Một tiếp cận có tính kiến tạo để khắc phục khó khăn của học sinh trong giải phương trình bậc nhất một ẩn

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GÒN
SAIGON UNIVERSITY
TẠP CHÍ KHOA HỌC
SCIENTIFIC JOURNAL
ĐẠI HỌC SÀI GÒN
OF SAIGON UNIVERSITY
Số 62 (02/2019)
No. 62 (02/2019)
Email: ; Website:

MỘT TIẾP CẬN CÓ TÍNH KIẾN TẠO ĐỂ KHẮC PHỤC KHÓ KHĂN
CỦA HỌC SINH TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN
A constructivist approach to teaching the concept of linear equality
ThS. Đỗ Thị Diên(1), TS. Phạm Sỹ Nam(2)
Trường Đại học Sài Gòn

(1),(2)

Tóm tắt
Khi dạy phương trình bậc nhất, đa số các giáo viên đưa ra phương trình, sau đó nêu quy tắc và phương
pháp giải. Chính vì thế học sinh khó khăn trong việc xây dựng kiến thức và kết nối kiến thức với thực
tiễn. Bài viết này nêu một số khó khăn mà học sinh gặp phải trong quá trình giải phương trình, đồng
thời bằng tiếp cận có tính kiến tạo, nghiên cứu này thiết kế các nhiệm vụ toán học hỗ trợ học sinh trong
việc kiến tạo khái niệm và cách giải phương trình bậc nhất một ẩn. Kết quả nghiên cứu cho thấy, việc
thực hiện cho phép học sinh hình thành các giả thuyết, kiểm nghiệm, bác bỏ những quan niệm sai và
xây dựng kiến thức về phương trình bậc nhất một cách dễ dàng hơn
Từ khóa: Bài toán có liên quan tới thực tiễn, lý thuyết kiến tạo, phương trình bậc nhất.
Abstract
When teach linear equation, most teachers give the equation followed by rules and solutions, which
causes students to have difficulty in building knowledge and connecting knowledge with reality. This
article addresses some of the difficulties that students face in solving math equations, and by using a

constructivist approach, this study used mathematical tasks that support students in constructing the
concept and solving of linear equation. The results show that experimentation enables students to form
and verify hypotheses, reject the wrong ones and construct the knowledge about linear inequality in an
easier way.
Key words: Mathematical problems related to real life, constructivism, linear equation.

việc dạy học kiến thức này chưa được coi
trọng đúng mức để người học xây dựng
được kiến thức và hiểu bản chất về kiến
thức. Ngay từ tiểu học, học sinh đã làm các
bài tập ngầm ẩn kiến thức về phương trình
như điền vào chỗ trống, do đó trong giảng
dạy khái niệm này giáo viên thường đưa ra
dạng phương trình, sau đó nêu quy tắc và
phương pháp giải.
Khái niệm phương trình bậc nhất một

1. Mở đầu
Nội dung phương trình bậc nhất một
ẩn là chủ đề cốt lõi, quan trọng trong
chương trình trung học cơ sở (THCS), Bởi
đây là kiến thức được sử dụng trong việc
xây dựng kiến thức sau này, là nội dung có
nhiều cơ hội kết nối Toán học với thực tiễn
cuộc sống, là nền tảng toán học cho các
hoạt động trong giáo dục STEM và tạo cơ
hội cho việc giáo dục tài chính. Tuy nhiên,
Email:

68

ĐỖ THỊ DIÊN - PHẠM SỸ NAM

TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC SÀI GÒN

ẩn là khái niệm toán học trừu tượng đối với
học sinh. Khi trình bày về khái niệm này,
sách giáo khoa lớp 8 có viết “Ở lớp dưới, ta
đã gặp các bài toán như: Tìm x, biết
2 x  5  3( x  1)  2. Trong bài toán đó, ta gọi
hệ thức 2 x  5  3( x  1)  2 là một phương
trình với ẩn số x (hay ẩn x).” [2, tr 5.] Sau
đó, sách giáo khoa trình bày định nghĩa
phương trình bậc nhất một ẩn là phương
trình có dạng ax + b = 0, phương pháp giải
và nêu thêm hai quy tắc đó là: quy tắc
chuyển vế và quy tắc nhân với một số.
Với các bước trình bày như trên, khi
học tập, học sinh gặp một số khó khăn:
+ Học sinh bị áp đặt tiếp nhận khái
niệm phương trình ẩn x.
+ Các ký hiệu a, b đưa ra ngay từ đầu
gây khó hiểu cho học sinh.
+ Cách giải phương trình mà sách
giáo khoa đưa ra dựa trên hai quy tắc: quy
tắc chuyển vế và quy tắc nhân với một số.
Hai quy tắc này thực sự khó hiểu đối với
học sinh, với cách trình bày này thì giáo
viên thường áp đặt các quy tắc và áp dụng

