo dục.
Ngoài Sách giáo khoa thì các em còn có sách bài tập giúp cho các em có điều
kiện hệ thống hóa kiến thức và cũng như để khắc sâu cho các em khi vận dụng giải
bài tập. Bên cạnh đó công nghệ thông tin ngày càng được phát triển giúp các em
tiếp cận càng nhiều và biết được nhiều thông tin hơn nên các em dễ dàng tìm tòi
được các nội dung mình cần quan tâm, nó giúp cho các em tăng tính tích cực và tự
học nhiều hơn.
Một số học sinh thường mắc sai lầm khi giải bài toán dạng áp dụng tính chất
của dãy tỉ số bằng nhau do các em chưa hiểu rõ tính chất của dãy tỉ số bằng nhau.
Nhiều học sinh khi làm bài các em đọc đề bài không kỹ, nên phân tích bài
toán không chính xác dẫn đến việc giải bài toán bị sai.
Dạng toán tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau là dạng toán tương đối khó. Đa số
học sinh không thích học ở phần này. Khi học phần này đòi hỏi các em phải tích
cực, chịu khó đọc sách tham khảo nhiều. Vì đây là một phần tương đối khó nhưng

số tiết học ở lớp thì quá ít chỉ có 4 tiết nhưng bài tập ứng dụng nó lại rất nhiều
không chỉ trong toán học mà cả trong vật lý. Đặc biệt nhất là thi học sinh giỏi văn
hóa và luyện toán qua mạng thì phần này nó chiếm một phần rất lớn. Bên cạnh đó
khi thao giảng đa số giáo viên ngại thao giảng phần này cho nên việc đúc rút kinh
nghiệm trong quá trình dạy còn nhiều hạn chế.
2. Nội dung và hình thức của giải pháp.
a. Mục tiêu của giải pháp
- Học sinh giải quyết được các bài tập về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau.
- Phát triển năng lực tư duy, phát huy nâng cao mức độ năng lực của các em.

GV: Hoàng Thị Nguyệt

4

Trường THCS Lê Văn Tám


Đề tài: Kinh nghiệm dạy một số dạng toán về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong Đại số 7

- Phát huy tính tự giác, độc lập của học sinh trong việc giải quyết bài tập.
- Giáo viên hệ thống hóa lại kiến thức cho học sinh
- Lựa chọn các bài tập phù hợp với từng loại đối tượng học sinh.
- Hướng dẫn các em phân tích bài toán và từng bước giải quyết vấn đề.
- Giao nhiệm vụ cho từng cá nhân tổ và chỉ rõ thời gian hoàn thành nhiệm
vụ.
- Thường xuyên kiểm tra và đánh giá chất lượng, kỹ năng giải toán của học
sinh.
b. Nội dung, cách thực hiện các giải pháp.
Để giúp cho học sinh lĩnh hội, nắm chắc được kiến thức và giải quyết bài tập
một cách độc đáo, sáng tạo chặt chẽ, trình bày sáng sủa, khoa học thì người giáo

viên cần kiểm tra xem các em nắm được nội dung lý thuyết đến mức nào và giúp
các em nắm chắc kiến thức lý thuyết thì khi đó việc vận dụng lý thuyết vào giải bài
tập mới phát huy hiệu quả và nội dung lý thuyết là vô cùng quan trọng khi giải bài
tập. Do vậy người giáo viên không chỉ đơn thuần cung cấp lời giải cho các em mà
quan trọng hơn là dạy cho các em biết suy nghĩ, tìm ra con đường hợp lý để giải bài
toán và tìm ra chỗ sai của các em, tìm hướng khắc phục giúp các em không còn lo
ngại khi gặp vấn đề.
Các việc làm cụ thể.
+ Lý thuyết về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau.
- Định nghĩa, tính chất của tỉ lệ thức.
* Định nghĩa
Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỷ số

GV: Hoàng Thị Nguyệt

5

a c
= (b,d ≠ 0)
b d

Trường THCS Lê Văn Tám


Đề tài: Kinh nghiệm dạy một số dạng toán về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong Đại số 7

