CÂU hỏi CHỨA đáp án CHUYÊN đề 23 (DẠNG 1 2 3)

Dạng 1. Xác định VTCP

Câu 1.

Câu 2.

Câu 3.

�x  2  t
�
d : �y  1  2t
�z  3  t
�

(Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gian Oxyz , đường thẳng
một vectơ chỉ phương là:
ur
uu
r
uu
r
uu
r
u1   1; 2;3
u3   2;1;3
u4   1; 2;1
u2   2;1;1
A.
B.
C.
D.

Lời giải
Chọn C
�x  2  t
�
d : �y  1  2t
uu
r
�z  3  t
u4   1; 2;1
�
có một vectơ chỉ phương là
.

có

x 1 y  3 z  2
d:


Oxyz
2
5
3 .
(Mã 102 - BGD - 2019) Trong không gian
, cho đường thẳng
Vectơ nào dưới đây là vectơ chỉ phương của đường thẳng d
r
r
r
r

u   1;3;  2 
u   2;5;3
u   2;  5;3
u   1;3; 2 
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn C
r
u
  2;  5;3
Dựa vào phương trình đường thẳng suy ra một vectơ chỉ phương của d là

(MĐ 104 BGD&DT NĂM 2017) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hai điểm
A  1;1; 0 
B 0;1; 2 
và 
. Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB .
r
r
r
r
a   1; 0; 2 
c   1; 2; 2 

d   1;1; 2 
b   1;0; 2 
A.
B.
C.
D.
Lời giải.
Chọn C
uuu
r
r
AB   1; 0; 2 
b   1; 0; 2 
AB
Ta có
suy ra đường thẳng
có VTCP là
.

Câu 4.

(Mã đề 102 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gian

Oxyz , đường thẳng

x  3 y 1 z  5


1
1

2 có một vectơ chỉ phương là
ur
uu
r
uu
r
uu
r
u1   3;  1;5 
u4   1;  1; 2 
u2   3;1;5 
u3   1;  1;  2 
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn B
x  3 y 1 z  5
uu
r
d:


u4   1;  1; 2 
1

1
2
Đường thẳng

có một vectơ chỉ phương là
.
d:

Câu 5.

(Mã 103 - BGD - 2019) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng
Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của d ?
uu
r
uu
r
ur
u4   1;3; 2  .
u3   2;1;3 .
u1   2;1; 2  .
A.
B.
C.

d:

D.

x  2 y 1 z  3


.
1
3

2

uu
r
u2   1;  3; 2  .

Trang 1/49 - Mã đề 115


Lời giải
Chọn D
Đường thẳng
Câu 6.

d:

x  2 y 1 z  3
uu
r


u
1
3
2 có một vectơ chỉ phương là 2   1;  3; 2  .

(ĐỀ THAM KHẢO BGD & ĐT 2018) Trong không gian
d:

A.

Oxyz, cho

x- 2 y- 1 z
=
= .
- 1
2
1 Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là

r
u4 = ( - 1;2;0)

B.

uur
u2 = ( 2;1;0)

r
u3 = ( 2;1;1)

C.
Lời giải

D.

đường thẳng

r
u1 = ( - 1;2;1)

Chọn D
Câu 7.

(Mã đề 104 - BGD - 2019)

Trong không gian

Oxyz

cho đường thẳng

x  3 y 1 z  5


1
2
3 . Vectơ nào sau đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d ?
uu
r
uu
r
uu
r
ur
u

(1;

2;3)

u

(2;6;

4)
u

(

2;

4;6)
u
A. 2
B. 3
.
C. 4
. D. 1  (3; 1;5) .
d:

Lời giải
Chọn A

uu
r
u
Ta thấy đường thẳng d có một vectơ chỉ phương có tọa độ 2  (1; 2;3) .
Câu 8.

(Mã đề 101 - BGD - 2019) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng

Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của d ?
r
r
r
A. u4  (1; 2; 3) .
B. u3  ( 1; 2;1) .
C. u1  (2;1; 3) .

d:

x  2 y 1 z  3


1
2
1 .

r
D. u2  (2;1;1) .

Lời giải
Chọn B

r
Một vectơ chỉ phương của d là: u  (1; 2;1) .
Câu 9.

(ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2018-2019) Trong không gian Oxyz , đường thẳng
x 1 y  2 z  3



2
1
2 đi qua điểm nào dưới đây?
Q  2; 1; 2 
M  1; 2; 3
P  1; 2;3 
A.
B.
C.
Lời giải
Chọn C
d:

Câu 10.

D.

N  2;1; 2 

M  1; 2;3
(MĐ 104 BGD&DT NĂM 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm
.
Gọi M 1 , M 2 lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên các trục Ox , Oy . Vectơ nào dưới
đây là một véctơ chỉ phương của đường thẳng M 1M 2 ?
uu
r
ur
uu
r

uu
r
u4   1; 2;0 
u1   0; 2;0 
u2   1; 2;0 
u3   1;0;0 
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn A
M 1 là hình chiếu của M lên trục Ox � M 1  1; 0;0  .

Trang 2/49 - Mã đề 115


M 2 là hình chiếu của M lên trục Oy � M 2  0; 2;0  .
uuuuuur
M M   1; 2;0 
Khi đó: 1 2
là một vectơ chỉ phương của M 1M 2 .
Câu 11.

[2H3-3.1-1] (HỌC MÃI NĂM 2018-2019-LẦN 02) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ,
cho đường thẳng
phương
của d ?
ur
u  1; 2;3

A. 1 
.

d:

x y 4 z 3


1
2
3 . Hỏi trong các vectơ sau, đâu không phải là vectơ chỉ
B.

uu
r
u2   3; 6; 9 

uu
r
u3   1; 2; 3

.
C.
Lời giải

.

D.

uu

r
u4   2; 4;3

.

ur
u
1   1; 2;3 
d
Ta
.
uu
r có một
ur vectơ
uu
r chỉ
ur phương của ulà
u
r uu
r
u2  3u1 u3  u1 �
d
3
,
các vectơ u2 ,uuu
r cũng là vectơ chỉ phương của .
uu
r
uu
r

u  2; 4;3
Không tồn tại số k để u4  k .u1 nên 4 
không phải là vectơ chỉ phương của d .

Câu 12.

[2H3-3.1-1] (SỞ GD&ĐT BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không gian với
r
u   2;1;1
Oxyz
hệ tọa độ
, đường thẳng nào sau đây nhận
là một vectơ chỉ phương?
x- 2 y- 1 z- 1
x y- 1 z- 2
=
=
=
=
2
3
1
- 1
A. 1
B. 2

x - 1 y +1
z
x + 2 y +1 z +1
=

=
=
=
- 1
- 1 D. 2
- 1
1
C. - 2
Lời giải
Chọn C
Xét đường thẳng được cho ở câu C, có một vectơ chỉ phương là
bài).
Câu 13.

[2H3-3.1-1] (CHUYEN PHAN BỘI CHÂU NGHỆ AN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Trong
không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho đường thẳng
r
u  a; 2; b 

d:

x 1 y  2 z 1


2
1
2 nhận véc tơ

A. 8 .

làm véc tơ chỉ phương. Tính a  b .
B. 8 .

r
u  a; 2; b 

�a  4
a 2 b
  ��
r
r
b4
�
làm véc tơ chỉ phương của d suy ra u và v cùng phương nên 2 1 2

C. 4 .
Lời giải
r
v
2;1; 2 
Đường thẳng d có một véc tơ chỉ phương là 
.

Câu 14.

 2; 1; 1    2;1;1 (thỏa đề

D. 4 .

[2H3-3.1-1] (THPT LÊ QUÝ ĐÔN ĐÀ NẴNG NĂM 2018-2019) Trong không gian Oxyz ,

tọa độ nào sau đây là tọa độ của một véctơ chỉ phương của đường thẳng
�x  2  4t
�
 : �y  1  6t ,  t �� ?
� z  9t
�

Trang 3/49 - Mã đề 115


�1 1 3 �
�; ; �
A. �3 2 4 �.

