ĐỀ ôn tập CHƯƠNG 1 HÌNH 10 có đáp án

Gia sư : Tạ Xuân Hiếu

SĐT :0354655580
CÁC DẠNG TOÁN ÔN TẬP HÌNH HỌC CHƯƠNG 1

Dạng 1. Xác một vectơ, sự cùng phương, cùng hướng:
* Phương pháp : Sử dụng các khái niệm về véctơ
+ K/n Véctơ
+ K/n về hai véctơ cùng phương, hai véctơ cùng hướng
BÀI TẬP
Bài 1: Cho tam giác ABC. Có thể xác định được bao nhiêu véctơ ( khác vectơ-không ) có điểm đầu và điểm cuối
là các đỉnh tam giác?
Bài 2: Cho hình bình hành ABCD có tâm
uuurlà O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC.
a) Tìm các vectơ cùng phương với AB ;
uuu
r
b) Tìm các vectơ cùng hướng với AB ;
uuur
c) Tìm các vectơ ngược hướng với AB ;
uuuu
r
uuur
d) Tìm các vectơ bằng với MO , bằng với OB .
Bài 3: Cho lục giác đều ABCDEF
có tâm O uuu
r
r
a) Tìm các vectơ khác 0 và cùng phương OA ;
uuu
r

b) Tìm các vectơ bằng vectơ AB ;
uuur
c) Hãy vẽ các vectơ bằng vectơ AB và có:
+ Các điểm đầu là B, F, C
+ Các điểm cuối là F, D, C
Bài 4: Cho hình bình hành ABCD
r có tâm là O . Tìm các vectơ từ 5 điểm A, B, C , D , O
uuu
r uuu
a) bằng vectơ AB ; OB

uuu
r

b) Có độ dài bằng  OB 
HD:
Bài 1: có các cặp điểm {A;B}, {A;C}, {B;C}. Mà mỗi cặp điểm xác định 2 véctơ
Bài 2:
A
B
M

N

O

Bài 3:

D

C

uuu
r uuur uuur uuu
r uuur uuur uuur uuu
r uuur

a. DA, AD, BC , CB, AO, OD, DO, FE , EF

A

uuur uuur uuur
b. OC , ED, FO

B

c.uuuTrên
tia
r uu
u
r AB, ta lấy điểm B’ sao cho BB’=AB

khi đó BB ' = AB
uuur
* FO là vectơ cần tìm
* Trên tia OC lấy
uuuC’
u
r sao
uuu

rcho CC’=OC=AB
Do CC’//AB ⇒CC ' = AB
+ tương tự
Bài 4:

O
D

C


Gia sư : Tạ Xuân Hiếu

SĐT :0354655580

uuu
r uuur uuu
r uuur
, OB = DO
AB
=
DC
uuu
r uuur uuur uuur
b. | OB |=| BO |=| DO |=| OD |
a.

Dạng 2. Chứng minh hai vectơ bằng nhau:
* Phương pháp : Ta có thể dùng một trong các cách sau:
r r

 r r
| a |=| b |
r
+ Sử dụng định nghĩa: r uu
⇒ a =b
a, b cuø
ng höôù
ng
dụng
uu+ur Sửuu
ur utính
uur chất
uuur của các hình . Nếu ABCD là hình bình hành thì
D
AB = DC , BC = AD ,…(hoặc viết ngược lại)
r r r r r r
+ Nếu a = b, b = c ⇒ a = c
BÀI TẬP
Bài 1: Cho tam giác ABC có D,
E,
uuu
r Fulần
uur lượt là trung điểm của BC, CA, AB.
Chứng minh: EF = CD
Bài 2: Cho tứ giác ABCD.
uuur uuur
Chứng minh rằng ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi AB = DC
uuur uuur
uuur uuur
Bài 3: Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng nếu AB = DC thì AD = BC

Bài 4 : Cho tứ giác ABCD, gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA.
Chứng minh : MN = QP ; NP = MQ
HD
Bài 1:

Bài 2:
 AB // CD
⇒
 AB = CD

 AB // CD
⇒ AB = DC
* 
 AB = CD
Chứng minh chiều ⇐ :

