(Luận văn thạc sĩ) Phương pháp lặp giải một lớp bất đẳng thức biến phân tách hai cấp

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
——————–o0o——————–

LÊ THỊ THU

PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI MỘT LỚP
BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TÁCH HAI CẤP

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN, NĂM 2020


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
——————–o0o——————–

LÊ THỊ THU

PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI MỘT LỚP
BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TÁCH HAI CẤP

Chuyên ngành:
Mã số:

TOÁN ỨNG DỤNG
8460112

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Cán bộ hướng dẫn khoa học

PGS.TS. NGUYỄN THỊ THU THỦY

THÁI NGUYÊN, NĂM 2020


iii

Mục lục
Lời cảm ơn

1

Bảng ký hiệu

2

Chữ viết tắt

3

Mở đầu

5

Chương 1. Bài toán bất đẳng thức biến phân tách
1.1 Một số toán tử trong không gian Hilbert . . . . .
1.1.1 Một số tính chất của không gian Hilbert .
1.1.2 Ánh xạ không giãn và toán tử chiếu . . .

1.1.3 Toán tử tuyến tính bị chặn và ánh xạ đơn
1.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân tách . . . . .
1.2.1 Bài toán bất đẳng thức biến phân . . . .
1.2.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp
1.2.3 Bài toán bất đẳng thức biến phân tách .

. . .
. . .
. . .
điệu
. . .
. . .
. . .
. . .

Chương 2. Phương pháp chiếu giải một lớp bất đẳng
phân tách hai cấp
2.1 Bài toán và phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Bài toán bất đẳng thức biến phân tách hai cấp
2.1.2 Phương pháp chiếu và sự hội tụ . . . . . . . .
2.2 Một số áp dụng và ví dụ minh họa . . . . . . . . . . .
2.2.1 Một số áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

7
7
7
8
10
12
12
13
13

thức biến
15

. . . . . . 15
. . . . . . 15
. . . . . . 17
. . . . . . 28
. . . . . . 28
. . . . . . 30


iv

Kết luận

32

Tài liệu tham khảo

33


1

Lời cảm ơn
Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái
Nguyên. Trong quá trình học tập và thực hiện luận văn này, Trường Đại học
Khoa học đã tạo mọi điều kiện tốt nhất để tôi được tham gia học tập, nghiên
cứu. Tôi xin trân thành cảm ơn Ban Giám hiệu nói chung và Quý thầy cô trực
tiếp giảng dạy lớp Cao học Toán K12A (khóa 2018–2020) đã tận tình truyền
đạt những kiến thức quý báu cũng như tạo mọi điều kiện cho tôi hoàn thành
khóa học.
Để hoàn thành luận văn một cách hoàn chỉnh, tôi luôn nhận được sự hướng

dẫn và giúp đõ tận tình của PGS.TS. NGUYỄN THỊ THU THỦY. Tôi xin tỏ
lòng biết ơn sâu sắc đến cô và xin gửi lời tri ân sâu sắc của tôi đối với những
điều cô đã làm cho tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn.
Tôi xin gửi lời cảm ơn trân thành tới gia đình, bạn bè, những người đã luôn
đồng hành, động viên, tạo điều kiện cho tôi suốt quá trình học tập và thực hiện
luận văn này.
Thái Nguyên, ngày 28 tháng 6 năm 2020
Tác giả luận văn

Lê Thị Thu


2

Bảng ký hiệu
H, H1 , H2
C, Q
F
F1
F2
A
A∗
X, Y
Ω1 , Ω2
PΩ 1
PΩ 2
Γ
R
RN
xk → x∗

xki
x¯

các không gian Hilbert thực
các tập con lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert
ánh xạ đơn điệu
ánh xạ giả đơn điệu trên C
ánh xạ giả đơn điệu trên Q
toán tử tuyến tính bị chặn
toán tử liên hợp của toán tử A
các không gian tuyến tính định chuẩn
các tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân
phép chiếu mêtric lên Ω1
phép chiếu mêtric lên Ω2
tập nghiệm của SFP
tập các số thực
không gian Euclid thực N chiều
dãy {xk } hội tụ mạnh về x∗
dãy {xki } hội tụ yếu đến x
¯


3

Chữ viết tắt
VIP(F, C)
Sol(F, C)
SFP
SVIP
BVIP

BSVIP

bài toán bất đẳng thức biến phân (Variational Inequality Problem) với ánh xạ giá F và tập ràng buộc C
tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân
VIP(F, C)
bài toán chấp nhận tách (Split Feasibility Problem)
bài toán bất đẳng thức biến phân tách (Split Variational Inequality Problem)
bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp (Bilevel Variational Inequality Problem)
bài toán bất đẳng thức biến phân tách hai cấp (Bilevel
Split Variational Inequality Problem)


5

Mở đầu
Cho C và Q lần lượt là các tập con lồi đóng khác rỗng trong các không gian
Hilbert thực H1 và H2 . Giả sử A : H1 −→ H2 là một toán tử tuyến tính bị
chặn và các ánh xạ F1 : H1 −→ H1 và F2 : H2 −→ H2 . Bài toán bất đẳng thức
biến phân tách (Split Variational Inequality Problem) là bài toán tìm nghiệm

x∗ của một bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian H1 sao cho ảnh
y ∗ = Ax∗ , qua toán tử tuyến tính bị chặn A, là nghiệm của một bài toán bất
đẳng thức biến phân khác trong không gian H2 . Cụ thể,
Tìm x∗ ∈ C :

F1 (x∗ ), x − x∗ ≥ 0 ∀x ∈ C

(1)

sao cho

y ∗ = Ax∗ ∈ Q :

F2 (y ∗ ), y − y ∗ ≥ 0 ∀y ∈ Q.

