CÂU hỏi CHỨA đáp án CHUYÊN đề 19 (DẠNG 1 2 3 4)

Dạng 1. Tích phân cơ bản
Dạng 1.1 Áp dụng TÍNH CHẤT để giải
2

Câu 1.

∫

(Mã 103 - BGD - 2019) Biết 1
A. 8 .
B. −4 .

f ( x ) dx = 2

2

và

∫ g ( x ) dx = 6
1

2

, khi đó

∫  f ( x ) − g ( x )  dx
1

bằng

D. −8 .

C. 4 .
Lời giải

Chọn B
2

2

2

1

1

1

∫  f ( x ) − g ( x )  dx = ∫ f ( x ) dx − ∫ g ( x ) dx = 2 − 6 = −4

Ta có:

.

1

Câu 2.

1

∫ f ( x ) dx = 3

(Mã 102 - BGD - 2019) Biết tích phân

và

0

∫ g ( x ) dx = −4
0

. Khi đó

1

∫  f ( x ) + g ( x )  dx
0

bằng

A. −7 .

B. 7 .

C. −1 .
Lời giải

D. 1 .

Chọn C
Ta có

Câu 3.

1

1

1

0

0

0

∫  f ( x ) + g ( x )  dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx = 3 + ( −4 ) = −1

(Mã đề 104 - BGD - 2019) Biết
bằng
A. 6 .
B. −6 .

∫

1

0

f ( x)dx = 2

và

∫

1

0

.

g ( x)dx = −4

C. −2 .
Lời giải

∫ [ f ( x) + g ( x) ] dx
1

, khi đó

0

D. 2 .

Chọn C

∫0 [ f ( x) + g ( x)] dx = ∫0 f ( x)dx + ∫0 g( x)dx = 2 + (−4) = −2 .
1

1

1

1

Câu 4.

(Mã đề 101 - BGD - 2019) Biết
bằng
A. −1 .
B. 1 .

∫ f ( x ) dx = −2
0

1

và

∫ g ( x ) dx = 3
0

C. −5 .
Lời giải

1

, khi đó

∫  f ( x ) − g ( x ) dx
0

D. 5 .

Chọn C
1

1

1

0

0

0

∫  f ( x ) − g ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx − ∫ g ( x ) dx = −2 − 3 = −5

.
1

Câu 5.

(ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2018-2019) Cho

∫ f ( x ) dx = 2
0

1

và

∫ g ( x ) dx = 5
0

, khi

1

∫  f ( x ) − 2 g ( x )  dx
0

bằng
Trang 1/59 - Mã đề 145


A. −8

C. −3
Lời giải

B. 1

D. 12

Chọn A
Có
Câu 6.

1

1

1

0

0

0

∫  f ( x ) − 2 g ( x )  dx = ∫ f ( x ) dx − 2∫ g ( x ) dx

= 2 − 2.5 = −8 .

[2D3-2.1-1] (THPT BA ĐÌNH NĂM 2018-2019 LẦN 02) Khẳng định nào trong các khẳng
định sau đúng với mọi hàm f , g liên tục trên K và a , b là các số bất kỳ thuộc K ?
b

b

b

A.

b

∫ [ f ( x) + 2 g ( x)]dx = ∫ f ( x)dx +2 ∫ g ( x)dx
a

a

b

C.

a

b

a

.

a

a

∫ f ( x)dx
a
b

B.

∫ g ( x)dx
a

b

b

∫ [ f ( x).g ( x)]dx = ∫ f ( x)dx . ∫ g ( x)dx
a

∫

b

f ( x)
dx =
g ( x)

∫

.

D. a
Lời giải

.
2

b

f ( x)dx =  ∫ f ( x)dx 
a
 .
2

Theo tính chất tích phân ta có

b

b

b

b

b

a

a

a

a

a

∫ [ f ( x) + g ( x)]dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx; ∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx

, với k ∈ ¡ .
2

Câu 7.

[2D3-2.4-1] (THPT CẨM GIÀNG 2 NĂM 2018-2019) Cho

∫

f ( x ) dx = 1

−2

4

,

∫ f ( t ) dt = −4

−2

.

4

∫ f ( y ) dy

Tính 2
A. I = 5 .
4

Ta có:

∫

.
B. I = −3 .

f ( t ) dt =

−2

4

f ( x ) dx

∫

−2
2

Khi đó:
4

,

4

∫
2

−2

D. I = −5 .

4

f ( y ) dy = ∫ f ( x ) dx

2

.

4

∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx

⇒ ∫ f ( x ) dx =
2

4

C. I = 3 .
Lời giải

−2

2

4

2

−2

−2

.

∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx = −4 − 1 = −5

.

4

Vậy

∫ f ( y ) d y = −5
2

.
2

Câu 8.

[2D3-2.1-1] (THPT CÙ HUY CẬN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho
2

2

0

0

∫ g ( x ) dx = 7 , khi đó ∫
A. 16 .

 f ( x ) + 3 g ( x ) dx
bằng

B. −18 .
C. 24 .
Lời giải

∫ f ( x ) dx = 3
0

và

D. 10 .

Ta có

Trang 2/59 - Mã đề 145


∫

2

0

2

2

 f ( x ) + 3g ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + 3∫ g ( x ) dx = 3 + 3.7 = 24
0
0
.

1

Câu 9.

[2D3-2.4-1] (THPT - YÊN ĐỊNH THANH HÓA 2018 2019- LẦN 2) Cho
3

∫

0

dx = −1 ;

3

f ( x)

dx = 5 . Tính

0

∫ f ( x)

dx
B. 4.

1

A. 1.
3

∫ f ( x)

Ta có

∫ f ( x)

0

1

dx =

C. 6.
Lời giải

3

∫ f ( x)

∫ f ( x)

dx + 1

0

3

3

dx

D. 5.

⇒ ∫ f ( x)
1

dx =

∫ f ( x)
0

1

dx

−∫ f ( x)
0

dx = 5+ 1= 6

3

Vậy

∫ f ( x)
1

dx = 6
2

Câu 10.

[2D3-2.4-1] (THPT QUỲNH LƯU 3 NGHỆ AN NĂM 2018-2019) Cho
3

∫ f ( x ) dx = 4
2

∫
1

Câu 11.

1

và

3

. Khi đó

∫ f ( x ) dx
1

A. 12.
3

∫ f ( x ) dx = −3

bằng

B. 7.
2

3

1

2

f ( x ) d x = ∫ f ( x ) d x + ∫ f ( x ) dx

[2D3-2.1-1] Cho hàm số

f ( x)

D. −12 .

C. 1.
Lời giải

= −3 + 4 = 1 .
liên tục, có đạo hàm trên

[ −1; 2] , f ( −1) = 8;f ( 2 ) = −1 . Tích

2

phân

A. 1.

∫ f ' ( x ) dx

−1

Câu 12.

C. −9.
Lời giải

B. 7.
2

Ta có

bằng

∫ f ' ( x ) dx = f ( x )

−1

2
−1

D. 9.

= f ( 2 ) − f ( −1) = −1 − 8 = −9.

[2D3-2.4-1] (SỞ GD&ĐT THANH HÓA NĂM 2018 - 2019) Cho hàm số

2

R và có
A. I = 5 .

∫
0

4

f ( x)dx = 9; ∫ f ( x)dx = 4.
2

B. I = 36 .

f ( x)

liên tục trên

4

Tính

I = ∫ f ( x )dx.
0

C.
Lời giải

I=

9
4.

D. I = 13 .

Trang 3/59 - Mã đề 145


4

2

4

0

0

2

I = ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx = 9 + 4 = 13.
Ta có:
Câu 13.

[2D3-2.1-1]
0

3

−1

0

(ĐỀ

THI

THỬ

VTED

Có
Câu 14.

NĂM

HỌC

2018

-

2019)

Cho

3

∫ f ( x ) dx = 3∫ f ( x ) dx = 3.

∫ f ( x ) dx

Tích phân
B. 4

A. 6

02

bằng
C. 2
Lời giải

1

D. 0

0

3

3

0

3

−1

0

−1

−1

0

∫ f ( x ) dx = 3; ∫ f ( x ) dx = 1;  ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = 3 + 1 = 4

[2D3-2.1-1] (CHUYÊN NGUYỄN TRÃI HẢI DƯƠNG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho
4

f ( x)

hàm số
A. 4 .

liên tục trên ¡ và
B. 7 .