Các số hạng a và d được gọi là số hạng ngoại tỉ, b và c gọi là số hạng trung tỷ.
* Tính chất
Tính chất 1: (Tính chất cơ bản của tỉ lệ thức)
Nếu

a c
= (b, d ≠ 0) thì a.d=c.b
b d

Tính chất 2: (Tính chất hoán vị)
Nếu a.d = b.c và a, b, c, d ≠ 0 thì ta có các tỉ lệ thức

a c a b d c d b
= , = , = , =
b d c d b a c a

Nhận xét: Từ 1 trong 4 tỉ lệ thức trên ta suy ra được 3 tỉ lệ thức còn lại.
- Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau.
+ Từ tỷ lệ thức

a c a +c a −c
a c
=
=
ta suy ra = =
( với b ≠ d, b ≠ -d)
b d
b d b+d b−d

+ Mở rộng từ dãy tỉ số bằng nhau

a c e a+c+e
a−c +e
= = =

=
= ... (Giả
b d f b+d + f b−d + f

thiết các tỷ số đều có nghĩa)
- Chú ý.
Khi có dãy tỉ số

a b c
= = ta nói các số a, b, c tỉ lệ với các số 2; 3; 4 ta cũng
2 3 4

có thể viết a : b : c = 2 : 3 : 4
Vì tỉ lệ thức là một đẳng thức nên có tính chất của đẳng thức, từ tỉ lệ thức
2

a c
=
b d

2

a
c ka k c
a  c  a c
suy ra:  ÷ =  ÷ = . ; k. = k . ; 1 = 2 (k1 , k2 ≠ 0)
b
d k1b k2d
b d  b d

GV: Hoàng Thị Nguyệt

6

Trường THCS Lê Văn Tám


Đề tài: Kinh nghiệm dạy một số dạng toán về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong Đại số 7

3

3
3
2
a
c
e
a c e a 
c e
a  c   e 
=
=
Từ
suy ra  ÷ =  ÷ =  ÷ = . . ;  ÷ = .
b d
f
b d f b 
d f
b  d   f 

Sau khi học sinh đã nắm chắc lý thuyết thì việc vận dụng lý thuyết vào giải
bài tập là vô cùng quan trọng. Do vậy người giáo viên không chỉ đơn thuần cung
cấp lời giải mà quan trọng hơn là dạy cho các em biết suy nghĩ, tìm ra con đường
hợp lý để giải bài toán. Tuy nhiên khi giải bài tập dạng này tôi không muốn dừng
lại ở những bài tập SGK, SBT mà tôi muốn giới thiệu thêm một số bài tập điển
hình, bài tập nâng cao và giải những bài tập đó.
+ Các dạng bài tập
Thông qua việc giảng dạy học sinh sau khi học xong tính chất của tỉ lệ thức,
tôi cho học sinh cũng cố để nắm vững và hiểu sâu, khắc sâu về các tính chất cơ bản,
tính chất nở rộng của tỉ lệ thức, của dãy tỉ số bằng nhau. Sau đó cho học sinh làm
thêm các bài tập cùng loại để tìm ra một định hướng, quy luật nào đó để làm cơ sở
cho việc chọn lời giải, có thể minh họa điều đó bằng các dạng toán, bằng các bài
toán từ đơn giản đến phức tạp sau đây.

Dạng 1
Lập tỉ lệ thức từ các tỉ số đẳng thức, tỉ lệ thức hoặc từ các
số cho trước.
a) Phương pháp giải
+ Nếu có các tỉ số cho trước thì tìm xem các tỉ số nào bằng nhau trong các tỉ
số đã cho.
+ Nếu có các đẳng thức thì vận dụng tính chất 2 để lập tỉ lệ thức.

GV: Hoàng Thị Nguyệt

7

Trường THCS Lê Văn Tám


Đề tài: Kinh nghiệm dạy một số dạng toán về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong Đại số 7

+ Nếu có 1 tỉ lệ thức chúng ta có thể lập thêm ba tỉ lệ thức nữa, bằng cách:
- Giữ nguyên ngoại tỉ đổi chỗ trung tỉ
- Giữ nguyên trung tỉ đổi chỗ ngoại tỉ
- Đổi chỗ các ngoại tỉ với nhau, trung tỉ với nhau.
+ Nếu có các số hạng thì xem bốn số nào thỏa mãn đẳng thức dạng a.d = b.c
rồi từ đó lập các tỉ lệ thức.
b) Bài tập
Bài toán 1: Các tỉ số sau đây có lập thành các tỉ lệ thức hay không?
a) 0,5 : 15 và 0,15 : 50

b) 0,3 : 2,7 và 1,71 : 15,39
Giải:

a) Ta có: 0,5 : 15 =
Vì

0,5 1
=
15 30

và

0,15 : 50 =

0,15
3
=
50
1000

3
1
≠
nên các tỉ số 0,5 : 15 và 0,15 : 50 không lập thành tỉ lệ thức
1000 30

b) Ta có: 0,3 : 2,7 =

0, 3 1
=
2, 7 9

và 1,71 : 15,39 =

1, 71 1
=
15, 39 9

Suy ra: 0,3 : 2,7 = 1,71 : 15,39
Vậy 0,3 : 2,7 và 1,71 : 15,39 lập thành tỉ lệ thức.
Bài toán 2: Hãy lập tất cả tỉ lệ thức có thể lập được từ các số sau:
a) 0,16; 0,32; 0,4; 0,8

b) 1; 2; 4; 8
Giải

(Hướng dẫn học sinh sử dụng tính chất 2)
a) Ta có: 0,16 . 0,8 = 0,32 . 0,4 ( = 0,128)

GV: Hoàng Thị Nguyệt

8

Trường THCS Lê Văn Tám


Đề tài: Kinh nghiệm dạy một số dạng toán về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong Đại số 7

Suy ra ta lập được các tỉ lệ thức sau:

0,32 0,8
0,16 0, 4
0,16 0, 32
=
=
=
;
;
0,32 0,8
0, 4
0,8
0,16 0, 4

;

0, 4
0,8
=
0,16 0, 32

b) Tương tự ta có: 1. 8 = 2. 4(= 8)
Suy ra ta lập được các tỉ lệ thức sau:

1 4
= ;
2 8

1 2
= ;
4 8

2 8
= ;
1 4

4 8
=
1 2

Bài tập áp dụng :
Bài 1: Trong các tỉ số sau, hãy chọn các tỉ số thích hợp để lập thành một tỉ lệ
thức:
10 :15;

16 : ( −4);

14 : 21;

−5 :15;

12 : ( −3);

−12 : 3, 6

Bài 2: Có thể lập được một tỉ lệ thức từ 4 số trong các số sau không (mỗi số
chọn một lần). Nếu có lập được bao nhiêu tỉ lệ thức ?
a) 3; 4 ;5 ;6 ;7

b) 1; 2; 4; 8; 16

c) 1; 3; 9; 27; 81; 243.

Dạng 2
Tìm số hạng chưa biết
a) Tìm một số hạng chưa biết của một tỉ lệ thức.
* Phương pháp.
Áp dụng tính chất cơ bản của tỉ lệ thức
Nếu

a c
b.c
a.d
a.d
= ⇒ a.d = b.c ⇒ a =
;b =
;c =
b d
d
c

b

Muốn tìm ngoại tỉ chưa biết ta lấy tích của hai trung tỉ chia cho ngoại tỉ đã biết.

GV: Hoàng Thị Nguyệt

9

Trường THCS Lê Văn Tám


Đề tài: Kinh nghiệm dạy một số dạng toán về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong Đại số 7

Muốn tìm trung tỉ chưa biết ta lấy tích của hai ngoại tỉ chia cho trung tỉ đã biết.
Bài tập
Bài tập 1 (Bài 42 SGK/Tr26)
Tìm x trong tỉ lệ thức sau: -0,52 : x = -9,36 : 16,38
(Bài toán dạng này các em có thể sử dụng kiến thức tìm 1 số hạng khi biết 3
trong số 4 số hạng của tỉ lệ thức: a =

b.c
b.c
a.d
a.d
;d =
;b =
;c =
)
d
a

c
b

Giải
-0,52 : x = - 9,36 : 16,38
Suy ra:
x. ( −9, 36 ) =−0,52.16, 38
⇒x =

−0, 52.16, 38
= 0,91
−9, 36

Học sinh có thể tìm x bằng cách xem x là số chia ta có thể nâng mức độ khó hơn
như sau:

3 2
1  2
a,  . x ÷: =1 :
4 5
3  3
1
2
b, 0, 2 :1 = : (6 x +7)
5
3
(hướng dẫn cho học sinh có thể đưa tỉ lệ thức trên về dạng đơn giản rồi tìm x như
bài tập trên)
Bài tập 2 (Bài 69a SBT/Tr20)
Tìm x biết:

x
−60
=
−15
x

GV: Hoàng Thị Nguyệt

10

Trường THCS Lê Văn Tám


Đề tài: Kinh nghiệm dạy một số dạng toán về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong Đại số 7