(2)

Ký hiệu tập nghiệm của các bài toán bất đẳng thức biến phân (1) và (2) lần
lượt là Ω1 và Ω2 thì bài toán bất đẳng thức biến phân tách là bài toán
Tìm x∗ ∈ Ω1 sao cho Ax∗ ∈ Ω2 .

(3)

Bài toán (3) là một dạng của bài toán chấp nhận tách (Split Feasibility Problem). Bài toán chấp nhận tách xuất hiện trong những mô hình thực tế, chẳng
hạn mô hình IMRT (Intensity–Modulated Radiation Therapy) trong bức xạ trị
liệu yêu cầu tìm nghiệm của một bài toán trong không gian này sao cho ảnh
của nó qua một toán tử tuyến tính bị chặn là nghiệm của một bài toán trong
không gian khác. Bài toán chấp nhận tách trong các không gian Hilbert hữu
hạn chiều được giới thiệu lần đầu tiên bởi Yair Censor và Tommy Elfving [6].
Luận văn xét bài toán bất đẳng thức biến phân tách hai cấp (Bilevel Split


6

Variational Inequality Problem)
Tìm x∗ ∈ Ω :

F (x∗ ), x − x∗ ≥ 0 ∀x ∈ Ω,

(4)

trong đó F : H1 → H1 là một ánh xạ, Ω = {x∗ ∈ Ω1 : Ax∗ ∈ Ω2 } là tập
nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân tách (3).
Nội dung của đề tài luận văn được trình bày trong hai chương. Chương 1
"Bài toán bất đẳng thức biến phân tách" trình bày một số kiến thức cơ bản về
không gian Hilbert thực cùng các toán tử trong không gian này (toán tử chiếu,
ánh xạ đơn điệu, ánh xạ liên tục Lipschitz. . . ); giới thiệu về bài toán bất đẳng
thức biến phân, bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp, bài toán bất đẳng
thức biến phân tách và một số kết quả liên quan.
Chương 2 "Phương pháp chiếu giải một lớp bất đẳng thức biến phân tách
hai cấp" trình bày một phương pháp lặp giải bài toán bất đẳng thức biến phân
tách hai cấp, chứng minh sự hội tụ của phương pháp và đưa ra ví dụ số minh
họa cho sự hội tụ của phương pháp.


7

Chương 1

Bài toán bất đẳng thức biến phân
tách
Chương này trình bày khái quát về không gian Hilbert thực và bài toán
bất đẳng thức biến phân tách hai cấp trong không gian Hilbert. Nội dung của
chương được viết thành hai mục. Mục 1.1 trình bày một số kiến thức cơ bản
của không gian Hilbert thực cùng khái niệm về toán tử chiếu, ánh xạ đơn điệu,
liên tục Lipschitz trong không gian Hilbert. Mục 1.2 giới thiệu về bài toán bất
đẳng thức biến phân, bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp, bài toán bất
đẳng thức biến phân tách cùng một số kết quả liên quan đến các bài toán này.
Nội dung của chương được viết trên cơ sở tổng hợp các kiến thức trong [1], [2],
[5] và [7].

1.1

Một số toán tử trong không gian Hilbert

Cho H là một không gian Hilbert thực với tích vô hướng và chuẩn được ký
hiệu tương ứng là ., . và . .
1.1.1

Một số tính chất của không gian Hilbert

Định lý 1.1.1 (xem [1]). Cho H là một không gian Hilbert thực. Khi đó,

(i) | x, y | ≤ x · y với mọi x, y ∈ H (bất đẳng thức Cauchy–Schwartz);
(ii) x + y

2

+ x−y

2

= 2( x

2

+ y 2 ) (đẳng thức hình bình hành);


8

(iii) Nếu limn→∞ xn = a, limn→∞ yn = b thì limn→∞ xn , yn = a, b .
Định lý 1.1.2 (xem [1]). Trong không gian Hilbert thực H ta luôn có

(i) x + y

2

= x

2

+ y

2

+ 2 x, y với mọi x, y ∈ H;

(ii) x − y

2

= x

2

+ y

2

− 2 x, y với mọi x, y ∈ H;

=t x

2

+ (1 − t) y

(iii) tx + (1 − t)y

2

2

− t(1 − t) x − y

2

với mọi t ∈ [0, 1]

và mọi x, y ∈ H.
Định lý 1.1.3 (xem [1]). Trong không gian Hilbert thực H ta luôn có đẳng
thức sau

x−y

2

+ x−z

2

= y−z

2

+ 2 x − y, x − z ,

với mọi x, y, z ∈ H.
Chứng minh. Thật vậy, ta có

y−z

2

+ 2 x − y, x − z = y, y + z, z + 2 x, x − 2 x, z − 2 x, y
= [ x, x − 2 x, y + y, y ]
+ [ x, x − 2 x, z + z, z ]
= x−y

1.1.2

2

+ x − z 2.