�1 1 3 �
�; ; �
2;1; 0 
B. �3 2 4 �.
C. 
.
Lời giải

D.

 4;  6; 0  .

r
�1 1 3 �
u   4;  6;9   12 � ; ; �
.

�3 2 4 �
Cách 1: Từ phương trình  suy ra véctơ chỉ phương của  là

Câu 15.

[2H3-3.1-1] (ĐỀ THI THỬ VTED 02 NĂM HỌC 2018 - 2019) Trong không gian Oxyz ,
d:

đường thẳng
ur
u1   1; 2;3
A.

x 1 y  2 z  3


2
1
2 có một vectơ chỉ phương là
uu
r
uu
r
u2   2;1; 2 
u3   2; 1; 2 
B.
C.

D.

uu
r
u4   1; 2; 3 

Lời giải
uu
r
u
  2; 1; 2 
Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là 3
.
Câu 16.

[2H3-3.1-1] (CHUYÊN KHTN LẦN 2 NĂM 2018-2019) Vectơ nào sau đây là một vectơ chỉ
x  2 y 1 z  3


2
1
phương của đường thẳng 3
2;1; 3
3; 2;1
3; 2;1
2;1;3
A. 
.
B. 
.
C. 
.

D. 
.
Lời giải
r
ur
u   3; 2; 1  1 3; 2;1
u1   3; 2;1
Vectơ chỉ phương của đường thẳng là
nên
cũng là
một vectơ chỉ phương của đường thẳng.

Câu 17.

[2H3-3.1-1] (CHUYÊN THÁI BÌNH NĂM 2018-2019 LẦN 03) Trong không gian với hệ tọa

d :

x 1 y  3 z  7


2
4
1 nhận vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ

độ Oxyz , đường thẳng
phương?
 2; 4;1 .
 2;4;1 .
A.

B.

 1; 4;2 .

C.
Lời giải

D.

Từ phương trình chính tắc của đường thẳng d ta có vectơ chỉ phương là
Câu 18.

 2; 4;1 .

r
u d   2; 4;1

.

[2H3-3.1-1] (ĐỀ THI CÔNG BẰNG KHTN LẦN 02 NĂM 2018-2019) Trong không gian
�x  1  t
�
�y  4
�
Oxyz véc tơ nào dưới đây là một véc tơ chỉ phương của đường thẳng d : �z  3  2t ,
r
r
r
r
u


(1;
4;3)
u

(1;
4;

2)
u

(1;
0;

2)
u
A.
.
B.
.
C.
.
D.  (1; 0; 2) .
Lời giải
d
Từ phương trình tham số của đường thẳng , ta suy ra một véc tơ chỉ phương của đường thẳng
r
u
d là  (1;0; 2) .

Trang 4/49 - Mã đề 115


Dạng 2. Xác định phương trình đường thẳng
Dạng 2.1 Xác định phương trình đường thẳng cơ bản
Câu 19.

(ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2017) Trong không gian tọa độ Oxyz , phương trình
�x  1  2t
�
d : �y  3t
?
�z  2  t
�
nào dưới đây là phương trình chính tắc của đường thẳng
x 1 y z  2
x 1 y z  2
x 1 y z  2
x 1 y z  2
 
 
 
 
3
1
3
2
3
2
3

1
A. 2
B. 1
C. 2
D. 2
Lời giải
Chọn D

Do đường thẳng

�x  1  2t
�
d : �y  3t
�z  2  t
�

r
đi qua điểm M (1;0; 2) và có véc tơ chỉ phương u (2;3;1) nên

x 1 y z  2
 
.
3
1
có phương trình chính tắc là 2
Câu 20.

[2H3-3.2-1] (ĐỀ 15 LOVE BOOK NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ,
M  1;  2; 1 N  0;1; 3
cho hai điểm

,
. Phương trình đường thẳng qua hai điểm M , N là
x 1 y  2 z 1
x 1 y  3 z  2





1
3
2
1

2
1 .
A.
. B.
x y 1 z  3
x y 1 z  3




3
2 . D. 1
2
1 .
C. 1

Lời giải
uuuu
r
MN   1; 3; 2 

.

Đường thẳng MN qua N nhận
x y 1 z  3


1
3
2 .
Câu 21.

uuuu
r
MN   1; 3; 2 

làm vectơ chỉ phương có phương trình

[2H3-3.2-1] (CHUYEN PHAN BỘI CHÂU NGHỆ AN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Trong
không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , phương trình tham số trục Oz là

A. z  0 .

�x  0
�
�y  t

�z  0
B. �
.

Trục Oz đi qua gốc tọa độ

O  0;0;0 

�x  t
�
�y  0
�z  0
C. �
.
Lời giải
và nhận vectơ đơn vị

�x  0
�
�y  0
�z  t
D. �
.
r
k   0; 0;1

làm vectơ chỉ phương

�x  0
�

�y  0
�z  t
nên có phương trình tham số �
.
Trang 5/49 - Mã đề 115


Câu 22.

[2H3-3.2-1] Trong không gian Oxyz, phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm
r
M  2;0; 1
a   2; 3;1
và có véctơ chỉ phương
là

A.

�x  4  2t
�
�y   6 .
�z  2  t
�

B.

�x  2  2t
�
�y   3t .
�z  1  t

�

�x  2  4t
�
�y   6t .
�z  1  2t
�

�x  2  2t
�
�y   3t .
�z  1  t
�

C.
D.
Lời giải
Theo lý thuyết về dường thẳng trong không gian Oxyz, ta có phương trình tham số của đường
r
M  x0 ; y0 ; z0 
a   a1 ; a2 ; a3 
thẳng đi qua điểm
và có véctơ chỉ phương
là

�x  x0  a1t
�
�y  y0  a2t ,  t �� .
�z  z  a t
� 0 3

Do đó, đáp án D đúng.
Câu 23.

[2H3-3.2-1] (THPT CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không
gian Oxyz , cho E (1;0; 2) và F (2;1; 5) . Phương trình đường thẳng EF là

x 1 y z  2
 
1
7
A. 3
x 1 y z  2
 
1
3
C. 1

x 1 y z  2
 
1
7
B. 3
x 1 y z  2
 
1
3
D. 1
Lời giải

Chọn B

uuur
Ta có: EF  (3;1; 7) . Đường thẳng

EF

đi qua điểm

E (1; 0; 2)

và có VTCP

x 1 y z  2
r uuur
 
u  EF  (3;1; 7) có phương trình: 3
1
7 .
Câu 24.

[2H3-1.1-1] (ĐỀ THI THỬ VTED 03 NĂM HỌC 2018 - 2019) Trong không gian Oxyz ,
Oy có phương trình là
trục y�
�x  t
�
�y  0
�z  0
A. �

�x  0

�
�y  t
�z  0
B. �

�x  0
�
�y  0
�z  t
C. �

�x  t
�
�y  0
�z  t
D. �

Lời giải
Chọn B
�x  0
�
�y  t
�
Oy là giao của mặt phẳng  Oxy  và  yOz  nên có phương trình là �z  0
Trục y�
Câu 25.

[2H3-3.2-1] Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng  đi qua điểm
r
a   4; 6; 2 

vectơ chỉ phương
.Phương trình tham số của  là

Trang 6/49 - Mã đề 115

M  2;0; 1

và có một


A.

�x  2  4t
�
�y  6t
�z  1  2t
�

.

B.

r
a   4; 6; 2   2  2; 3;1

�x  2  2t
�
�y  3t
�z  1  t
�

.

C.
Lời giải

\

Do đó đường thẳng  có một vectơ chỉ phương là

 đi qua
Câu 26.

M  2;0; 1

�x  4  2t
�
�y  6
�z  2  t
�

r
u   2; 3;1

và có một vectơ chỉ phương là

.

