Phương Pháp Lưới Giải Bài Toán Song Điều Hòa Trong Miền Tròn Và Ứng Dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN QUANG HẢI

PHƯƠNG PHÁP LƯỚI GIẢI BÀI TOÁN
SONG ĐIỀU HÒA TRONG MIỀN TRÒN
VÀ ỨNG DỤNG
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 60 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. Vũ Vinh Quang

THÁI NGUYÊN - 2016


i

MỤC LỤC
Trang
Mục lục ....................................................................................................... i
Danh mục các bảng .................................................................................... ii
Mở đầu ........................................................................................................ 1
Chương 1: Một số kiến thức cơ bản .......................................................... 3
1.1 Lý thuyết về sai phân.............................................................................. 3
1.2 Công thức Taylor.................................................................................... 3
1.3 Các phương pháp sai phân và đạo hàm ................................................... 5
1.4 Phương trình song điều hòa .................................................................... 10
1.4.1 Dạng tổng quát .................................................................................... 10

1.4.2 Phương pháp phân rã ........................................................................... 11
1.5 Hệ tọa độ cực ......................................................................................... 12
1.5.1 Một số khái niệm cơ bản...................................................................... 12
1.5.2 Biểu diễn các bài toán biên 2 chiều trong hệ tọa độ cực ....................... 13
1.6 Phương pháp truy đuổi 3 đường chéo ..................................................... 14
1.6.1 Hệ truy đuổi 3 đường chéo .................................................................. 14
1.6.2 Thuật toán truy đuổi phải ..................................................................... 15
1.6.3 Thuật toán truy đuổi trái ...................................................................... 16
Chương 2: Phương pháp giải trực tiếp nhanh phương trình song điều
hòa trên miền hình tròn ............................................................................. 20
2.1 Đặt vấn đề .............................................................................................. 20
2.2 Giới thiệu phương pháp .......................................................................... 22
2.2.1 Công thức khai triển Fourier chặt cụt ................................................... 23
2.2.2 Phương pháp sai phân .......................................................................... 24
2.3 Phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính ......................................... 27
2.4 Thuật toán .............................................................................................. 30
2.5 Một số kết quả thực nghiệm ................................................................... 31
Chương 3: Một số kết quả mở rộng cho phương trình Navier – Stokes
trên miền tròn ............................................................................................. 34
3.1 Dạng bài toán tổng quát .......................................................................... 34
3.2 Hệ phương trình sai phân theo thời gian ................................................. 36
3.3 Hệ sai phân theo không gian ................................................................... 37
3.4 Kết quả thực nghiệm .............................................................................. 38
Kết luận....................................................................................................... 40
Tài liệu tham khảo ..................................................................................... 41
Phần phụ lục ............................................................................................... 42


ii
DANH MỤC CÁC BẢNG

STT

Tên bảng

Trang

1

Bảng 1: Kết quả kiểm tra RC0000.m

8

2

Bảng 2: Kết quả kiểm tra RC0002.m

9

Bảng 3: Kết quả thực nghiệm đối với hàm nghiệm đúng
3

u * (r, )  (er  1)sin , N  64.

30

Bảng 4: Kết quả thực nghiệm đối với hàm nghiệm đúng
4

u * (r ,  )  sinr sin , N  64.

30

Bảng 5: Kết quả thực nghiệm đối với hàm nghiệm đúng
5

u * (r ,  ) r 4 cos , N  64.

30

Bảng 6: Kết quả thực nghiệm đối với hàm nghiệm đúng
6

 x , y, t   2e 2t /Re cos x cos y,  x , y, t   2e  2t /Re cos x cos y

35


1

Mở đầu
Một số bài toán trong cơ học các môi trường liên tục nghiên cứu về các
tấm đàn hồi qua mô hình hóa đều đưa về các bài toán biên cho phương trình
song điều hòa là phương trình cấp bốn dạng đặc biệt với các hệ điều kiện biên
khác nhau. Trong trường hợp khi điều kiện biên là bình thường (đủ cả điều
kiện biên với hàm và đạo hàm cấp hai) đồng thời miền đang xét là miền chữ
nhật, sử dụng phương pháp phân rã phương trình cấp bốn về 2 phương trình
cấp hai, người ta có thể xác định nghiệm của bài toán thông qua các phương
pháp sai phân truyền thống. Trong trường hợp khi thiếu điều kiện biên với
đạo hàm cấp hai, kết hợp với phương pháp toán tử biên miền, chúng ta cũng

có thể xây dựng các phương pháp lặp để xác định nghiệm gần đúng của bài
toán. Tuy nhiên trong trường hợp khi miền đang xét của bài toán là miền tròn
và hệ điều kiện biên là thiếu đối với biểu thức đạo hàm cấp 2 thì các phương
pháp trên là không thực hiện được.
Trong tài liệu [8], các tác giả Ming Chih Lai, Hsi Chi Liu đã đưa ra một
phương pháp sai phân bài toán song điều hòa trên miền tròn bằng cách sử
dụng hệ tọa độ cực

(r, ) để chuyển bài toán song điều hòa về 2 bài toán cấp

hai, từ đó xây dựng thuật toán lưới tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán gốc.
Xuất phát từ thực tế đó, mục tiêu nghiên cứu chính của luận văn là tìm
hiểu về mô hình toán học của bài toán song điều hòa, các phương pháp phân
rã và đặc biệt là nghiên cứu các phương pháp sai phân bài toán trên miền tròn
sử dụng hệ trục tọa độ cực, xây dựng các thuật toán giải hệ các phương trình
sai phân thông qua các thuật toán giải các hệ phương trình đại số tuyến tính,
xây dựng các chương trình thực nghiệm trên môi trường Matlab. Kiểm tra
tính chính xác của các thuật toán qua các ví dụ thực tế.


