Bài giảng Giải tích 1: Chương 4 - ĐH Bách Khoa Tp.HCM

Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh
Bộ môn Toán Ứng dụng
-------------------------------------------------------------------------------------

Giải tích 1

Chương 4: Phương trình vi phân cấp 1.
•

Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (11/2008)



Nội dung
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

I – Định nghĩa.
II – Các dạng phương trình vi phân:
1 – Phương trình vi phân tách biến
2 – Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1
3 – Phương trình vi phân đẳng cấp cấp 1
4 – Phương trình vi phân toàn phần
5 – Phương trình Bernoulli


I. Các khái niệm cơ bản
Cho mạch điện như hình bên.
Điện thế tại nguồn E ở thời điểm t: E(t) volt
Điện trở R (Ohm), cuộn cảm L (Henry)
Dòng điện chạy qua ở thời điểm t là I(t) ampe
Theo định luật Ohm: dòng điện tại thời điểm t được

tính bởi công thức:

dI (t )
L
 RI (t )  E (t )
dt
Ptrình vi phân cấp 1.


I. Các khái niệm cơ bản
Định nghĩa
Phương trình chứa đạo hàm hay vi phân của một hoặc
một vài hàm cần tìm được gọi là phương trình vi phân.

Phương trình chứa đạo hàm của một biến độc lập gọi
là phương trình vi phân thường (Differential Equation)
Phương trình chứa đạo hàm riêng gọi là phương trình vi
phân đạo hàm riêng (Partial Differential equation PDE).


I. Các khái niệm cơ bản
Định nghĩa
Cấp cao nhất của đạo hàm trong phương trình vi phân
gọi là cấp của phương trình vi phân.
'
y
y '' ( x)  3  x sin x
x

phương trình vi phân cấp 2

d3y
d2y
2x

3

e
dx
dx3

phương trình vi phân cấp 3.

 2u  2u

1
2
xy
x

phương trình đạo hàm riêng cấp 2


I. Các khái niệm cơ bản
Định nghĩa
Dạng tổng quát của phương trình vi phân cấp n

F ( x, y, y ' ,..., y ( n ) )  0
Ví dụ:

(1)

(3 y 2 x  e y ) y '  ( y 3  2 x)  0

Nếu giải ra được y ( n ) : y ( n )   ( x, y, y ' ,..., y ( n 1) )
Ví dụ:









x 2  xy dy  2 x 2  y 2 dx

Giải ra được:

2
2
dy
2
x

y
y' 
 2
dx x  xy

I. Các khái niệm cơ bản
Định nghĩa
Nghiệm của phương trình (1) trên khoảng I là một hàm
y   ( x ) xác định trên I sao cho khi thay vào (1) ta được

đồng nhất thức.
Đồ thị của nghiệm y   ( x ) gọi là đường cong tích phân

1
Ví dụ: Phương trình vi phân y  y  0 có nghiệm là
x
y  Cx, C  R
'

vì thỏa phương trình vi phân đã cho.


I. Các khái niệm cơ bản
Định nghĩa
Dạng tổng quát của phương trình vi phân cấp 1

F ( x, y , y ' )  0

(2)

Nếu giải ra được y ' : y '   ( x, y )

(3)

Ví dụ: Các phương trình vi phân cấp 1:
'

y  y  xe

dạng (3)

x

( y 2  x 2 )dy  ( xy  y 2 )dx  0
'

' 2

 

y  xy  1  y

dạng (3)

phương trình Clairaut, dạng (2)


I. Các khái niệm cơ bản
Bài toán Cauchy
Bài toán Cauchy là bài toán tìm nghiệm của phương
trình (2) hoặc (3) thỏa điều kiện ban đầu (điều kiện biên)

y ( x0 )  y0

(4)

Nghiệm của phương trình (2) hoặc (3) là họ đường cong
tích phân phụ thuộc hằng số C.
Nghiệm của bài toán Cauchy là đường cong tích phân
đi qua điểm cho trước ( x0 , y0 )


I. Các khái niệm cơ bản

3
Ví dụ: Phương trình vi phân y  y  0
x
'

nghiệm của phương trình là họ đương cong tích phân:

y  Cx 3 , C  R

3
Xét bài toán Cauchy y  y  0, y (1)  3
x
'

Ta có 3  C 13  C  3
Nghiệm của bài toán Cauchy y  3 x3


I. Các khái niệm cơ bản
Đường cong tích phân trong vài trường hợp

y  2x3

y  3x3

y   x3

Nghiệm của bài toán
Cauchy

là

đường

cong màu đỏ.

Đường

cong

điểm (1,3).

qua

y  x3


I. Các khái niệm cơ bản
Định lý (tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy)
Nếu hàm y = f(x) liên tục trong miền mở D  R 2 , thì

với mọi điểm  x0 , y0   D , bài toán Côsi (3) với điều kiện
(4) có nghiệm xác định trong lân cận của x0.

