Bài giảng Toán cao cấp: Chương 2 - Hoàng Mạng Dũng

CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ


u

y


u  ( x, y )


u


u
y

2.1 KHÁI NIỆM KHÔNG GIAN VÉC TƠ

Không gian véc tơ

x
z

CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ


u  ( x, y , z )

Khái niệm không gian véc tơ có nguồn
gốc từ vật lý. Ban đầu các véc tơ là

những đoạn thẳng có định hướng, với
khái niệm này người ta đã sử dụng để
biểu diễn các đại lượng vật lý như: véc
tơ vận tốc, lực tác động, lực điện từ ....


v


uv

10/7/2017

1

   
u v  v u



(k  h)u  ku  hu
 


k (u  v)  ku  kv


(kh)u  k (hu)
 
1u  u


u

Cuối thế kỷ 17 Descartes đã đề xuất
phương pháp tọa độ để giải quyết các
bài toán hình học. Với phương pháp
này mỗi véc tơ trong mặt phẳng được
đồng nhất với một cặp số là hoành độ
và tung độ còn véc tơ trong không
gian được đồng nhất với bộ ba số


u

Khái niệm không gian véc tơ 4 chiều
được Einstein (Anh-xtanh) sử dụng
trong thuyết tương đối

x

  
  
u  (v  w)  (u  v)  w
    
u 0  0u  u


  
u  (u )  (u )  u  0


ku

10/7/2017

2

CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ

CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ

V1 (u  v)  w  u  (v  w)

2.1.1. Định nghĩa và các ví dụ

V2 Có 0  V sao cho u  0  0  u  u

Giả sử V là tập khác , K là tập các số thực hoặc số phức.

V3 Với mỗi u V có u V sao cho u  (u )  (u )  u  0

V được gọi là không gian véc tơ trên K nếu có hai phép toán:

V4

: V V  V

 Phép toán trong

V6

(u , v )  u  v

V8 1u  u , trong đó 1 là phần tử đơn vị của K .

( , u )   u

Khi K   thì V được gọi là không gian véc tơ thực

thoả mãn các tiên đề sau với mọi u, v, w  V và ,   K

10/7/2017

 (u  v)   u   v

V7 ( )u   (  u )

K V  V

 Phép toán ngoài

u v  vu

V5 (   )u   u   u

Khi K   thì V thì được gọi là không gian véc tơ phức
Các phần tử của V được gọi là các véc tơ
3

10/7/2017

4

CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ


u

y




v uv

y’
u


v

x

x’


u



ku
Vậy

CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ


u  ( x, y, z )

v  ( x ', y ', z ')
 
u  v  ( x  x ', y  y ', z  z ')



xét  n  x  ( x1,..., xn ) xi  , i  1, n



Ta định nghĩa: ( x1,..., xn )  ( y1,..., yn )  ( x1  y1,..., xn  yn )

 ( x1,..., xn )  ( x1,..., xn ),   
Dễ dàng kiểm chứng lại hai phép toán này thoả mãn 8 tiên đề
của không gian véc tơ có véc tơ không là


ku  (kx, ky, kz )

0  (0,...,0)




n phÇn tö

phần tử đối của x  (x1, … , xn) là  x  (x1,… ,  xn)

( x, y, z)  ( x ', y ', z ')  ( x  x ', y  y ', z  z ')

ta có không gian véc tơ thực n

k ( x, y, z)  (kx, ky, kz)
10/7/2017

Ví dụ 2.1 Giả sử  là trường số thực,

5

10/7/2017

6

1


CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ

CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ

x  ( x1,..., xn ); y  ( y1,..., yn ); z  ( z1,..., zn )  K n  ,   K

Ví dụ 2.2

v1 x  ( y  z)  ( x1,..., xn )   ( y1,..., yn )  ( z1,..., zn ) 

  x1  ( y1  z1 ),..., xn  ( yn  zn )    ( x1  y1)  z1,...,( xn  yn )  zn 

( f  g )(t )  f (t )  g (t ), (f )(t )  f (t ), t  X

  ( x1,..., xn )  ( y1,..., yn )   ( z1,..., zn )  ( x  y)  z

v2 x  0  ( x1,..., xn )  (0,...,0)  ( x1,..., xn )  x
v3 ( x1,..., xn )  ( x1,...,  xn )  (0,...,0)  0

x  y  ( x1  y1,..., xn  yn )  ( y1  x1,..., yn  xn )  y  x

v4

v5 (   ) x  (   )( x1,..., xn )   (   ) x1,...,(   ) xn    x   x
v6  ( x  y)   ( x1  y1,..., xn  yn )  ( x1   y1,...,  xn   yn )   x   y
v7 (  ) x  (  )( x1,..., xn )   (  ) x1,...,( ) xn      x1,...,  xn    ( x)
v8 1x  1( x1,..., xn )  ( x1,..., xn )  x
10/7/2017