D.

�x  2  2t
�
�y  3t
�z  1  t
�

.

. Vậy phương trình tham số của

r
u   2; 3;1

là:

�x  2  2t
�
�y  3t
�z  1  t
�

.

[2H3-3.2-2] (THPT YÊN PHONG 1 BẮC NINH NĂM HỌC 2018-2019 LẦN 2) Trong

P  1;1; 1
Q  2;3; 2 
không gian Oxyz , viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm
và
x 1 y 1 z  1

x 1 y 1 z 1




3
2 . B. 1
2
3 .
A. 2

x 1 y  2 z  3
x2 y3 z 2




1
1 . D. 1
2
3 .
C. 1
Lời giải
uuur
PQ   1; 2;3
P, Q
Ta có
. Gọi d là đường thẳng
qua
r đi

uuu
r hai điểm
u d  PQ   1; 2;3
Khi đó d có một vec tơ chỉ phương là
x 1 y 1 z 1
d:


P
1;1;

1


1
2
3 .
Phương trình đường thẳng d đi qua điểm
là
Câu 27.

[2H3-5.2-2] (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH LẦN 1 NĂM 2018-2019) Trong

A  1; 2;3
B  5; 4;  1
không gian Oxyz , phương trình đường thẳng đi qua hai điểm
và
là
x  5 y  4 z 1
x 1 y  2 z  3





1
2 . B. 4
2
4 .
A. 2
x 1 y  2 z  3
x  3 y  3 z 1




2
4 . D. 2
1
2 .
C. 4
Lời giải
uuu
r
r
uuu
r
AB  4; 2; 4 
u  2; 1; 2 
AB
Ta có

. Suy ra
cùng phương với
.
r
B  5; 4;  1
u 2; 1; 2 
Phương trình đường thẳng AB đi qua
nhận 
làm vectơ chỉ phương là:
x  5 y  4 z 1


,  1
2
1
2
. Do đó loại A, C.
C  1; 2; 3
 1 nên phương án
Có tọa độ
không thỏa mãn phương trình
B.
D  3;3;1
 1 nên phương trình đường thẳng AB cũng
Lại có tọa độ
thỏa mãn phương trình
x  3 y  3 z 1


1

2 .
được viết là: 2

Trang 7/49 - Mã đề 115


Câu 28.

[2H3-3.2-2] (TT THANH TƯỜNG NGHỆ AN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Trong không gian
Oxyz , đường thẳng Oy có phương trình tham số là

A.

�x  t
�
�y  t  t ��
�z  t
�

.

B.

�x  0
�
�y  2  t  t ��
�z  0
�

. C.

Lời giải

�x  0
�
�y  0  t ��
�z  t
�

.

D.

�x  t
�
�y  0  t ��
�z  0
�

.

r
j   0; 1; 0 
A 0 ; 2 ; 0
Oy
Đường thẳng
đi qua điểm
và nhận vectơ đơn vị
làm vectơ chỉ
�x  0  0.t
�x  0

�
�
�y  2  1.t  t �� � �y  2  t  t ��
�z  0  0.t
�z  0
�
phương nên có phương trình tham số là �
.
Câu 29.

[2H3-3.2-3] (THPT AN LÃO HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Trong không gian

Oxyz có đường thẳng có phương trình tham số là
tắc của đường thẳng d là

�x  1  2t
�
(d ) : �y  2  t
�z  3  t
�

. Khi đó phương trình chính

x 1 y  2 z  3
x 1 y  2 z  3




1

1 B. 2
1
1
A. 2
x 1 y  2 z  3
x 1 y  2 z  3




1
1 D. 2
1
1
C. 2

Lời giải
Chọn A
Đường thẳng d đi qua điểm M (1; 2; 3) nhận véc tơ

r
u   2; 1;1

nên có phương trình dạng

x 1 y  2 z  3


1
1

chính tắc là 2

Dạng 2.2 Xác định phương trình đường thẳng khi biết yếu tố vuông góc
Câu 30.

(MÃ ĐỀ 123 BGD&DT NĂM 2017) Trong không gian với hệ tọa độ
nào dưới đây là phương trình của đường thẳng đi qua

A  2;3;0

Oxyz , phương trình

và vuông góc với mặt phẳng

 P  : x  3y  z  5  0?
�x  1 t
�
�y  1 3t
�z  1 t
A. �

�x  1 t
�
�y  3t
�z  1 t
B. �

Chọn B
Vectơ chỉ phương của đường thẳng là
tọa độ điểm

Trang 8/49 - Mã đề 115

A  2;3;0

�x  1 3t
�
�y  1 3t
�z  1 t
C. �
Lời giải
r
u   1;3; 1

�x  1 3t
�
�y  1 3t
�z  1 t
D. �

nên suy ra chỉ đáp án A hoặc B đúng. Thử

vào ta thấy đáp án B thỏa mãn


Câu 31.

A  1; 2;3
(Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gian Oxyz cho điểm
và đường

x  3 y 1 z  7


2
1
2 . Đường thẳng đi qua A , vuông góc với d và cắt trục Ox có
thẳng
phương trình là
d:

A.

�x  1  2t
�
�y  2t
�z  t
�

B.

�x  1  t
�
�y  2  2t
�z  3  3t
�

�x  1  2t
�
�y  2t
�z  3t

�

C.
Lời giải

D.

�x  1  t
�
�y  2  2t
�z  3  2t
�

Chọn C
Gọi  là đường thẳng cần tìm.

M  a; 0;0 
Gọi M   �Ox . Suy ra
.
uuuu
r
AM   a  1; 2; 3
.
uu
r
d có VTCP: ud   2;1; 2  .
uuuur uu
r
AM
.

u
d  0 � 2 a  2  2  6  0 � a  1 .
Vì   d nên
uuuu
r
M  1; 0; 0 
AM   2; 2; 3    2; 2;3 

Vậy qua
và có VTCP
nên  có phương trình:
�x  1  2t
�
�y  2t
�z  3t
�
.
Câu 32.

A ( 1;0; 2) , B ( 1; 2;1) , C ( 3; 2; 0)
(Mã 102 - BGD - 2019) Trong không gian Oxyz , cho các điểm

( BCD) có phương trình là
Đường thẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng
x = 1- t
x =1+ t
x = 2 +t
x =1- t
�
�

�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
.
.
�y = 4t
�y = 4
�y = 4 + 4t .
�y = 2 - 4t
�
�
�
�
�
�
�
�
z
=
2
+
2
t

z
=
2
+
2
t
z
=
4
+
2
t
�
�
�
�z = 2 - 2t
A. �
B. �
C. �
D. �
Lời giải
Chọn C
( BCD ) nhận vectơ pháp tuyến của ( BCD )
Đường thẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng
là vectơ chỉ phương
uuu
r
uuu
r
BC = ( 2; 0; - 1) , BD = ( 0; - 1; 2)

Ta có
uu
r uuuu
r
uuu
r uuu
r
� ud = nBCD = �
BC ; BD �
= ( - 1; - 4; - 2)
�
�
�
�
Khi đó ta loại đáp án A và B
�
�
1 = 2 +t
t =- 1
�
�
�
�
0 = 4 + 4t � �
t =- 1
�
�
�
�
�

A ( 1;0; 2)
2 = 4 + 2t �
t =- 1
�
�
Thay điểm
vào phương trình ở phương án C ta có �
.
Suy ra đường thẳng có phương trình tham số ở phương án C đi qua điểm A nên C là phương án
đúng
và

D ( 1;1;3) .

Trang 9/49 - Mã đề 115


Câu 33.

(ĐỀ THAM KHẢO BGD & ĐT 2018) Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng

d1 :

x3 y 3 z 2
x  5 y 1 z  2


d2 :



1
2
1 ;
3
2
1

và mặt phẳng

 P  : x  2 y  3z  5  0 .