2
Trong thời gian nghiên cứu và thực hiện luận văn tác giả đã nhận được
nhiều sự quan tâm, giúp đỡ và góp ý của nhiều tập thể, cá nhân.
Trước hết tác giả xin được bầy tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến tiến sĩ Vũ
Vinh Quang – Thầy trực tiếp hướng dẫn khoa học đã tận tâm chỉ bảo, giúp đỡ
tác giả trong quá trình nghiên cứu để hoàn thành luận văn này.
Với tình cảm chân thành và sâu sắc tác giả xin bầy tỏ lòng biết ơn tới
Ban Giám hiệu Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên, phòng Đào
tạo sau đại học, khoa Toán – Tin trường Đại học Khoa học – Đại học Thái
Nguyên đã giúp đỡ và tạo điều kiện cho tác giả trong suốt quá trình học tập và

thực hiện luận văn.
Xin chân thành cảm ơn quý thầy cô đã tận tình giảng dạy, chỉ dẫn cho
tôi những tri thức, kinh nghiệm, bài học quý báu.
Xin chân thành cảm ơn các anh chị, bạn bè trong khóa 8 chuyên ngành
Toán ứng dụng đã chia sẻ tinh thần tình cảm cho tôi trong suốt khóa học.
Mặc dù hết sức cố gắng trong quá trình học tập, nghiên cứu và đọc tài
liệu để hoàn thành nhưng luận văn vẫn khó tránh khỏi những thiếu sót, tác giả
rất mong nhận được ý kiến chỉ dẫn của quý thầy, cô, của hội đồng chấm luận
văn và ý kiến đóng góp chân thành của các đồng nghiệp để luận văn được
hoàn thiện với hiệu quả cao.
Thái Nguyên, ngày 30 tháng 5 năm 2016
TÁC GIẢ LUẬN VĂN

Nguyễn Quang Hải


3

Chương 1
Một số kiến thức cơ bản
Nội dung chính của chương 1 trình bày các kiến thức cơ bản về phương
pháp sai phân, các kết quả xây dựng các chương trình giải số các bài toán biên
trong miền hình chữ nhật qua phương pháp sai phân, phương trình song điều
hòa và phép biến đổi tọa độ cực áp dụng đối với phương trình song điều hòa,
thuật toán truy đuổi 3 đường chéo. Đây là các kiến thức cơ bản, làm nền tảng
để nghiên cứu các kết quả được trình bày trong chương 2 của luận văn. Các
kiến thức trình bày được tham khảo trong các tài liệu [1, 2, 3, 8, 9].
1.1 Lý thuyết về sai phân
Phương pháp lưới hay còn gọi là phương pháp sai phân được áp dụng
rộng rãi trên nhiều lĩnh vực khoa học, kỹ thuật. Nội dung chính của nó là đưa

bài toán vi phân đang xét về giải hệ phương trình sai phân (tức là hệ thức
hoặc các hệ thức liên hệ các giá trị của hàm số tại các thời điểm khác nhau)
bằng các phương pháp đại số.
1.2 Công thức Taylor
A/ Trường hợp hàm 1 biến số
Giả sử u x  là một hàm số xác định và có đạo hàm đến cấp m1 trong
một khoảng  ,   chứa x và x h , trong đó h là một đại lượng đủ nhỏ có
thể dương hay âm. Khi đó trong giải tích toán học, chúng ta có công thức khai
triển Taylor như sau.

h  u ''

2





u x  h  u x   hu ' x 

h 


x   ...
(1.1)

m 1

m

m!

h 

2!

u

m 

x  

m  1!

u

m 1

c


4
Trong đó c là một điểm nào đó ở trong khoảng từ x đến x  h ; để
diễn tả điều đó ta có thể viết c  x   . x với 0    1 .
Ta giả thiết thêm:
u m 1 x   M  const,

x  (,  )

Khi đó số hạng cuối cùng ở (1.1) là một vô cùng bé khi h  0 và công

thức Taylor (2.3) viết gọn hơn:

h  u '' x  ...
u x  h   u x   hu ' x  

2!
h  u   x o(h )


m!
2

m

m

(1.2)

m

Nhận xét: Về mặt ý nghĩa toán học tính toán thì công thức Taylor, giá
trị của hàm số tại điểm x  h sẽ được tính qua các giá trị hàm và đạo hàm
các cấp tại điểm x . Nếu chúng ta giữ đến số hạng chứa đạo hàm cấp m thì kết
quả tính toán sẽ đảm bảo sai số xấp xỉ một đại lượng vô cùng bé là o(h m ) .
B/ Trường hợp hàm 2 biến số
Giả sử u x , y  là một hàm số xác định và có các đạo hàm riêng theo các
biến đến cấp m1 trong một miền   R 2 chứa các điểm (x , y ) và