chúng. Điều này không tạo được cơ hội
cho học sinh tự trải nghiệm và kiến tạo
kiến thức cho bản thân. Hơn nữa, các em
đã được học quy tắc tìm số hạng, số trừ,
số bị trừ, thừa số; thêm hai quy tắc chuyển
vế và quy tắc nhân với một số, các em bị
lẫn lộn khi nào thì dùng các quy tắc này,
vì áp dụng cả hai quy tắc cùng lúc nên
nhiều em dẫn tới sai lầm mà không hiểu vì
sao lại sai.
Trong bài viết này, chúng tôi tập trung
nghiên cứu các khó khăn của học sinh và
trả lời câu hỏi: Trên cơ sở của lý thuyết
kiến tạo, cần xây dựng các hoạt động học
tập như thế nào để hỗ trợ học sinh xây
dựng khái niệm, cách giải phương trình
bậc nhất?

2. Nội dung nghiên cứu
2.1. Cơ sở lý luận
Theo quan điểm của lý thuyết kiến tạo
thì học sinh phải là chủ thể tích cực xây
dựng kiến thức cho bản thân mình chứ
không phải chỉ thu nhận một cách thụ động
từ môi trường bên ngoài. Điều quan trọng
nhất là trong quá trình xây dựng kiến thức
cho bản thân, học sinh cần dựa trên những
kiến thức hoặc kinh nghiệm đã có từ trước.
Trong quá trình này, học sinh vận dụng
những kiến thức đã có để giải quyết một

tình huống mới nảy sinh và sắp xếp kiến
thức mới nhận được vào kiến thức hiện có.
Nghiên cứu về khó khăn trong học tập
môn Toán Tall [5, tr. 225] đã nêu những lý
do cho những khó khăn trong học tập của
học sinh nói chung như sau:
- Học các khái niệm cơ bản không
đầy đủ.
- Không được rèn luyện trong việc
chuyển đổi ngôn ngữ toán học (chuyển đổi
công thức - ký hiệu - hình vẽ - diễn đạt
bằng lời văn).
Nhận thức về những khó khăn mà học
sinh gặp phải trong bất kỳ chủ đề nào là
điều quan trọng đầu tiên cho các nghiên
cứu về học tập. Những nghiên cứu quan
trọng đó sẽ là cơ sở quan trọng cho việc sắp
xếp chương trình giảng dạy và hình thành
phương pháp giảng dạy [4].
Việc nghiên cứu khó khăn có ý nghĩa
trong dạy học. Dựa trên những khó khăn đã
nghiên cứu, nhà giáo dục thiết kế các hoạt
động học tập nhằm khắc phục khó khăn đó.
Các thiết kế hoạt động học tập trong bài
viết này được dựa theo quan điểm của các
nhà kiến tạo Theo Confrey [1]:
- Hoạt động của cá nhân không phải là
hoạt động thụ động mà là hoạt động tích
cực, tức là cá nhân hành động trên môi
69

SCIENTIFIC JOURNAL OF SAIGON UNIVERSITY

No. 62 (02/2019)

trường để xây dựng kiến thức.
- Quá trình xây dựng kiến thức là quá
trình phát triển, nó không phải quá trình
tĩnh mà là quá trình động.
- Kiến thức được hình thành thông qua
quá trình liên ảnh hưởng giữa việc học tập
trước đó và liên quan với việc học tập mới.
- Kiến thức không phải là một lời giải
thích của sự thật, mà như là sự hợp lý hóa kinh
nghiệm của cá nhân. Như vậy, mỗi cá nhân
xây dựng kiến thức ngay cả trong các tình
huống giống nhau, có thể không giống nhau.
Theo G.Polya: “việc học tập bắt đầu từ
hành động và sự thụ cảm, rồi từ đó đi đến
các từ và các khái niệm và phải kết thúc
bằng sự rèn luyện những đặc điểm mới mẻ
nào đó của tư chất trí tuệ” [3; 255]. Như
vậy trong dạy học cần tạo điều kiện cho
học sinh tự kiến tạo, tự khám phá kiến
thức. Tuy nhiên, để kiến tạo kiến thức
được thành công và đạt kết quả cao và
không mất quá nhiều thời gian thì việc
“khám phá” cần được đặt trong một môi
trường học tập với dụng ý sư phạm của

