Bài giảng Giải tích 1: Chương 1 (tt) - ĐH Bách Khoa Tp.HCM

Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh
Bộ môn Toán Ứng dụng
-------------------------------------------------------------------------------------

Giải tích 1

Chương 1: Giới hạn và liên tục
(tiếp theo)
•

Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (9/2008)



Định nghĩa (vô cùng lớn)
Hàm số y = f(x) được gọi là vô cùng lớn (VCL) khi x  x0
nếu

lim f ( x)  .

x  x0

Ví dụ
f ( x )  2 x 2  3cos x là một vô cùng lớn khi x  , vì
2

lim 2 x  3cos x  .

x 

Định nghĩa
Cho f(x) và g(x) là hai vô cùng lớn khi x  x0 .
f ( x)
 k.
Giả sử xlim
 x0 g ( x )
1) Nếu k   , thì f(x) gọi là VCL bậc cao hơn g(x).
f ( x)  ( g ( x))

2) Nếu k hữu hạn, khác không, thì f(x) và g(x) là hai
VCL cùng cấp.
3) Nếu k  1 , thì f(x) và g(x) là hai VCL tương đương.
f ( x)  g ( x)


Qui tắc ngắt bỏ VCL

Tổ
ng hữ
u hạn cá
c VCL
lim
x x
Tổ
ng hữ
u hạn cá
c VCL
0

VCL bậ

c cao nhấ
t củ
a tử
 lim
x x
VCL bậ
c cao nhấ
t củ
a mẫ
u
0


Ví dụ

I  lim

x 

x2  4  2 x  3 x
x2  4  x

Tử là tổng của ba VCL:

x 

2

x  4  2x  3 x

Mẫu là tổng của hai VCL:

3x 3
I  lim

x  2 x
2

2

x 4  x

3x

x 

2x


3. Liên tục của hàm số
Định nghĩa
Hàm y  f ( x) được gọi là liên tục tại x0 , nếu xác định
tại điểm này và lim f ( x)  f ( x0 ).
x  x0

Định nghĩa
Nếu hàm không liên tục tại x0, ta nói hàm gián đoạn tại
điểm này.

thì f(x) tiến
đến f(a).

Khi x tiến đến a.
đồ thị liền nét (không đứt đoạn) tại điểm (a, f(a)).


Định nghĩa
Cho x0 là điểm gián đoạn của đồ thị hàm số y  f ( x)
1) Điểm gián đoạn loại một:
giới hạn trái f(x0-) và phải f(x0+) tồn tại và hữu hạn.
x0 là điểm khử được: f(x0-) = f(x0+)
x0 là điểm nhảy: f ( x0  )  f ( x0  )
bước nhảy: h  f ( x0  )  f ( x0  )
2) Điểm gián đoạn loại hai: không phải là loại một.
Một trong hai giới hạn (trái hoặc phải) không tồn tại
hoặc tồn tại nhưng bằng vô cùng.


x = 2 là điểm gián đoạn loại một khử được.


f ( x)   x 

x = 2 là điểm nhảy: gián đoạn không khử được.


x = 0 là điểm gián đoạn loại hai.

Tính chất của hàm số liên tục
Cho y  f ( x ), y  g ( x ) là hai hàm liên tục tại x0 , khi đó
1)  f ( x ); f ( x )  g ( x ); f ( x)  g ( x ) liên tục tại x0.

f ( x)
2) Nếu g ( x0 )  0 , thì
liên tục tại x0.
g ( x)
Định lý
Nếu hàm f(x) liên tục tại x0 và f ( x0 )  0, thì tồn tại một
lân cận của x0, sao cho f(x) > 0 với mọi x thuộc lân cận này.


Định lý (Bozano- Côsi)
Nếu y  f ( x) liên tục trên đoạn [a,b] và f(a) = A, f(b) = B
thì C  [ A, B ] tồn tại x0   a, b  sao cho f ( x0 )  C.

Hệ quả
Nếu hàm f(x) liên tục trên đoạn [a,b] và f(a).f(b) < 0, thì
tồn tại ít nhất một x0 thuộc [a,b] sao cho f(x0) = 0.


Định nghĩa
Các hàm sau đây được gọi là hàm sơ cấp cơ bản:
1/ hàm hằng



2/ hàm lũy thừa y  x

x
y

a
; a  0, a  1
3/ hàm mũ

4/ hàm logarit y  log a x; (a  0, a  1)
5/ hàm lượng giác
7/ hàm hyperbolic

6/ hàm lượng giác ngược


Định nghĩa
Hàm sơ cấp là hàm thu được từ các hàm sơ cấp cơ bản
bằng cách sử dụng hữu hạn các phép toán: cộng, trừ,
nhân, chia, khai căn và phép hợp.
Định lý
Hàm sơ cấp liên tục trên miền xác định của nó.