(Bài toán này ta thấy có 2 số hạng chưa biết trong 4 số hạng của tỉ lệ thức
nhưng có điểm đặc biệt là hai số hạng chưa biết này giống nhau và cùng ở một vị
trí là cùng ngoại tỉ nên ta đưa về dạng luỹ thừa bậc hai).
Giải
Ta có:

x
−60
=
suy ra x.x = −15.(−60) ⇒ x 2 = 900 ⇒ x 2 = 30 2
−15
x

(Đến đây học sinh thường đưa ra được giá trị x = 30 mà quên mất còn giá trị

x = -30 cho nên giáo viên cần nhắc nhở và nhấn mạnh cho học sinh để khi gặp
những trường hợp như thế này các em không còn quên nữa)
Ta thấy trong tỉ lệ thức có hai số hạng chưa biết nhưng hai số hạng đó giống
nhau nên ta đưa về dạng lũy thừa bậc hai. Ta có thể nâng cao bằng tỉ lệ thức:
Tìm x biết:
x −1
−60
=
−15
x −1
x −1
9
b)
=
7
x +1
a)

Ở câu a, b cần chú ý cho học sinh khi lũy thừa có số mũ chẵn
VD:

x − 1 −60
2
2
=
⇒ ( x − 1) = (−15).( −60) ⇒ ( x − 1) = 900
−15 x − 1

Hs thường sai lầm khi giải chỉ suy ra x – 1 = 30 suy ra x = 31 mà quên mất trường
hợp x – 1 = -30. Giáo viên cần phải hướng dẫn cho học sinh trong trường hợp này

phải đưa ra hai trường hợp x–1= 30 và x–1= -30 từ đó suy ra x = 31 hoặc x = -29.
Bài tập 3: Tìm x trong tỉ lệ thức

GV: Hoàng Thị Nguyệt

x −3 5
=
5 −x
7

11

Trường THCS Lê Văn Tám


Đề tài: Kinh nghiệm dạy một số dạng toán về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong Đại số 7

(Ở bài toán này ta có nhiều cách để giải quyết bài toán cho nên khi giải giáo viên
hướng dẫn và cho học sinh làm theo nhiêu cách khác nhau)
Cách 1: Lấy tích trung tỉ bằng tích ngoại tỉ rồi tính.
Giải
Từ

x −3
5
= suy ra
5 −x
7

( x −3).7 =(5 −x ).5

⇒7 x −21 =25 −5 x
⇒12 x =46
5
⇒x =3
6

Cách 2: Biến đổi rồi áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:
Giải
Từ

x −3 5 − x
x −3 5
= suy ra
=
5 −x
7
5
7

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
x −3 5 − x x −3 + 5 − x
2
1
=
=
=
=
5
7
5 +7

12 6
x −3 1
5
5
⇒
= ⇒ 6( x − 3) = 5 ⇒ x − 3 = ⇒ x = 3
5
6
6
6

b) Tìm nhiều số hạng chưa biết:
+) Xét bài toán cơ bản thường gặp sau:
Tìm các số x, y, z thỏa mản

x
y z
= = (1) và x + y + z = d (2)
a b c

(Trong đó a, b, c, a + b + c ≠ 0 và a, b, c là các số cho trước)
Cách giải:
GV: Hoàng Thị Nguyệt

12

Trường THCS Lê Văn Tám


Đề tài: Kinh nghiệm dạy một số dạng toán về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong Đại số 7

Cách 1: Đặt ẩn phụ.
Đặt

x
y
z
= = =k
a b c

⇒ x = k .a; y = k .b; z = k .c thay vào (2) ta có:
k.a + k.b + k.c = d
⇒ k.(a + b + c) = d
⇒ k=

d
a +b +c

Từ đó tìm được x =

a.d
b.d
c.d
;y =
;z =
a +b +c
a +b +c
a +b +c

Cách 2: Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

x
y
z
x +y +z
d
= = =
=
a
b
c
a +b +c
a +b +c

⇒x =

a.d
b.d
c.d
;y=
;z =
a +b + c
a +b + c
a +b + c

* Hướng khai thác từ bài toán trên như sau:
- Giữ nguyên điều kiện (1) và thay đổi điều kiện (2) như sau:

+k1 x +k 2 y +k3 z =e

+k1 x 2 +k 2 y 2 +k3 z 2 = f
+x. y.z = g
- Giữ nguyên điều kiện (2) và thay đổi điều kiện (1) như sau:

GV: Hoàng Thị Nguyệt

13

Trường THCS Lê Văn Tám


Đề tài: Kinh nghiệm dạy một số dạng toán về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong Đại số 7

x
y y
z
+ =
;
=
a1
a2 a3
a4
+a2 x =a1 y; a4 y =a3 z
+b1 x =b2 y =b3 z
b x −b3 z
b y −b1 x
b z −b2 y
+ 1
= 2
= 3

a1
a2
a3
* Bài tập:
Bài tập 1: Tìm x, y biết:
a)

x
y
=
và x. y =90
2
5

b)

x
y
=
và x. y = 252
7
9

c)

x
y
=
và
5

3

x2 − y 2 = 4
Giải:

Khởi điểm bài toán đi từ đâu, nếu đi từ tính chất cơ bản thì nên đi theo tính
chất nào? Nếu đi từ định nghĩa thì nên làm như thế nào? Học sinh thường mắc sai
lầm như sau:

x
y
x. y
90
= =
=
=9
2
5
2.5
10
⇒x = 2.9 =18
y =5.9 =45
Tôi đã yêu cầu học sinh nhắc lại kiến thức cơ bản có liên quan và hướng cho
các em các hướng giải quyết.
Cách 1:

GV: Hoàng Thị Nguyệt

14

Trường THCS Lê Văn Tám


Đề tài: Kinh nghiệm dạy một số dạng toán về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong Đại số 7

Dùng phương pháp tính giá trị của dãy số để tính. Đó là hình thức hệ thống
hóa, khái quát hóa về kiến thức (Vận dụng theo cách 1. Đặt ẩn phụ đã nêu trên) và
học sinh đã có lời giải phù hợp.
Đặt

x = 2k
x
y
= = k ⇒
2
5
 y = 5k

Mà x. y =90
⇒2k .5k =90
10k 2 =90
 k =3
k 2 =9 ⇒
k =−3

- Với:

k = 3 ⇒x = 2.3 = 6
y = 5.3 =15
- Với:

k = −3 ⇒ x = 2.(−3) = −6
y = 5.(−3) = −15
Vậy ( x; y ) = ( 6;15 ) ; ( x; y ) = ( −6; −15 )
Cách 2:
Khái quát hóa toàn bộ tính chất của tỉ lệ thức, có tính chất nào liên quan đến
tích các tỉ số với nhau và học sinh đã chọn lời giải theo hướng thứ hai như sau:
2

2

x y
 x   y   x. y 
Ta có: Ta có: = ⇒  ÷ =  ÷ = 
÷ (tính chất mở rộng của tỉ lệ thức)
2 5
 2   5   2.5 

GV: Hoàng Thị Nguyệt

15

Trường THCS Lê Văn Tám


Đề tài: Kinh nghiệm dạy một số dạng toán về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong Đại số 7

x2
y2
x. y 90

=
=
=
=9
4
25 2.5 10
x2
⇒
= 9 ⇒ x 2 = 36 ⇒ x = ±6
4
Vậy
y2
= 9 ⇒ y 2 = 225 ⇒ y = ±15
25
( x; y ) = ( 6;15 ) ; ( x; y ) = ( −6; −15 )
Qua việc khái quát hóa, hệ thống hóa. Các em đã vận dụng tốt nó để làm các
phần b, c, d.
Bài tập 2:
Tìm 3 số x, y, z biết

x y z
= = và x + y + z = 27
2 3 4

(Bài này giáo viên nên cho 2 học sinh lên làm theo hai cách)
Giải:
Cách 1: Đặt ẩn phụ.
Đặt

x y z

= = =k
2 3 4

⇒ x = 2k ; y = 3k ; z = 4k

Từ x + y + z = 27 suy ra 2k + 3k + 4k = 27 ⇒ 9k = 27 ⇒ k = 3
Khi đó x = 6; y = 9; z = 12
Vậy x = 6; y = 9; z = 12
Cách 2: Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