∫

f ( x ) dx = 10

0

∫

Theo tính chất của tích phân, ta có:

4

4

0

0

3

,

∫

f ( x ) dx = 4

3

. Tích phân

0

∫ f ( x ) dx
0

bằng

D. 6 .

4

4

3

0

f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx

∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx = 10 − 4 = 6

Suy ra:

3

C. 3 .
Lời giải
3

3

4

.

.

3

Vậy

Câu 15.

∫ f ( x ) dx = 6
0

.

[2D3-2.1-2] (TRƯỜNG THPT HOÀNG HOA THÁM HƯNG YÊN NĂM 2018-2019) Nếu

1
2 x − 1 và F ( 1) = 1 thì giá trị của F ( 4 ) bằng
1
1 + ln 7.
2
A. ln 7.
B.
C. ln 3.
Lời giải
F′( x) =

4

D. 1 + ln 7.

4

4

1
1

1
∫1 F ′ ( x ) dx = ∫1 2 x − 1dx = 2 ln | 2 x − 1| 1 = 2 ln 7
Ta có:
.
4

Lại có:

∫ F ′ ( x ) dx = F ( x )
1

4
1

= F ( 4 ) − F ( 1)

.

1
1
1
F ( 4 ) − F ( 1) = ln 7
F ( 4 ) = F ( 1) + ln 7 = 1 + ln 7
2
2
2
Suy ra
. Do đó
.
Câu 16.

[2D3-2.1-2] (THPT ĐOÀN THƯỢNG - HẢI DƯƠNG - 2018 2019) Cho hàm số
8

tục trên ¡ thoả mãn

12

,

4

liên

8

∫ f ( x ) dx = 9 ∫ f ( x ) dx = 3 ∫ f ( x ) dx = 5
1

f ( x)

,

4

.

Trang 4/59 - Mã đề 145

12

I = ∫ f ( x ) dx

1
Tính
A. I =17 .

.
B. I = 1 .

12

8

D. I = 7 .

C. I = 11 .
Lời giải
12

8

12

8

I = ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx = 9 + 3 − 5 = 7
1
1

8
4
4
Ta có:
. 1
.

Câu 17.

[2D3-2.1-2] (THPT QUANG TRUNG ĐỐNG ĐA HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Cho hàm số
10

f ( x)

liên

tục

2

10

0

6

trên

P = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx

A. P = 10 .
10

∫

Ta có

0

2

Suy ra
Câu 18.

∫
0

[ 0;10]

thỏa

mãn

∫

f ( x ) dx = 7

0

6

,

∫ f ( x ) dx = 3
2

.

Tính

.
C. P = 7 .
Lời giải

B. P = 4 .
2

6

10

0

2

6

D. P = −6 .

f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx

10

10

6

6

0

2

f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx = 7 − 3 = 4

.

[2D3-3.2-2] (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN ĐIỆN BIÊN LẦN 3 NĂM 2018-2019) Cho f , g là
hai hàm liên tục trên đoạn

[ 1;3]

3

thoả:

3

∫  f ( x ) + 3g ( x ) dx = 10

∫ 2 f ( x ) − g ( x ) dx = 6

, 1
B. 6.

1

A. 7.
3

⇔

1

3

∫ 2 f ( x ) − g ( x ) dx = 6
1

3

. Tính
C. 8.
Lời giải

3

∫  f ( x ) + 3g ( x ) dx = 10

⇔

3

∫  f ( x ) + g ( x ) dx
1

.

D. 9.

3

∫ f ( x ) dx + 3∫ g ( x ) dx = 10 ( 1)
.
1

1

3

3

1

1

2∫ f ( x ) dx − ∫ g ( x ) dx = 6

( 2) .

3

X = ∫ f ( x ) dx Y = ∫ g ( x ) dx
1
1
Đặt
,
.
 X + 3Y = 10
X = 4

( 1) và ( 2 ) ta có hệ phương trình: 2 X − Y = 6 ⇔ Y = 2 .
Từ
3

Do đó ta được:

∫ f ( x ) dx = 4
1

3

∫ g ( x ) dx = 2

và 1

.

3

Vậy

∫  f ( x ) + g ( x ) dx = 4 + 2 = 6
1

.

Trang 5/59 - Mã đề 145


Câu 19.

10

∫

f ( x ) dx = 7

0;10]
liên tục trên đoạn [

và

A. P = 4

B. P = 10

10

0

2

6

;

. Tính
P
=
7
C.
Lời giải
2

6

10

0
Ta có: 0
⇒ 7 = P+3⇒ P = 4.

2

6

2

10

0

6

P = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx

∫ f ( x ) dx = 3

∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx

Câu 20.

f ( x)

[2D3-2.1-2] (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 3) Cho hàm số

.

D. P = −4

.

1;3
(THPT NĂM 2018-2019 LẦN 04) Cho f , g là hai hàm số liên tục trên [ ] thỏa mãn điều
3

3

∫  f ( x ) + 3g ( x ) dx=10

kiện
A. 9 .

đồng thời

1

B. 6 .

1

3

1

1

1

3

3

3

1

1

1

∫  2 f ( x ) − g ( x ) dx=6 ⇔ 2∫ f ( x ) dx-∫ g ( x ) dx=6
Đặt

3

1

1

u = ∫ f ( x ) dx; v = ∫ g ( x ) dx

. Tính

∫  f ( x ) + g ( x ) dx
1

.

D. 8 .

3

∫  f ( x ) + 3g ( x ) dx=10 ⇔ ∫ f ( x ) dx+3∫ g ( x ) dx=10

3

3

C. 7 .

Lời giải

3

Ta có:

∫  2 f ( x ) − g ( x ) dx=6

.

.

.

3
 ∫ f ( x ) dx=4
1
⇒ 3
u + 3v = 10
u = 4
 g x dx=2
⇔

∫ ( )
2
u
−
v
=
6

v
=
2
1


Ta được hệ phương trình:
3

∫  f ( x ) + g ( x ) dx=6

Vậy
Câu 21.

1

.

[2D3-2.1-3] (THPT ĐÔNG SƠN THANH HÓA NĂM 2018-2019 LẦN 02) Cho f , g là
3

hai hàm liên tục trên

[ 1;3]

∫  f ( x ) + 3g ( x )  dx = 10

thỏa: 1

3

và

∫ 2 f ( x ) − g ( x )  dx = 6
1

. Tính

3

I = ∫  f ( x ) + g ( x )  dx
1

A. 8.

B. 7.
3

Đặt

.

a = ∫ f ( x ) dx
1

C. 9.
Lời giải

3

và

b = ∫ g ( x ) dx
1

.

3

Khi đó,

3

∫  f ( x ) + 3g ( x )  dx = a + 3b ∫ 2 f ( x ) − g ( x )  dx = 2a − b
1

D. 6.

,

1

.
Trang 6/59 - Mã đề 145


a + 3b = 10 a = 4
⇔

2

a
−
b
=
6
b = 2 .
Theo giả thiết, ta có 
Vậy I = a + b = 6 .
Dạng 1.2 Áp dụng bảng công thức cơ bản
π
2

π
2

Câu 22.

(MĐ 104 BGD&DT NĂM 2017) Cho
π
I = 5+
2
A. I = 7
B.

∫ f ( x ) dx = 5
0

. Tính

I = ∫  f ( x ) + 2sin x  dx = 5

0

.

D. I = 5 + π

C. I = 3
Lời giải

Chọn A
Ta có
π
2

π
2

π
2

π
2

0

0

0

0

π

I = ∫  f ( x ) + 2sin x  dx = ∫ f ( x ) dx +2 ∫ sin x dx = ∫ f ( x ) dx − 2 cos x 02 = 5 − 2 ( 0 − 1) = 7
2

Câu 23.

∫ f ( x ) dx = 2

(MÃ ĐỀ 110 BGD&ĐT NĂM 2017) Cho

−1

.

2

và

∫ g ( x ) dx = −1

−1

. Tính

2

I = ∫  x + 2 f ( x ) − 3 g ( x )  dx
−1

I=

A.

17
2

.