Ánh xạ không giãn và toán tử chiếu

Định nghĩa 1.1.4 (xem [1]). Cho C là một tập con khác rỗng của không gian
Hilbert thực H.

(i) Ánh xạ T : C → H được gọi là ánh xạ L-liên tục Lipschitz trên C nếu tồn
tại hằng số L ≥ 0 sao cho

T (x) − T (y) ≤ L x − y ,

∀x, y ∈ C.

(1.1)

(ii) Trong (1.1), nếu L ∈ [0, 1) thì T được gọi là ánh xạ co; nếu L = 1 thì T
được gọi là ánh xạ không giãn.


9

Cho H là một không gian Hilbert thực, C là một tập lồi đóng khác rỗng của

H. Ta xét hình chiếu của một phần tử x ∈ H lên C .
Định nghĩa 1.1.5 (xem [1]). Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng trong
không gian Hilbert thực H. Ánh xạ PC : H → C xác định bởi

x − PC (x) = min x − z
z∈C

được gọi là toán tử chiếu (phép chiếu mêtric) lên C .
Định lý 1.1.6 (xem [1]). Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng trong không
gian Hilbert thực H. Khi đó với mọi x ∈ H, tồn tại duy nhất phần tử y ∈ C
sao cho

x − y = min x − u .

(1.2)

u∈C

Điểm y ∈ C thỏa mãn (1.2) được gọi là hình chiếu của x trên C , ký hiệu là

PC (x).
Chứng minh. Thật vậy, đặt d = inf x − u . Khi đó, tồn tại dãy {un } ⊂ C
u∈C

sao cho x − un −→ d, n −→ ∞. Từ đó ta có

un − um

2

= (x − un ) − (x − um )
2

= 2 x − un
≤ 2( x − un

2

+ 2 x − um
2

+ x − um

un + um 2
2
2
2
) − 4d −→ 0, khi n, m −→ ∞.
2

−4 x−

Do đó {un } là dãy Cauchy trong H. Suy ra tồn tại u = lim un ∈ C . Do chuẩn
n→∞

là hàm số liên tục nên x − u = d. Giả sử tồn tại v ∈ C sao cho x − v = d.
Ta có

u−v

2

= (x − u) − (x − v)

2

u+v 2
≤ 0.
2
Suy ra u = v . Vậy tồn tại duy nhất một phần tử PC x ∈ C sao cho
= 2( x − u

2

+ x − v 2) − 4 x −

x − PC x = min x − u .
u∈C

Sau đây là ví dụ về toán tử chiếu.


10

Ví dụ 1.1.7. Giả sử a, b ∈ RN , a = 0. Xét nửa không gian C ⊂ RN và mặt
phẳng Q ⊂ RN cho bởi

C = {x ∈ RN :

a, x − b ≤ 0},

Q = {x ∈ RN :

a, x − b = 0}.

Khi đó toán tử chiếu lên C và Q lần lượt cho bởi


x,
nếu
PC (x) =
a, x − b a


,
nếu
x −
a 2


x,
nếu
PQ (x) =
a, x − b a

,
nếu
x −
a 2
1.1.3

a, x − b ≤ 0
a, x − b > 0.
a, x − b = 0
a, x − b = 0.

Toán tử tuyến tính bị chặn và ánh xạ đơn điệu

Định nghĩa 1.1.8 (xem [1]). Cho hai không gian tuyến tính X và Y trên R.
Ánh xạ A : X → Y được gọi là ánh xạ tuyến tính (hay toán tử tuyến tính) nếu

(i) A(x + y) = Ax + Ay với mọi x, y ∈ X ;
(ii) A(αx) = αAx với mọi x, y ∈ X và mọi α ∈ R.

Hay A(αx + βy) = αA(x) + βA(y) với mọi x, y ∈ X và mọi α, β ∈ R.
Định nghĩa 1.1.9 (xem [1]). (a) Toán tử tuyến tính A từ không gian định
chuẩn X vào không gian định chuẩn Y được gọi là bị chặn nếu tồn tại một
hằng số M > 0 sao cho

Ax ≤ M x ,

∀x ∈ C.

(1.3)

(b) Hằng số M > 0 nhỏ nhất thỏa mãn (1.3) được gọi là chuẩn của toán tử A,
ký hiệu là A .
Ví dụ 1.1.10. Cho A : R4 → R3 xác định bởi

A(x) = (x1 + x4 , x1 − x4 , x2 − x3 )T ,

∀x = (x1 , x2 , x3 , x4 )T ∈ R4 .


