Bài giảng Giải tích 1: Chương 2.1 - ĐH Bách Khoa Tp.HCM

Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh
Bộ môn Toán Ứng dụng
-------------------------------------------------------------------------------------

Giải tích 1

Chương 2: Đạo hàm và vi phân
•

Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (9/2008)



Nội dung
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1 – Đạo hàm

2 – Vi phân.

3 – Định lý giá trị trung bình
4 – Công thức Taylor, Maclaurint


I. Đạo hàm
Định nghĩa (đạo hàm)
Hàm số y = f(x) xác định trong lân cận của điểm x0 .

f ( x0  x)  f ( x0 )
f ( x0 )  lim
x  0

x
'

'

f ( x0 ) được gọi là đạo hàm của f tại điểm x0 .


Ví dụ
Tìm đạo hàm của hàm f ( x)  cos x tại điểm x0

f ( x0  x)  f ( x0 )
f ( x0 )  lim
x  0
x
cos( x0  x)  cos x0
 lim
x  0
x
x 
x

sin  x0 
  sin
2 
2

  lim
x  0
x

2
  sin( x0 )
'


Ví dụ

 2 1
 x sin   , x  0
'
 x
Tìm f (0) , biết f ( x)  

0,
x0


f (0  x)  f (0)
f (0)  lim
x  0
x
'

 lim

x  0

 x 

2

sin 1/ x   0
x


 1   0
 lim  x  sin   
x  0
 x  


(bị chặn x vô cùng bé)


Định nghĩa (đạo hàm phải)
Hàm số y = f(x) xác định trong lân cận của điểm x0 .
f ( x0  x)  f ( x0 )
'
f  ( x0 )  lim
x  0
x
'
f  ( x0 ) được gọi là đạo hàm phải của f tại điểm x0 .
Định nghĩa (đạo hàm trái)
Hàm số y = f(x) xác định trong lân cận của điểm x0 .

f ( x0  x)  f ( x0 )
f  ( x0 )  lim
x  0
x

'

f ' ( x0 ) được gọi là đạo hàm trái của f tại điểm x0 .


Định lý
Hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x0 , khi và chỉ khi
nó có đạo hàm trái và đạo hàm phải tại điểm x0 và
hai đạo hàm này bằng nhau.
Định nghĩa (đạo hàm vô cùng)
Nếu

f ( x0  x)  f ( x0 )
lim
  , thì ta nói hàm
x  0
x

có đạo hàm vô cùng tại điểm x0 .


Ví dụ
Tìm f ' (0); f ' (0) , biết

e1/ x , x  0
f ( x)  
 0, x  0

1/ x
f

(0


x
)

f
(0)
e
0
'
 
f  (0)  lim
 lim
x  0
x  0
x
x

f (0  x)  f (0)
f (0)  lim
x  0
x
'


e1/ x  0
 lim
x  0
x

0

Đạo hàm trái và đạo hàm phải không bằng nhau, nên
đạo hàm tại x = 0 không tồn tại.


Ví dụ
Tìm f ' ( x) , biết f ( x)  x 2  3 | x | 2

 x 2  3x  2, x  0
f ( x)   2
 x  3 x  2, x  0

 2 x  3, x  0
 f ( x)  
 2 x  3, x  0
'

'
'
f
(0)


3;
f
Tại điểm x = 0: 
 (0)  3

Đạo hàm trái và đạo hàm phải không bằng nhau, suy
ra không tồn tại đạo hàm tại x = 0.


Ví dụ
Tìm f ' (0); f ' (0) , biết

f ( x)  sin 2 x

f (0  x)  f (0)
sin 2x
f (0)  lim
 lim
x  0
x
x  0
x

2

f (0  x)  f (0)
f (0)  lim
x  0
x

 2

'


'


 lim
x  0

sin 2x
x

Đạo hàm trái và đạo hàm phải không bằng nhau, nên
đạo hàm tại x = 0 không tồn tại.


Ví dụ

 sin x
, x0

'
Tìm f ( x), biết f ( x)   x
 1,
x0
 x cos x  sin x
, x0

'
2
f ( x)  
x


?,
x0

0,

sin x
1
f (0  x)  f (0)
'
x
f (0)  lim

lim
x  0
x
x  0
x
 lim

x  0

sin x  x

 x 

2

0

Ví dụ
'


'


Tìm f (0); f (0) , biết

1

arctan x , x  0
f ( x)  
  ,
x0

2

1 
arctan

'
x 2
f  (0)  lim
x  0
x
1 
arctan

'

x 2
f  (0)  lim
x  0
x

 

 1


Đạo hàm

1.

2.

3.

a

'

hàm hợp

0

 '

x  x
e   e

x

 1

'

x

'

4.  sin x   cos x
'

5.  cos x    sin x
1
6.  ln x  
x
1
'
7.  tan x  
cos 2 x
1
'
8.  cot x  
2
sin x
'

   u
e   e  u

2. u
3.

 '

 1

u '

u

u

'

'

'

4.  sin u   cos  u   u
5.