I=

B.

5
2

C.
Lời giải

I=

7
2

D.

I=

11

2

Chọn A
x2
I = ∫  x + 2 f ( x ) − 3 g ( x )  dx
= 2
−1
Ta có:
2

Câu 24.

2

2

2

−1

−1

+ 2 ∫ f ( x ) dx − 3 ∫ g ( x ) dx

−1

3
17
+ 2.2 − 3 ( −1)
=2

= 2.

[2D3-2.1-2] (THPT HÀM RỒNG THANH HÓA NĂM 2018-2019 LẦN 1) Cho hai tích
5

∫

phân −2
A. 13 .

f ( x ) dx = 8

−2

và

∫ g ( x ) dx = 3
5

5

I=
. Tính

∫  f ( x ) − 4 g ( x ) − 1 dx

−2

B. 27 .

D. 3 .

C. −11 .
Lời giải

5

I=

5

5

5

5

5

−2

−2

−2

−2

−2

−2

∫  f ( x ) − 4 g ( x ) − 1 dx = ∫ f ( x ) dx − ∫ 4 g ( x ) dx − ∫ dx = ∫ f ( x ) dx − 4 ∫ g ( x ) dx − ∫ dx

−2

=

5

5

−2

5

−2

5

−2

5

∫ f ( x ) dx + 4 ∫ g ( x ) dx − ∫ dx = 8 + 4.3 − x −2 = 8 + 4.3 − 7 = 13

.
2

Câu 25.

[2D3-2.1-2] (SỞ GD&ĐT BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho
2

∫ g ( x)dx = −1

−1

∫ f ( x)dx = 2

−1

và

2

, khi đó

∫ [ x + 2 f ( x) + 3 g ( x) ] dx

−1

bằng
Trang 7/59 - Mã đề 145


5
A. 2

7
B. 2

17
C. 2
Lời giải

11
D. 2

Chọn A
Ta có

2

2

2

2

−1

−1

−1

−1

∫ [ x + 2 f ( x) + 3g(x)] dx = ∫ xdx + 2 ∫ f ( x)dx + 3 ∫ g ( x)dx =

3

5
+4−3 =
2
2
2

Câu 26.

[2D3-2.1-2] (SỞ GD&ĐT PHÚ THỌ NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho
2

∫ g ( x ) dx = −1
0

∫ f ( x ) dx = 3
0

,

2

thì

∫  f ( x ) − 5g ( x ) + x  dx
0

bằng:

B. 0 .

A. 12 .

C. 8 .

D. 10

Lời giải
Chọn D
2

2

2

2

0

0

0

0

∫  f ( x ) − 5 g ( x ) + x  dx = ∫ f ( x ) dx − 5∫ g ( x ) dx + ∫ xdx
Câu 27.

= 3 + 5 + 2 = 10

[2D3-3.3-2] (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH LẦN 1 NĂM 2018-2019) Cho

5

∫ f ( x ) dx = − 2
0

5

. Tích phân

A. −140 .

∫ 4 f ( x ) − 3x
0

B. −130 .

5

5

5

0

0

0

2

 dx

bằng

C. −120 .
Lời giải

D. −133 .

2
2
3
∫ 4 f ( x ) − 3x  dx = 4∫ f ( x ) dx − ∫ 3x dx = −8 − x 0 = −8 − 125 = −133

Câu 28.

5

.

[2D3-2.1-1] (THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH NĂM 2018-2019 LẦN 01)
2

∫  4 f ( x ) − 2 x  dx = 1

Cho 1
A. 1 .

. Khi đó
B. −3 .

2

∫ f ( x ) dx
1

bằng:

C. 3 .
Lời giải

D. −1 .

Chọn A
2

2

2

2

2

x2
4
f
x
−
2

x
dx
=
1
⇔
4
f
x
dx
−
2
xdx
=
1
⇔
4
f
x
dx
−
2.
=1


(
)
(
)
(
)


∫1 
∫1
∫1
∫1
2 1
2

2

1

1

⇔ 4∫ f ( x ) dx = 4 ⇔ ∫ f ( x ) dx = 1
1

Câu 29.

[2D3-2.1-1] (ĐỀ THI THỬ VTED 03 NĂM HỌC 2018 - 2019) Cho

∫ f ( x ) dx = 1
0

tích phân

1

∫ ( 2 f ( x ) − 3x ) dx
2

0

A. 1 .

bằng
B. 0 .

C. 3 .

D. −1 .
Trang 8/59 - Mã đề 145


Lời giải
Chọn.

A.

1

1

1

0

0

0

2
2
∫ ( 2 f ( x ) − 3x ) dx = 2∫ f ( x ) dx − 3∫ x dx = 2 − 1 = 1

Câu 30.

.

[2D3-2.1-1] (THPT YÊN PHONG 1 BẮC NINH NĂM HỌC 2018-2019 LẦN 2) Tính tích
0

I=
phân

∫ ( 2 x + 1) dx

−1

.

A. I = 0 .

B. I = 1 .

0

I=

C. I = 2 .

Lời giải

2
∫ ( 2 x + 1) dx = ( x + x ) −1 = 0 − 0 = 0

1
2.

0

−1

Câu 31.

D.

I =−

.

(Mã 103 - BGD - 2019) Cho hàm số

f ( x)

. Biết

f ( 0) = 4

và

f ' ( x ) = 2sin 2 x + 1, ∀x ∈ ¡

,

π
4

khi đó

∫ f ( x ) dx
0

bằng

π2 −4
.
B. 16

π + 16π − 4
.
16
A.
2

π 2 + 15π
.
16
C.
Lời giải

π 2 + 16π − 16
.
16
D.

Chọn A
1
f ( x ) = ∫ ( 2sin 2 x + 1) dx = ∫ ( 2 − cos 2 x ) dx = 2 x − sin 2 x + C.
2
Ta có
f ( 0) = 4 ⇒ C = 4
Vì
1
f ( x ) = 2 x − sin 2 x + 4.
2
Hay

Suy ra

π
4

π
4

0

0



1



∫ f ( x ) dx = ∫  2 x − 2 sin 2 x + 4 ÷ dx
π

1
π2
1 π 2 + 16π − 4
= x + cos 2 x + 4 x 4 =
+π − =
.
4
16
4
16
2

0

Câu 32.

(Mã đề 104 - BGD - 2019) Cho hàm số

f ( x)

. Biết

f ( 0) = 4

f ′ ( x ) = 2sin 2 x + 3 ∀x ∈ R
và
,
,

π
4

khi đó

∫ f ( x ) dx
0

π −2
A. 8 .
2

bằng

π 2 + 8π − 8
8
B.
.

π 2 + 8π − 2
8
C.
.

3π 2 + 2π − 3
8
D.
.

Lời giải
Chọn C
Trang 9/59 - Mã đề 145


∫ f ′ ( x ) dx = ∫ ( 2sin

2

1
x + 3) dx = ∫ ( 1 − cos 2 x + 3) dx = ∫ ( 4 − cos 2 x ) dx = 4 x − sin 2 x + C
2
.

1
4.0 − sin 0 + C = 4 ⇔ C = 4
2
Ta có
nên
.
1
f ( x ) = 4 x − sin 2 x + 4
2
Nên

.

f ( 0) = 4

π
4

∫
0

Câu 33.

π
4

π
1


 2 1

f ( x ) dx = ∫  4 x − sin 2 x + 4 ÷dx =  2 x + cos 2 x + 4 x ÷ 4 = π 2 + 8π − 2
2
4


0
0
8
.

2
(Mã 102 - BGD - 2019) Cho hàm số f ( x ) .Biết f (0) = 4 và f ′( x ) = 2cos x + 3, ∀x ∈ ¡ , khi

π
4

đó

∫ f ( x)dx
0

bằng?

π + 8π + 8
8
A.
.
2

π 2 + 8π + 2
8
B.
.

π2 +2
D. 8 .

π 2 + 6π + 8
8

C.
.
Lời giải

Chọn B
Ta có

,
f ( x ) = ∫ f ( x )dx = ∫ (2 cos 2 x + 3)dx = ∫ (2.

= ∫ (cos 2 x + 4)dx

1 + cos 2 x
+ 3)dx
2

1
sin 2 x + 4 x + C
=2
do f (0) = 4 ⇒ C = 4 .