giáo viên. Vận dụng điều này trong dạy
học, chúng tôi yêu cầu học sinh chú ý vào
hình ảnh mà các em quan sát nhằm hình
thành ý tưởng về kiến thức được học.
2.2. Một số khó khăn của học sinh
trong học tập phương trình
Chúng tôi đã tiến hành khảo sát 150
học sinh tại 3 lớp tại trường THCS Mạch
Kiếm Hùng ở quận 5, 2 lớp tại trường
THCS Hậu Giang quận 6 và phỏng vấn các
giáo viên có kinh nghiệm dạy ở hai trường
này. Nội dung khảo sát, chúng tôi yêu cầu
học sinh viết những khó khăn trong quá
trình học tập kiến thức phương trình bậc
nhất một ẩn. Kết quả khảo sát cho thấy,
học sinh thường gặp những khó khăn chủ
yếu sau:

a. Khó khăn trong việc tiếp cận khái
niệm phương trình.
Học sinh gặp khó khăn trong việc hiểu
khái niệm phương trình, học sinh lạ lẫm
với biểu thức chứa ẩn. Một số học sinh khi
viết phương trình nhưng sử dụng nhiều dấu
bằng trong một biểu thức, điều này có
nguyên nhân là các em quen với bài toán
tính giá trị của biểu thức.
b. Khó khăn trong việc hiểu và vận
dụng quy tắc chuyển vế đổi dấu.
Học sinh gặp khó khăn trong việc hiểu

tại sao khi chuyển vế phải đổi dấu.
c. Học sinh gặp khó khăn khi tìm x
biết ax = b hoặc không giải thích được quá
trình thực hiện để dẫn đến kết quả. Một số
em do không hiểu nên đã thực hiện
x b  a .
d. Khó khăn trong việc xác định thứ tự
thực hiện phép toán.
e. Học sinh gặp khó khăn với các bài
toán khi biến đổi ẩn ở vế phải, ví dụ như
3  5x  4 .
f. Khó khăn trong việc giải bài toán liên
quan đến việc lập phương trình bậc nhất.
Đối với bài toán giải bằng cách lập
phương trình bậc nhất, học sinh gặp khó
khăn trong việc chuyển từ ngôn ngữ thông
thường sang phương trình toán học.
2.2.1. Thiết kế hoạt động nhằm hỗ trợ
học sinh giải quyết các khó khăn khi học
phương trình bậc nhất
Giáo viên cần tập trung vào tầm quan
trọng của các khái niệm chủ chốt, không
tập trung quá sâu vào các giai đoạn dạy học
chung chung hoặc miêu tả chung chung.
Chẳng hạn, trong dạy học phương trình
chúng tôi tập trung vào các hoạt động xuất
phát từ tình huống thực tiễn. Trên cơ sở đó,
tạo hoạt động để cho học sinh không cảm
thấy khó khăn, tiếp nhận khái niệm, được
70

ĐỖ THỊ DIÊN - PHẠM SỸ NAM

TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC SÀI GÒN

trải nghiệm và hình thành kiến thức.
Đối với việc giải phương trình: thông
qua các hoạt động làm rõ được trình tự của
việc giải phương trình, xây dựng các hoạt
động để học sinh tự hình thành được các
quy tắc khi giải, học sinh không cảm thấy
bị áp đặt – bớt gây khó khăn trong việc tiếp
thu kiến thức. Đồng thời giáo viên cần có
kế hoạch cho các hoạt động tiếp theo để
ứng phó với các câu trả lời sai của học
sinh. Cần có kế hoạch lâu dài để phát triển
hiểu biết sâu sắc của học sinh về kiến thức
bài, giáo viên cần đưa ra các ví dụ cụ thể,
quen thuộc và dễ hiểu giúp học sinh hiểu
kiến thức về phương trình bậc nhất một ẩn.
Ý tưởng thiết kế
Ý tưởng thiết kế của chúng tôi khi dạy
khái niệm là: đầu tiên, tạo các hoạt động để
từ thực tiễn cuộc sống quen thuộc với học
sinh hoặc từ hình vẽ để có được trực giác
về kiến thức cần dạy, sau đó tiến hành các
hoạt động nhằm giúp học sinh dần dần hiểu
chính xác kiến thức cần dạy. Trong quá
trình thực hiện hoạt động trên, học sinh có