11

Dễ thấy A là một
 toán tử tuyếntính bị chặn với ma
 trận của
 toán tử tuyến
1 0 0 1
2 0 0





T
. Khi đó, A A = 0 2 0 .
tính này là A = 
1
0
0
−1




0 1 −1 0
0 0 2
Tìm giá trị riêng lớn nhất λ của AT A bằng cách giải phương trình


1 0 0


T
.
det(A A − λI) = 0 với I = 
0
1
0


0 0 1

√
Chuẩn của toán tử A là 2.
Định nghĩa 1.1.11 (xem [1]). Cho A là một toán tử tuyến tính bị chặn trong
không gian Hilbert thực H. Toán tử liên hợp A∗ : H → H của toán tử A được
xác định bởi

Ax, y = x, A∗ y .
Ví dụ 1.1.12. Toán tử liên hợp A∗ : R3 → R4 của toán tử A trong Ví dụ
1.1.10 được xác định bởi

A∗ (y) = (y1 + y2 , y3 , −y3 , y1 − y2 ),

y = (y1 , y2 , y3 ) ∈ R3 .

Định nghĩa 1.1.13 (xem [2]). Một ánh xạ F : C → H được gọi là
(a) đơn điệu trên C , nếu

F (x) − F (y), x − y ≥ 0,

∀x, y ∈ C;

(b) giả đơn điệu trên C , nếu

F (y), x − y ≥ 0 ⇒ F (x), x − y ≥ 0,

∀x, y ∈ C;

(c) β -đơn điệu mạnh trên C , nếu

F (x) − F (y), x − y ≥ β x − y 2 , ∀x, y ∈ C.

Chú ý, một ánh xạ đơn điệu trên C thì giả đơn điệu trên C , nhưng chiều
ngược lại nói chung không đúng. Chẳng hạn ánh xạ F : C → R được cho bởi

F (x) = x2 là ánh xạ giả đơn điệu, nhưng không đơn điệu trên C = R.


12

1.2

Bài toán bất đẳng thức biến phân tách

1.2.1

Bài toán bất đẳng thức biến phân

Cho H là không gian Hilbert thực, C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng
của H và F : C → H là một ánh xạ. Bài toán bất đẳng thức biến phân cổ
điển (Variational Inequality Problem), ký hiệu là VIP(F, C), được phát biểu
như sau:
Tìm điểm x∗ ∈ C sao cho:

F (x∗ ), x − x∗ ≥ 0 ∀x ∈ C.

(1.4)

Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bất đẳng thức biến phân (1.4) phụ thuộc
vào tính chất của ánh xạ giá F và tập ràng buộc C .
Định lý 1.2.1 (xem [7]). Cho C là một tập con khác rỗng, lồi, đóng của không
gian Hilbert thực H và F : C → H là một ánh xạ liên tục trên C . Giả sử tồn

tại một tập con compact khác rỗng U của C sao cho với mọi u ∈ C \ U , tồn
tại v ∈ U thỏa mãn

Au, u − v > 0.
Khi đó, bài toán (1.4) có ít nhất một nghiệm.
Ngoài ra tính đơn điệu mạnh của ánh xạ F đảm bảo cho sự tồn tại và duy
nhất nghiệm của bài toán VIP(F, C).
Định lý 1.2.2 (xem [7]). Cho C là một tập con khác rỗng, lồi, đóng của không
gian Hilbert thực H. Nếu F : C → H là ánh xạ β -đơn điệu mạnh và L-liên tục
Lipschitz trên C thì bài toán bất đẳng thức biến phân VIP(F, C) có nghiệm duy
nhất.
Tính chất lồi đóng của tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân
VIP(F, C) được nêu trong bổ đề dưới đây.
Bổ đề 1.2.3 (xem [3]). Giả sử C là một tập con lồi đóng khác rỗng trong không
gian Hilbert thực H và Ω là một tập trong H chứa C . Cho F : Ω → H là một
ánh xạ giả đơn điệu trên C và một trong hai điều kiện sau đây thỏa mãn

(i) lim supk→∞ F (xk ), y ≤ F (x), y với mọi y ∈ H và mọi dãy {xk } ⊂ C
hội tụ yếu đến x.


13

(ii) F liên tục Lipschitz trên C với hệ số Lipschitz L > 0.
Giả sử tập nghiệm Sol (F, C) của bài toán bất đẳng thức biến phân VIP(F, C)
khác rỗng. Khi đó Sol (F, C) là một tập lồi đóng.
1.2.2

Bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp

Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert thực H
và F, G : H → H là hai ánh xạ trong H. Bài toán bất đẳng thức biến phân hai
cấp (Bilevel Variational Inequality Problem), viết tắt là BVIP, được xây dựng
như sau:
Tìm x∗ ∈ Sol (G,C ) :

F (x∗ ), x − x∗ ≥ 0 ∀x ∈ Sol(G,C )

(1.5)

trong đó

Sol(G, C) = {y ∗ ∈ C :

G(y ∗ ), y − y ∗ ≥ 0 ∀y ∈ C}

là tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân VIP(G, C). Nếu G là
ánh xạ không thì tập nghiệm Sol(G, C) của bài toán bất đẳng thức biến phân
VIP(G, C) chính là C và khi đó bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp (1.5)
trở thành bài toán bất đẳng thức biến phân VIP(F, C). Nếu F là ánh xạ đồng
nhất thì bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp (1.5) trở thành bài toán tìm
nghiệm có chuẩn nhỏ nhất của bài toán bất đẳng thức biến phân VIP(G, C).
1.2.3