 P  , cắt d1 và d2 có phương trình là
Đường thẳng vuông góc với
x 1 y 1 z
x  2 y  3 z 1




2
1
2
3
A. 3
B. 1
x 3 y 3 z 2
x 1 y 1 z





1
2
3
1
2
3
C.
D.
Lời giải
Chọn D
�x  3  t1
�x  5  3t2
�
�
d1 : �y  3  2t1
d 2 : �y  1  2t2
�z  2  t
�z  2  t
1
2
�
�
Phương trình
và
.
Gọi đường thẳng cần tìm là  .
d
d
Giả sử đường thẳng  cắt đường thẳng 1 và 2 lần lượt tại A , B .

A  3  t1 ;3  2t1; 2  t1  B  5  3t2 ; 1  2t2 ; 2  t2 
Gọi
,
.
uuu
r
AB   2  3t2  t1 ; 4  2t2  2t1 ; 4  t2  t1 
.
r
 P  là n   1; 2;3 .
Vectơ pháp tuyến của
2  3t2  t1 4  2t2  2t1 4  t2  t1
uuu
r


r
1
2
3
Do AB và n cùng phương nên
.
�2  3t2  t1 4  2t2  2t1

�
� 1
2
��
t 2
�

�4  2t2  2t1  4  t2  t1 � �1
A  1; 1;0  B  2; 1;3
t2  1
�
2
3
�
. Do đó
,
.
r
A  1; 1;0 
n   1; 2;3
Phương trình đường thẳng  đi qua
và có vectơ chỉ phương
là
x 1 y  1 z


1
2
3.
Câu 34.

(Mã

đề

101

-

BGD

-

2019)

Trong

không

gian

Oxyz , cho các điểm

A  1;2;0  , B  2;0;2  , C  2; 1;3 , D  1;1;3 . Đường thẳng đi qua C và vuông góc với mặt
ABD  có phương trình là
phẳng 

A.

�x  2  4t
�
�y  4  3t
�z  2  t
�

Chọn A

.

uuu
r
AB   1; 2;2 
uuur
AD   0; 1;3

Trang 10/49 - Mã đề 115

B.

�x  4  2t
�
�y  3  t
�z  1  3t
�

.

C.
Lời giải

�x  2  4t
�
�y  2  3t
�z  2  t
�

.

D.

�x  2  4t
�
�y  1  3t
�z  3  t
�

.


uuur uuur
AB �AD   4; 3; 1
C 2; 1;3 và vuông góc với mặt phẳng  ABD  có phương trình
Đường thẳng qua 
�x  2  4t
�
�y  1  3t
�z  3  t
�
E 2; 4;2  thuộc đường thẳng trên, suy ra đường thẳng cần tìm trùng với đường
Điểm 

thẳng có phương trình

�x  2  4t
�
�y  4  3t
�z  2  t

�

Chọn đáp án đúng là đáp án C
Câu 35.

A  2;  1;0  B  1; 2;1
(Mã đề 104 - BGD - 2019) Trong không gian Oxyz , cho các điểm
,
,
C  3;  2;0 

D  1;1;  3 

,
phương trình là:
�x  1  t
�
�y  1  t
�z  2  3t
A. �
.

. Đường thẳng đi qua D và vuông góc với mặt phẳng
�x  1  t
�
�y  1  t
�z  3  2t
B. �
.

�x  t
�
�y  t
�z  1  2t
C. �
.
Lời giải

 ABC 

có

�x  t
�
�y  t
�z  1  2t
D. �
.

Chọn C
uuu
r uuur
uuur
uuur
r
�
AB
AB   1;3;1 AC   1;  1;0  n ABC   �
� , AC �  1;1;  2  .
Ta có

;
;

 ABC  nên có véc tơ chỉ phương là
Đường thẳng đi qua D và vuông góc với mặt phẳng
r
n ABC    1;1; 2 
Câu 36.

, phương trình tham số là:

�x  1  t
�
�y  1  t
�z  3  2t
�

.

A  2;1;3
(Mã đề 102 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gian Oxyz , cho điểm
và đường
x 1 y 1 z  2


1
2
2 . Đường thẳng đi qua A , vuông góc với d và cắt trục Oy có
thẳng
phương trình là.

�x  2t
�x  2  2t
�x  2  2t
�x  2t
�
�
�
�
�y  3  4t
�y  3  3t
�y  1  t
�y  1  3t
�z  3t
�z  3  3t
�z  3  2t
�z  2t
A. �
B. �
C. �
D. �
Lời giải
Chọn A
Gọi đường thẳng cần tìm là 
d:

d:

x 1 y 1 z  2
r



1
2
2 có VTCP u   1;  2; 2  .
Trang 11/49 - Mã đề 115


uuuu
r
M  0; m;0  �Oy
AM   2; m  1;  3
Gọi
, ta có
uuuu
rr
� 2  2  m  1  6  0 � m  3
Do   d � AM .u  0
�x  2t
�
�y  3  4t
uuuu
r
�z  3t
AM   2;  4;  3
Ta có  có VTCP
nên có phương trình �
.
Câu 37.

A  0;0; 2  , B  2;1;0  , C  1; 2;  1

(Mã 103 - BGD - 2019) Trong không gian Oxyz cho
và

D  2; 0;  2 

 BCD 

. Đường thẳng đi qua A và vuông góc với
có phương trình là
�x  3
�x  3  3t
�x  3t
�x  3  3t
�
�
�
�
�y  2
�y  2  2t
�y  2t
�y  2  2t
�z  1  2t
�z  1  t
�z  2  t
�z  1  t
A. �
.
B. �
.
C. �

.
D. �
.
Lời giải
Chọn B

A và vuông góc với  BCD  .
Gọi d ulà
uurđường thẳng điuuqua
ur
BC   1;1;  1 ; BD   0; 1;  2 
Ta có
.
r
uuur uuur
�
n

BD , BC �
BCD


BCD

 có vec tơ pháp tuyến là
�
�  3; 2;  1 .
Mặt phẳng
r
d

u
Gọi d là vec tơ chỉ uphương
u
r r của đường thẳng .
d   BCD 
u  n BCD    3; 2;  1
Vì
nên d uu
.
r
u   3; 2;  1
Đáp A và C có VTCP d
nên loại B và
D.
A  0;0; 2 
Ta thấy điểm
thuộc đáp án C nên loại A.
Câu 38.

(ĐỀ MINH HỌA GBD&ĐT NĂM 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm
x 1 y z 1
 
1
2 . Viết phương trình đường thẳng
và đường thẳng d có phương trình: 1
 đi qua A , vuông góc và cắt d .
x 1 y z  2
x 1 y z  2
x 1 y z  2
x 1 y z  2

 


 
 
2
1
3
1
1
1
1
1
A. 2
B. 1
C. 1
D. 1

A  1; 0; 2 

Lời giải
Chọn D
Cách 1:
d:

x 1 y z 1
r
 
1
1

2 có véc tơ chỉ phương u   1;1; 2 

Đường thẳng
 P  là mặt phẳng qua điểm A và vuông góc với đường thẳng d , nên nhận véc tơ chỉ
Gọi

 P  :1 x  1  y  2  z  2   0 � x  y  2 z  5  0
phương của d là vecto pháp tuyến
 P  và đường thẳng d � B  1  t ;t ; 1  2t 
Gọi B là giao điểm của mặt phẳng
B � P  �  1  t   t  2  1  2t   5  0 � t  1 � B  2;1;1
Vì
Trang 12/49 - Mã đề 115


Ta có đường thẳng  đi qua A và nhận vecto
:

uuu
r
AB   1;1; 1

là véc tơ chỉ phương có dạng

x 1 y z  2
 
1
1
1 .