* AB = DC ⇔ AB , DC cùng hướng và AB = DC

* AB và DC cùng hướng ⇒ AB // CD (1)
* AB = CD ⇒ AB = CD (2).Từ (1) và (2) suy ra ABCD là hình bình hành
uuur uuur
uuur uuur
Bài 3 : AB = DC ⇒ AB=DC, AB//CD⇒ABCD là hình bình hành ⇒ AD = BC
Bài 4 : MP=PQ và MN//PQ vì chúng bằng

1
AC
2

Và đều //AC. Vậy MNPQ là hình bình hành

⇒ đpcm

B

o
C

A

Cách 1: EF là đường trung bình của ∆ ABC nên EF//CD,
F
uuur uuur
1
EF
=
CD
EF= BC=CD⇒ EF=CD⇒
(1)
2
uuur
uuur
CD (2)
EF cùng hướng
uuur uuur
B
Từ (1),(2) ⇒ EF = CD
Cách 2: Chứng minh EFDC là hình bình hành
uuur uuur
1
EF= BC=CD và EF//CD⇒ EFDC là hình bình hành⇒EF = CD

2

Chứng minh chiều ⇒ : * ABCD là hình bình hành

A

E

D

C


Gia sư : Tạ Xuân Hiếu
SĐT :0354655580
Dạng 3. Chứng minh đẳng thức vectơ:
Phương pháp: có thể sử dụng các phương pháp sau
1) Biến đổi vế này thành vế kia.
2) Biến đổi đẳng thức cần chứng minh tương đương với một đẳng thức đã biết là đúng.
3) Biến đổi một đẳng thức biết trườc tới đẳng thức cần chứng minh.
Cơ sở : sử dụng các quy tắc về véctơ
uuu
r uuur uuur
 Quy tắc 3 điểm : Cho A, B ,C tùy ý, ta có : AB + BC = AC

uuu
r uuur

uuur

 Quy tắc hình bình hành . Nếu ABCD là hình bình hành thì AB + AD = AC

B

C

A

D

 Quy tắc về hiệu hai vectơ : Với ba điểm O, A, B tùy ý cho trước ta có:
uuu
r uuu
r uuu
r
uuu
r uuu
r uuu
r
uuu
r uuu
r uuu
r
OB − OA = AB (hoặc OA − OB = BA )hay AB = OB − OA
 Tính chất trung điểm của đoạn thẳng :
uu
r uur r
+ Điểm I là trung điểm đoạn thẳng AB ⇔ IA + IB = 0
 Tính chất trọng tâm của tam giác :
uuu

r uuu
r uuur r
+ Điểm G là trọng tâm tam giác ABC ⇔ GA + GB + GC = 0
BÀI TẬP
→

→

→

→

Bài 1 Cho 4 điểm A, B, C, D. CMR : AC + BD = AD + BC
Bài 2 Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD. CMR :
→

→

→

→

a/ DO + AO = AB

→

→

b/ OD + OC = BC


→
→
→
→
→
→
→
→
c/ OA + OB + OC + OD = 0
d/ MA + MC = MB + MD (với M là 1 điểm tùy ý)
Bài 3 Cho tứ giác ABCD. Gọi O là trung điểm AB.
→

→

→

→

CMR : OD + OC = AD + BC
→
→
→
Bài 4 Cho ∆ABC. Từ A, B, C dựng 3 vectơ tùy ý AA
' , BB' , CC'
→

→

→

→

→

→

CMR : AA' + BB' + CC' = BA' + CB' + AC' .
Bài 5 : Cho tam giác ABC . Gọi A’ la điểm đối xứng của B qua A, B’ là điểm đối xứng với C qua B, C’ là điểm
đối xứng của A qua C. với một điểm O bất kỳ, ta có:

OA + OB + OC = OA' + OB' + OC '
Bài 6: Cho
uuulụ
r giác
uuur đều
uuurABCDEF
uuur uucó
ur tâm
uuu
r là rO . CMR : uuur uuur uuur r
a) OA + OB + OC + OD + OE + OF = 0
b) OA + OC + OE = 0
uuur uuur uuu
r uuur
uuuu
r uuur uuur uuur uuuu
r uuur
c) AB + AO + AF = AD

d) MA + MC + ME = MB + MD + MF ( M tùy ý )
Dạng 4 .Tính độ dài của hệ thức véctơ :
Cơ sở:
 sử dụng các quy tắc về véctơ :

uuur uuur uuur
uuu
r uuur uuur
+ Quy tắc 3 điểm : Cho A, B ,C tùy ý, ta có : AB + BC = AC ⇒ AB + BC = AC

uuur uuur uuur
uuu
r uuur uuur
+ Quy tắc hình bình hành . Nếu ABCD là hình bình hành thì AB + AD = AC ⇒ AB + AD = AC


Gia sư : Tạ Xuân Hiếu

B

SĐT :0354655580

C

A

D

+ Quy tắc về hiệu hai vectơ : Với ba điểm O, A, B tùy ý cho trước ta có:
uuur uuur uuu

r
uuu
r uuu
r uuu
r
uuu
r uuu
r uuu
r
uuu
r uuu
r uuu
r
OB − OA = AB (hoặc OA − OB = BA )hay AB = OB − OA ⇒ AB = OB − OA
 Sử dụng tính chất hai véctơ :
r r
r r
r r
+ Nếu hai véc tơ a , b cùng hướng thì | a + b | = | a |+| b |

r

r

r

r

r r

r

r

+ Nếu hai véc tơ a ↑↓b và | b | ≥ | a | thì | a + b |=| b |−| a |
BÀI TẬP
Bài 1 Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 3a, AD = 4a.
→
→
a/ Tính AD
− AB



→
→
b/ Dựng u = CA − AB . Tính u 
Bài 2 Cho ∆ABC đều cạnh a. Gọi I là trung điểm BC.
→

→

a/ Tính AB − AC 
→
b/ Tính BA
−→
BI 
→

→

Bài 3 Cho ∆ABC vuông tại A. Biết AB = 6a, AC = 8a. TínhAB − AC 
uuur r uuur r
Bài 4 Cho hình bình hành ABCD tâm O . Đặt AO = a ; BO = b
r
r
uuur uuur uuur uuur
Tính AB ; BC ; CD ; DA theo a và b
→

→

Bài 5 Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính  AB + AD  theo a
Bài 6 Cho hình chữ nhật ABCD, biết AB = 3a; AD = 4a.
→

→

a/ Tính AB + AD 


→
→
b/ Dựng u = AB + AC . Tính  u 
r
Dạng 5. Xác định vectơ k a :
r
*Phương pháp : Dựa vào định nghĩa vectơ k a và các tính chất
BÀI TẬP
r uuu

r
Ví dụ 1. Cho a = AB và điểm O. Xác định hai điểm M và N sao cho :

uuuu
r
r uuur
r
OM = 3a; ON = −4a
r
a

Giải

N

O

M
r

r

r

Vẽ d đi qua O và // với giá của a (nếu O ∈ giá của a thì d là giá của a )
r
uuuu
r
r
r uuuu

r
−Trên d lấy điểm M sao cho OM=3| a |, OM và a cùng hướng khi đó OM = 3a .
uuur
r
r uuur
r
−Trên d lấy điểm N sao cho ON= 4| a |, ON và a ngược hướng nên ON = −4a
Ví dụ 2. Cho đoạn thẳng AB và M là một điểm nằm trên đoạn AB sao cho AM=
thức sau:
uuuu
r

uuu
r
a ) AM = k AB;

uuur
uuur
b) MA = k MB;

uuur
uuu
r
c) MA = k AB

1
AB. Tìm k trong các đẳng
5

Gia sư : Tạ Xuân Hiếu
Giải

SĐT :0354655580
A

M

uuuu
r
uuuu
r
uuu
r
uuuu
r
uuu
r
| AM | AM 1
1
r =
= , vì AM ↑↑ AB ⇒ k=
a) AM = k AB ⇒| k |= uuu
AB 5
5
| AB |
1
1
b) k= −
c) k= −