Ký hiệu X là tập các hàm số xác định trên tập con X  , X  
Ta định nghĩa phép toán cộng và nhân với số thực như sau:

7

Với hai phép toán này X có cấu trúc không gian véc tơ thực với
véc tơ không là 0(t)  0,  t  
Ví dụ 2.3

Gọi Pn là tập các đa thức bậc  n, n là số nguyên dương cho trước:



10/7/2017

CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ

Tính chất
1) Véc tơ 0 là duy nhất

Gọi P là tập các đa thức





 Pn  p p  a0  a1t  ...  ant n ; a0 , a1,..., an , n 

n

8

CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ

Ví dụ 2.4

P



Pn  p p  a0  a1t  ...  ant n ; a0 , a1 ,..., an 

Ta định nghĩa phép cộng hai đa thức và phép nhân một số với một
đa thức như phép cộng hàm số và phép nhân một số với hàm số
trong Ví dụ 2.2 thì Pn là không gian véc tơ với véc tơ không là đa
thức 0

Ta định nghĩa phép cộng là phép cộng hai đa thức và phép nhân
với một số với đa thức theo nghĩa thông thường ở Ví dụ 2.3 thì

P là không gian véc tơ và Pn  P với mọi n  .

véc tơ đối  u của u với mọi uV là duy nhất

2) Có luật giản ước: u  v  u  w  v  w.
3) Với mọi u V , 0u  0, (1)u  u .

4) Với mọi   K , 0  0 .
5) Nếu u  0 thì   0 hoặc u  0 .

10/7/2017

9

10/7/2017

CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ

CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ

Từ định nghĩa của không gian véc tơ ta có thể mở rộng các phép
toán sau
1) Ta có thể định nghĩa phép trừ hai véc tơ

2.2. KHÔNG GIAN VÉC TƠ CON
2.2.1. Định nghĩa và ví dụ
Giả sử tập con W   của V thỏa mãn tính chất:

u  v : u  (v)

w  u v  u  wv
2) Do tính kết hợp của phép cộng nên ta có thể định nghĩa theo
qui nạp: n

 u k  u1  ...  u n  (u1  ...  u n 1 )  u n

Tương tự

10

k 1

 u, v W: u  v W

(2.1)

 u W ,   : u W

(2.2)

Khi đó có thể xác định 2 phép toán từ không gian V thu hẹp vào W

: W W  W
(u , v)  u  v

:  W  W
(  , u )  u

n

  k u k   1u1  ...   n u n  ( 1u1  ...   n 1u n 1 )   n u n

k 1

biểu thức này được gọi là một tổ hợp tuyến tính của các véc tơ

u1 ,..., u n
10/7/2017

11

Hai phép toán này thỏa mãn các điều kiện V1, V4, V5, V6, V7, V8
của không gian véc tơ. Ngoài ra vì W   do đó tồn tại ít nhất véc
tơ u  W, suy ra 0  0u W và  u W : u  (1)u W .
10/7/2017

12

2

CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ

V1
V4
V5
V6
V7

CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ

(u  v)  w  u  (v  w)

u v  vu
(   )u   u   u
 (u  v)   u   v
( )u   (  u )

Định nghĩa
Hai phép toán này thỏa mãn các
điều kiện V1, V4, V5, V6, V7, V8
của không gian véc tơ.