Cách 2:
d �  B � B  1  t ; t ; 1  2t 
Gọi
uuur
uu
r
AB   t; t ; 3  2t 
u
  1;1; 2 
, Đường thẳng d có VTCP là d
uuu
r uu
r
uuu
r uu
r
AB  ud � AB.ud  0 � t  t  2  3  2t   0 � t  1
d


Vì
nên
uuu
r
uuu
r
A
1;0;
2
AB   1;1; 1

AB
  1;1; 1


Suy ra
.Ta có đường thẳng  đi qua
và nhận véc tơ
là
véc tơ chỉ phương có dạng
Câu 39.

:

x 1 y z  2
 
1
1
1 .

(ĐỀ THAM KHẢO BGD & ĐT 2018) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm
8 4 8
A(2; 2;1), B(  ; ; )
3 3 3 . Đường thẳng qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác OAB và vuông góc

với mặt phẳng (OAB) có phương trình là:
2
2
5
x
y

z
9
9
9
1

2
2
A.
1
5
11
x
y
z
3
3
6
2
2
C. 1

x 1 y  8 z  4


2
2
B. 1
x 1 y  3 z 1



2
2
D. 1
Lời giải.

Chọn D

uuu
r uuur
�
OA
; OB �
�  4; 8;8 
Ta có: �

r

u   1; 2; 2 
Gọi d là đường thẳng thỏa mãn khi đó d có VTCP
Ta có OA  3, OB  4, AB  5 . Gọi I ( x; y; z ) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác OAB
uu
r
uur
uur r
OB
.
IA

OA

.
IB

AB
.
IO  0
Áp dụng hệ thức
uuu
r uur
uuu
r uur
uur r
uur 1 uuu
r uuu
r
� 4.(OA  OI )  3.(OB  OI )  5.IO  0 � OI 
4OA  3OB � I  0;1;1
12
�x  t
�
d : �y  1  2t
�z  1  2t
�
Suy ra
cho t  1 � d đi qua điểm M (1;3; 1)





r

Do đó d đi qua M (1;3; 1) có VTCP u  (1; 2; 2) nên đường thẳng có phương trình
x 1 y  3 z 1


1
2
2

Trang 13/49 - Mã đề 115


Câu 40.

(MĐ 103 BGD&ĐT NĂM 2017-2018) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng
x 1 y z  2


2
1
2 và mặt phẳng ( P) : x  y  z  1  0 . Đường thẳng nằm trong mặt phẳng
( P ) đồng thời cắt và vuông góc với d có phương trình là:
d:

A.

�x  1  t
�
�y  4t

�z  3t
�

B.

�x  3  t
�
�y  2  4t
�z  2  t
�

C.
Lời giải

�x  3  t
�
�y  2  4t
�z  2  3t
�

D.

�x  3  2t
�
�y  2  6t
�z  2  t
�

Chọn C
�x  1  2t

�
�y  t
�
d : �z  2  2t
Gọi  là đường thẳng nằm trong ( P) vuông góc với d .
uur uu
r uu
r
� (1;4;3)
u  �
u
;
n
d
P
�
�
Gọi A là giao điểm của d và ( P ) . Tọa độ A là nghiệm của phương trình:
(1  2t )  (  t)  (2  2 t)  1  0 � t  2 � A(3; 2; 2)

�x  3  t
�
�y  2  4t
uur
�z  2  3t
u  ( 1; 4;3)
Phương trình  qua A(3; 2; 2) có vtcp 
có dạng: �
Câu 41.

M  1;1;3
(MÃ ĐỀ 123 BGD&DT NĂM 2017) Trong không gian Oxyz cho điểm
và hai
x 1 y 3 z 1
x 1 y z


�
:
 
3
2
1 ,
1
3 2 . Phương trình nào dưới đây là
đường thẳng
phương trình đường thẳng đi qua M và vuông góc với  và �
.
:

A.

�x  1 t
�
�y  1 t
�z  1 3t
�

B.

�x  t
�
�y  1 t
�z  3  t
�

�x  1 t
�
�y  1 t
�z  3 t
�

C.
Lời giải

D.

�x  1 t
�
�y  1 t
�z  3 t
�

Chọn D

r
r
r r
u   3;2;1
v   1;3; 2 �

u , v�
�

,

�
�  7;7;7
+) VTCP của
lần lượt là
và
;
r
u
  1;1;1
d
�
+) Vì vuông góc với  và  nên d
.

M  1;1;3
+) d đi qua
nên

Câu 42.

�
x  1 t
�
d : �y  1 t
�

z  3 t
�

.

(Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gian Oxyz cho đường thẳng
x y 1 z 1


1
2
1 và mặt phẳng  P  : x  2 y z  3  0 . Đường thẳng nằm trong  P  đồng
thời cắt và vuông góc với  có phương trình là:
:

Trang 14/49 - Mã đề 115


A.

�x  1  2t
�
�y  1  t
�z  2
�

B.

�x  3
�

�y  t
�z  2t
�

C.
Lời giải

�x  1  t
�
�y  1  2t
�z  2  3t
�

D.

�x  1
�
�y  1  t
�z  2  2t
�

Chọn D

�x  t
�
x y  1 z  1 �  : �y  1  2t
: 

�z  1  t
�

1
2
1
Ta có
M   � P  � M � � M  t ; 2t  1; t  1
Gọi
M � P  � t  2  2t  1   t  1  3  0 � 4  4t  0 � t  1 � M  1;1; 2 
r
P
n   1; 2; 1

Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng
là r
u   1; 2;1
Véc tơ chỉ phương của đường thẳng  là
 P  đồng thời cắt và vuông góc với 
Đường thẳng d nằm trong mặt phẳng
1 r r
�
n, u �  0; 1; 2 
M  1;1; 2  �d
� Đường thẳng d nhận 2 � �
làm véc tơ chỉ phương và
�x  1
�
d : �y  1  t
�z  2  2t
�
� Phương trình đường thẳng
Câu 43.

(MÃ ĐỀ 123 BGD&DT NĂM 2017) Trong không gian với hệ tọa độ

Oxyz

, cho hai đường

�
x  1 3t
�
d1 : �y  2  t
x 1 y 2 z
�
d2 :


z

2
�
2
1 2 và mặt phẳng  P  :2x  2y  3z  0. Phương trình
thẳng
,

 P  , đồng thời vuông góc
nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua giao điểm của d1 và
với d2 ?
2x  y  2z  13  0
2x  y  2z  22  0

A.
B.
2x  y  2z  13  0 D. 2x  y  2z  22  0
C.
Lời giải:
Chọn C

 P  là A  4; 1;2
Tọa độ giao điểm của d1 và

r
u2  2; 1;2
A
Mặt phẳng cần tìm đi qua
và nhận
làm VTCP có phương trình
2x  y  2z  13  0.
Câu 44. [2H3-3.7-1] (THPT YÊN PHONG SỐ 1 BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong

   : x  y  2 z  1 . Trong các đường thẳng
không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng
sau, đường thẳng nào vuông góc với

 .

Trang 15/49 - Mã đề 115


A.

d1 :

x y 1 z


1
1
2.

B.

d2 :

x y 1 z
x y 1 z


d3 : 

1
1
1 . C.
1
1
1 . D.
Lời giải

Chọn A
Gọi VTCP của đường thẳng cần tìm là

r
a   a1; a2 ; a3 

với

a12  a22  a32  0
a

a

�x  2t
�
d 4 : �y  0
�z  t
�

.

a

r
r � 1 2  3
 � a

1 1 2
Đường thẳng vuông góc với
cùng phương n
Chọn a1  1 thì a2  1 và a3  2 .

Câu 45.

[2H3-3.2-2] (THCS - THPT NGUYỄN KHUYẾN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không
gian Oxyz , đường thẳng đi qua điểm
phương trình tham số là:
�x  1  t
�x  1
�
�
�y  1
�y  1
�z  1
�z  1  t
A. �
.
B. �
.
.

A  1;1;1

và vuông góc với mặt phẳng tọa độ
�x  1  t
�
�y  1
�z  1
C. �
.