1
f ( x) = sin 2 x + 4 x + 4
2
Vậy
nên

π
4

π
4

0

0

1

∫ f ( x)dx = ∫ ( 2 sin 2 x + 4 x + 4)dx

π

2
4
1
= (− cos 2 x + 2 x 2 + 4 x) = π + 8π + 2
4
0
8
.
1

Câu 34.

∫ ( 3x + 1) ( x + 3) dx

[2D3-2.1-1] Tích phân 0
A. 12 .
B. 9 .

Ta có:

1

1

0

0

bằng
C. 5 .
Lời giải

D. 6 .

2
3
2
∫ ( 3x + 1) ( x + 3) dx = ∫ ( 3x + 10 x + 3) dx = ( x + 5x + 3x ) = 9
1

0

.

1

Vậy :

∫ ( 3x + 1) ( x + 3) dx = 9
0

.
π
2

Câu 35.

[2D3-2.1-1] (KTNL GV THPT LÝ THÁI TỔ NĂM 2018-2019) Giá trị của

∫ sin xdx
0

bằng

Trang 10/59 - Mã đề 145


A. 0.

B. 1.

π
D. 2 .

C. -1.
Lời giải

Chọn B
π
2

π
∫0 sin xdx = − cos x 2 = 1
0
+ Tính được
.
2

Câu 36.

I = ∫ (2 x + 1) dx

0
[2D3-2.1-1] (KTNL GV BẮC GIANG NĂM 2018-2019) Tính tích phân
A. I = 5 .
B. I = 6 .
C. I = 2 .
D. I = 4 .
Lời giải
Chọn B
2

Ta có

I = ∫ (2 x + 1)dx = ( x 2 + x ) = 4 + 2 = 6
2

0

0

.
b

∫ ( 3x

Câu 37. [2D3-2.1-1] Với a, b là các tham số thực. Giá trị tích phân 0
3
2
3
2
3
2
A. b − b a − b .
B. b + b a + b .
C. b − ba − b .

2

− 2ax − 1) dx

bằng
D. 3b − 2ab − 1 .
2

Lời giải
Chọn A

b

Ta có
Câu 38.

∫ ( 3x

2

0

− 2ax − 1) dx

= ( x 3 − ax 2 − x )

b
0

= b3 − ab2 − b .

[2D3-2.1-2] (THPT NĂM 2018-2019 LẦN 04) 1 [2D3-1.1-2] Biết rằng hàm số
1

f ( x ) = mx + n

thỏa mãn

A. m + n = 4 .

Ta có:

∫

2

,

0

B. m + n = −4 .

f ( x ) dx = ∫ ( mx + n ) dx

1

Lại có:

∫

2

f ( x ) dx = 3

m

∫ f ( x ) dx = 3 ⇒  2 x
0

2

∫ f ( x ) dx = 8
0

. Khẳng định nào dưới đây là đúng?
C. m + n = 2 .
D. m + n = −2 .
Lời giải

m 2
x + nx + C
= 2
.

1
+ nx ÷ = 3 ⇔ 1 m + n = 3
( 1) .
0
2

2
+ nx ÷ = 8
0
0
⇔ 2 m + 2n = 8 ( 2 ) .
1
 m+n =3
m = 2
2
⇔


1
2
n = 2 .
Từ ( ) và ( ) ta có hệ phương trình: 2m + 2n = 8
⇒m+n =4.
m

∫ f ( x ) dx = 8 ⇒  2 x

2

Trang 11/59 - Mã đề 145


Câu 39.

[2D3-2.1-2] (THPT AN LÃO HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Giả sử
π
4

2
2

I = ∫ sin 3 xdx = a + b
0

A.

−

1
6

( a, b ∈ ¤ ) . Khi đó giá trị của a − b
B.

−

1
6

C.

−

là

3
10

1
D. 5

Lời giải
Chọn B
π
4

π
1

1 1 2
4 =
sin
3
xdx
=
−
cos
3
x
+
∫0
0
3
3 3 2

Ta có
Câu 40.

. Suy ra

a=b=

1
3 ⇒ a −b = 0.

[2D3-2.4-2] (CHUYÊN NGUYỄN TẤT THÀNH YÊN BÁI LẦN 01 NĂM 2018-2019) Cho
2

f ( x)

hàm số

liên tục trên ¡ và

∫(

)

f ( x ) + 3x 2 dx = 10

0

. Tính

∫ f ( x ) dx
0

.

D. −18 .

C. 18 .
Lời giải

B. −2 .

A. 2 .

2

Ta có:
2

∫(
0

2

⇔ ∫ f ( x ) dx = 10 − x 3
0

Câu 41.

2

2

2

2

0

0

0

0

f ( x ) + 3x 2 ) dx = 10 ⇔ ∫ f ( x ) dx + ∫ 3x 2dx = 10 ⇔ ∫ f ( x ) dx = 10 − ∫ 3 x 2dx
2

2
⇔ ∫ f ( x ) dx = 10 − 8 = 2
0
0

.

[2D3-2.1-2] (CHUYÊN NGUYỄN TRÃI HẢI DƯƠNG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho
m

∫ ( 3x

2

0

A.

− 2 x + 1) dx = 6

( −1; 2 ) .
m

∫ ( 3x

2

− 2 x + 1) dx = 6

Ta có: 0
m ∈ ( 0; 4 )
Vậy
.
Câu 42.

. Giá trị của tham số m thuộc khoảng nào sau đây?
( −∞;0 ) .
( 0; 4 ) .
( −3;1) .
B.
C.
D.
Lời giải
⇔ ( x3 − x 2 + x )

m
0

= 6 ⇔ m3 − m 2 + m − 6 = 0 ⇔ m = 2

(THPT NĂM 2018-2019 LẦN 04) Biết rằng hàm số
1

∫
0

7

f ( x ) dx = −
2

A.

−

3
4.

Ta có:

∫

.

f ( x ) = ax 2 + bx + c

thỏa mãn

2

,

∫ f ( x ) dx = −2
0

4
B.
C. 3 .

Lời giải
a 3 b 2
f ( x ) dx = ∫ ( ax 2 + bx + c ) dx 3 x + 2 x + cx + C
=
.
−

4
3.

và

3
D. 4 .

Trang 12/59 - Mã đề 145


1

Lại có:

7

a

∫ f ( x ) dx = − 2 ⇒  3 x

3

0

2

a

∫ f ( x ) dx = −2 ⇒  3 x

3

0

+

+

b 2
7
1
x + cx ÷ = − ⇔ 1 a + 1 b + c = − 7
2
2
0
3
2
2 ( 1) .

b 2
2
x + cx ÷ = −2 ⇔ 8 a + 2b + 2c = −2

( 2) .
2
0
3

3

13  a 3 b 2
 3 13
9
13
⇒  x + x + cx ÷ =
⇔ 9a + b + 3c =
2
0
3
2
2


0
2
2 ( 3) .
1
7
1
3 a + 2 b + c = − 2


a = 1

8
 a + 2b + 2c = −2 ⇔ b = 3

3

9
13
16

c = −
9
a
+
b
+
3
c
=

1
2
3
2
2
3 .

Từ ( ) , ( ) và ( ) ta có hệ phương trình: 
4
 16 
⇒ P = a + b + c = 1+ 3 +  − ÷= −

3.
 3

∫ f ( x ) dx =

Dạng 2. Tích phân HÀM HỮU TỶ
2

Câu 43. (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018)
1
ln 35
A. 2

B.

ln

dx

∫ 2x + 3
1

7
5

bằng

1 7
ln
C. 2 5

Lời giải

D.

2 ln

7
5

Chọn C
2

2

dx
1
1
1 7
∫1 2 x + 3 = 2 ln 2 x + 3 1 = 2 ( ln 7 − ln 5) = 2 ln 5
Ta có
.
2

Câu 44.