Bài toán bất đẳng thức biến phân tách

Cho C và Q lần lượt là các tập lồi đóng khác rỗng trong các không gian
Hilbert thực H1 và H2 , A : H1 −→ H2 là một toán tử tuyến tính bị chặn và
các ánh xạ F1 : H1 −→ H1 và F2 : H2 −→ H2 . Bài toán bất đẳng thức biến
phân tách (Split Variational Inequality Problem), viết tắt là SVIP, là bài toán

tìm nghiệm x∗ của một bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian H1
sao cho ảnh y ∗ = Ax∗ , qua toán tử tuyến tính bị chặn A, là nghiệm của một
bài toán bất đẳng thức biến phân khác trong không gian H2 , nghĩa là
Tìm x∗ ∈ C :

F1 (x∗ ), x − x∗ ≥ 0 ∀x ∈ C

(1.6)


14

sao cho

y ∗ = Ax∗ ∈ Q :

F2 (y ∗ ), y − y ∗ ≥ 0 ∀y ∈ Q.

(1.7)

Nếu tập nghiệm của các bài toán bất đẳng thức biến phân (1.6) và (1.7) lần
lượt được ký hiệu bởi Ω1 và Ω2 thì bài toán bất đẳng thức biến phân tách là
bài toán
Tìm x∗ ∈ Ω1 sao cho Ax∗ ∈ Ω2 .

(1.8)

Cho Ω1 và Ω2 lần lượt là hai tập con lồi đóng khác rỗng trong các không gian
Hilbert thực H1 và H2 , thì bài toán (1.8) là một dạng của bài toán chấp nhận
tách (Split Feasibility Problem), viết tắt là SFP. Bài toán chấp nhận tách được

mô hình hóa từ lớp các bài toán ngược, trong đó các ràng buộc được đặt lên
miền xác định của toán tử tuyến tính và miền giá trị của nó trong không gian
ảnh. Bài toán chấp nhận tách trong không gian hữu hạn chiều được giới thiệu
lần đầu tiên bởi Censor và Elfving [6]. Vào năm 2002, Byrne [4] đã đề xuất
thuật toán CQ giải bài toán chấp nhận tách trong không gian Hilbert hữu hạn
chiều. Đến năm 2010, Xu [8] đã phát triển thuật toán CQ để giải bài toán chấp
nhận tách trong không gian Hilbert vô hạn chiều với dãy lặp {xk } xác định bởi

x0 ∈ C,
(1.9)
xk+1 = P (xk + γA∗ (P (Axk ) − Axk )),
Ω1

trong đó 0 < γ <

2
A

2

Ω2

và A∗ là toán tử liên hợp của A, PΩ1 và PΩ2 lần lượt là

phép chiếu mêtric lên Ω1 và Ω2 . Giả sử tập nghiệm Ω của bài toán chấp nhận
tách (1.8) khác rỗng, khi đó dãy lặp {xk } xác định bởi (1.9) hội tụ yếu đến
nghiệm của bài toán chấp nhận tách.
Chương 2 sẽ phân tích một phương pháp lặp giải bài toán bất đẳng thức
biến phân tách hai cấp trong không gian Hilbert.

15

Chương 2

Phương pháp chiếu giải một lớp bất
đẳng thức biến phân tách hai cấp
Chương này trình bày một phương pháp chiếu giải bài toán bất đẳng thức
biến phân tách hai cấp trong không gian Hilbert thực với ánh xạ giá của bài
toán cấp trên cần giả thiết đơn điệu mạnh, còn của bài toán cấp dưới cần điều
kiện giả đơn điệu. Nội dung của chương được trình bày trong 2 mục. Mục 2.1
giới thiệu về bài toán bất đẳng thức biến phân tách hai cấp trong không gian
Hilbert, trình bày một phương pháp chiếu giải bài toán này cùng định lý hội tụ
mạnh của phương pháp. Mục 2.2 trình bày một số trường hợp đặc biệt về bài
toán tìm hình chiếu, bài toán tìm nghiệm có chuẩn nhỏ nhất cùng một ví dụ
số minh họa. Nội dung của chương được viết trên cơ sở bài báo [3] của Phạm
Kỳ Anh, Trần Việt Anh và Lê Dũng Mưu công bố năm 2017.

2.1
2.1.1

Bài toán và phương pháp
Bài toán bất đẳng thức biến phân tách hai cấp

Để tiện cho việc trình bày, ta giới thiệu lại bài toán bất đẳng thức biến phân
tách hai cấp đã được đề cập ở Chương 1.
Cho C và Q lần lượt là các tập lồi đóng khác rỗng trong các không gian
Hilbert thực H1 và H2 , A : H1 −→ H2 là một toán tử tuyến tính bị chặn,

F1 : H1 −→ H1 và F2 : H2 −→ H2 là các ánh xạ trong hai không gian Hilbert

16

thực H1 và H2 tương ứng. Bài toán bất đẳng thức biến phân tách, viết tắt là
SVIP, là bài toán tìm nghiệm x∗ của một bài toán bất đẳng thức biến phân
trong không gian H1 sao cho ảnh y ∗ = Ax∗ , qua toán tử tuyến tính bị chặn A,
là nghiệm của một bài toán bất đẳng thức biến phân khác trong không gian

H2 . Cụ thể, SVIP được phát biểu như sau
Tìm x∗ ∈ C :

F1 (x∗ ), x − x∗ ≥ 0 ∀x ∈ C

(2.1)

sao cho

y ∗ = Ax∗ ∈ Q :

F2 (y ∗ ), y − y ∗ ≥ 0 ∀y ∈ Q.

