Bài giảng Giải tích: Chương 2 - Phan Trung Hiếu (2019)

9/16/2019

Chương 2:

Hàm liên tục

§1. Khái niệm
GV. Phan Trung Hiếu

§1. Khái niệm
§2. Tính chất của hàm liên tục

LOG
O
2

I. Hàm số liên tục tại một điểm:
Định nghĩa 1.1. Cho hàm số f(x) xác định
trong một khoảng chứa x0. Ta nói:
(i) f(x) liên tục bên trái tại x0 nếu

lim f ( x)  f ( x0 ).

x  x0

(ii) f(x) liên tục bên phải tại x0 nếu

lim f ( x )  f ( x0 ).

x  x0

(iii) f(x) liên tục tại x0 nếu
lim f ( x)  f ( x0 ).
x  x0

Nói cách khác, f(x) liên tục tại x0 nếu thỏa 3 điều
sau:
 f(x) xác định tại x0.
 lim f ( x ) tồn tại.
x  x0

 lim f ( x )  f ( x0 ).
x  x0

3

Hàm số f(x) không liên tục tại x0 thì được gọi là gián
đoạn tại x0 nếu xảy ra một trong các điều sau:
 f(x) không xác định tại x0.
 f(x) xác định tại x0, nhưng
lim f ( x ) không tồn tại
x  x0
hoặc
lim f ( x) không tồn tại
x  x0

hoặc
lim f ( x)  lim f ( x ).

x  x0

x  x0

 f(x) xác định tại x0, lim f ( x) tồn tại, nhưng
x  x0

lim f ( x)  f ( x0 ).

4

Định lý 1.2. Nếu f và g liên tục tại x0 thì
f  g , f .g ,

f
( g  0) cũng liên tục tại x0.
g

Ví dụ 1.1: Xét tính liên tục của các hàm số sau
 sin 3x
khi x  0 tại x  0.

a ) f ( x)   x
0
3
khi x  0
 x2  1 khi x  1

b) f ( x)   x2
khi x  1

2

tại x0  1.

x x0

5

6

1


9/16/2019

Ví dụ 1.2: Cho hàm số

Ví dụ 1.4: Tìm m và n để hàm số

x tan x
f ( x) 
, x  k 2 (k  ).
1  cos x

 3mx khi x  3,

f (x )   x  n khi x  3,
x2
khi x  3.


Tìm f(0) để hàm số trên liên tục tại x0  0.
Ví dụ 1.3: Tìm m để hàm số
3
 ex 1
khi x  0

f ( x )   ln(1  x 2 )
liên tục tại x0  0.

2
1

m
khi
x

0


liên tục tại x0  3.

7

8

II. Hàm số liên tục trên một khoảng, đoạn:

Định nghĩa 2.1. Hàm số f(x) liên tục trên (a,b)
khi và chỉ khi f(x) liên tục tại mọi điểm thuộc
(a,b).

Định nghĩa 2.2:

Chú ý 2.3: Hàm f(x) liên tục trên [a,b] có đồ
thị là một đường liền nét (không đứt khúc)
trên đoạn đó.

f(x) liên tục trên (a,b)



f ( x)  f (a)
f(x) liên tục trên [a,b]   xlim
a

f ( x )  f (b)
 xlim
b

a

a

b

b



Không liên tục

Liên tục



9

10

Ví dụ 1.6: Tìm m để hàm số
Ví dụ 1.5: Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác
định

 2 x  3 khi x  0

f ( x )  1
khi x  0 .
 x 2  3 khi x  0


mx 2  2 x khi x  2
f ( x)   3
 x  mx khi x  2
liên tục trên .
Ví dụ 1.7: Tìm m và n để hàm số
1
x


f ( x)  mx  n


1
x


khi x  1
khi 1  x 
khi x 

liên tục trên .
11

1
2

1
2

12

2


9/16/2019

Định lý 2.4: Hàm đa thức, hàm mũ, hàm phân
thức hữu tỷ (thương của hai đa thức) và các
hàm lượng giác y=sinx, y=cosx, y=tanx,
y=cotx liên tục trên tập xác định của chúng.

§2. Tính chất của hàm số liên tục

Định lý 2.5: Hàm số liên tục trên một đoạn thì
đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên đoạn đó.

13

Định lý 2.6 (Định lý giá trị trung gian):
f(x) liên tục trên [a,b]
f (a )  f (b)
 c  (a , b ) : f (c )  N .
N   f ( a), f (b) 

15

14

Hệ quả 2.6:
f(x) liên tục trên [a,b]

f (a ). f (b)  0

 c  (a, b) : f (c)  0.

Ví dụ 2.1: Cho phương trình cos x  x 3 .
a) Chứng minh phương trình có nghiệm trong
khoảng (0;1).
b) Tìm một khoảng với độ dài là 0,01 có chứa
nghiệm của phương trình.

16

3


Bài tập Giải tích Chương 2
Bài 1: Xét tính liên tục của các hàm số sau tại điểm x0 cho trước
 ln(1  4 x 2 )
 arcsin( x 2  2 x )
khi x  0
khi x  0


1) f ( x)  
tại x0  0 .
2) f ( x )   1  e 2 x2
tại x0  0 .
3x
2 / 3

khi x  0
khi x  0

2
ln x  ln 2
Bài 2: Cho hàm số f ( x) 
, x  2. Tìm f(2) để hàm số liên tục tại x  2.
x2
Bài 3: Xác định m để các hàm số sau liên tục tại điểm x0  0
 3 tan 2 x  sin 2 x


2) f ( x )  
2x
m


 ln(2  cos(mx ))
khi x  0

1) f ( x)  
.
x 4  2 x2
m
khi x  0


 m sin 2 x
khi x  0,
 x

Bài 4: Tìm m và n để hàm số f ( x)  2
khi x  0,

 2n 1  x  1
khi x  0

x

Bài 5: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định



khi x  0
khi x  0

liên tục tại điểm x0  0.



 x
 sin( x )
khi x  1
khi x  1

cos
1) f ( x)   x  1
.
2) f ( x)  
2
.


khi x  1
khi x  1
 x 1
Bài 6: Xác định m để các hàm số sau liên tục trên tập xác định
 e5 mx  cos x
khi x  0

1) f ( x )  
.

x
m 2  4
khi x  0


 (1  cos(mx)).(e x  e5 x )
khi x  0

2) f ( x )  
.
x 5  x3
3m  1
khi x  0

Bài 7: Cho phương trình ln x  3  2 x .
a) Chứng minh phương trình có ít nhất một nghiệm thực.
b) Tìm một khoảng với độ dài là 0,01 có chứa nghiệm của phương trình.

4

.