(MĐ 103 BGD&ĐT NĂM 2017-2018)
1
ln 2
A. 2 ln 2
B. 3

dx

∫ 3x − 2
1

bằng
2
ln 2
C. 3

D. ln 2

Lời giải
Chọn C
2

2

dx
1
1
2
∫1 3x − 2 = 3 ln 3x − 2 1 = 3 ( ln 4 − ln1) = 3 ln 2
Ta có
.
2

Câu 45.

dx

∫ x+3

(ĐỀ THAM KHẢO BGD & ĐT 2018) Tích phân 0
2
16
5
log
3
A. 15
B. 225
C.

bằng
D.

ln

5
3

Lời giải
Chọn D
2
dx
5
2
∫0 x + 3 = ln x + 3 0 = ln 3
Trang 13/59 - Mã đề 145

1

Câu 46.

(MĐ 105 BGD&ĐT NĂM 2017) Cho
nguyên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. a+ 2b = 0
B. a+ b = 2

 1

1 

∫  x + 1 − x + 2 ÷ dx = aln 2+ bln 3
0

C. a− 2b = 0
Lời giải

với a,b là các số

D. a+ b = −2

Chọn A
1

 1

1 

∫  x + 1 − x + 2 ÷ dx = [ ln x + 1 − ln x + 2 ]

1
0

= 2ln2 − ln 3
; do đó

0

Câu 47.

a = 2; b = −1

[2D3-2.1-1] (THPT AN LÃO HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Tính tích phân
e

1 1 
I = ∫  − 2 ÷dx
x x 
1
1
I=
e
A.

B.

I=

1
+1
e

D. I = e

C. I = 1
Lời giải

Chọn A
e

e

1
1
1 1 

I = ∫  − 2 ÷dx =  ln x + ÷ =
x x 
x 1 e

1
.
Câu 48.

[2D3-2.1-1] (THPT HÙNG VƯƠNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tính tích
3

phân
A.

I =∫
0

I =−

3

I =∫
0

dx
x+2

21
100 .

.
B.

I = ln

5
2.

C.
Lời giải

I = log

5
2.

D.

4581
5000 .

3
dx
5
= ln ( x + 2 ) 0 = ln 5 − ln 2 = ln .
x+2
2

2

Câu 49.

I=

dx

∫ 3x − 2

[2D3-2.1-1] (THPT ĐOÀN THƯỢNG - HẢI DƯƠNG - 2018 2019) 1
bằng

2
1
ln 2
ln 2
A. 2 ln 2 .
B. 3
.
C. ln 2 .
D. 3
.
Lời giải
2

2

dx
1
2
∫1 3x − 2 = 3 ln 3x − 2 1 = 3 ln 2
Ta có:
.
2

Câu 50.

[2D3-3.5-1] Tính tích phân
A. I = 1 − ln 2 .

B.

I =∫
1

I=

x −1
dx
x
.

7
4.

C. I = 1 + ln 2 .
Lời giải

D. I = 2 ln 2 .

Trang 14/59 - Mã đề 145


2

Ta có
Câu 51.

I =∫
1

[2D3-2.1-1]

2

2

x −1
 1
dx = ∫ 1 − ÷dx = x − ln x 2
(
) 1 = ( 2 − ln 2 ) − ( 1 − ln1) = 1 − ln 2 .
x
x
1
(THPT

QUỲNH

LƯU

3

NGHỆ

AN

NĂM

2018-2019)

Biết

dx

∫ ( x + 1) ( 2 x + 1) = a ln 2 + b ln 3 + c ln 5
1

A. −3 .

B. 2 .

. Khi đó giá trị a + b + c bằng
C. 1 .
Lời giải

D. 0 .

Cách 1. Tự luận
Ta có:
2
2
2
2
dx
1 
 2
1
1
=
−
d
x

=
2
d
x
−
∫1 ( x + 1) ( 2 x + 1) ∫1  2 x + 1 x + 1 ÷
∫1 2 x + 1 ∫1 x + 1 dx
2
2
2
2
1
= 2. ln 2 x + 1 − ln x + 1 = ln ( 2 x + 1) − ln ( x + 1)
1
1
1
1 = ln 5 − ln 3 − ( ln 3 − ln 2 )
2

= ln 2 − 2 ln 3 + ln 5 .
a + b + c = 1 + ( −2 ) + 1 = 0
Do đó: a = 1, b = −2, c = 1 . Vậy
.
3

x+2
dx = a + b ln c,
x
1
Câu 52. [2D3-2.1-1] Biết

với a, b, c ∈ ¢ , c < 9. Tính tổng S = a + b + c.
A. S = 7 .
B. S = 5 .
C. S = 8 .
D. S = 6 .
Lời giải
3
3
3
3
3
x+2
2
 2
∫1 x dx = ∫1 1 + x ÷ dx = ∫1 dx + ∫1 x dx = 2 + 2 ln x 1 = 2 + 2 ln 3.
Ta có

∫

Do đó a = 2, b = 2, c = 3 ⇒ S = 7.
Câu 53.

[2D3-2.1-2] (THPT AN LÃO HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Biết
0

3x 2 + 5 x − 1
2
∫−1 x − 2 dx = a ln 3 + b, ( a, b ∈ ¡ )
. Khi đó giá trị của a + 4b bằng
A. 50

B. 60
C. 59
D. 40
Lời giải
Chọn C
I=

0

I=

Ta có

0
3x 2 + 5 x − 1
21 

3 2
0
dx
=
∫−1 x − 2
∫−1  3x + 11 + x − 2 ÷ dx =  2 x + 11x + 21.ln x − 2 ÷ −1

2 19
19
= 21.ln +
a = 21, b =
3 2 . Suy ra
2 . Vậy a + 4b = 59

Câu 54.

[2D3-2.1-2] (PEN I - THẦY LÊ ANH TUẤN - ĐỀ 3 - NĂM 2019) Biết
x2 − 2
−1
∫0 x + 1 dx = m + n ln 2 , với m, n là các số nguyên. Tính m + n .
A. S = 1 .
B. S = 4 .
C. S = −5 .
1

D. S = −1 .

Lời giải
Trang 15/59 - Mã đề 145


Chọn A

∫

1

1
1 dx
x2 − 2
( x − 1) 2
−1
dx = ∫ ( x − 1)dx − ∫

=
− ln | x + 1|10 =
− ln 2
0
0 x +1
x +1
2 0
2

1

0

⇒ m = 2, n = −1 ⇒ m + n = 1
Câu 55.

[2D3-4.4-2] (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG TRỊ NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tích phân
1

I =∫
0

( x − 1)

2

x2 + 1

dx = a − ln b

trong đó a , b là các số nguyên. Tính giá trị của biểu thức a + b .
B. 0 .
C. −1 .
D. 3 .

A. 1 .

Lời giải
1

Ta có

I =∫
0

( x − 1)

2

1

1

1

1
2x 
1
1


dx = ∫  1 − 2
d ( x 2 + 1) = x 0 − ln ( x 2 + 1) = 1 − ln 2
÷dx = ∫ dx − ∫ 2
2
0
x +1
x +1 
x +1
0
0
0

a = 1
⇒
⇒ a+b = 3
b = 2
.
Câu 56.

[2D3-2.1-2] (CHUYÊN TRẦN PHÚ HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Biết
5

x2 + x + 1
b
∫3 x + 1 dx = a + ln 2
A. S = 2 .

với a , b là các số nguyên. Tính S = a - 2b .
B. S = −2 .
C. S = 5 .

D. S = 10 .
Lời giải
5

5
 x2

x2 + x + 1
1 
3

a = 8
d
x
=
x
+
d
x
=
∫3 x + 1
∫3  x + 1 ÷  2 + ln x + 1 ÷ = 8 + ln 2 ⇒ b = 3

⇒ S = a − 2b = 2 .
3
5

Câu 57.

[2D3-2.1-2]

2



∫  x

2

+

1

(THPT

GANG

THÉP THÁI

NGUYÊN

NĂM

2018-2019)

Cho

x 
10
a
÷dx = + ln

x +1
b
b

với a, b ∈ ¤ . Tính P = a + b ?
B. P = 5 .
C. P = 7 .
Lời giải

A. P = 1 .
2

2

D. P = 2 .

2

x 
1 
 2
 2 x +1−1
 2
∫1  x + x + 1 ÷ dx = ∫1  x + x + 1 ÷ dx = ∫1  x + 1 − x + 1 ÷ dx
Ta có
2

 x3

10

10
2 10
a
=  + x − ln x + 1 ÷ = + ln 2 − ln 3 = + ln = + ln
3
3 b
b
 3
1 3
.
Suy ra a = 2; b = 3 . Vậy a + b = 5 .
Câu 58.