(2.2)

Nếu tập nghiệm của các bài toán bất đẳng thức biến phân (2.1) và (2.2) lần
lượt được ký hiệu bởi Ω1 và Ω2 thì bài toán bất đẳng thức biến phân tách là
bài toán
Tìm x∗ ∈ Ω1 sao cho Ax∗ ∈ Ω2 .

(2.3)

Chương này ta xét bài toán bất đẳng thức biến phân tách hai cấp (Bilevel
Split Variational Inequality Problem), viết tắt là BSVIP,
Tìm x∗ ∈ Ω :

F (x∗ ), x − x∗ ≥ 0 ∀x ∈ Ω,

(2.4)

trong đó F : H1 → H1 và Ω = {x∗ ∈ Ω1 : Ax∗ ∈ Ω2 } là tập nghiệm của bài
toán SVIP (2.3).
Ta cần các giả thiết sau đây.
Giả thiết 2.1.1. Giả sử các ánh xạ F, F1 : H1 → H1 , F2 : H2 → H2 thỏa mãn
đồng thời các điều kiện sau:
(B1) F : H1 → H1 là ánh xạ β -đơn điệu mạnh và L-liên tục Lipschitz trên

H1 .
(B2) F1 : H1 → H1 là ánh xạ giả đơn điệu trên C và L1 -liêp tục Lipschitz
trên H1 .
(B3) lim sup F1 (xk ), y − y k ≤ F1 (¯
x), y − y¯ với mọi y ∈ H1 và mọi dãy {xk },
k→∞
k

{y } nằm trong H1 hội tụ yếu lần lượt đến x¯, y¯ ∈ H1 .


17

(B4) F2 : H2 → H2 là ánh xạ giả đơn điệu trên Q và L2 -liên tục Lipschitz

trên H2 .
(B5) lim sup F2 (uk ), v − v k ≤ F2 (¯
u), v − v¯ với mọi v ∈ H2 và mọi dãy {uk },
k→∞
k

{v } nằm trong H2 hội tụ yếu lần lượt đến u¯, v¯ ∈ H2 .
Từ điều kiện (B2), (B3), (B4), (B5) và Bổ đề 1.2.3, ta có Ω1 và Ω2 là các
tập lồi đóng. Do đó Ω = {x∗ ∈ Ω1 : Ax∗ ∈ Ω2 } cũng là tập lồi đóng.
2.1.2

Phương pháp chiếu và sự hội tụ

Một phương pháp chiếu giải bài toán BSVIP được trình bày trong thuật toán
dưới đây.

2β
và các dãy tham số
L2
{αk } ⊂ (0, 1), {ηk }, {δk }, {λk }, {µk } thỏa mãn đồng thời các điều kiện

Thuật toán 2.1.2 (xem [3]). Chọn x0 ∈ H1 , 0 < µ <

(C1) limk→∞ αk = 0,

∞
k=0 αk

= ∞.

(C2) 0 ≤ ηk ≤ 1 − αk ∀k ≥ 0, limk→∞ ηk = η < 1.
(C3) {δk } ⊂ [a, b] với a, b ∈ 0,

1
A

2

+1

.

1
.
L1
1
(C5) {µk } ⊂ [e, f ] với e, f ∈ 0,
.
L2
(C4) {λk } ⊂ [c, d] với c, d ∈ 0,

Với mỗi k ≥ 0, ta tính

uk = Axk ,

v k = PQ (uk − µk F2 (uk )),

wk = PQk (uk − µk F2 (v k )),

trong đó

Qk = ω2 ∈ H2 : uk − µk F2 (uk ) − v k , ω2 − v k ≤ 0 .
Tiếp theo ta tính

y k = xk + δk A∗ (wk − uk ), tk = PC (y k − λk F1 (y k )), z k = PCk (y k − λk F1 (tk )),


18

trong đó A∗ là toán tử liên hợp của A,

Ck = ω1 ∈ H1 : y k − λk F1 (y k ) − tk , ω1 − tk ≤ 0
và

xk+1 = ηk xk + (1 − ηk )z k − αk µF (z k ).
Để chứng minh sự hội tụ của Thuật toán 2.1.2 ta cần kết quả trong các bổ
đề dưới đây.
Bổ đề 2.1.3 (xem [3]). Giả sử F : H → H là ánh xạ β -đơn điệu mạnh và
2β
L-liên tục Lipschitz trên H, 0 < α < 1, 0 ≤ η ≤ 1 − α, 0 < β < 2 . Khi đó
L

(1 − η)x − αµF (x) − [(1 − η)y − αµF (y)] ≤ (1 − η − ατ ) x − y ,

∀x, y ∈ H

trong đó

τ =1−

1 − µ(2β − µL2 ) ∈ [0, 1).