(x  h, y  k ) , trong đó h , k là các đại lượng đủ nhỏ có thể dương hay âm. Khi
đó tương tự như hàm 1 biến số, chúng ta có công thức khai triển Taylor như sau

u
u
k

x
y
2
1 2  2u
 2u
2  u
[h

2
hk

k
]  ...  o(h m  k m )
2
2
2!
x
x y
y





u x  h, y  k  u x , y   h

(1.3)

Nhận xét: Về mặt ý nghĩa toán học tính toán thì công thức Taylor, giá trị
của hàm số tại điểm (x  h , y  k ) sẽ được tính qua các giá trị hàm và các


5
đạo hàm riêng các cấp tại điểm (x , y ) . Nếu chúng ta giữ đến số hạng chứa các
đạo hàm cấp m thì kết quả tính toán sẽ đảm bảo sai số xấp xỉ một đại lượng vô
cùng bé là o(h m ) . Sau đây luận văn sẽ đưa ra một số kết quả khi xây dựng các
phương pháp sai phân dựa trên công thức Taylor.
1.3 Các phương pháp sai phân và đạo hàm
A/ Trường hợp 1 chiều
 Phát biểu bài toán
Cho khoảng x 0 , X . Tìm hàm u  u  x  xác định tại x 0 , X  và thỏa mãn:
u '  f x, u 

x0  x  X

ux 0   

(1.4)
(1.5)

Trong đó f x, u  là một hàm số cho trước và  là một số cho trước
Giả sử bài toán (1.4), (1.5) có nghiệm u  u  x  đủ trơn, nghĩa là nó có
đạo hàm liên tục đến cấp mà ta cần.
 Lưới sai phân
Ta chia đoạn x 0 , X  thành N đoạn con bằng nhau, mỗi đoạn con dài
h  b  a  N bởi các điểm

x i (i  0..N ), x i  x 0  ih . Tập các điểm xi gọi

là một lưới sai phân trên x 0 , X , ký hiệu là h , mỗi điểm x i gọi là một nút
của lưới, h gọi là bước của lưới.
 Hàm lưới
Đó là những hàm số xác định tại các nút của lưới h . Một số hàm u x 
xác định tại mọi x  a, b sẽ tạo ra hàm lưới u có giá trị tại nút x i là
u i  u x i  .


6
 Đạo hàm lưới
Xuất phát từ công thức Taylor trong trường hợp 1 biến số, chúng ta sẽ
có các công thức tính xấp xỉ đạo hàm lưới với độ chính xác cấp 1 như sau:
Công thức đạo hàm tiến:

ux' 

Công thức đạo hàm lùi

ux' 

i

i

Công thức đạo hàm cấp hai: ui 
''

ui 1  ui
h

 o(h )

ui  ui 1
 o(h )
h

1
(ui 1  2ui  ui1 )  o(h 2 )
2
h

Ta sẽ thấy rằng khi h bé thì đạo hàm lưới “xấp xỉ” được đạo hàm
thường.
B/ Trường hợp 2 chiều
 Lưới sai phân
Xét bài toán
u  f , x  ,


 u  g,
x  .


(1.6)

trong đó   (x , y )  R2 , a  x  b, c  y  d  , chọn 2 số nguyên N > 1 và

M  1 , đặt h = (b - a)/N gọi là bước lưới theo x, k = (d - c)/M gọi là bước
lưới theo y. Đặt x i  a  ih, y j  c  jk , i  0...N , j  0...M . Mỗi điểm

( xi , y j ) gọi là một nút lưới ký hiệu là nút (i, j ); tập tất cả các nút trong ký
hiệu là hk ; nút ở trên biên  gọi là nút biên; tập tất cả các nút biên ký hiệu
là hk , tập hk = hk  hk gọi là một lưới sai phân trên  .
 Hàm lưới:


7
Mỗi hàm số xác định tại các nút của lưới gọi là một hàm lưới, giá trị
của hàm lưới u(x,y) tại nút lưới (i, j ) viết tắt là ui , j . Mỗi hàm ui , j xác định tại
mọi ( x, y )   tạo ra hàm lưới u xác định bởi ui , j .
 Bài toán sai phân:
Sử dụng công thức Taylor trong trường hợp 2 biến số, chúng ta thu
được các công thức tính gần đúng các giá trị đạo hàm tại các nút lưới (i, j )
như sau

u
x

1

(u
 ui, j )  o(h)
(i , j )
h i 1, j

u
y

1

(u
 ui, j )  o(h)
(i , j )
k i, j 1

 2u
x 2


(i , j )

 2u
y 2


(i , j )

ui 1, j  2ui , j  ui 1, j
h2
ui , j 1  2ui , j  ui , j 1
k

2

 o(h 2 )

 o(k 2 )