Tập con W   của V thỏa mãn thỏa mãn điều kiện (2.1)-(2.2)
được gọi là không gian véc tơ con của V (hay nói tắt: không gian
con của V )
Định lý 2.2:

V8  u W :1u  u

Ngoài ra vì W   do đó tồn tại ít nhất véc tơ u  W, vậy 00uW

Giả sử tập con W   của V , khi đó W không gian véc tơ con
của V khi và chỉ khi:

u, v W ,  ,   :  u   v W

V2  u W : u  0  u
V3 Với mọi u  W;  u  (1)uW: u +( u)  0

Tập {0} chỉ gồm véc tơ không là không gian véc tơ con nhỏ
nhất của V

Vậy W thỏa mãn các tiên đề V1 – V8 của không gian véc tơ

10/7/2017

V là không gian véc tơ con lớn nhất của V
13

10/7/2017

14

CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ

CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ

2.2.2. Không gian con sinh bởi một hệ véc tơ

Ví dụ 2.6

Định lý 2.3:

W1  u  ( x, y,0) x, y   3



Nếu Wi 

iI



W2  u  ( x, y, z )  2 x  3 y  4 z  0
3

 Wi cũng là không

iI

gian con của V .

là hai không gian véc tơ con của 3

Từ Định lý 2.3 suy ra rằng với mọi tập con S bất kỳ của V luôn tồn
tại không gian con W bé nhất của V chứa S .

W3  u  ( x, y,1) x, y   3
không là không gian véc tơ con của

là họ các không gian con của V thì

W là giao của tất cả các không gian con của V chứa S
3

Định nghĩa

Không gian W bé nhất chứa S được gọi là không gian sinh bởi hệ S ,
ký hiệu W  span S , và S được gọi là hệ sinh của W

Khi S hữu hạn thì W được gọi là không gian véc tơ hữu hạn sinh
10/7/2017

15

10/7/2017

CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ

CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ

Định lý 2.4

W  span S bằng tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính của S .
1) Trường hợp S hữu hạn: S  v1,..., vn 

u W  1,..., n : u  1v1  ...   nvn





W  1vi1  ...   nvin 1,..., n ; vi1 ,..., vin  S ; n  1,2,...

Ví dụ 2.11

Ta chứng minh W là không gian con bé nhất chứa S

Trong không gian vec tơ con

vi  S ; vi  0v1  ...  1vi  ...  0vn W  S  W
 ,  
; u, v W : u  1v1  ...   nvn , v  1v1  ...  nvn
 u   v   (1v1  ...  nvn )   (1v1  ...  nvn )  (1  1)v1  ...  (n  n )vn W
Giả sử W’ là không gian con của V chứa S

W1  ( x, y,0) | x, y    3
u W1  u  ( x, y,0)  x(1,0,0)  y(0,1,0)  xe1  ye2
Vậy

u W : u  1v1  ...  nvn W '  W  W '
10/7/2017

2) Trường hợp S vô hạn tập W có dạng

u W  1,..., n ; vi1 ,..., vin  S : u  1vi1  ...   nvin

W  1v1  ...   nvn 1,...,  n 

Vậy

16

17

W1  span e1, e2 

10/7/2017

18

3


CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ

Ví dụ 2.11



CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ

2.3. ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH, PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH



Không gian véc tơ con W2  u  ( x, y, z ) 3 2 x  3 y  4 z  0 có
3

u  ( x, y, z ) W2  2 x  3 y  4 z  0  x  3/ 2 y  2 z
3
 y
u  ( x, y, z ) W2  u   y  2 z , y, z   (3,2,0)  z (2,0,1)
2
 2

tính chất

Xét v1  (3,2,0) , v2  (2,0,1) W2 , ta được W2  span v1, v2 .

Ta cũng có

Khái niệm phụ thuộc tuyến tính khái quát hóa từ khái niệm 2 véc
tơ cùng phương và 3 véc tơ đồng phẳng
Cho hệ n véc tơ S  {u1, ... , un} của V (các véc tơ này có thể
trùng nhau)
Hệ S  {u1, ... , un} phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi ta có thể
tìm được 1, ... ,  n   không đồng thời bằng 0 sao cho

3

3

u  ( x, y, z ) W2  u   y  2 z, y, z   y  ,1,0   z (2,0, 1)
2

2

3


Do đó W2  span v '1, v '2  ; v '1   ,1,0  , v '2  (2,0, 1)
2


Hệ không phụ thuộc tuyến tính được gọi hệ là độc lập tuyến tính

10/7/2017

10/7/2017

Như vậy một không gian véc tơ có thể được sinh bởi nhiều hệ
sinh khác nhau
19

1u1     nun  0

Vậy hệ S độc lập tuyến tính nếu

1u1     nun  0,1,..., n  thì 1  ...   n  0

CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ

Ví dụ 2.13 e1  (1,0,0), e2  (0,1,0), e3  (0,0,1) 