Bổ đề 2.1.4 (xem [3]). Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng trong không
gian Hilbert thực H, G : H → H là ánh xạ giả đơn điệu trên C , L-liên tục
Lipschitz trên H và Sol (G, C) = ∅. Xét x ∈ H, λ > 0 và xác định

y = PC (x − λG(x)),

z = PT (x − λG(y))

trong đó

T = ω ∈ H : x − λG(x) − y, ω − y ≤ 0 .
Khi đó với mọi x∗ ∈ Sol (G, C) ta có

z − x∗

2

≤ x − x∗

2

− (1 − λL) x − y

2

− (1 − λL) y − z 2 .

Sự hội tụ mạnh của Thuật toán 2.1.2 được trình bày trong định lý sau đây.

Định lý 2.1.5 (xem [3]). Giả sử tập nghiệm Ω = {x∗ ∈ Ω1 : Ax∗ ∈ Ω2 } của
bài toán SVIP khác rỗng và các điều kiện (B1) – (B5) được thỏa mãn. Khi
đó dãy {xk } trong Thuật toán 2.1.2 hội tụ mạnh đến nghiệm duy nhất của bài
toán BSVIP.
Chứng minh. Ta chia phép chứng minh ra thành 4 bước.


19

Bước 1: Các dãy {xk }, {y k } và {z k } thỏa mãn bất đẳng thức

z k − x∗ ≤ y k − x∗ ≤ xk − x∗

∀k ∈ N,

trong đó x∗ là nghiệm duy nhất của BSVIP.
Vì F là ánh xạ β -đơn điệu mạnh và L-liên tục Lipschitz trên H1 và Ω là tập
lồi đóng khác rỗng nên theo Định lý 1.2.2, BSVIP có nghiệm duy nhất x∗ . Do
đó x∗ ∈ Ω hay x∗ ∈ Ω1 ⊂ C , Ax∗ ∈ Ω2 ⊂ Q.
Theo Bổ đề 2.1.4, ta có với mọi k ∈ N

z k − x∗

2

wk −Ax∗

≤ y k − x∗

2

− (1 − λk L1 ) y k − tk

2

− (1 − λk L1 ) tk − z k 2 , (2.5)

≤ uk −Ax∗ 2 −(1−µk L2 ) uk −v k 2 −(1−µk L2 ) v k −wk 2 . (2.6)
1
1
và {µk } ⊂ [e, f ] ⊂ 0,
nên từ (2.5) và (2.6),
Vì {λk } ⊂ [c, d] ⊂ 0,
L1
L2
ta có
2

z k − x∗ ≤ y k − x∗

(2.7)

wk − Ax∗ ≤ uk − Ax∗ .

(2.8)

Vì uk = Axk và A∗ = A nên từ (2.8) ta có

y k − x∗

2

= xk + δk A∗ (wk − uk ) − x∗

2

= xk − x∗

2

+ δk A∗ (wk − uk )

≤ xk − x∗

2

+ δk

A∗

2

wk − uk

2

≤ xk − x∗

2

+ δk

A∗

2

wk − uk

2

2

+ 2δk xk − x∗ , A∗ (wk − uk )
+ 2δk A(xk − x∗ ), wk − uk

+ 2δk [ wk − Ax∗ , wk − uk − wk − uk 2 ]
≤ xk − x∗

A∗

2

wk − uk

+ δk [( wk − Ax∗

2

− uk − Ax∗ 2 ) − wk − uk 2 ]

2

wk − uk

2

+ δk

A∗

2

≤ xk − x∗

2

+ δk

= xk − x∗

2

− δk (1 − δk A 2 ) wk − uk 2 .

2

− δk wk − uk

Kết hợp (2.7) với (2.9) và chú ý rằng {δk } ⊂ [a, b] ⊂ 0,

z k − x∗ ≤ y k − x∗ ≤ xk − x∗ .

2

(2.9)

1
A

2

+1

, ta được


20

Bước 2: Các dãy {xk }, {y k }, {z k } và {F (xk )} bị chặn.
Từ Bổ đề 2.1.3 và Bước 1, ta được

xk+1 − x∗ = (1 − ηk )z k − αk µF (z k ) − [(1 − ηk )x∗ − αk µF (x∗ )]
+ ηk (xk − x∗ ) − αk µF (x∗ )
≤ (1 − ηk )z k − αk µF (z k ) − [(1 − ηk )x∗ − αk µF (x∗ )]
+ ηk (xk − x∗ ) − αk µ F (x∗ )
≤ (1 − ηk − αk τ ) z k − x∗ + ηk (xk − x∗ ) − αk µ F (x∗ )
(2.10)

≤ (1 − ηk − αk τ ) xk − x∗ + ηk (xk − x∗ ) + αk µ F (x∗ )
= (1 − αk τ ) xk − x∗ + αk µ F (x∗ )

µ F (x∗ )
k
∗
,
= (1 − αk τ ) x − x + αk τ
τ
trong đó

τ =1−

1 − µ(2β − µL2 ) ∈ (0, 1].