GV: Hoàng Thị Nguyệt

16

Trường THCS Lê Văn Tám


Đề tài: Kinh nghiệm dạy một số dạng toán về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong Đại số 7

x
y
z
x + y +z
27
= = =
=
=3
2
3

4
2 +3 +4
9
⇒x = 2.3 =6; y =3.3 =9; z = 4.3 =12
Từ bài toán trên ta có thể thành lập các bài toán sau:
Bài tập 3: Tìm 3 số x, y, z biết

x
y
z
= = và 2x + 3y – 5z = -21
2 3 4

(Ở bài toán này hệ số trước các biến ở điều kiện 2 không cùng với hệ số của
các biến ở điều kiện 1 nữa cho nên khi học sinh giải theo cách 2 phải biến đổi điều
kiện 1 sao cho hệ số của các biến ở điều kiện 1 cùng với hệ số của các biến ở điều
kiện 2 rồi mới áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau.)
Giải:
Cách 1: Đặt ẩn phụ.
x
y
z
= = =k
2
3
4

Cách 2: Biến đổi rồi áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau.
Từ

x
y z
2x
3y
5z
= = suy ra
=
=
2 3 4
4
9
20

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
2x 3y
5z
2 x +3 y −5 z
−21
=
=
=
=
=3
4
9
20
4 +9 −20
−7
⇒x = 6; y = 9; z =12

Vậy x = 6, y = 9, z = 12 hoặc x = -6, y = -9, z = -12
Bài tập 4
Tìm 3 số x, y, z biết

x
y
z
= = và x.y.z = 648
2
3
4

GV: Hoàng Thị Nguyệt

17

Trường THCS Lê Văn Tám


Đề tài: Kinh nghiệm dạy một số dạng toán về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong Đại số 7

Chú ý: Ở dạng bài tập này tương tự bài tập 1 nhưng nó khó hơn là đưa thêm
một tỉ số. Giáo viên cũng phải chú ý cho học sinh ở điều kiện 2, trong trường hợp
này đa số học sinh hay áp dụng tương tự

x
y
x. y
= =
a

b
a.b

hay

x
y
z
x. y.z
= = =
a
b
c
a.b.c

cho nên dẫn đến việc giải bài toán bị sai.
Đa số các em hay giải bài toán này như sau:
x
y
z
x. y.z
648
= = =
=
=27
2
3
4
2.3.4
24

Suy ra: x = 54, y = 81, z = 108
Cho nên khi giải bài toán dạng này giáo viên cần phải nhấn mạnh, nhắc rõ
tính chất của dãy tỉ số bằng nhau cho các em.

a c a + c a − c a.c
= =
=
≠
Để các
b d b + d b − d b.d

em khi gặp các bài toán dạng này khỏi bị mắc sai lầm.
Giải bài toán này có 2 cách thực hiện.
Cách 1: Đặt ẩn phụ
Đặt:

x
y
z
= = =k
2
3
4

Cách 2: Biến đổi điều kiện (1)
Từ

x
y

z
= =
2
3
4
3

x y z
648
x 
⇒ ÷ = . . =
=27
2 3 4
24
2 
x3
⇒
=27 ⇒x 3 =216 ⇒x =6
8

Từ đó tìm được y = 9, z = 12
Bài tập 5

GV: Hoàng Thị Nguyệt

18

Trường THCS Lê Văn Tám

Đề tài: Kinh nghiệm dạy một số dạng toán về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong Đại số 7

Tìm x, y, z biết 3x = 2y; 4x = 2z và x + y + z = 27
(Bài tập dạng này ở điều kiện 1 là 2 tỉ lệ thức chứ không phải 1 tỉ lệ thức nên
gặp dạng này các em thường khó xử lý và nhiều em không biết cách làm nên khi
dạy giáo viên phải phân tích rõ bài toán cho các em. Ở đẳng thức thứ nhất và thứ
đều có biến x nên yêu cầu các em phải phân tích và đưa hai đẳng thức về hai tỉ lệ
thức sao cho nó đều có

x
)
a

Giải
x
y
Từ 3x = 2y ⇒ =
2
3
x
z
Từ 4x = 2z ⇒ =
2
4

Suy ra

x
y
z

= = sau đó giải tiếp như bài tập 1
2
3
4

Bài tập 6: Tìm x, y, z biết :
a) 3x = 5y = 8z và x + y + z = 158
b) 2x = 3y; 5y = 7z và 3x + 5z - 7y = 60
c) 2x = 3y = 5z và x + y - z = 95
Giải:
Đối với bài toán 6 có vẽ khác lạ hơn so với các bài toán trên. Song tôi đã nhá
các em lưu ý đến sự thành lập tỉ lệ thức từ đẳng thức giữa hai tích hoặc đến tính
chất của đẳng thức. Từ đó các en có hướng giải và chọn lời giải cho phù hợp.
Cách 1: Dựa vào sự thành lập tỉ lệ thức từ đẳng thức giữa hai tích ta có lời
giải sau:

GV: Hoàng Thị Nguyệt

19

Trường THCS Lê Văn Tám


Đề tài: Kinh nghiệm dạy một số dạng toán về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong Đại số 7

y
y
x
x 1 y 1
x

= → . = . hay
=
Ta có: 3x = 5y ⇒
5

5y = 8z ⇒
⇒

3

5 8

3 8

40

24

y z
y 1 z 1
y
z
= → . = . hay =
8 5
8 3 5 3
24 15

y
x+ y+ z
x

z
158
=
=
=
=
=2
40 24 15 40+ 24+ 15 79

⇒ x = 40 . 2 = 80

y = 24 . 2 = 48
z = 15 . 2 = 30
Vậy x = 80; y = 48; z = 30
Cách 2: Dựa vào tính chất phép nhân của đẳng thức. Các em đã biết tìm bội
số chung nhỏ nhất của 3; 5; 8. Từ đó các em có lời giải bài toán như sau:
Ta có: BCNN (3; 5; 8) = 120
Từ 3x = 5y = 8z ⇒ 3x.
Hay

1
1
1
= 5y.
= 8z.
120
120
120

x

y
z
x + y +z
158
=
=
=
=
=2
40 24 15 40 +24 +15
79

⇒ x = 40 . 2 = 80

y = 24 . 2 = 48
z = 15 . 2 = 30
Vậy x = 80; y = 48; z = 30
Cách 3: Tôi đã đặt vấn đề: Hãy viết tích giữa hai số thành một thương. Điều
đó đã hướng ra cho các em tìm ra cách giải sau :

GV: Hoàng Thị Nguyệt

20

Trường THCS Lê Văn Tám


Đề tài: Kinh nghiệm dạy một số dạng toán về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong Đại số 7

x

y
z
= =
1
1
Từ 3x = 5y = 8z ⇒ 1
3
5
8

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
y
x +y +z
x
z
158
=
= =
=
=240
1
1
1
1 1 1
79
+ +
3
5
8
3 5 8

120
⇒ x=

1
.240= 80
3

y=

1
.240= 48
5

z=

1
.240= 30
8

Vậy x = 80; y = 48; z = 30
Qua ba hướng giải trên, đã giúp các em có công cụ để giải bài toán và từ đó
các em sẽ lựa chọn lời giải nào phù hợp, dễ hiểu, logic. Cũng từ đó giúp các em
phát huy thêm hướng giải khác và vận dụng để giải các phần b và c.
Để giải được phần b thì yêu cầu cac em phải có tư duy một chút để tạo nên
tích trung gian như sau:
+ Từ 2x = 3y ⇒ 2x.5 = 3y.5 hay 10x = 15y

(1)

+ Từ 5y = 7z ⇒ 5y.3 = 7z.3 hay 15y = 21z

(2)

Từ (1) và(2) ta có: 10x = 15y = 21z
y
3x + 5z − 7y
x
z
60
=
=
=
=
= 840
1
1
1
1
1
1
15
3.
+ 5.
− 7.
10 15 21
10
21
15 210

GV: Hoàng Thị Nguyệt

21

Trường THCS Lê Văn Tám


Đề tài: Kinh nghiệm dạy một số dạng toán về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong Đại số 7

⇒ x=

1
.840= 84
10

y=

1
.840= 56
15

z=

1
.840= 40
21

Vậy x = 84; y = 56; z = 40.
Kết quả thu được: Các em đã tìm được ra hướng giải và tự lấy được ví dụ về
dạng toán này.
Bài tập 7: Tìm x, y, z biết

a)

x −1 y − 2 z − 2
=
=
vµx + 2y − z = 12
5
3
2

b)

x −1 y − 2 z − 3
=
=
vµ2x + 3y − z = 50
2
3
4

Để tìm được lời giải của bài toán này tôi cho các em nhận xét xem làm thế
nào để xuất hiện được tổng x + 2y – z = 12 hoặc 2x + 3y – z = 50 hoặc 2x + 3y – 5z
= 10.
Với phương pháp phân tích, hệ thống hóa đã giúp các em nhận ra ngay và có
hướng đi cụ thể.
Cách 1: Dựa vào tính chất của phân số và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau
ta có lời giải như sau:
a) Ta có:

x −1 y − 2 z − 2 2( y − 2) 2 y − 4

=
=
=
=
5
3
2
2.3
6

GV: Hoàng Thị Nguyệt

22

Trường THCS Lê Văn Tám


Đề tài: Kinh nghiệm dạy một số dạng toán về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong Đại số 7