[2D3-2.1-2]

(THPT

CHUYÊN

SƠN

LA

NĂM

2018-2019

LẦN

01)

Cho

3

x+3
dx = a ln 2 + b ln 3 + c ln 5
+ 3x + 2
1
, với a, b, c là các số nguyên. Giá trị của a + b + c bằng
A. 0 .
B. 2 .
C. 3 .
D. 1 .

∫x

2

Lời giải

Trang 16/59 - Mã đề 145


3

3

3

3

x+3
x+3
2
1
∫1 x 2 + 3x + 2 dx = ∫1 ( x + 1) ( x + 2 ) dx = ∫1 x + 1dx − ∫1 x + 2dx
= ( 2 ln x + 1 − ln x + 2 )

3
1

= 2 ln 2 + ln 3 − ln 5

Suy ra a = 2 , b = 1 , c = −1 .
Nên a + b + c = 2 + 1 − 1 = 2 .
[2D3-2.1-2]

Câu 59.

4

∫x

2

3

(SỞ

GD&ĐT

PHÚ

5x − 8
dx = a ln 3 + b ln 2 + c ln 5
− 3x + 2

B. 6

A. 12

THỌ

NĂM

2018-2019

LẦN

01)

Cho

a − 3b + c
, với a, b, c là các số hữu tỉ. Giá trị của 2
bằng
C. 1
D. 64

Lời giải
Chọn D

3 ( x − 2 ) + 2 ( x − 1)
5x − 8
5x − 8
2 
 3
I =∫ 2
dx = ∫
dx = ∫
dx = ∫ 
+
÷dx
x − 3x + 2
x − 1) ( x − 2 )
x − 1) ( x − 2 )
x −1 x − 2 
(
(

3
3
3
3
Ta có:
4
= ( 3ln x − 1 + 2 ln x − 2 ) = 3ln 3 + 2 ln 2 − 3ln 2 = 3ln 3 − ln 2 + 0.ln 5
3
4

Suy ra

4

a = 3

a −3b + c
= 26 = 64
b = −1 ⇒ 2
c = 0


4

4

.

5

Câu 60.

[2D3-2.1-2] Biết
A. S = 2 .

x2 + x + 1
b
∫3 x + 1 dx = a + ln 2
B. S = −2 .

với a , b là các số nguyên. Tính S = a - 2b .
C. S = 5 .
D. S = 10 .
Lời giải

Chọn A
5

5
 x2

x2 + x + 1
1 
3

a = 8
∫3 x + 1 dx = ∫3  x + x + 1 ÷ dx =  2 + ln x + 1 ÷ = 8 + ln 2 ⇒ b = 3

⇒ S = a − 2b = 2 .
3
5

1

Câu 61.

[2D3-4.5-2] Biết rằng
A. 14 .
1

I =∫
0

Xét

∫x
0

2

1
π a
dx =
+ x +1
b

B. 15 .

( a , b ∈ ¢ , a < 10 ) . Khi đó a + b có giá trị bằng

C. 13 .
Lời giải

D. 12 .

1

1
1

dx = ∫
dx
2
2
x + x +1
1
3

0 
x+ ÷ +
2

 4 .

 −π π 
1
3
3
t ∈
, ÷
=
tan t
dx =
1 + tan 2 t ) dt
(
2
2


2

2
2
Đặt
, với
. Khi đó
.
π
t=
6.
Với x = 0 , ta có
x+

Trang 17/59 - Mã đề 145


Với x = 1 , ta có
π
3

I =∫

Khi đó
Câu 62.

π
6

t=

π

3.

π
3
π
1 + tan 2 t )
3
(
3
2
2
π 3
2
dt = ∫
dt=
t =
3
9
3
3 π
π
1 + tan 2 t )
(
6
6
4
. Từ đó suy ra

a = 3
⇒ a + b = 12


b = 9
.

[2D3-2.1-2] (ĐỀ THI CÔNG BẰNG KHTN LẦN 02 NĂM 2018-2019) Biết
2

x2 + 5x + 2
∫0 x 2 + 4 x + 3 dx = a + b ln 3 + c ln 5
A. −8 .

,

( a, b, c ∈ ¤ ) . Giá trị của

abc bằng

C. −12 .
Lời giải

B. −10 .

D. 16 .

Ta có:
2

x −1
x2 + 5x + 2
=

d
x
∫0 x 2 + 4 x + 3 ∫0 1 + ( x + 1) ( x + 3)
2

2

1
2 

2
d
x
=
+
÷
1 −
÷dx
∫
÷
x + 1 x + 3  = ( x − ln x + 1 + 2 ln x + 3 ) 0

0

= 2 − 3ln 3 + 2 ln 5 .

Vậy a = 2, b = −3, c = 2 , do đó abc = −12 .

Câu 63.

[2D3-4.10-2] (THPT NGUYỄN TRÃI - ĐÀ NẴNG - 2018) Giả sử rằng
0

3x 2 + 5 x − 1
2
∫−1 x − 2 dx = a ln 3 + b
. Khi đó, giá trị của a + 2b là
A. 30 .
B. 60 .
C. 50 .

D. 40 .

Lời giải
Ta có:
0

I=

0

3x 2 + 5x − 1
21 

∫−1 x − 2 dx = −∫1  3x + 11 + x − 2 ÷ dx
0

 3x 2

19

⇒I =
+ 11x + 21.ln x − 2  = 21.ln 2 + − 21.ln 3
2
 2
 −1
a = 21

2 19 ⇒  19
b=
⇒ I = 21ln +


2 ⇒ a + 2b = 40 .
3 2

Câu 64.

[2D3-2.2-3]
π
2

3sin x − cos x

(CHUYÊN

∫ 2sin x + 3cos x dx =
0

22
A. 3 .

HẠ

LONG

NĂM

2018-2019

LẦN

02)

Biết

−11
ln 2 + b ln 3 + c ( b, c ∈ Q )
3

22π
B. 3 .

b
. Tính c ?
22
C. 3π .

22π
D. 13 .

Lời giải

Trang 18/59 - Mã đề 145


m ( 2sin x + 3cos x ) + n ( 2 cos x − 3sin x )
3sin x − cos x
=
2sin x + 3cos x
Đặt: 2sin x + 3cos x
( 2m − 3n ) sin x + ( 3m + 2n ) cos x
=
2sin x + 3cos x
3

m = 13
2m − 3n = 3
⇔

3m + 2n = −1 n = − 11

13 .
Đồng nhất hệ số ta có:
π 3
11
( 2sin x + 3cos x ) − ( 2 cos x − 3sin x )
2
3sin x − cos x
13
dx

∫0 2 sin x + 3cos x dx = ∫0 13
2sin x + 3cos x

π
2

Nên:
π
2

3
 3 11 2 cos x − 3sin x 
= ∫ − .
dx = ( x )

13 13 2sin x + 3cos x 
13
0 

π
2
0

−

π
2

11 2 cos x − 3sin x
dx

13 ∫0 2 sin x + 3cos x

π

π
3π 11 2 d ( 2sin x + 3cos x )
3π 11
=
−
dx =
− ln 2sin x + 3cos x 2
26 13 ∫0 2 sin x + 3cos x
26 13
0
11

b = 13
b 11 26 22
⇒ = .
=

3
π
c
13
3
π
3π
3π 11
11

c =
=
− ln 2 + ln 3

26
26 13
13
. Do đó: 
.
Câu 65.

[2D3-4.3-3] (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH LẦN 1 NĂM 2018-2019) Biết
4

x3 + x 2 + 7 x + 3
a
a
∫1 x 2 − x + 3 dx = b + c ln 5 a b c
với , , là các số nguyên dương và b là phân số tối giản.
2
3
Tính P = a − b − c .
A. −5 .

B. −4 .

C. 5.
Lời giải

D. 0.

4

3 ( 2 x − 1) 
x3 + x2 + 7 x + 3
x
+
2
+
d
x
=

÷dx
2
∫
2
∫1 x − x + 3
x
−
x
+
3


1
Ta có

4

4
4
d ( x 2 − x + 3) 27
4
27
1 2

=  x + 2 x ÷ + 3∫ 2
=
+ 3ln x 2 − x + 3 =
+ 3ln 5
1
x − x+3
2
2
2
1
1
.