'

'

'
cos
u



sin
u

u

  

'
u
'
6.  ln u  
u

'

u
7.  tan u  
cos 2 u
u '
'
8.  cot u  
2
sin u
'


Đạo hàm các hàm lượng giác ngược và hyperbolic

1.

 arcsin x 

'



1
1 x

'

2.  arccos x  

2

1
1 x

1
3.  arctan x  
1  x2
'

1
4.  arccot x  
2
1 x
'

'

5.  sinh x   cosh x

'

2

6.  cosh x   sinh x
1
7.  tanh x  
2
cosh x
'

1
8.  coth x   
2
sinh x
'


Công thức tính đạo hàm
Qui tắc tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương,
hàm hợp.
'

1.  u    u

'

2.  u  v   u '  v '

'

'

'

'

3.  u  v   u  v  u  v
'

'
'
u
u

v

u

v
 
5.   
2
v
v

'

'

'

4.  u  v  w   u  v  w  u  v  w  u  v  w

'

Đạo hàm của hàm hợp
'

'

'

f  f (u ), u  u ( x)  f ( x)  f (u )  u ( x)


Đạo hàm của hàm ngược.
Hàm y = f(x) là hàm 1-1 có hàm ngược x = g(y).
Nếu f(x) có đạo hàm hữu hạn khác không tại x0, thì hàm
g(y) sẽ có đạo hàm tại y0 = f(x0) và

1
g ( y0 )  '
f ( x0 )
'

1
x ( y)  '
y ( x)
'


Ví dụ
Tìm đạo hàm hàm ngược của hàm f ( x)  x  x3
'

2

f(x) là hàm 1-1 trên R, đạo hàm f ( x )  1  3 x  0, x

dx
1
1
 '

dy y ( x) 1  3 x 2
Ví dụ
y
y
e

e
'
y
Tìm ( x ) , biết x  sinh y 

2

x = sinh(y) là hàm 1-1, đạo hàm x ' ( y )  1/ cosh y  0, y

dy
1
1
1
y ( x) 
 '


dx x ( y )
1  sinh 2 y
1  x2
'


Đạo hàm của hàm cho bởi phương trình tham số.

 x  x(t )
Hàm y = y(x) cho bởi pt tham số: 
 y  y (t )
Giả sử hàm x  x(t ) có hàm ngược t  t ( x)
Khi đó

y  y (t )  y (t ( x)) là hàm y theo biến x.

'
'

dy
y
(
t
)
dt
y
(t )
'
y ( x) 
 '
 '
dx x (t )dt x (t )

'
y
(t )
'
 y ( x)  '
x (t )


Ví dụ
Tìm đạo hàm của hàm y = y(x) cho bởi pt tham số

x  a  cos3 t , y  b  sin 3 t , t  (0,  / 2).
x ' (t )  3a cos 2 t sin t  0, t  (0,  / 2)
'

2

y (t )  3b sin t cos t
'

2

y (t )
3b sin t cos t
b

  tan t
y ( x)  '
2
a
3a cos t sin t
x (t )
'


Đạo hàm của hàm ẩn.
Hàm y = y(x) với x  (a, b) cho ẩn bởi phương trình
F ( x, y )  0 nếu F ( x, y ( x))  0 với x  (a, b).

Để tìm đạo hàm của hàm ẩn, ta đạo hàm hai vế: coi x
là biến, y là hàm theo x.
Ví dụ Tìm y ' ( x), biết y = y(x) là hàm ẩn xác định từ
phương trình e 2 x  y  x3  cos y

e

2x y



2

2 x y

3 x  2e
2  y ( x)  3 x  y ( x)  sin y  y ( x)  2 x  y
e
 sin y
'



2

'

'


Ví dụ
x
e
'
; x   (2n  1), n  Z
Tìm f ( x), biết f ( x)  ln 3
1  cos x

1
1
x 1
x
y  ln e  ln(1  cos x)   ln(1  cos x)
3
3
3 3

1 1  sin x
y   
3 3 1  cos x
'

1 1 sin x
y   
3 3 1  cos x
'


Ví dụ
'

f ( x) 

Tìm f ( x), biết

1 x
3

2

x 4 sin 7 x

; x   n, n  Z

4
ln f  ln(1  x )  ln x  7ln sin x
3
2

'

Đạo hàm hai vế

1 x

'

y 

3

2

f
2x
4
cos x


 7
2
f 1 x
3x
sin x

4
cos x 
 2x

 7
2

4
7
3
x
sin
x
1

x

x sin x


Ví dụ
'

Tìm f ( x), biết

f ( x)  (2 x  1)

sin x

ln f  ln(2 x  1)sin x  sin x  ln(2 x  1)
Đạo hàm hai vế

f'
2sin x
 cos x  ln(2 x  1) 
f
2x  1

2sin x 

 f  f cos x  ln(2 x  1) 
2 x  1 

'

 (2 x  1)

sin x

2sin x 

cos x  ln(2 x  1)  2 x  1 

sin xln(2 x 1)
f
(
x
)

e
Có thể sử dụng:


Định nghĩa (đạo hàm cấp cao)
Đạo hàm của hàm y = f(x) là một hàm số.
Có thể lấy đạo hàm một lần nữa của đạo hàm cấp
một, ta được khái niệm đạo hàm cấp hai.
''



'

f ( x)  f ( x )



'

Tiếp tục quá trình ta có đạo hàm cấp n.

f

(n)



( x)  f

( n 1)

( x)



'


Công thức Leibnitz (tính đạo hàm cấp cao)
Giả sử y  f  g
Dùng qui nạp ta chứng minh được

 f  g

(n)

n

k
n

 C f
k 0

  f  g

(n)



0
Cn

(k )

f

(0)

g

(nk )

g

(n)

1
 Cn

f

(1)

g

Trong đó qui ước: f (0)  f ; g (0)  g .

( n 1)

n
   Cn

f

(n)

g

(0)