Bằng quy nạp, ta được

µ F (x∗ )
} ∀k ∈ N.
τ
Do đó dãy {xk } bị chặn và do đó theo Bước 1 thì các dãy {y k } và {z k } cũng
xk − x∗ ≤ max{ x0 − x∗ ,

bị chặn. Mặt khác, vì F là L-liên tục Lipschitz trên H1 nên

F (xk ) ≤ F (xk ) − F (x0 ) + F (x0 )
≤ L xk − x0 + F (x0 )
≤ L( xk + x0 ) + F (x0 ) .
Từ tính bị chặn của dãy {xk } và (2.11), ta suy ra dãy {F (xk )} bị chặn.
Bước 3: Với mọi k ∈ N, ta có

xk+1 − x∗ ≤ (1 − αk τ ) xk − x∗

2

− 2αk µ F (x∗ ), xk+1 − x∗ ,

trong đó x∗ là nghiệm duy nhất của BSVIP.
Sử dụng bất đẳng thức

x−y

2

≤ x

2

− 2 y, x − y

∀x, y ∈ H1 ,

(2.11)


21

Từ Bổ đề 2.1.3 và Bước 1, ta được

xk+1 − x∗

2

= (1 − ηk )z k − αk µF (z k ) − [(1 − ηk )x∗ − αk µF (x∗ )]
+ ηk (xk − x∗ ) − αk µF (x∗ )

2

≤ (1 − ηk )z k − αk µF (z k ) − [(1 − ηk )x∗ − αk µF (x∗ )] + ηk (xk − x∗ )

2

− 2αµ F (x∗ ), xk+1 − x∗
≤

(1 − ηk )z k − αk µF (z k ) − [(1 − ηk )x∗ − αk µF (x∗ )] + ηk xk − x∗

2

− 2αµ F (x∗ ), xk+1 − x∗
≤

2

(1 − ηk − αk τ ) z k − x∗ + ηk xk − x∗

≤ (1 − ηk − αk τ ) z k − x∗

2

+ ηk x k − x ∗

2

− 2αµ F (x∗ ), xk+1 − x∗

− 2αµ F (x∗ ), xk+1 − x∗
(2.12)

= (1 − αk τ ) xk − x∗

2

− 2αk µ F (x∗ ), xk+1 − x∗ .

Bước 4: Ta chứng minh {xk } hội tụ mạnh đến nghiệm duy nhất x∗ của BSVIP.
Ta xét hai trường hợp:
Trường hợp 1. Tồn tại k0 sao cho dãy { xk − x∗ } là giảm với k ≥ k0 . Khi đó
tồn tại giới hạn hữu hạn lim xk − x∗ . Do đó, từ Bước 1 và (2.12), ta được
k→∞

0 ≤ y k − x∗ − z k − x∗

2

≤ xk − x∗ − z k − x∗ 2
αk τ
2αk µ
≤−
z k − x∗ 2 −
F (x∗ ), xk+1 − x∗
1 − ηk
1 − ηk

1
( xk − x∗ 2 − xk+1 − x∗ 2 ).
+
1 − ηk

(2.13)

Vì tồn tại giới hạn của dãy { xk − x∗ }, lim αk = 0, lim ηk = η < 1, {xk } và
k→∞

k→∞

{z k } là hai dãy bị chặn nên từ (2.13), ta có
lim ( y k − x∗ − z k − x∗ 2 ) = 0, lim ( xk − x∗

k→∞

k→∞

2

− z k − x∗ 2 ) = 0. (2.14)

Vì (2.14), ta suy ra

lim ( xk − x∗ − y k − x∗ 2 ) = 0.

k→∞

(2.15)

22

1
, ta được
L1
≤ y k − x∗ 2 − z k − x∗ 2 .

Kết hợp (2.5) với giả thiết {λk } ⊂ [c, d] ⊂ 0,

(1 − dL1 ) y k − tk

2

(2.16)

Do vậy, từ (2.14) và (2.16), ta được

lim y k − tk = 0.

(2.17)

k→∞

Từ (2.9) và {δk } ⊂ [a, b] ⊂ 0,

1
2

A

a(1 − b A 2 ) wk − uk

+1

2

, ta suy ra

≤ xk − x∗

2

− y k − x∗ 2 .

Kết hợp bất đẳng thức trên với (2.15), ta nhận được

lim wk − uk = 0.

k→∞

Chú ý rằng với mọi k

y k − xk = δk A∗ (wk − uk )
≤ δk A∗
≤b A

wk − uk
wk − uk .

Do đó, vì lim wk − uk = 0 nên
k→∞

lim y k − xk = 0.

k→∞

(2.18)

Từ (2.17), (2.18) và bất đẳng thức tam giác, ta có

lim xk − tk = 0.

k→∞

(2.19)

Ta chứng minh

lim inf F (x∗ ), xk+1 − x∗ ≥ 0.
ki

k→∞
k

Chọn dãy con {x } của {x } sao cho

lim inf F (x∗ ), xk+1 − x∗ = lim F (x∗ ), xki − x∗ .
k→∞

i→∞

Vì dãy {xki } là bị chặn nên ta có thể giả sử {xki } hội tụ yếu đến x
¯ ∈ H1 . Do
đó

lim inf F (x∗ ), xk+1 − x∗ = lim F (x∗ ), xki − x∗
k→∞

i→∞

= F (x∗ ), x¯ − x∗ .

(2.20)