Đặt

hk u 

ui 1, j  2ui , j  ui 1, j
h

2



ui , j 1  2ui , j  ui , j 1
k

2

(1.7)

Khi đó chứng tỏ:

 kh u =  u  o (h 2  k 2 )
2
2
Số hạng o(h  k ) là một vô cùng bé bậc hai. Ta nói toán tử  kh xấp

xỉ toán tử  , điều đó cho phép thay phương trình vi phân bằng phương trình
sai phân:

hk u  fij , fij  f ( xi ,y j ), ( xi ,y j ) hk

tức là:


8

ui 1, j  2ui , j  ui 1 j
h2



ui, j 1  2ui , j  ui , j
k2

 fi , j ,(i, j )  hk

(1.8)

đồng thời thay điều kiện biên bằng điều kiện:

uij  g (x i , y j ),

(x i , y j )  hk

(1.9)

Ta được bài toán sai phân hoàn chỉnh: tìm hàm lưới u tại các nút ( i, j )
thỏa mãn hệ phương trình sai phân (1.8) với các điều kiện biên (1.9). Như vậy
việc tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán vi phân (1.6) với độ chính xác cấp hai
được đưa về việc giải bài toán sai phân (1.8) với điều kiện (1.9) bằng các
phương pháp đại số.

Nhận xét:
Hệ phương trình sai phân (1.8) với điều kiện biên (1.9) hoặc các hệ
điều kiện biên dạng Neumann tương ứng trong miền chữ nhật [a,b ][c, d ]
thông qua các phép biến đổi sơ cấp sẽ được biểu diễn dưới dạng các hệ
phương trình vectơ 3 điểm dạng
Yj 1  CYj Yj 1  Fj ;
Y0  F0 ,YN  FN ; j  1, N  1.

(1.10)

Trong trường hợp điều kiện biên là Dirichlet và dạng
Y j 1  CY j Y j  1  Fj ;

(1.11)

Y0  F0 , 2YN 1  CYN  FN ; j  1, N  1.

Trong trường hợp điều kiện biên dạng Neumann trong đó kí hiệu
Y j  (u 0, j , u1, j ,..., u N , j ) là các vectơ nghiệm,

Fj  ( f0, j , F1, j ,..., FN , j ) là các vectơ vế phải,
C  (ci , j )N N là ma trận hệ số của hệ dạng 3 đường chéo trội.
Do tính chất đặc biệt của hệ nên hệ có thể giải được bằng thuật toán thu
gọn khối lượng tính toán của Samarskij-Nicolaiev với độ phức tạp tính toán

O(MN log N ) . Các kết quả xác định nghiệm số đối với bài toán biên elliptic
cấp 2 đã được xây dựng thành các hàm mẫu trong thư viện RC2009 [3]. Sau
đây là một số kết quả số của thư viện. Trong các kết quả được đưa ra sau đây,

9
sai

số

của

quá

trình

tính

toán

ký

là

hiệu

*
  m ax u i, j  u i , j , i  0, M , j  0, N trong đó u i , j kí hiệu là giá trị nghiệm

đúng của bài toán, u i , j kí hiệu là nghiệm xấp xỉ trên từng lưới điểm trong
không gian lưới.
Bảng 1: Kết quả kiểm tra RC0000.m
Lưới
32x32

Nghiệm đúng u*

sin x1 sin x2
x12  x 22
x13  x 2e x1  x 23  x1ex2
x

e 1 logx2 5sinx2 logx1 6








Lưới
64x64

Lưới
256x256

Lưới
128x128



t



t



t

t

3.10-5

0.1

9.10-6

0.2

2.10-6

0.6

5.10-7 2.3

5.10-12 0.2 1.10-11

0.2

5.10-11

0.5

2.10-10 2.3

3.10-8

0.1

8.10-9

0.2

2.10-9

0.5

2.10-9 2.3

9.10-7

0.1

2.10-7

0.2

6.10-8

0.5

1.10-8 2.1



Bảng 2: Kết quả kiểm tra RC0002.m
Lưới

Lưới

Lưới

Lưới

32x32

64x64

128x128

256x256

Nghiệm đúng u*



t



t



t



t

7.10-5

0.1

1.10-5

0.2

4.10-6

0.8

1.10-6

2.8

1.10-11 0.1 5.10-11

0.2

1.10-10 0.7 5.10-10

2.9

x13  x2ex1  x23  x1ex2

2.10-4

0.1

6.10-5

0.2

1.10-5

0.7

4.10-6

2.8

x

3.10-5

0.1

8.10-6

0.2

2.10-6

0.6

5.10-7

2.7

sin x1 sin x2
x 12  x 22

e 1 logx2 5sinx2 logx1 6


10
Qua các kết quả trên, chúng ta thấy rằng, các tính toán đảm bảo độ
2
2
chính xác tương đương với độ chính xác cấp hai O(h  k ). Thư viện trên

luôn để sử dụng tìm nghiệm số của các bài toán biên elliptic cấp hai trong
miền hình chữ nhật.
1.4 Phương trình song điều hòa
Trong phần này, chúng ta xét một dạng của bài toán biên cấp 4 được gọi
là dạng song điều hòa, một dạng bài toán biên mô tả các quá trình dao động
của các mảng mỏng trong cơ học và vật lý.
1.4.1 Dạng tổng quát
Phương trình tổng quát được xét có dạng