20

CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ

3

Định lý 2.6

Hệ e1, e2 , e3  là độc lập, vì nếu 1e1   2e2  3e3  0

1) Nếu v1 ,..., v n  độc lập tuyến tính và u  1v1  ...   nvn thì cách

thì 1 (1,0,0)   2 (0,1,0)  3 (0,0,1)  (1, 2 ,3 )  (0,0,0)

viết này là duy nhất.
u  1v1  ...   nvn  0  u  u  (1  1)v1  ...  ( n  n )vn

u  1v1  ...   nvn  1  1  ...   n  n  0  1  1,..., n  n

 1   2  3  0
Ví dụ 2.14

 Hệ chứa véc tơ 0 là hệ phụ thuộc tuyến tính

 Hệ hai véc tơ u1, u2  là hệ phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi
chúng tỷ lệ, nghĩa là u1  u2 hoặc u2  u1
 Xét các véc tơ u1  (4, 2,8) , u2  (6,3, 12) , u3  (3, 2,5)

Hệ hai véc tơ u1, u2  phụ thuộc tuyến tính ( u2  3/ 2u1)
và hệ u1, u3 độc lập tuyến tính

10/7/2017

2) Hệ véc tơ chứa hệ con phụ thuộc tuyến tính là hệ phụ thuộc
tuyến tính. Vì vậy, mọi hệ con của hệ độc lập tuyến tính là hệ độc

lập tuyến tính
Giả sử hệ S  u1,..., um  chứa hệ con u1,..., un  phụ thuộc

Khi đó tồn tại 1,..., n  không đồng thời bằng 0 sao cho 1u1  ...   nun  0
Chọn  n 1  ...  m  0 ta được

1,..., n , n 1,..., m

không đồng thời bằng 0 thỏa mãn 1u1  ...   nun   n1un1  ...   mum  0
21

10/7/2017

CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ

22

CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ

3) Một hệ véc tơ là phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi có một véc
tơ là tổ hợp tuyến tính của các véc tơ còn lại
Giả sử hệ S  u1,..., un  phụ thuộc tuyến tính, khi đó tồn tại 1,..., n 
không đồng thời bằng 0 sao cho 1u1  ...   nun  0
Giả sử 1  0 ta được u1  ( 2 / 1)u2  ...  ( n / 1)un

4) Giả sử hệ v1,..., vn  độc lập tuyến tính. Khi đó hệ v1,..., vn , u
phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi u là tổ hợp tuyến tính của các véc
tơ v1,..., vn , khi đó ta có thể biểu diễn duy nhất u  1v1  ...   nvn

2.4. HẠNG CỦA MỘT HỆ HỮU HẠN CÁC VÉC TƠ

2.4.1. Hệ con độc lập tuyến tính tối đại
Cho hệ S các véc tơ của không gian véc tơ V. Hệ con S của hệ
S được gọi là độc lập tuyến tính tối đại của S nếu thỏa mãn hai
điều kiện sau:
1) S là hệ độc lập tuyến tính
2) Nếu thêm bất kỳ véc tơ nào của S vào S thì ta có hệ phụ
thuộc tuyến tính (tối đại)

(): suy từ 3)

(): Giả sử v1,..., vn , u phụ thuộc khi đó tồn tại các số 1,...,  n , 
không đồng thời bằng 0 sao cho 1v1  ...   nvn   u  0


Vì hệ v1,...,vn  độc lập nên   0 , do đó u   1 v1  ...  n vn


Hạng
Cách viết duy nhất suy từ tính chất 1)
10/7/2017

23

Nói riêng hệ {v1, … , vn} là hệ con độc lập tuyến tính tối đại của V
nếu hệ {v1, … , vn} độc lập và nếu thêm bất kỳ véc tơ khác của V
ta có hệ mới là phụ thuộc

10/7/2017

24

4


CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ

CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ

Định lý 2.7

Định lý 2.7

1) Nếu S  là hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ S thì mọi véc
tơ của S là tổ hợp tuyến tính các véc tơ của S  và cách biểu
diễn thành tổ hợp tuyến tính là duy nhất