4
5

B

Ví dụ 3.
r
r
a) Chứng minh:vectơ đối của 5 a là (−5) a
r r r
r
b) Tìm vectơ đối của các véctơ 2 a +3 b , a −2 b
Giải r
r
r
r
a) −5 a =(−1)(5 a )=((−1)5) a = −(−5) a
r
r
r
r
r
r
r
r
r r
b) −(2 a +3 b )= (−1)( 2 a +3 b )= (−1) 2 a +(−1)3 b =(−2) a +(−3) b =−2 a −3 b
c) Tương tự
Dạng 6. Biểu diễn (phân tích, biểu thị) thành hai vectơ không cùng phương :
Ví dụ 1.Cho ∆ ABC có trọng âtm G. Cho các điểm D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB và I

r

uuur r

uuur

uur uuur uuur uuur

là giao điểm của AD và EF. Đặt u = AE ; v = AF . Hãy phân tích các vectơ AI , AG , DE , DC theo hai vectơ
r r
u, v.
A

uur

1 uuur 1 uuur uuur 1 r 1 r
AD = ( AE + AF ) = u + v)
2
2
2
2
uuur 2 uuur 2 r 2 r
AG = AD = u + v
3uu
3ur 3r
uuur u
r
uu
r

DE = FA = − AF = 0.u + (−1)v
uuur uuu
r uuur uuur r r
DC = FE = AE − AF = u − v

Giải Ta có AI =

C

uuuu
r
Ví dụ 2. Cho tam giác ABC. Điểm M nằm trên cạnh BC sao cho MB= 2MC. Hãy phân tích vectơ AM theo hai
r uuur r uuur
vectơ u = AB, v = AC .
Giải

uuuu
r uuu
r uuuu
r uuu
r 2 uuur
BC
3
uuur uuur uuu
r
mà BC = AC − AB
uuuu
r uuu
r 2 uuur uuu
r 1r 2r

⇒ AM = AB + ( AC − AB ) = u + v
3
3
3
Ta có AM = AB + BM = AB +

Dạng 7. Chứng minh 3 điểm thẳng hàng :
Cơ sở:
uuu
r
uuur
uuur
uuu
r
+ A, B, C thẳng hàng ⇔ AB cùng phương AC ⇔∃ 0≠k ∈ ¡ : AB = k AC
uuu
r
uuur
+ Nếu AB = kCD và hai đường thẳng AB và CD phân biệt thì AB//CD.
1
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm AM và K là trung điểm AC sao AK= AC.
3
Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng.
Giải


Gia sư : Tạ Xuân Hiếu

SĐT :0354655580

uur uuu
r uuuu
r uuu
r 1 uuur
2 BI = BA + BM = BA + BC
2
Ta có
uur
uuu
r uuur
4 BI = 2 BA + BC (1)
Ta có

uuur uuu
r uuur uuu
r 1 uuur
BK = BA + AK = BA + AC
3
uuu
r 1 uuur uuu
r 2 uuu
r 1 uuur
= BA + ( BC − BA) = BA + BC
3
3
3
uuur
uuu
r uuur
3BK = 2 BA + BC

(2)
uuur
uur uuur 4 uur
Từ (1)&(2)⇒ 3BK = 4 BI ⇒ BK = BI ⇒ B, I, K thẳng hàng.
3
Ví dụ 2. Cho tam giác ABC.
M,
uuur uHai
uur điểm
r uu
u
r Nuuđược
u
r uxác
uur định
r bởi hệ thức:
BC + MA = 0 , AB − NA − 3AC = 0 . Chứng minh MN//AC
Giải
uuur uuur uuu
r uuu
r uuur r
BC + MA + AB − NA − 3AC = 0
uuur uuuu
r uuur r
uuuu
r
uuur
hay AC + MN − 3AC = 0 ⇔ MN = 2AC

uuuu

r uuur
uuur uuuu
r
MN / / AC . Theo giả thiết BC = AM

Mà A,B,C không thẳng hàng nên bốn điểm A,B,C,M là hình bình hành
⇒ M không thuộc AC⇒ MN//AC
BÀI TẬP
→

→

Bài 1: Cho 4 điểm A, B, C, D thỏa 2 AB + 3 AC = 5. CMR : B, C, D thẳng hàng.