2u  cu  du  f , c  0, x  ,



(1.12)
 0u
 g 0 , x  ,



 1 u   g1, x  ,

trong đó    m ,  là biên Lipshitz, f  L2 (),  0 ,  1 là một số dạng
toán tử điều kiện biên đảm bảo điều kiện để bài toán có nghiệm duy nhất,

g 0 , g1 là các hàm số cho trước. Phương trình (1.12) được gọi là phương trình
song điều hòa tổng quát. Tùy thuộc vào các hệ số c, d, xét hai dạng bài toán
cơ bản:
Bài toán biên thứ nhất

2u  cu  f , c  0, x  ,


 0u
 g 0 , x  ,



 1 u   g1, x  ,


Bài toán biên thứ hai

(1.13)


11

2u  cu  du  f , c  0, d  0, x  ,


 0u
 g 0 , x  ,



 1 u   g1, x  ,


(1.14)

Trong trường hợp khi các toán tử điều kiện biên là các toán tử phức tạp
thì việc tìm nghiệm số của bài toán là khó khăn, tuy nhiên khi các toán tử điều
kiện biên là dạng Dirichlet hoặc Neumann đối với hàm u(x ) và u(x ) thì
đối với bài toán biên thứ nhất, chúng ta có thể tìm nghiệm số của bài toán
thông qua phương pháp phân rã và các hàm trong thư viên RC2009. Sau đây
chúng ta sẽ xét phương pháp phân rã.
1.4.2 Phương pháp phân rã
Xét bài toán biên

2u  cu  f , c  0, x  ,



u  g 0 , x  ,

u  g1, x  ,



(1.15)

Đặt v  u . Khi đó bài toán (1.15) tương đương với 2 bài toán biên
elliptic cấp hai sau đây

v  f , x  ,


 v  g1, x  .


(1.16)

u  v, x  ,


 u  g 0, x  .


(1.17)

Đối với các trường hợp khi các điều kiện biên là Neumann thì việc
chuyển sang các bài toán cấp hai cũng được thực hiện tương tự.

12
Nhận xét:
+ Hiển nhiên qua phương pháp phân rã, nghiệm của bài toán song điều
hòa dạng thứ nhất luôn luôn được xác định từ 2 lời giải của 2 bài toán biên
elliptic cấp hai.
+ Trong trường hợp khi miền đang xét là miền hình chữ nhật thì thông
qua phương pháp sai phân kết hợp với thư viện RC2009, chúng ta hoàn toàn
có thể xác định được nghiệm số của bài toán song điều hòa dạng thứ nhất.
Các kết quả giải số bài toán song điều hòa đã được đưa ra trong tài liệu [2].
+ Đối với bài toán biên dạng thứ hai của phương trình song điều hòa thì
phương pháp phân rã không thể áp dụng được vì tồn tại số hạng du trong
phương trình. Trong trường hợp này, người ta phải áp dụng những sơ đồ lặp
đặc biệt để tìm nghiệm số của bài toán.
+ Các kết quả trên chỉ áp dụng được khi miền đang xét là miền chữ
nhật   [a,b ][c, d ] , khi đó lưới chia sai phân là các đường thẳng song
song với các trục tọa độ.
1.5 Hệ tọa độ cực
1.5.1 Một số khái niệm cơ bản
Xét trong không gian 2 chiều với hệ trục tọa độ đề các Oxy , Một điểm

M(x, y) trong mặt phẳng sẽ được xác định qua 2 tham số.
+ Khoảng cách từ gốc tọa độ đến điểm M
r 

x 2  y2

(1.18)

+ Góc tạo bởi chiều dương của trục Ox đến vectơ OM

y
  arctan( )
x
Như vậy trong hệ tọa độ cực điểm M sẽ tương ứng với M (r, ) .

(1.19)


13
Chúng ta dễ ràng xác định được mối qua hệ giữa hệ tọa độ cực và tọa
độ đề các theo các hệ thức sau đây.

x  r cos ; y  r sin 

(1.20)

Trong tính toán người ta thường sử dụng ma trận của phép biến đổi
giữa hệ tọa đội đề các sang hệ tọa độ cực bằng ma trận.

 x


J (r , )   r
 y

r

x 

 cos  r sin 

   
r


x   sin  r cos  

 

(1.21)

Khi đó ta có J (r, )  r  0 .
1.5.2 Biểu diễn các bài toán biên 2 chiều trong hệ tọa độ cực
Xuất phát từ hệ thức (1.20), chúng ta dễ ràng thu được các kết quả sau
đây.

u
u r u 
u 1
u 1




;
x
r x  x
r cos   sin 
u

u r u 
u 1
u 1




;
y
r y  y
r sin   cos 
 2u
 u 1
u 1
1
 u 1
u 1
1

(

)

(

)
;
r r cos   sin  cos   r cos   sin  sin 
x 2
 2u

 u 1
u 1
1
 u 1
u 1
1

(

)

(

)
;
2
r  r sin 
 cos  sin   r sin 
 cos  sin 
y
Thực hiện các phép tính toán với chú ý sin2   cos2   1, ta thu
được kết quả.