Lời giải
Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng tọa độ

 Oxy 

nên nhận

 Oxy  có

�x  1  t
�
�y  1  t
�z  1
D. �
.
r
k   0;0;1

làm vectơ chỉ

A  1;1;1
phương. Mặt khác d đi qua
nên:
�x  1
�
�y  1
�
� Đường thẳng d có phương trình là: �z  1  t .
Câu 46.

[2H3-3.2-2] (ĐỀ 15 LOVE BOOK NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ trục Oxyz ,
cho điểm

M  1;  3; 2 

và mặt phẳng

 P  : x  3 y  2 z  1  0 . Tìm phương trình đường thẳng

d qua M và vuông góc với  P  .

x 1 y  3 z  2
x 1



3
2 . B. 1
A. 1
x y z
x 1



C. 1 3 2 .
D. 1
Chọn B

y3 z2

3
2 .

y 3 z 2

3
2 .
Lời giải

r
n   1;  3; 2 
có VTPT là
r .
n   1;  3; 2 
P
Vì d vuông góc với   nên d nhận
là VTCP.
x 1 y  3 z  2
r
n

1;

3;
2

 là VTCP có phương trình: 1  3  2 .
Đường thẳng d qua M và nhận
P
Mặt phẳng  

Trang 16/49 - Mã đề 115

Câu 47.

[2H3-5.6-2] (CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH ĐỒNG NAI NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong
không gian với hệ tọa độ Oxyz cho

d2 :

A ( 1; - 1; 3)

và hai đường thẳng

d1 :

x - 4 y +2 z - 1
=
=
,
1
4
-2

x - 2 y +1 z - 1
=
=
1
- 1
1 . Phương trình đường thẳng qua A , vuông góc với d1 và cắt d 2 là

x 1 y  1 z  3

x 1 y  1 z  3




1
3 . B. 4
1
4 .
A. 2
x 1 y  1 z  3
x 1 y 1 z  3




2
3 . D. 2
1
1 .
C. 1

Lời giải

K ( 2 + t ; - 1- t ; 1 + t )
Gọi d là đường thẳng qua A và d cắt d 2 tại K . Khi đó
.
uuu
r
AK = ( 1 + t; - t ; t - 2)

Ta có
.
uuu
r ur
r
u1 = ( 1; 4; - 2)
AK
^
d
�
AK
.
u
=
0
1
1
Đường
, với
là một vectơ chỉ phương của d1 .
uuur
AK = ( 2; - 1; - 1)
1
+
t
4
t
2
t
+

4
=
0
�
t
=
1
Do đó
, suy ra
.
x - 1 y +1 z - 3
d:
=
=
2
- 1
- 1 .
Vậy phương trình đường thẳng
Câu 48.

[2H3-3.2-2] (SỞ GD&ĐT THANH HÓA NĂM 2018 - 2019) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz , cho điểm

A  1;0; 2 

và đường thẳng

vuông góc và cắt d có phương trình là
x  2 y 1 z 1
:



1
1
1 .
A.

d:

x 1 y z  1
 
1
1
2 . Đường thẳng  đi qua A ,

x 1 y z  2
 
1
1
1 .
B.
x  2 y 1 z 1
x 1 y z  2
:


:


2

2
1 .
1
3
1 .
C.
D.
Lời giải
uu
r uuu
r
B
t

1;
t
;
2
t

1
u

AB
  t , t , 2t  3



Gọi giao điểm của  và d là
. Khi đóuu

.
r
d có ud   1,1, 2  thì:
Vì đường thẳng  vuông góc với
đường
thẳng
uu
r
t  t  2  2t  3  0 � t  1 � u   1,1, 1
.
x  2 y 1 z 1
:


1
1
1
Phương trình đường thẳng  thỏa mãn yêu cầu bài toán là
Câu 49.

:

[2H3-5.6-2] (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN ĐIỆN BIÊN LẦN 3 NĂM 2018-2019) Trong không
x 1 y  2 z  3
d:


M  1;0;1
Oxyz
1

2
3 . Đường thẳng đi qua
gian
, cho điểm
và đường thẳng
M , vuông góc với d và cắt Oz có phương trình là
�x  1  3t
�x  1  3t
�x  1  3t
�x  1  3t
�
�
�
�
�y  0
�y  0
�y  t
�y  0
�z  1  t
�z  1  t
�z  1  t
�z  1  t
A. �
.
B. �
.
C. �
.
D. �
.

Lời giải
Trang 17/49 - Mã đề 115


r
u   1;2;3
d
Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là
.
Gọi  là đường thẳng đi qua M , vuông góc với d và cắt Oz .
uuuu
r
N  0;0; t    �Oz � MN   1;0; t  1
Gọi
.
u
u
u
u
r
1�
�
4
ur
uuur r
1;0; �
uuuu
r
� t  � MN  �
u

 3;0;1
3
�
�
  d � MN .u  0
3
. Khi đó MN cùng phương với 1 

M  1;0;1
 3;0;1 nên có phương
Đường thẳng  đi qua điểm
và có một vectơ chỉ phương
Câu 50.

[2H3-3.2-3] (PEN I - THẦY LÊ ANH TUẤN - ĐỀ 3 - NĂM 2019) Trong không gian với hệ
tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng
là đường thẳng nằm trong
trình tham số của  ?

A.

�x  2  4t
�
�y  3  5t
�z  3  7t
�

.

B.

 P  : 3x  y  z  0

và đường thẳng

 P  , cắt và vuông góc với
�x  3  4t
�
�y  5  5t
�z  4  7t
�

.

C.
Lời giải

d:

x 1 y z  3


1
2
2 . Gọi 

d . Phương trình nào sau đây là phương

�x  1  4t
�

�y  1  5t
�z  4  7t
�

.

D.

�x  3  4t
�
�y  7  5t
�z  2  7t
�

.

Chọn B
P
Do  nằm trong nằm trong   và vuông góc với d nên  có véctơ chỉ phương là

uur
uuur uu
r
�  4; 5; 7 
u  �
n
,
u
d
P



�
�
A   P  �d � A  1;0; 3
Gọi A   �d thì

Vậy phương trình tham số của  là
Câu 51.

�x  1  4t
�
�y  0  5t
�z  3  7t
�

hay

�x  3  4t
�
�y  5  5t
�z  4  7t
�

A  1; 1;3
[2H3-5.6-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm
và hai đường thẳng:
x  4 y  2 z 1
x  2 y  1 z 1
d1 :



, d2 :


1
4
2
1
1
1 . Viết phương trình đường thẳng d đi qua A ,
vuông góc với đường thẳng d1 và cắt đường thẳng d 2 .
x 1 y 1 z  3
x 1 y 1 z  3




1
1 . B. 6
1
5 .
A. 2
x 1 y 1 z  3
x 1 y  1 z  3




4

1 . D. 2
1
3 .
C. 6
Lời giải
r
u d   1; 4; 2 
Ta có: 1

Trang 18/49 - Mã đề 115


�x  2  t
�
d 2 : �y  1  t  t ��
�z  1  t
�

x  2 y  1 z 1


1
1
1 nên phương trình tham số của
M  2  t ; 1  t ;1  t 
Gọi đường thẳng d cắt đường thẳng d 2 tại
uuuu
r
AM   1  t; t; t  2 
Ta có:

r
u d   1  t ; t ; t  2 
A
;
M
d
Đường thẳng đi qua
nên vectơ chỉ phương
r
r
r r
�
u

u
�
u
d
d
d .u d1  0 � 1.  1  t   4  t   2  t  2   0 � t  1
d
1
Theo đề bài d vuông góc 1
r
� u d   2; 1; 1
r
A
1;

1;3

u


d   2; 1; 1
Phương trình đường thẳng d đi qua
và có
có dạng:
x 1 y 1 z  3


2
1
1 .
d2 :

Câu 52.