4

x3 + x 2 + 7 x + 3
a
∫1 x 2 − x + 3 dx = b + c ln 5
Mà
, suy ra a = 27 , b = 2 , c = 3 .
2
3
Vậy P = a − b − c = −4 .

Câu 66.

[2D3-2.1-3] (TT THANH TƯỜNG NGHỆ AN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Cho
1

4 x 2 + 15 x + 11
∫0 2 x 2 + 5 x + 2 dx = a + b ln 2 + c ln 3

A. 4 .

B. 6 .

với a , b , c là các số hữu tỷ. Biểu thức T = a.c − b bằng
−1
1
C. 2 .
D. 2 .
Trang 19/59 - Mã đề 145


Lời giải
Ta có
1
1
1
4 x 2 + 15 x + 11
(4 x 2 + 10 x + 4) + (5 x + 7)
5x + 7 

d

x
=
d
x
=
2+ 2
÷dx
2
∫0 2 x 2 + 5 x + 2
∫0
∫
2 x + 5x + 2
2 x + 5x + 2 
0
1
1
3 
3
5


1
= ∫2+
+
÷dx =  2 x + ln | x + 2 | + ln | 2 x + 1| ÷ 0 = 2 − ln 2 + ln 3
x + 2 2x +1 
2
2



0

Vậy a = 2 , b = −1 ,

c=

5
2 nên T = 6 .

Dạng 3. Giải tích phân bằng phương pháp VI PHÂN

F ( x)

Câu 67. (MÃ ĐỀ 110 BGD&ĐT NĂM 2017) Cho
I = F ( e ) − F ( 1)

Tính:
A.

I=

1
2

là một nguyên hàm của hàm số

f ( x) =

ln x
x .

?
B.

I=

1
e

D. I = e

C. I = 1
Lời giải

Chọn A
e

Theo định nghĩa tích phân:
.

I = F ( e ) − F ( 1) = ∫
1

1

Câu 68.

(Mã đề 102 BGD&ĐT NĂM 2018)
1( 4
e + e)

3
A. 3
B. e − e

∫e

e

e

e

ln x
ln 2 x
1
f ( x ) dx = ∫
dx = ∫ ln x.d ( ln x ) =
=
x
2 1 2
1
1

3 x +1

dx
bằng

0

1( 4
e − e)
C. 3
Lời giải

4
D. e − e

Chọn C
1

∫e
0

1

1
1
dx = ∫ e3 x +1d( 3 x + 1) = 1 e3 x +1 = 1 ( e 4 − e )
30
3
0
3
.

3 x +1

2

Câu 69.

(Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018)
1 5 2
1 5 2
e +e )
(
( e −e )
A. 3
B. 3

∫e

3 x −1

dx
bằng

1

1 5 2
e −e
C. 3
Lời giải

5
2
D. e − e

Chọn B
2

∫e

Ta có 1

2
1
dx = e3 x −1 = 1 ( e5 − e 2 )
1
3
3
.

3 x −1

6

Câu 70.

(MÃ ĐỀ 123 BGD&DT NĂM 2017) Cho
A. I = 5
B. I = 36

∫ f (x)dx = 12
0

C. I = 4

2

. Tính

I = ∫ f (3x)dx.
0

D. I = 6
Trang 20/59 - Mã đề 145


Lời giải
Chọn C
2

Ta có:
Câu 71.

2

6

1
1
1
I = ∫ f (3x)dx = ∫ f (3x)d3x = ∫ f (t)dt = .12 = 4.
30
30
3
0

[2D3-2.1-1] (THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH NĂM 2018-2019 LẦN 01)

với m , p ,

Cho
bằng
A. 10 .

và là các phân số tối giản. Giá trị
22
C. 3 .
Lời giải

B. 6 .

D. 8 .

Chọn C
1
= ×e 3 x- 1
3

Ta có

2
1

=

1
1 5

e - e2 )
m=
(
3
3 , p = 5 và q = 2 .
. Suy ra

1
22
m + p + q = +5 +2 =
3
3 .
Vậy

Câu 72.

[2D3-2.1-1] (THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH NĂM 2018-2019 LẦN 01)
1

Tích phân
A. ln 2 − 1 .

I =∫
0

1
dx
x +1

có giá trị bằng

B. − ln 2 .

C. ln 2 .
Lời giải

D. 1 − ln 2 .

Chọn C
1

Cách 1: Ta có:
Câu 73.

1

1
d( x + 1)
1
I =∫
dx = ∫
= ln x + 1 0 = ln 2 − ln1 = ln 2
x +1
x +1
0
0

C.

[2D3-2.2-1] (TRƯỜNG THPT HOÀNG HOA THÁM HƯNG YÊN NĂM 2018-2019) Tính
3

K=∫
2

x
dx
x −1 .
2

1 8
K = ln
2 3.
B.

A. K = ln 2 .

C. K = 2 ln 2 .
Lời giải
3
3
3
x
1
1
1
K = ∫ 2 dx = ∫ 2 d ( x 2 − 1) = ln x 2 − 1 = 1 ln 8
2 2 3.
x −1
2 2 x −1
2

2
1

Câu 74.

. Chọn đáp án

[2D3-2.2-2] Biết rằng
A. 4 .

∫ xe

x2 +2

dx =

0

B. 7 .

(

a b c
e −e
2

)

8
K = ln .

3
D.

với a, b, c ∈ ¢ . Giá trị của a + b + c bằng

C. 5 .
Lời giải

D. 6 .

Trang 21/59 - Mã đề 145


1

Ta có:

∫ xe

x2 + 2

0

1

2
1
1 2 1 1
dx = ∫ e x + 2 d x 2 + 2 = e x + 2 = e 3 − e 2 .
0 2

20
2

(

)

(

)

Nên a = 1 , b = 3 , c = 2 .
Vậy a + b + c = 6 .
Câu 75.

[2D3-2.2-2]
e

∫x

2

1

(KTNL

GV

THPT

LÝ

THÁI

TỔ

NĂM

2018-2019)

Biết

x +1
dx = ln ( ae + b )
+ x ln x
với a, b là các số nguyên dương. Tính giá trị của biểu thức

T = a 2 − ab + b 2 .
A. 3.

B. 1.

C. 0.
Lời giải

D. 8.

Chọn B
1
e 1+

e
x +1
x dx = d ( x + ln x ) = ln ( x + ln x ) e = ln ( e + 1)
dx
=
∫1 x2 + x ln x ∫1 x + ln x ∫1 x + ln x
1
e

2
2
Vậy a = 1, b = 1 nên T = a − ab + b = 1.

Câu 76.

[2D3-2.3-3] (THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH NĂM 2018-2019 LẦN 01)
2

Biết

∫ ( x + 1)

2

e

x−

1
x

p
q

dx = me − n

1

p
, trong đó m, n, p, q là các số nguyên dương và q là phân số tối

giản. Tính T = m + n + p + q .
A. T = 11 .
B. T = 10 .

C. T = 7 .
Lời giải

D. T = 8 .

Chọn B
2

Ta có:

I = ∫ ( x + 1) e
2

I1 = ∫ ( x + 1) e
2

x−

=x e

x−

1 2
x
1
2

− ∫e

⇒ I1 + ∫ 2 xe
1

2

x−

1

x−

1
x

1
x

2

dx = ∫ ( x 2 + 2 x + 1) e

x−

1
x

1

1
x

1

2

1
x

1

2

Xét

x−

2

dx = ∫ x .e
2

x−

1

d(x

2

)

=x e
2

x−

1 2
x
1

1 2
x−
2
x

dx = x e

1

1
x

2

dx = ∫ ( x 2 + 1) e
1

x−

1
x

2

dx + ∫ 2 xe

x−

1
x

dx

1

2

2
1
1
x−
x− 
x2 + 1
1
2
2 
x 
. 2 dx = ∫ x .e d  x − ÷ = ∫ x d  e x ÷
x
x 1



1
2

− ∫ 2 xe

x−

1
x

x−

1 2
x

dx

1

⇒I=x e
2

3

= 4e 2 − 1

1

m = 4
n = 1

⇒
p
2
1
2 x−
p
q
p = 3
∫1 ( x + 1) e x dx = me − n
+
 q = 2
Do
, trong đó m, n, p, q ∈ ¢ và q là phân số tối giản

Khi đó, T = m + n + p + q = 4 + 1 + 3 + 2 = 10 .