được những ý tưởng nhất định liên quan
đến khái niệm nên những câu hỏi chúng tôi
đặt ra có kết thúc mở nhằm tạo cơ hội cho
các em đề xuất ý tưởng.
Hoạt động 1 nhằm giúp học sinh khắc
phục khó khăn trong việc tiếp thu khái
niệm phương trình bậc nhất một ẩn. Thông
qua một tình huống quen thuộc trong cuộc
sống để từ đó hình thành nên ví dụ cụ thể
về phương trình. Kết quả của hoạt động 1
tạo hình ảnh trực quan và làm cơ sở cho
việc kiến tạo định nghĩa phương trình.
Hoạt động 2 nhằm giúp học sinh khắc
phục khó khăn trong việc hình thành các
bước giải phương trình. Thông qua các
hình ảnh trực quan để học sinh hình thành
nên quy tắc chuyển vế, quy tắc nhân với

một số.
Hoạt động 3 nhằm giúp học sinh tháo
gỡ khó khăn trong giải các bài toán thực tế,
vận dụng các trải nghiệm đã có để giải
quyết các tình huống thực tiễn, luyện tập,
củng cố kiến thức về cách xây dựng
phương trình và cách giải.
Thiết kế các nhiệm vụ toán học
Điều quan trọng là chọn được nhiệm
vụ và các hoạt động toán học phù hợp với
học sinh, muốn vậy việc thiết kế phải đạt
các yêu cầu: nhiệm vụ đưa ra phải kích

thích được sự tích cực tư duy của học sinh,
nhiệm vụ cần kết nối được kiến thức và
kinh nghiệm đã có của học sinh.
Nhằm đảm bảo các yêu cầu trên,
chúng tôi thiết kế các hoạt động dưới đây.
Phiếu học tập số 1
Bài toán: Bảo mang theo một số tiền
đi nhà sách, nếu mua hết số tiền mình có,
em có những cách lựa chọn đồ như sau:
Cách 1: nếu mua 1 hộp bút giá 30 ngàn
đồng thì mua được x cuốn tập loại 9 ngàn 1 cuốn.
Cách 2: nếu mua 1 hộp bút giá 50 ngàn
đồng thì mua được x cuốn tập loại 7 ngàn 1 cuốn.
Cách 3: nếu mua 1 hộp bút giá 57 ngàn thì
mua được x  3 cuốn tập loại 9 ngàn 1 cuốn.
Câu hỏi 1: Tính số tiền Bảo phải trả
nếu chọn cách 1 theo x.
Câu hỏi 2: Tính số tiền Bảo phải trả
nếu chọn cách 2 theo x.
Câu hỏi 3: Tính số tiền Bảo phải trả
nếu chọn cách 3 theo x.
Câu hỏi 4: So sánh số tiền Bảo phải
trả trong cách thứ 1 và cách thứ 2.
Mục đích của câu hỏi 1, 2, 3 nhằm yêu
cầu học sinh xác định được tổng số tiền mà
Bảo phải trả theo x. Kết quả của việc tính
toán “ngầm ẩn” một sự tương ứng giữa giá
trị x với số tiền, về bản chất đây chính là sự
tương ứng hàm số. Chính điều này là lý do
71

SCIENTIFIC JOURNAL OF SAIGON UNIVERSITY

No. 62 (02/2019)

được hai phương trình 9 x  30 120 và
9( x  3)  57 120 (hoặc một số học sinh thiết
lập: 120  9 x  30 và 120  9( x  3)  57 ),
điều này giúp học sinh nhận ra được khái
niệm phương trình bậc nhất một cách tự
nhiên. Đồng thời để học sinh thấy rằng
“hình thức” của phương trình bậc nhất có
thể thay đổi, nhưng số ẩn và bậc của ẩn
không được thay đổi.
Ngoài ra hoạt động này giúp các em
nhận ra rằng, các em không thể thực hiện
phép chia 120 cho 9 trước. Trong bài toán
này nếu thực hiện phép chia trước điều gì
sẽ vô lý? Số tiền (120 ngàn) chia cho số
tiền một cuốn (9 ngàn) thì ra được số cuốn
tập có thể mua, như vậy không còn tiền để
mua hộp bút. Từ việc hiểu ý nghĩa của
phép toán, học sinh nhận thấy lỗi sai và
học sinh sẽ rút ra được kinh nghiệm cho
bản thân mình.
Để giúp học sinh hình thành được quy
tắc chuyển vế đổi dấu, chúng tôi tiến hành
hoạt động tiếp theo.
Phiếu học tập số 3