[2H3-3.2-3] Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng

 P  : x  y  2 z  6  0 . Đường thẳng nằm trong  P 

d:

x y 3 z  2


2
1
3 và mặt phẳng

cắt và vuông góc với d có phương trình

là?

x2 y 2 z 5


.
7
3
A. 1
x  2 y  4 z 1


.
7
3
C. 1

uur
uur
nP   1; 1; 2  , ud   2;1; 3

x2 y 2 z 5


.
7
3
B. 1

x  2 y  4 z 1


.
7
3
D. 1
Lời giải

I  d � P  I �d � I  2t;3  t; 2  3t 
, Gọi
,
I � P  � 2t   3  t   2  2  3t   6  0 � t  1 � I  2; 2;5 

Gọi  là đường thẳng cần tìm.
uur uur
�
u
�   ud
uur
uur uur
�uur uur
�
�
�
u

n
u


n

P
�P ,ud �  1; 7;3
Theo giả thiết � 
x  2 y  2 z 5


.
7
3
Và đường thẳng  đi qua điểm I . Vậy  : 1
Câu 53.

[2H3-3.2-3] (ĐỀ THI THỬ VTED 02 NĂM HỌC 2018 - 2019) Trong không gian Oxyz , cho
mặt

phẳng

 P  : x  2 y  3z  7  0

và

hai

đường

thẳng

x3 y 2 z 2

x 1 y 1 z  2


; d2 :


2
1
4
3
2
3 . Đường thẳng vuông góc mặt phẳng  P  và
cắt cả hai đường thẳng d1 ; d 2 có phương trình là
x7 y z6
x  5 y 1 z  2
 


2
3
2
3
A. 1
B. 1
d1 :

x  4 y  3 z 1
x3 y 2 z 2





2
3 D. 1
2
3
C. 1
Trang 19/49 - Mã đề 115


Lời giải
Gọi  là đường thẳng cần tìm
 �d1  M nên M  3  2t ; 2  t; 2  4t 
 �d 2  N nên N  1  3u; 1  2u; 2  3u 
uuuu
r
MN   2  3u  2t;1  2u  t ; 4  3u  4t 
uuur
uuuu
r
n
Ta có MN cùng phương với  P 

u  2
�
2  3u  2t 1  2u  t 4  3u  4t
�


t  1

1
2
3
Nên
ta giải hệ phương trình tìm được �
uuuu
r
M  5; 1; 2 
MN   2; 4  6   2  1; 2;3
Khi đó tọa độ điểm
và VTCP
x  5 y 1 z  2


2
3
Phương trình tham số  là 1
Dạng 2.3 Xác định phương trình đường thẳng khi biết yếu tố song song

Câu 54.

(MÃ ĐỀ 110 BGD&ĐT NĂM 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm

A  0; 1;3

B  1;0;1 C  1;1; 2 
,
. Phương trình nào dưới đây là phương trình chính tắc của
đường thẳng đi qua A và song song với đường thẳng BC ?
�x  2t

�
�y  1  t
�z  3  t
A. x  2 y  z  0 .
B. �
.
,

x
y 1 z  3


1
1 .
C. 2

x 1 y z 1
 
1
1 .
D. 2
Lời giải

Chọn C

uuur
BC   2;1;1

Đường thẳng  đi qua A và song song BC nhận
làm vectơ chỉ phương

x
y 1 z  3


� Phương trình chính tắc của đường thẳng  : 2
1
1 .
Chú ý: Đáp án A không nhận được, vì đó là phương trình tham số của đường thẳng cần tìm,
chứ không phải phương trình chính tắc.
Câu 55.

(MÃ ĐỀ 110 BGD&ĐT NĂM 2017) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm

A  1; 2;3

và hai mặt phẳng

 P :

x  y  z 1  0

,

 Q :

x yz20

dưới đây là phương trình đường thẳng đi qua A , song song với
�x  1  t
�x  1  t

�x  1  2t
�
�
�
�y  2
�y  2
�y  2
�z  3  t
�z  3  t
�z  3  2t
A. �
B. �
C. �
Lời giải
Chọn A
Trang 20/49 - Mã đề 115

 P

và

. Phương trình nào

 Q ?

D.

�x  1
�
�y  2

�z  3  2t
�


r
�
n P    1;1;1
�
�r
r r
�
n P  , n Q  �
n Q    1; 1;1
�
�
�  2;0; 2  . Vì đường thẳng d song song với hai mặt
�
Ta có
và
r
P
Q
u   1;0; 1


d
phẳng
và
, nên có véctơ chỉ phương
.

�x  1  t
�
�y  2
�z  3  t
A  1; 2;3
Đường thẳng d đi qua
nên có phương trình: �
Câu 56.

(MĐ 105 BGD&ĐT NĂM 2017) Trong không gian với hệ tọa độ
A  1; 2; 3

;

B 1;4;1

và đường thẳng

d:

Oxyz

, cho hai điểm

x 2 y 2 z  3


1
1
2 . Phương trình nào dưới đây

là phương trình của đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn AB và song song với d ?
x y 1 z 1
x y1 z 1




1
2
2
A. 1
B. 1 1

x 1 y 1 z 1
x y 2 z 2




1
2 D. 1 1
2
C. 1
Lời giải
Chọn B

I  0;1; 1
Trung điểm của AB là
r

x 2 y 2 z  3
d:


u
1
1
2 có VTCP là  1; 1;2 nên đường thẳng  cần tìm cũng có VTCP
r
u 1; 1;2
.
x y 1 x 1
: 

.
1 1
2
Suy ra phương trình đường thẳng

Câu 57.

(CHUYÊN NGUYỄN TẤT THÀNH YÊN BÁI LẦN 01 NĂM 2018-2019) Trong không
M  1;  3; 4 
gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm
, đường thẳng d có phương trình:

x  2 y 5 z 2


3

5
1 và mặt phẳng  P  : 2 x  z  2  0 . Viết phương trình đường thẳng  qua

M vuông góc với d và song song với  P  .
x 1 y  3 z  4
x 1



1
2 .
A.  : 1
B.  : 1
x 1 y  3 z  4
x 1



1
2 .
C.  : 1
D.  : 1
Lời giải
r
Ta có u d  (3;  5;  1) là véc tơ chỉ phương của d .
r
n ( P )   2;0;1
P
là véc tơ pháp tuyến của   .
uur

�
�
u
�d , n p  �  5;  5;10  .

y 3 z4

1
2 .
y3 z4

1
2 .

Trang 21/49 - Mã đề 115


Do  vuông góc với

d và song song với  P 

r
u   1;1;  2 

nên
x 1 y  3 z  4


1
2 .

Khi đó, phương trình của  là 1

Câu 58.

là véctơ chỉ phương của  .

[2H3-3.1-3] (ĐỀ THI THỬ VTED 03 NĂM HỌC 2018 - 2019) Trong không gian Oxyz , cho
mặt
d2 :

phẳng

 P : 2x  y  2z  3  0

và

hai

đường

d1 :

thẳng

x y 1 z  1


3
1
1 ;

x  2 y 1 z  3


1
2
1 . Xét các điểm A, B lần lượt di động trên d1 và d 2 sao cho AB song

 P  . Tập hợp trung điểm của đoạn thẳng

AB là
r
u   9;8; 5 
A. Một đường thẳng có vectơ chỉ phương
r
u   5;9;8 
B. Một đường thẳng có vectơ chỉ phương
r
u   1; 2; 5 
C. Một đường thẳng có vectơ chỉ phương
r
u   1;5; 2 
D. Một đường thẳng có vectơ chỉ phương
Lời giải
Chọn A
A �d1 � A  3a;1  a; 1  a  B �d 2 � B  2  b;1  2b; 3  b 
;
.
uuur
r

AB   2  b  3a; 2b  a; b  2  a  nP   2; 1; 2 
;
.
uuu
rr
2
AB.nP  0 � a  b
AB //  P 
3 .
Do
nên
Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB là

song với mặt phẳng

�3a  2  b 2  2b  a 4  a  b �
I�
;
;
�
2
2
� 2
�hay

8
5 �
� 3
I�
1  b;1  b; 2  b �

6
6 �
� 2

Suy ra tập hợp trung điểm của đoạn thẳng AB là một đường thẳng có vectơ chỉ phương
r
u   9;8; 5 
.
Câu 59.