 1 
y  sin 3 x  ln 

2 x

là hàm sơ cấp

Vậy nó liên tục trên toàn miền xác định: x > -2.

Ví dụ

Khảo sát tính liên tục

 sin x
, x0

f ( x)   x
 1,
x0

sin x
là hàm sơ cấp nên liên tục trên MXĐ
x  0, f ( x) 
x
Tại x = 0:

sin x
sin x
lim
 1  lim
 f (0)
x 0  x
x 0  x

Hàm liên tục tại x = 0. Vậy hàm liên tục trên R.


Ví dụ

Khảo sát tính liên tục

 sin x
, x0

f ( x)   x
 1,
x0

sin x
x  0, f ( x) 
là hàm sơ cấp nên liên tục trên MXĐ
x
sin x
sin x
Tại x = 0: lim
lim
 1
1
x 0 x
x 0  x
x = 0 là điểm nhảy.

 

 

Bước nhảy: h  f 0  f 0  1  ( 1)  2.

Ví dụ

Khảo sát điểm gián đoạn

1
f ( x)  arctan
x

Tập xác định: D f  R \ 0

1 
Tại x = 0: lim arctan 
x 0 
x 2

1

lim arctan  
x 0 
x
2

x = 0 là điểm nhảy.





   f  0   2  ( 2 )   .

Bước nhảy: h  f 0






Ví dụ

Khảo sát điểm gián đoạn

1
f ( x)  x arctan
x

Tập xác định: D f  R \ 0

1
Tại x = 0: lim x arctan  0
x 0 
x

1
lim x arctan  0
x 0 
x

x = 0 là điểm gián đoạn khử được.

Ví dụ

Tìm a, b để hàm liên tục trên   / 2;3 / 2

 x cos( x / 2)
,
x



/
2,3

/
2
,
x

0,
x




 sin x

f ( x)  
a,
x0


b,
x 


x cos( x / 2)
lim f ( x)  lim
1
x 0
x 0
sin x
lim f ( x)
x 

 a  1.

x cos( x / 2) 
 lim

x 
sin x
2

b


2

.

Ví dụ

Tìm a, b để hàm liên tục trên toàn TXĐ.

x,
| x | 1

f ( x)   2
 x  ax  b, | x | 1



2



lim f ( x)  lim x  ax  b  a  b  1

x 1

x 1

 a  b  1  1.
lim f ( x)  lim x  1  f (1)

x 1

x 1

lim f ( x)  lim x  1  f (1)

x 1

x 1





lim f ( x)  lim x 2  ax  b  1  a  b

x 1

x 1

Vậy a = 1, b = -1.

  a  b  1  1.


Ví dụ

Khảo sát điểm gián đoạn

Tập xác định:

x
f ( x) 
sin x

D f  R \ k , k  Z 

Tại x0  k0 , k0  0 :

x
lim
không
tồn
tại.
x  k0 sin x

Các điểm này là các điểm gián đoạn loại hai.
Tại x0  0 :

x
lim
1
x  0 sin x

x0 = 0 là điểm gián
đoạn khử được.


Vớ d Kho sỏt im giỏn on

u tyỷ
.
1, x laứsoỏhửừ
f ( x)

.
0, x laứsoỏvoõtyỷ
Tp xỏc nh: R
Hm khụng cú gii hn ti mi im. (Vỡ sao??)
Tt c cỏc im l nhng im giỏn on loi hai.


Vớ d Kho sỏt im giỏn on

u tyỷ
.
x, x laứsoỏhửừ
f ( x)
.
0, x laứsoỏvoõtyỷ
Tp xỏc nh: R
Hm khụng cú gii hn ti mi im khỏc 0.
Cỏc im khỏc khụng l nhng im giỏn on loi hai.
Ti im x = 0:

lim f ( x) 0 f (0).
x 0

Hm liờn tc ti x = 0.


Bài tập
I) Chứng tỏ rằng các hàm sau không liên tục tại x0

 x  1, x  0

1) f ( x)   2
 x , x0

x0  0

1
 , x0
2) f ( x)   x
 0, x  0

x0  0

1
 2, x0
3) f ( x)   x
 1, x  0

x0  0

4) f ( x)  sign( x  1)

x0  1