 2u 1 u
1  2u
u  2 

r r r 2  2
r
Như vậy bài toán biên trong hệ trục tọa độ Đề các Oxy

14

u  f , x  ,


 u  g,
x  .


(1.22)

Được biểu diễn trong hệ tọa độ cực dạng
2
2

u   u  1 u  1  u  f (r , ), (r , )  ;

r 2 r r r 2  2

u  g(r , ),
(r , )  .


(1.23)

Đây là kết quả quan trong để chúng ta xét lời giải của bài toán song
điều hòa trong miền tròn trong chương 2.
1.6 Phương pháp truy đuổi 3 đường chéo

1.6.1 Hệ truy đuổi 3 đường chéo
Xét hệ phương trình:

C x  B x
 d1
 1 1
1 2
A x C x  B x
 di
i i
i i 1
 i i 1
An x n 1  C n x n  dn



i  2,2,..., n  1

Hệ (1.24) có ma trận:

C

B1
0
...
0
0
 1

A C


B
...
0
0
2
2
 2

0

A3 C 3 ...
0
0


A = 

...................................................


0
0
... C n 1 Bn 1 
0


0
0
...

An C n 
 0

dạng 3 đường chéo.
X  x 0 , x1 , ..., x n  ' - ẩn phải tìm.



D  d 0 , d 1 ,..., d n



'

- cột vế phải.

(1.24)


15
1.6.2 Thuật toán truy đuổi phải
Ta đi tìm nghiệm của hệ trong dạng:

x

  i 1x i 1  

i

; i  0,1, 2,..., n  1

(1.25)

i 1

trong đó  i1 ,  i1 được tìm từ điều kiện ràng buộc (1.25), x i là nghiệm của hệ
(1.25). Thay (1.25) vào hệ (1.24) và sử dụng đẳng thức.

x

i 1

  ix i     i
i



x

i 1

i 1





i 1

i

Ta được:

 i 1

 A  C   B  x
i

i

i

i

Đẳng thức này đúng:

i 1

 


 A  C  
i

i

i

i 1



A
i

i

 d i   0


i  1,2,...n  1

Nên
 i 1  i Ai  C i    i  0

 i Ai  C i   i1   i Ai  d i  0
Từ đó ta có công thức truy hồi:
 i 1 

Bi
;
C i   i Ai

 i 1 

Ai  i  d i
;
C i   i Ai

i  1, 2, ..., n  1

Để có các hệ số đó, ta cần xác định  1 ,  1 .
Do phương trình đầu tiên:  C 0 x0  B0 x1   d 0
Hay:

x0 

B0
d0
  1 x1   1
x1 
C0
C0

Nghĩa là:

1 

B0 ;
d
1  0
C0
C0

Ẩn x n sẽ được tìm nhờ phương trình cuối cùng của hệ. Ta có:
An xn 1  C n xn   d n


16
Lại theo (1.25) ta có:

x n 1   n x n   n

Loại trừ x n1 từ hệ này, ta suy ra được:
xn 

 n An  d n
C n  An  n

Như vậy nghiệm của hệ (1.24) được tìm theo công thức:
Ai  i  d i
Bi

i  1, 2, ..., n  1
 i 1  C  A ;  i 1  C  A ;


i
i
i
i
i
i


B0
d
1  0
 1  C ;
C0
0


 x   i 1 x   ;
i  0,1, ..., n  1
i 1
i 1
 i

 n An  d n
xn 
C n  An  n


(1.26)

Công thức tìm nghiệm hệ (1.24) theo (1.26) gọi là công thức truy đuổi.
Xuất phát từ  1 ,  1 ta tính  2 ,  2 …cuối cùng có  n ,  n . Có x n ta tính tiếp
x n 1 , x n  2 , ..., x 0 . Khi tính nghiệm xuất phát từ x n bên phải nên còn gọi là

công thức truy đuổi phải.
1.6.3 Thuật toán truy đuổi trái
Bây giờ nếu ta tìm nghiệm của hệ (1.25) xuất phát từ cách đặt:
xi 1   i 1 xi   i 1

(1.27)

Trong đó  i 1 ,  i 1 sẽ được tìm từ điều kiện (1.27) là nghiệm của hệ (1.24)
Thay (1.27) vào (1.24) và sử dụng đẳng thức:
xi   i xi 1   i
 xi 1   i 1  i x i 1   i    i 1
 Ai xi 1  C i  i x i 1   i   Bi  i 1  i x i 1   i    i 1   d i  0