[2H3-5.11-3] (THPT LƯƠNG VĂN CAN - LẦN 1 - 2018) Trong không gian Oxyz , cho
điểm

A  3; 2;  4 

và mặt phẳng

 P  : 3x  2 y  3z  7  0 , đường thẳng

d:

x  2 y  4 z 1


3
2
2

P
. Phương trình nào sau đây là phương trình đường thẳng  đi qua A , song song   và cắt

đường thẳng d ?

A.

�x  3  11t
�
�y  2  54t
�z  4  47t
�

Gọi

.

uuur
n P    3;  2; - 3

�x  3  54t
�
�y  2  11t
�z  4  47t
B. �
.

�x  3  47t
�
�y  2  54t
�z  4  11t
C. �
.

D.

�x  3  11t
�
�y  2  47t
�z  4  54t
�

Lời giải
là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

 P .

uu
r
ud   3;  2; 2 
M  2;  4;1
d
Đường thẳng đi qua điểm
và có vectơ chỉ phương
.
Trang 22/49 - Mã đề 115

.


M  2  3t ; 4  2t;1  2t 
Giả sử  �d  M nên
khi đó vectơ chỉ phương của đường thẳng  là

uu
r uuuu
r
u  AM   3t  1; 2t  6; 2t  5 
.
6
uuuu
r uuur
uuuu
r uuur
3  3t  1  2  2t  6   3  2t  5   0 � t 
AM  n P  � AM .n P   0
7.
Ta có
nên
uuuu
r �
11 54 47 �
AM  � ;  ; �
7 7 �
�7
Suy ra
11;  54; 47 
Chọn vectơ chỉ phương của đường thẳng  có tọa độ là 
do đó phương trình

�x  3  11t
�
�y  2  54t
�z  4  47t

�

đường thẳng cần tìm là
.
Dạng 2.4 Xác định một số phương trình đường thẳng đặc biệt (phân giác, trung tuyến…)
�x  1  3t
�
d : �y  3
�z  5  4t
�
Câu 60. (Mã đề 102 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng
.
r
A  1; 3;5 
u  1; 2; 2 
Gọi  là đường thẳng đi qua điểm
và có vectơ chỉ phương
. Đường phân
giác của góc nhọn tạo bởi d và  có phương trình là

A.

�x  1  2t
�
�y  2  5t
�z  6  11t
�

Chọn B

B.

�x  1  2t
�
�y  2  5t
�z  6  11t
�

C.
Lời giải

�x  1  7t
�
�y  3  5t
�z  5  t
�

D.

�x  1  t
�
�y  3
�z  5  7t
�

A  1; 3;5 
thuộc đường thẳng d , nên
là giao điểm của d và  .
r
v  3;0; 4 

Một vectơ chỉ phương của đường thẳng d là
. Ta xét:
ur 1 r
�1 2 2 �
u1  r .u 1


1;
2;

2


� ; ; �
u
�3 3 3 �;
3
ur 1 r
4�
�3
v1  r .v 1
 ; 0;  �
v   3;0; 4   �
5 �.
�5
5
ur ur
ur ur
u1.v1  0
u1 v1

Nhận thấy
, nên góc tạo bởi hai vectơ ,
là góc nhọn tạo bởi d và  .
4 10 22 �
uu
r ur ur  �
 ; ;  �  15  2; 5;11
�
w  u1  v1 � 15 15 15 � 2
Ta có
là vectơ chỉ phương của đường phân giác
Ta có điểm

A  1; 3;5 

của góc nhọn tạo bởi d và  hay đường phân giác của góc nhọn tạo bởi d và  có vectơ chỉ
�x  1  2t
�
�y  2  5t
uur
�z  6  11t
w   2; 5;11
phương là 1
. Do đó có phương trình: �
.

Trang 23/49 - Mã đề 115


Câu 61.

�x  1  7t
�
d : �y  1  4t
�z  1
�

(Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng
.
r
A  1;1;1
u   1; 2; 2 
Gọi  là đường thẳng đi qua điểm
và có vectơ chỉ phương
. Đường phân
giác của góc nhọn tạo bởi d và  có phương trình là.

A.

�x  1  2t
�
�y  10  11t
�z  6  5t
�

B.

�x  1  2t
�
�y  10  11t

�z  6  5t
�

�x  1  3t
�
�y  1  4t
�z  1  5t
�

C.
Lời giải

D.

�x  1  7t
�
�y  1  t
�z  1  5t
�

Chọn B

Phương trình

�x  1  t '
�
 : �y  1  2t '
�z  1  2t '
�

d �  A  1;1;1

.

uur
I  4;5;1 �d � AI   3; 4;0  � AI  5

Ta có
. Lấy
.
M  1  t ';1  2t ';1  2t '  �
Gọi
sao cho AM  AI .
� 5
t'
�
3
3t' 5 � �
5
�
t' 
�
3.
�
Khi đó
uuu
r �5 10 10 �
15
5 � M �8 ;  7 ; 13 �� u
AM

�;
; �� AM 
t'
�
�
3 .
�3 3 3 �
�3 3 3 �
3
Với
�   1 � IAM
�  900
0
cos IAM
� trong trường hợp này  d ;    90 ( loại)
3
Khi đó

Trang 24/49 - Mã đề 115


2 13 7 � uuur � 5 10 10 �
15
5 � N�

 ; ;  �� AN 
t'  
� ; ; �� AN  �
3�
3 .

�3 3 3 �
�3 3
3
Với
�  1 � IAM
�  900
0
cos IAN
� trong trường hợp này  d ;    90 (thỏa mãn)
3
Khi đó
�5 14 2 � uuur 1
NI � H � ; ; �� AH   2;11; 5 
3
�3 3 3 �
Gọi H là trung điểm của
.
�5 14 2 �
H �; ; �
A  1;1;1
Khi đó đường phân giác của góc nhọn tạo bởi d và  đi qua �3 3 3 �hoặc
�x  1  2t
�
�y  10  11t
r
�z  6  5t
u   2;11; 5 
và nhận làm
VTCP � phương trình phân giác là �
.

�x  1  3t
�
d : �y  1  4t
�z  1
�
Câu 62. (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng
.
r
A  1;1;1
u   2;1; 2 
Gọi  là đường thẳng đi qua điểm
và có vectơ chỉ phương
. Đường phân
giác của góc nhọn tạo bởi d và  có phương trình là.

�x  1  27t
�
�y  1  t
�z  1  t
A. �

B.

�x  18  19t
�
�y  6  7t
�z  11  10t
�

C.

Lời giải

�x  18  19t
�
�y  6  7t
�z  11  10t
�

D.

�x  1  t
�
�y  1  17t
�z  1  10t
�

Chọn B
A  d �
�x  1  2t
�
 : �y  1  1t
�z  1  2t
�
Phương trình tham số của đường thẳng
.
B  1; 2;3 �, AB  3
Chọn điểm
.
14 17 �
�

�4 7 �
� C � ; ;1�
C�
 ;  ;1�
�5 5 �hoặc � 5 5 �
Gọi C �d thỏa mãn AC  AB
�4 7 �
C�
 ;  ;1 �
5 5 �thỏa mãn BAC là góc nhọn.
�
Kiểm tra được điểm
� 9 3 �
I�
 ; ;2�
10 10 �
�
BC
Trung điểm của
là
.Đường phân giác cần tìm là AI có vectơ chỉ phương là

r
u   19; 7; 10 

có phương trình là

�x  1  19t
�
�y  1  7t

�z  1  10t
�

. Tọa độ điểm của đáp án B thuộc AI .

Trang 25/49 - Mã đề 115