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
x −1 2 y − 4 z − 2 x −1 + 2 y − 4 − ( z − 2) x + 2 y − z − 3 12 − 3
=
=
=
=
=
=1
5
6
2

5 +6 −2
9
9
⇒ x - 1 = 5 ⇒x = 6

y - 2 = 3 ⇒y = 5
z - 2 = 2 ⇒ z =4
Cách 2 : Đặt ẩn phụ.
Đặt:

x− 1 y− 2 z− 2
=
=
=k
5
3
2

⇒ x - 1 = 5k ⇒ x = 5k + 1

y - 2 = 3k

⇒ y = 3k + 2

z - 2 = 2k ⇒ z = 2k + 2
Ta có: x + 2y - z = 12 ⇔ 2k + 1 + 2(3k + 2) - (2k + 2) = 12
⇔ 9k + 3 = 12
⇔k=1

Vậy x = 5.1 + 1 = 6

y = 3.1 + 2 = 5
z = 2.1 + 2 = 4
Với các phương pháp cụ thể của từng hướng đi các em đã vận dụng để giải
câu b và c của bài toán.
Bài tập 8: Tìm x, y, z biết rằng :

y+ z+ 1 x+ z+ 2 x+ y− 3
1
=
=
=
x
y
z
x+ y+ z
GV: Hoàng Thị Nguyệt

23

Trường THCS Lê Văn Tám


Đề tài: Kinh nghiệm dạy một số dạng toán về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong Đại số 7

Đối với bài toán này hơi khác lạ so với những bài toán trước. Vậy ta sẽ phải
khởi đầu từ đâu? Đi từ kiến thức nào? Điều đó yêu cầu các em phải tư duy chọn lọc
để xuất hiện x + y + z. Tôi đã gợi ý cho các em đi từ ba tỉ số đầu tiên để xuất hiện
dãy tỉ số bằng nhau và đã có lời giải như sau:
Giải
Điều kiện : x, y, z ≠ 0 và x + y + z ≠ 0

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

y + z + 1 x + z + 2 x + y − 3 y + z + 1 + x + z + 2 + x + y − 3 2( x + y + z )
=
=
=
=
=2
x
y
z
x+ y+ z
x+ y+ z
Suy ra :

1
1
=2⇒ x + y + z =
= 0,5
x +y +z
2

x + y = 0,5 - z
y + z = 0,5 - x
x + z = 0,5 - y
Thay các giá trị vừa tìm được của x, y, z vào tỉ số trên ta có:
+)

y + z +1
0,5 − x + 1

=2⇒
=2
x
x

⇔ 0,5 - x + 1 = 2x
⇔ 1,5 = 3x
⇔ x = 0,5

+)

x + z + 2 0,5 − y + 2
⇒
=2
y
y

⇔ 2,5 - y = 2y

GV: Hoàng Thị Nguyệt

24

Trường THCS Lê Văn Tám


Đề tài: Kinh nghiệm dạy một số dạng toán về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong Đại số 7
⇔ 2,5 = 3y
⇔ y=

+)

5
6

x+ y−3
0,5 − z − 3
= 2⇒
=2
z
z

⇔ -2,5 - z = 2z
⇔ -2,5 = 3z
⇔ z= −

5
6

Vậy (x; y; z) = ( 0,5;

5 5
;- )
6 6

Bài tập vận dụng.
Bài 1 : Tìm x, y, x biết :
a)

x

y
z
= =
với 5 x + y − 2 z = 28
10 6 21

e)

x y
= với
5 3

x2 − y2 = 4

b)

y z
x y
= ,
= với 2 x + 3 y − z = 124
3 4
5 7

f)

x
y
z
=
=

= x+ y+ z
y+ z+1 z+ x+1 x+ y− 2

b)

x−1 y − 2 z − 3
=
=
với 2 x + 3 y − z = 50
2
3
4

Bài 2 : Tìm các số x, y, x biết :
a) 3x = 2 y , 7 y = 5 z với x − y + z = 32

Dạng 3:
Chứng minh đẳng thức khi biết một tỉ lệ thức

GV: Hoàng Thị Nguyệt

25

Trường THCS Lê Văn Tám