Hình vẽ sau vẽ hai trục số biểu thị giá
trị của x và x +5. Khi di chuyển đầu mút
thanh trượt trên trục x +5 đến một giá trị

để chúng ta có thể hiểu khái niệm phương
trình thông qua hàm số. Kết quả cũng
ngầm ẩn một vế của phương trình sau này.
Đồng thời là cơ hội để các em tập đọc
để phân tích đề, trải nghiệm việc chuyển từ
chữ viết sang ký hiệu toán học, giúp các
em làm quen dần với các bài toán thực tế
sau này. Các bài toán gắn với cuộc sống
luôn giúp học sinh hào hứng đi tìm lời giải
và đọc hiểu đề tốt.
Mục đích của câu hỏi 4 là nhằm yêu
cầu học sinh so sánh hai biểu thức. Kết quả
câu hỏi 4 cho học sinh một ví dụ cụ thể về
phương trình. Điều này giúp học sinh thấy
được sự xuất hiện bất phương trình một
cách tự nhiên, tránh được sự bỡ ngỡ cho
học sinh. Đồng thời kết quả so sánh cho
học sinh thấy được một phương trình có thể
xem như là so sánh giá trị của hai hàm số.
Sau khi học sinh kiến tạo được khái
niệm, chúng tôi phát phiếu học tập số 2
nhằm tạo cơ hội để học sinh trải nghiệm, từ
đó hình thành cách giải phương trình.
Phiếu học tập số 2
Bài toán: Với giả thiết như trong
phiếu học tập số 1, nếu số tiền Bảo có là

120 ngàn đồng. So sánh số tiền Bảo phải
trả trong 3 cách trên với 120 ngàn đồng.
Ở hoạt động này chúng tôi mong muốn
giúp học sinh hình thành được khái niệm
phương trình bậc nhất một ẩn. Khi thiết lập

cụ thể thì mũi tên biểu thị giá trị của x di
chuyển đến giá trị tương ứng.

a. Sử dụng phần mềm Geogebra, hãy di chuyển đầu mút thanh trượt x  5 và quan
sát giá trị của x tương ứng. Sau đó điền vào bảng dưới đây.
72


ĐỖ THỊ DIÊN - PHẠM SỸ NAM

x5

-2

TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC SÀI GÒN

-1

0

1

2

3

4

x
b. Cho biết cách xác định giá trị của x khi biết giá trị của x  5.
c. Khi các giá trị của x  5 di chuyển sao cho x  5  30 thì giá trị x di chuyển như
thế nào? Hoàn thành phần còn thiếu x  5  30  x...
d. Hoàn thành phần còn thiếu x  a  b  x...
Sở dĩ chúng tôi chọn cách tiếp cận trực
quan từ hai trục số biểu thị giá trị của x  5

tháo gỡ nhiều khó khăn khi giải phương
trình.
Chúng tôi tiến hành dự giờ của các
giáo viên khác khi dạy nội dung này, cuối
buổi học chúng tôi phát câu hỏi nhỏ cho
các bạn học sinh làm trong khoảng 15 phút
và thu thập các câu trả lời của học sinh.
Những giáo viên chúng tôi xin dự giờ đều
là những giáo viên có kinh nghiệm giảng
dạy trên 6 năm trong trường.
Sau những tiết dự giờ đó, chúng tôi
tiến hành lên lớp và trực tiếp dạy nội dung
này cho các lớp khác có mức học được
đánh giá là tương đương. Trong lúc dạy và
cuối buổi dạy chúng tôi cũng phát phiếu
học tập cho các em, sau đó thu lại để đánh
giá kết quả.
Chúng tôi coi những lớp dự giờ là

những lớp đối chứng (ĐC), những lớp chúng
tôi tiến hành dạy là lớp thực nghiệm (TN).