→
→
→
→
→
→
Bài 2: Cho ∆ABC, lấy M, N, P sao cho MB
= 3 MC ; NA +3 NC = 0 và PA
+ PB
= 0
→

→

→

→

a/ Tính PM , PN theo AB và AC
b/ CMR : M, N, P thẳng hàng.
Bài 3: Cho tam giác ABC.Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua B, B’ là điểm đối xứng với B qua C, C’ là điểm đối
xứng với C qua A.Chứng minh các tam giác ABC và A’B’C’ có cùng trọng tâm.
Dạng 8. Xác định vị trí của một điểm nhờ đẳng thức véctơ :
Cơ sở: uuu
r r
+ AB = 0 ⇔ A ≡ B
r
uuuu
r r
+ Cho điểm A và a . Có duy nhất M sao cho : AM = a

uuu
r uuur

uuur

uuur

+ AB = AC ⇔ B ≡ C ; AD = BD ⇔ A ≡ B

uuur

uuur

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC có D là trung điểm BC. Xác định vị trí của G biết AG = 2GD .

Giải uuur
uuur
AG = 2GD ⇒A,G,D thẳng hàng.
A
AG=2GD gà G nằm giữa A và D.
Vậy G là trọng tâm tam giác ABC.
G

uu
r uur r
Ví dụ 2. Cho hai điểm A và B. Tìm điểm I sao cho: IA + 2 IB = 0 .
A

I

B

B

I

C


Gia sư : Tạ Xuân Hiếu

SĐT :0354655580

uu
r uur r

uu
r
uur
uu
r
uur
IA + 2 IB = 0 ⇔ IA = −2 IB ⇒ IA = −2 IB
uu
r

uur

1
3r uuur uuur r
uuu
r uuu
Ví dụ 3. Cho tứ giác ABCD. Xác định vị trí điểm G sao cho: GA + GB + GC + GD = 0
hay IA=2IB , IA ↑↓ IB . Vậy I là điểm thuộc AB sao cho IB= AB
Giải

uuu
r uuu
r

uur

Ta có GA + GB = 2GI , trong đó I là trung điểm AB
uuur uuur
uuur
Tương tự GC + GD = 2GK , K là trung điểm CD

uuu
r uuu
r uuur uuur
uur uuur
GA + GB + GC + GD = 2GI + 2GK
uur uuur r
hay GI + GK = 0

B

I

C
K

A

⇒ G là trung điểm IK

D

BÀI TẬP
Bài 1: Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD và O là trung điểm của EF.
→

→

→

a/ CMR : AD + BC = 2 EF


→
→
→
→
b/ CMR : OA + OB + OC + OD = 0
→

→

→

→

→

c/ CMR : MA + MB + MC + MD = 4 MO (với M tùy ý)
−→
−→
−→
−→
d/ Xác định vị trí của điểm M sao choMA
+ MB
+ MC + MD
nhỏ nhất
Bài 2: Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA và M là 1 điểm tùy ý.

→

→
→
→
a/ CMR : AF + BG + CH + DE = 0
→

→

→

→

→

→

→

→

b/ CMR : MA + MB + MC + MD = ME + MF + MG + MH
→

→

→

→

c/ CMR : AB + AC + AD = 4 AG (với G là trung điểm FH)

Bài 3: Cho hai ∆ABC và DEF có trọng tâm lần lượt là G và H.
→

→

→

→

CMR : AD + BE + CF = 3 GH
Bài 4: Cho hình bình hành ABCD có tâm O và E là trung điểm AD. CMR :

→
→
→
→
a/ OA + OB + OC + OD = 0
→

→

→

→

b/ EA + EB + 2 EC = 3 AB
→

→

→

→

c/ EB + 2 EA + 4 ED = EC
→

1

→

Bài 5: Cho ∆ABC có M, D lần lượt là trung điểm của AB, BC và N là điểm trên cạnh AC sao cho AN = NC .
2
Gọi K là trung điểm của MN.
1 →
1 →
1 →
1 →
→
→
a/ CMR : AK = AB + AC
b/ CMR : KD = AB + AC
4
6
4
3
→
→
→
→

Bài 6: Cho ∆ABC. Trên hai cạnh AB, AC lấy 2 điểm D và E sao cho AD = 2 DB
, CE = 3 EA
. Gọi M là trung
điểm DE và I là trung điểm BC. CMR :
1 →
1 →
→
a/ AM = AB + AC
3
8
1 →
3 →
→
b/ MI = AB + AC
6
8