Thật vậy, nếu v1,..., vn  không tối đại thì tồn tại một véc tơ của S , ta ký

S  u1,..., uk , uk 1,..., un 
u1  1u1  0u2  ...  0uk u2  0u1  1u2  ...  0uk … uk  0u1  0u2  ...  1uk



j  k  1,..., n hệ u1,..., uk , u j phụ thuộc và hệ u1,..., uk  độc lập
Do đó

u j  1u1  ...   k uk

10/7/2017

hữu hạn S. Khi đó ta có thể bổ sung thêm để được một hệ con
độc lập tuyến tính tối đại của S chứa {v1, … , vn}

Đlý 2.6 

Giả sử S '  u1,..., uk  là hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ



2) Giả sử {v1, … , vn} là hệ con độc lập tuyến tính của một hệ

25

hiệu vn1 , sao cho hệ v1,..., vn , vn1 độc lập tuyến tính

Lập luận tương tự và vì hệ S hữu hạn nên quá trình bổ sung thêm này
sẽ dừng lại, cuối cùng ta được hệ v1,..., vn , vn1,..., vnk  độc lập tuyến
tính tối đại của S

10/7/2017

CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ

CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ

Ví dụ 2.15 Tìm hệ con độc lập tuyến tính tối đại hệ véc tơ

u1  (3,1,4), u2  (2, 3,5), u3  (5, 2,9), u4  (1,4, 1)
Hai véc tơ u1, u2  độc lập vì không tỉ lệ

2.4.2. Hạng của một hệ hữu hạn các véc tơ
Định lý 2.9:
Mọi hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ hữu hạn S đều có
số phần tử bằng nhau

Có thể kiểm tra được: u3  u1  u2 ; u4  u1  u2
3x  2 y  1
3x  2 y  5
x  1
x  1


u4  xu1  yu2   x  3 y  4  
u3  xu1  yu2   x  3 y  2  
y 1
4 x  5 y  1  y  1
4 x  5 y  9



Vậy u1, u2  là hệ con độc lập tuyến tính tối đại của S

Tương tự có thể kiểm tra được u1, u3, u1, u4 , u2 , u3 , u2 , u4 
cũng là các hệ con độc lập tuyến tính tối đại của S
10/7/2017

27

Định nghĩa
Số các véc tơ của một hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ S

được gọi là hạng (rank) của S, ký hiệu r(S).
Qui ước hệ chỉ có véc tơ {0} có hạng là 0
10/7/2017

CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ

Ví dụ 2.12

26

28

CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ

2.5. CƠ SỞ, SỐ CHIỀU CỦA KHÔNG GIAN VÉC TƠ

Hệ véc tơ

Định nghĩa

u1  (3,1,4), u2  (2, 3,5), u3  (5, 2,9), u4  (1,4, 1)

Mỗi hệ sinh độc lập tuyến tính của V được gọi là
một cơ sở của V

Định lý 2.10

Các hệ con độc lập tuyến tính tối đại

Giả sử {e1, … , en} là một hệ các véc tơ của V. Các mệnh đề

sau là tương đương

u1, u2 u1, u3 u1, u4
u2 , u4 u2 , u3

(i) Hệ  e1 ,..., e n  là một cơ sở của V

(ii) Hệ  e1 ,..., e n  là hệ độc lập tuyến tính tối đại của V

u3 , u4 

(iii) Mọi véc tơ u  V tồn tại một cách viết duy nhất

u  x1e1  ...  xnen , x1,..., xn  

Các hệ con độc lập tuyến tính tối đại đều có 2 phần tử

(x1, … , xn) được gọi là toạ độ của véc tơ u trong cơ sở {e1, … , en}
Ký hiệu
 u   ( x1,..., xn ) B   e1,..., en 

Vậy có hạng bằng 2

B

10/7/2017

29

10/7/2017

30

5


CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ

CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ

Định lý 2.11

Ví dụ 2.16 Hai hệ véc tơ B  {e1, e2}, B   {e1, e2}

Giả sử V là không gian hữu hạn sinh và {v1, … , vk} là hệ độc lập
tuyến tính các véc tơ của V. Khi đó có thể bổ sung thêm để có
được hệ {v1, … , vk, vk1, vkm} là một cơ sở của V
Giả sử V có một hệ sinh có n véc tơ

với e1  (1, 0) , e2  (0, 1) và e1  (1,1) , e2  (4,3)
là hai cơ sở của không gian véc tơ 2