17
  Ai   i  i 1 Bi  C i  x i 1   i Bi  i 1  C i   Bi  i 1  d i   0

Đẳng thức trên đúng i  1, 2, ..., n  1 . Nên
Ai   i  i 1 Bi  C i   0

 i Bi  i 1  C i   Bi  i 1  d i  0

Từ hệ đó ta có công thức truy hồi:
i 

Ai
;
Ci  Bi  i 1

i 

Bi  i 1  d i
;
Ci  Bi  i 1

i  1, 2, ..., n  1

Để có các hệ số đó, ta cần xác định  n ,  n .
Do phương trình cuối cùng ta có:
An x n1  C n x n   d n

Hay xn 

An
d
x n1  n   n x n 1   n có dạng (1.27) suy ra:
Cn
Cn

n 

An
,
Cn

n 

dn
Cn

Để tính theo công thức ta cần có x0 . Ẩn x0 sẽ được tìm nhờ phương trình đầu
tiên.
 C 0 x 0  B0 x1   d 0

Lại theo (1.27) ta có: x1  1 x0  1 . Suy ra:
 C 0 x0  B0 1 x0  1   d 0  0
  C 0  B0 1  x 0   B0 1  d 0   0

x0 

B0   d 0
C 0  B0 1

Như vậy nghiệm của hệ (1.24) tìm được theo công thức:


18

i 

B i i 1  d i
Ai
; i 1, n  1
; i 
C i   i 1 B i
C i   i 1 B i

n 

An ;
d
n  n
Cn
Cn

(1.28)

xi 1   i 1 xi   i 1 ; i  1, n  1
x0 

B0 1  d 0
C 0   1 B0

Nhận xét:
+ Khi tìm nghiệm hệ (1.24) theo các công thức truy đuổi phải hoặc trái
trên máy tính điện tử, ta sẽ gặp sai số quy tròn, điều này có thể dẫn đến sự mất
ổn định của công thức nghiệm. Theo lý thuyết về sự ổn định đã chứng minh,
quá trình tính toán sẽ ổn định nếu các hệ số của hệ phương trình đại số tuyến
tính 3 đường chéo đang xét thỏa mãn các điều kiện:
Ai  0; Bi  0; C i  Ai  Bi
0

B0
A
 1; 0  0  1
C0
C0

và trong đó phải có ít nhất một bất đẳng thức chặt.
+ Ta thấy rằng để thực hiện thuật toán (ví dụ thuật toán truy đuổi phải),
ta cần thực hiện 2 bước lần lượt sau đây:
Bước 1 (Bước xuôi): xuất phát từ 1, 1 xác định tất cả các k , k , k  2,3,..., n
theo các công thức truy hồi (1.26)
Bước 2 (Bước ngược): xuất phát từ

xn

xác định tất cả các

xk , k  n  1, n  2,...,1 theo các công thức truy hồi (1.26).

19
Cả 2 bước đều thực hiện đơn giản bằng 1 vòng lặp do đó ta có độ phức
tạp tính toán của thuật toán là O(n). Thuật toán này sẽ được sử dụng để cài đặt
các thuật toán trong chương 2 của luận văn.
Các thuật toán truy đuổi có thể dễ ràng thực hiện trên các chương trình
được viết bởi các ngôn ngữ lập trình cơ bản. Kết quả mô tả thuật toán bằng
ngôn ngữ Matlab version 7.0 được đưa ra trong phần phụ lục.

Kết luận
Trong chương 1, luận văn đã trình bày lại lý thuyết cơ bản về phương
pháp sai phân và đặc biệt là kết quả giải số của các phương trình elliptic cấp
hai thông qua phương pháp thu gọn khối lượng tính toán qua thư viện chương
trình RC2009, trình bày mô hình của bài toán song điều hòa và phương pháp
phân rã chuyển bài toán song điều hòa về 2 bài toán elliptic cấp hai cùng lời
giải số của bài toán song điều hòa trên miền hình chữ nhật. Cuối chương 1
trình bày các kiến thức cơ bản về hệ tọa độ cực và kết quả biến đổi phương
trình song điều hòa trong hệ tọa độ đề các về dạng phương trình song điều
hòa trong hệ tọa độ cực, thuật toán giải hệ 3 đường chéo. Đây là các kết quả
quan trọng để luận văn trình bày các kết quả trong chương 2 và chương 3 của
luận văn.


20

Chương 2
Phương pháp giải trực tiếp nhanh phương
trình song điều hòa trên miền hình tròn
Nội dung chính của chương 2 sẽ trình bày các kết quả nghiên cứu một
phương pháp giải trực tiếp bài toán song điều hòa trên miền hình tròn bằng
phương pháp sử dụng phép biến đổi tọa độ cực và phân rã bài toán song điều