và x bởi chúng tôi muốn thông qua hình
ảnh trực quan để giúp học sinh thấy được
quy luật khi x  5 thay đổi sao cho

x  5  30 thì x cũng thay đổi và đồng
thời tạo hình ảnh để giúp học sinh nhận ra
được cần phải trừ cả hai vế cho 5 để có tập
giá trị x. Thông qua quá trình đó, nhằm
giúp học sinh nhận ra được cách tìm tập
nghiệm x  a  b được diễn đạt dưới dạng
đại số đó là cộng hai vế với –a. Từ đây,
nhằm giúp học sinh có thể tự hình thành
cho mình “quy tắc chuyển vế” một cách
trực quan.
Khi học sinh hiểu được quy tắc này,
khó khăn khi giải các phương trình có chứa
ẩn ở bên phải sẽ được tháo gỡ. Như vậy,
quy tắc chuyển vế đổi dấu đã giúp học sinh
Điểm

TN: Số HS (tỷ lệ %)

ĐC: Số HS (tỷ lệ %)

0

0 (0%)

0 (0%)

1

0 (0%)

0 (0%)

2

0 (0%)

0 (0%)

3

0 (0%)

0 (0%)

4

6 (4,55%)

9 (17,65%)

5

9 (6,82%)

12 (23,53%)

Lớp

73


SCIENTIFIC JOURNAL OF SAIGON UNIVERSITY

Điểm

No. 62 (02/2019)

TN: Số HS (tỷ lệ %)

ĐC: Số HS (tỷ lệ %)

6

6 (4,55%)

3 (5,88%)

7

30 (22,73%)

6 (11,76%)

8

36 (27,27%)

12 (23,53%)

9

30 (22,73%)

6 (11,76%)

10

15 (11,36%)

3 (5,88%)

Lớp

Từ kết quả đánh giá định lượng ở trên,
nhìn tổng thể ta thấy: kết quả học tập của
học sinh lớp thực nghiệm tốt hơn kết quả
học tập của học sinh lớp đối chứng. Như
vậy bước đầu có thể cho thấy việc hiểu bài
và vận dụng kiến thức ngay trên lớp của
lớp thực nghiệm tốt hơn lớp đối chứng.
Điều này bước đầu cho thấy: nếu vận dụng
được một số quan điểm của thuyết kiến tạo
để thiết kế các hoạt động trong dạy học

phương trình bậc nhất sẽ đem lại hiệu quả
trong quá trình dạy học.
3. Kết luận
Việc nghiên cứu các khó khăn của học
sinh, từ đó thiết kế các nhiệm vụ toán học
kết nối với thực tiễn trên cơ sở vận dụng
thuyết kiến tạo sẽ tạo cơ hội cho học sinh
khám phá toán học. Học sinh được thực
hành nhiều hơn và có cơ hội thể hiện suy
nghĩ của bản thân, từ đó có những dự đoán
đúng về đặc điểm kiến thức cần lĩnh hội.
Bên cạnh đó cũng có những học sinh đưa
ra kết quả không được như mong đợi,
nhưng đây là cơ hội để giáo viên đưa ra các
hoạt động nhằm giúp học sinh hình thành
được kiến thức đúng, tránh việc hiểu sai
kiến thức.
Ngày nhận bài: 10/10/2018

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Confrey, J. (1991). Learning to listen: A
students’ understanding of powers of ten, In
E. Von Glasersfeld (Ed.) Radical
constructivism in Mathematics Education.
Dordrecht, The Netherlands: Kluwer
Academic Publishers, pp. 111-138.
2. Bộ giáo dục và đào tạo. (2016). Toán 8 –
tập. Nxb Giáo dục Việt Nam.
3. G. Polya. (2010). Sáng tạo toán học. Nxb
Giáo dục Việt Nam.

4. Rasmussen, C. L. (1998). Reform in
differential equations: a case study of
students’ understandings and difficulties.
The Annual Meeting of American
Educational Research Association, San
Diego,
CA.
Available
at
/>ata/ericdocs2sql/content_stroge_01/000001
9b/80/15/8e/cb.pdf
(Retrieved
12
September 2009).
5. Tall, D. O. & Razali, M. R. (1993).
Diagnosing students’ difficulties in learning
mathematics. International Journal of
Mathematical Education in Science and
Technology, 24(2), 209–222.

Biên tập xong: 15/02/2019

74

Duyệt đăng: 20/02/2019