u  ( x, y )  2
u  ( x, y)  ( x,0)  (0, y)  x(1,0)  y(0,1)  xe1  ye2

Nếu S   v1,..., vk  không phải là cơ sở thì S không phải là hệ sinh, do đó tồn tại véc tơ,

u  ( x, y)  x ' e '1  y ' e '2  x '(1,1)  y '(4,3)  ( x ' 4 y ', x ' 3 y ')
 x ' 4 y '  x
 x '  4 y  3x


 
 x ' 3 y '  y
y'  x  y

sinh, k  m  n . Vậy v1,..., vk , vk 1,..., vk m  là một cơ sở cần tìm

 u  B  ( x, y);  u  B '  (4 y  3x, x  y)
u  (3,1);  u  B '  (5,2)
Chẳng hạn
B  {e1, e2} được gọi là cơ sở chính tắc của không gian véc tơ 2
Vậy

10/7/2017

ta ký hiệu vk 1 , sao cho hệ v1,..., vk , vk 1 độc lập tuyến tính

Tiếp tục quá trình này cuối cùng ta có hệ v1,..., vk , vk 1,..., vk m  độc lập tuyến tính và là hệ

31

Mọi không gian hữu hạn sinh đều tồn tại cơ sở
Số phần tử của mọi cơ sở của đều bằng nhau
Số véc tơ của một cơ sở của V được gọi là số chiều của V
Quy ước dim{0}  0

Ký hiệu dim V
10/7/2017

32

CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ

Ví dụ 2.12

Trong không gian n hệ véc tơ

CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ

B   e1,..., en 

Chú ý 2.14:

Không gian P 

e1  (1,0,...,0), e2  (0,1,...,0),..., en  (0,0,...,1)

hạn sinh

là một cơ sở của n gọi là cơ sở chính tắc

Thật vậy, hệ



 Pn là một ví dụ về không gian véc tơ không hữu

n 1

1, t, t ,.... có vô hạn véc tơ và độc lập tuyến tính nên

2

không thể là hữu hạn sinh

Vậy dimn  n

Định lý 2.14

Giả sử dimV  n và S  v1 ,..., v m  là hệ m véc tơ của V . Khi đó:

Ví dụ 2.13
Hệ

B  {1, t, … , t n} là một cơ sở của Pn

(i) Nếu hệ S độc lập tuyến tính thì m  n

được gọi là cơ sở chính tắc

(ii) Nếu hệ S là hệ sinh của thì m  n

Vậy dim Pn  n  1

(iii) Nếu m  n thì hệ S độc lập tuyến tính khi và chỉ khi S là hệ
sinh

10/7/2017

33

10/7/2017

CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ

CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ

Định lý 2.16
Giả sử S là hệ hữu hạn các véc tơ của V, S0 là một hệ con của S.
Đặt W  spanS. Khi đó:
1) Hệ S0 là một con độc lập tuyến tính tối đại của S khi và chỉ
khi S0 là một cơ sở của W, do đó r(S)  dimW.

và đồng thời mọi véc tơ của S có thể biểu diễn thành tổ hợp tuyến tính các véc tơ S0
Do đó S0 là một hệ sinh của W, vậy S0 là một cơ sở của W
Ngược lại nếu S0 là một cơ sở của W thì S0 là hệ con độc lập tuyến tính tối đại
của W, do đó cũng là hệ con độc lập tuyến tính tối đại của S

r (S ) 
10/7/2017

2) Khi thực hiện một số hữu hạn các phép biến đổi sơ cấp sau
lên hệ S:
 Nhân một số khác 0 với một véc tơ của hệ S
 Cộng vào một véc tơ của hệ S một tổ hợp tuyến tính các
véc tơ khác của S; thì hệ S biến thành hệ S 
Đặt W   span S  thì W  W , do đó r(S)  r(S )  dimW.

Giả sử S0 là hệ con độc lập tuyến tính tối đại của S
Mọi véc tơ của W biểu diễn được thành tổ hợp tuyến tính các véc tơ của S

số véc tơ của

34

Vì S  W do đó mọi tổ hợp tuyến tính các véc tơ của S cũng thuộc W,
vậy S’  W do đó W’  W
Tương tự cũng có W  W’
Vậy W  W’

S0  dimW
35

10/7/2017

 r (S )  dimW  r (S ')
36

6