hòa về 2 bài toán vi phân cấp 2 sau đó sử dụng khai triển Fourier chuyển về
các phương trình vi phân, áp dụng các lược đồ sai phân chuyển các bài toán vi
phân về các hệ phương trình đại số tuyến tính và sử dụng thuật toán truy đuổi
để tìm nghiệm xấp xỉ. Các kết quả trình bày được tham khảo trong các tài liệu
[4, 5, 6, 7].
2.1 Đặt vấn đề
Bài toán song điều hòa là một bài toán biên được phát sinh từ một số
bài toán nghiên cứu ứng dụng trong cơ học chất rắn và cơ học chất lỏng.
Trong cơ học chất rắn; việc tìm kiếm sự dịch chuyển khi bẻ cong các tấm đàn
hồi liên quan đến việc giải phương trình song điều hòa. Trong cơ học chất
lỏng; phương trình dòng của dòng Stokes không thể nén được trong không
gian hai chiều cũng là lời giải cho một phương trình song điều hòa.
Bài toán song điều hòa (thuộc loại đầu tiên) trong một miền hai chiều

 có dạng:
2u(x, y )  f (x , y ), (x, y )  ,

u(x, y )  g (x, y ),
(x, y )  ,

 u

(x, y )  h(x, y ), (x, y )  .
 n

(2.1)


21
trong đó toán tử vi phân  là toán tử Laplace được xác định bởi

2
2

 2 và 2u  (u) . Theo lý thuyết về phương trình đạo hàm
2
x
y
riêng, việc rời rạc hóa trực tiếp phương trình song điều hòa (2.1) dẫn đến các
phương trình tuyến tính có điều kiện yếu. Do đó, hầu hết các phương pháp lặp
lại yêu cầu một lượng lớn các lần lặp để thu được một số lời giải thỏa mãn
điều kiện của bài toán. Để khắc phục các yếu điểm đó, một phương pháp phổ
biến để tránh việc giải các phương trình ma trận với điều kiện yếu là đưa ra
một biến phụ v(x, y)  u(x, y ) và để phân rã phương trình song điều hòa
(2.1) thành một hệ các phương trình Poisson như:

v(x , y )  f (x , y ), (x , y )  ,



 u(x , y )  v(x , y ), (x , y )  .

u(x, y )  g(x, y );

u
(x, y )  h(x, y ),(x , y )  .
n

(2.2)

(2.3)

Ta có thể dễ dàng thấy rằng trong cặp bài toán (2.2)-(2.3) có hai điều
kiện biên đối với u(x, y) , nhưng không có điều kiện biên đối với v(x, y) . Các
hàm u(x, y) và v(x, y) có mối ràng buộc ẩn qua các điều kiện biên, điều này
dẫn tới khó khăn chính của việc giải bài toán.
Trong tài liệu [8], các tác giả đã phát triển một phương pháp giải trực
tiếp nhanh dựa trên các hàm FFT đơn giản và hiệu quả cho các phương trình
song điều hòa trên một miền tròn bằng cách sử dụng hệ tọa độ cực. Tư tưởng
chính của phương pháp là phân rã phương trình song điều hòa thành một hệ
các bài toán điều hòa, sử dụng khai triển Fourier dưới dạng chặt cụt để suy ra
được một tập các phương trình suy biến, sau đó tiến hành giải những phương
trình suy biến đó bằng các rời rạc hóa bằng phương pháp sai phân hữu hạn với
độ chính xác cấp hai bằng cách sử dụng một lưới xuyên tâm có chuyển dịch
một nửa lưới ra xa gốc, điều này có thể xử lý tính suy biến tại gốc tọa độ một


22
cách dễ dàng mà không cần các điều kiện cực. Việc giải các hệ phương trình
sai phân dưới dạng hệ đại số tuyến tính được giải quyết bằng Định lý
Sherman-Morrison. Độ phức tạp tính toán của phương pháp này bao gồm các
phép toán số học nhị phân được đánh giá bằng O(MNlog2N) trên các điểm
lưới M  N .
2.2 Giới thiệu phương pháp
Chúng ta xét bài toán (2.1) trong miền tròn, không giảm tổng quát,
chúng ta sẽ xét khi miền là miền tròn đơn vị.





  (x , y )  R 2 , x 2  y 2  1

(2.4)

Do tính chất của miền đang xét là miền tròn, chúng ta sẽ áp dụng phép
biến đổi tọa độ cực x  r cos , y  r sin  cho các phương trình đang
xét. Để đơn giản, chúng ta vẫn sử dụng các ký hiệu tương tự để đại diện cho
các hàm cả trong hệ tọa độ Đề các và hệ tọa độ cực. Xuất phát từ phép biến
đổi chuyển từ hệ tọa độ Đề các và hệ tọa độ cực trong chương 1, qua phương
pháp phân rã, hệ phân rã của phương trình song điều hòa đối với các hàm

u(r, ) và v(r, ) được viết dưới dạng như sau:
 2u 1 u
1 2u


 v(r, ), 0  r  1, 0    2,
r 2 r r r 2  2

(2.5)

 2v 1 v
1  2v

 2
 f (r, ), 0  r  1, 0    2,
2
2
r


r
r
r 

(2.6)

u(1, )  g();

u
(1, )  h().
r

(2.7)

Để giải hệ phương trình (2.5)-(2.6) với hệ điều kiện (2.7), người ta có
thể sử dụng các phương pháp bao gồm phương pháp phổ, phương pháp
phương trình tích phân và phương pháp phổ sai phân. Sau đây chúng ta sẽ xét
phương pháp trực tiếp nhanh.