Trang 22/59 - Mã đề 145


Câu 77.

[2D3-2.4-3] Số điểm cực trị của hàm số
A. 0
B. 1
Chọn D

d (1+ t
2tdt
f ( x) = ∫
=∫
2
1+ t
1+ t2
2x
2x
x2

Ta có

x2

2

f ( x) =

x2

2tdt

∫ 1+ t

2x

2

là
D. 3

C. 2
Lời giải

) = ln 1 + t
( )
2

x2
2x

= ln ( 1 + x 4 ) − ln ( 1 + 4 x 2 )

x = 0
4 x3
8x


f ′( x) = 0 ⇔
−
=0⇔
4
2
4 x3
8x2
1
+
x
1
+
4
x
f ′( x) =
−
 x = ±
1 + x4 1 + 4x2 ;
Trục xét dấu:

.

17 − 1
2
.

Từ đó ta thấy hàm số có 3 điểm cực trị.
Câu 78.

[2D3-2.2-2] (CHUYÊN BẮC GIANG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Cho hàm số

y = f ( x)

có

1

I = ∫ f ′ ( x ) e f ( x ) dx

f ( 0 ) = f ( 1) = 5
đạo hàm trên ¡ đồng thời thỏa mãn
. Tính tích phân
A. I = 10
B. I = −5
C. I = 0
Lời giải
Chọn C
1

I = ∫ f ′( x) e
0

f ( x)

1

dx = ∫ e f ( x ) d ( f ( x ) ) = e f ( x ) = e f ( 1) − e f ( 0) = e5 − e5 = 0
0

0

.

D. I = 5

1

0

.

Dạng 4. Giải tích phân bằng phương pháp ĐỔI BIẾN SỐ
Dạng. Hàm số tường minh
Dạng. Hàm số chứa căn thức
21

Câu 79.

(Mã đề 102 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho
số hữu tỉ. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. a − b = −2c
B. a + b = −2c

∫x
5

dx
x+4

= a ln 3 + b ln 5 + c ln 7

C. a + b = c
Lời giải

, với a, b, c là các

D. a − b = −c

Chọn B
Đặt t = x + 4 ⇒ 2tdt = dx .
Với x = 5 ⇒ t = 3 ; x = 21 ⇒ t = 5
21

Ta có

∫
5

5

dx
dt
5
1
1
1
1
= 2∫ 2
=
ln

t
−
2
−
ln
t
+
2
=
ln
2
+
ln
5
−
ln 7
(
)
t −4 2
x x+4
3
3
2
2
2
.

Trang 23/59 - Mã đề 145

55

∫x

Câu 80. (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho
số hữu tỉ. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. a + b = 3c
B. a − b = −3c

16

dx
= a ln 2 + b ln 5 + c ln11
x+9
, với a, b, c là các

D. a + b = c

C. a − b = −c
Lời giải

Chọn.
A.
2
Đặt t = x + 9 ⇒ t = x + 9 ⇒ 2tdt = dx .
Đổi cận x = 16 ⇒ t = 5 , x = 55 ⇒ t = 8 .
55

∫

8

8
8
2tdt
dx
dt
1  1
1 
1 x−3 8
=∫ 2
= 2∫ 2
= ∫
−
dx = ln
÷
t −9 3 5  x −3 x +3
x x +9 5 t t −9
3 x+3 5
5

(

)

Do đó 16
1 5 1 1 2
1
1
= ln − ln = ln 2 + ln 5 − ln11

3 11 3 4 3
3
3
.
2
1
1
a = ;b = ;c = −
3
3
3 ⇒ a − b = −c .
Vậy

2

Câu 81.

(ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2017) Tính tích phân
u = x 2 − 1 , mệnh đề nào dưới đây đúng?
3

A.

I=
B.

0

1
udu

2 ∫1

1

3

2

I = ∫ udu

I = ∫ 2 x x 2 − 1dx

C.
Lời giải

bằng cách đặt

2

I = 2 ∫ udu

D.

0

I = ∫ udu
1

Chọn A
2

I = ∫ 2 x x 2 − 1dx
1

2
đặt u = x − 1 ⇒ du = 2 xdx . Đổi cận x = 1 ⇒ u = 0 ; x = 2 ⇒ u = 3

3

Nên

Câu 82.

I = ∫ udu
0

[2D3-4.1-2]
ln 6

∫ 1+
0

ex
ex + 3

A. T = −1 .

(SGD

-

NAM

ĐỊNH

-

LẦN

1

-

2018)

Biết

tích

phân

dx = a + b ln 2 + c ln 3

, với a , b , c là các số nguyên. Tính T = a + b + c .
B. T = 0 .
C. T = 2 .
D. T = 1 .
Lời giải

x

2
x
x
Đặt t = e + 3 ⇒ t = e + 3 ⇒ 2tdt = e dx .

 x = ln 6 t = 3
⇒

x
=
0

t = 2 .
Đổi cận

Trang 24/59 - Mã đề 145


ln 6

∫ 1+

Suy ra

3

ex

0

ex + 3

3
3
2tdt
2 

= ∫2−
dt = ( 2t − 2 ln t + 1 )
÷
2 = ( 6 − 2 ln 4 ) − ( 4 − 2 ln 3 )
1+ t
1+ t 
2
2

dx = ∫

a = 2

= 2 − 4 ln 2 + 2 ln 3 ⇒ b = −4
c = 2


.

Vậy T = 0 .
1

Câu 83.

[2D3-4.1-2] (CHUYÊN VINH - LẦN 1 - 2018) Tích phân
4
3
1
A. 3 .
B. 2 .
C. 3 .

dx
3 x + 1 bằng

∫
0

2
D. 3 .

Lời giải
2t
⇒ dt = dx
2
3
Đặt t = 3 x + 1 ⇒ t = 3 x + 1 ⇒ 2tdt = 3dx
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1 ; x = 1 ⇒ t = 2
1

Khi đó

∫

0

1

1

1
dx
2 1
2
= ∫ .tdt = ∫ dt = 2 t = 2
30
3x + 1 3 0 t
3 0 3.

Cách khác: Sử dụng công thức

∫

dx
2
=
ax + b + C
ax + b a
thì
2

Câu 84.

1

∫
0

1

dx
2
=
3x + 1 = 2
3x + 1 3
0
3.

dx
dx = a − b − c
x + x x +1
với a, b, c

∫ ( x + 1)

(ĐỀ THAM KHẢO BGD & ĐT 2018) Biết 1
là các số nguyên dương. Tính P = a + b + c
A. P = 18
B. P = 46
C. P = 24
Lời giải
Chọn B
Cách 1
2

2

D. P = 12

2

dx
dx
x + x +1
∫1 ( x + 1) x + x x + 1 dx = ∫1 x( x + 1) x + 1 + x = ∫1
x ( x + 1) x + x + 1

(

)

(

I=
Khi đó

∫

1+ 2

dx

x +1 + x
dx

x ( x + 1)

1 
 1
t = x + 1 + x ⇒ dt = 
+
÷dx ⇔ 2dt =
2
x
+
1
2
x


Đăt
2+ 3

)

2

2+ 3

2
 −2 
dt =  ÷
2
t
 t  1+

= −2 3 + 4 2 − 2 = 32 − 12 − 2
2

⇒ P = a + b + c = 32 + 12 + 2 = 46.

Cách 2
2

2

2

dx
dx
∫1 ( x + 1) x + x x + 1 dx = ∫1 x( x + 1) x + 1 + x = ∫1

(

2

=∫
1

2

)

(

x +1 − x
1 
 1
dx = ∫ 
−
÷dx = 2 x − 2 x + 1
x( x + 1)
x
x +1 
1

(

x +1 + x
x( x + 1)

)

2
1

(

)(

x +1 − x
x +1 + x

)

) dx

= 2 2 − 2 − 2 3 + 2 2 = 32 − 12 − 2
Trang 25/59 - Mã đề 145