Ngoài ra nếu đạo hàm riêng
nghiệm này là duy nhất.

f
cũng liên tục trong D, thì
y


I. Các khái niệm cơ bản
Định nghĩa
Nghiệm của phương trình cấp 1 phụ thuộc hằng C.
Nghiệm tổng quát của phương trình cấp 1: y   ( x, C )
Nghiệm riêng là nghiệm thu được từ nghiệm tổng quát
bằng cách cho C hằng số cụ thể ( ví dụ nghiệm bài toán
Côsi).
Nghiệm kỳ dị là nghiệm không thể thu được từ nghiệm
tổng quát cho dù C lấy bất kỳ giá trị nào.


I. Các khái niệm cơ bản

Giải phương trình vi phân là tìm ra các nghiệm của nó.
Trong chương trình này, ta giải phương trình theo
cách không đầy đủ, không chặt chẽ (ví dụ: khi chia
cho y không biết y có triệt tiêu không).
Để khảo sát nghiệm một cách đầy đủ, các em có thể
tham khảo sách Jean – Marie Monier, giải tích tập 2 và 4.

II.1 Phương trình vi phân tách biến
Dạng

f ( x)dx  g ( y )dy  0

Cách giải: tích phân hai vế ta được

 f ( x)dx   g ( y )dy  C
Ví dụ Giải pt

dy
dx

0
2
2
1 y 1 x

dy
dx


C
2
2
1 y
1 x
Nghiệm của phương trình: arctan y  arctan x  C

arctan y  arctan x  C
arctan y  arctan x  C


Các dạng có thể đưa về phương trình vi phân tách biến
Dạng 1

f1 ( x) g1 ( y )dx  f 2 ( x) g 2 ( y )dy  0

Cách giải: Có thể đưa về phương trình tách biến
Nếu g1 ( y )  0 tại y = b, thì y = b là một nghiệm riêng.
Nếu f 2 ( x)  0 tại x = a, thì x = a là một nghiệm riêng.
Nếu f 2 ( x) g1 ( y )  0, chia hai vế cho f 2 ( x) g1 ( y )  0
Phương trình tách biến

f1 ( x )
g2 ( y)
dx 
dy  0
f 2 ( x)
g1 ( y )


II.1 Phương trình vi phân tách biến
Ví dụ Giải pt

tan x  sin 2 ydx  cos 2 x  cot ydy  0

tan x
cot y
dx  2 dy  0
2
cos x
sin y

tan x
cot y

dx   2 dy  C
2
cos x
sin y

Nghiệm của phương trình: tan 2 x  cot 2 y  C
Ví dụ Giải pt

x  (1  x 2 )dy  (1  y 2 )dx  0

dy
dx

0
2
2
1 y
x(1  x )

dy

dx


C
2
2
1 y
x(1  x )

1
Nghiệm của phương trình: arctan y  ln | x |  ln(1  x 2 )  C
2


3
2
(
x

1)
dy

(
y

2)
dx  0
Ví dụ Giải phương trình

Phương trình trên được viết lại:

dy
dx

0
2
3
( y  2) ( x  1)
Tích phân hai vế



dy
dx

C
2
3
( y  2)
( x  1)

2
3
(
y

2)
d
(
y


2)

(
x

1)
d ( x  1)  C



Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân là:

1
1 1


C
2
y  2 2 ( x  1)




Ví dụ Giải phương trình



xy  x y '  y  0

Phương trình trên được viết lại:

x



dy
y 1
y0
dx



Tích phân hai vế





y 1
dx
dy 
0
y
x

y 1
dx
dy  
C

y
x

 1/ 2 1 
1/ 2
y

dy

x
dx  C
 


y
Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân là:

2 y  ln | y | 2 x  C


2 y  ln | y | 2 x  C


Ví dụ Giải phương trình 2

x y

3

x 2 y

'

y 0

Phương trình trên được viết lại:
x

2 y

2 3 dy
 y
0
x
3
2 dx
Tích phân hai vế



x

x

2
   dx  18 y dy  0
3

y 1
dx

dy  
C
y
x

2
y
dx

18
  3 
 dy  C
Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân là:
x

 2 / 3  18 y  C
ln  2 / 3 ln(18)


Các dạng có thể đưa về phương trình vi phân tách biến
Dạng 2

'

y  f (ax  by  c), b  0, a  0

Cách giải: Đặt u  ax  by  c  u '  a  by '

u '  a  b  f (u )

u '  a  b  f (u )

Nếu a  b  f (u )  0, giải tìm u. Kiểm tra có phải là nghiệm.
Nếu a  b  f (u )  0, chia hai vế cho a  bf (u )

du

 dx
a  b  f (u )

Đây là phương trình tách biến
(biến u riêng, biến x riêng)


Ví dụ Giải phương trình

1  2x  3y
y 
4x  6 y  5
'

2 x  3 y  1
y 
u  2 x  3 y  1  u '  2  3 y '
2(2 x  3 y  1)  3
u'  2
u
3u
'
Thay vào pt đã cho


u 
2
3
2u  3
2u  3
'

u  6
2u  3
2u  3
 du 
dx 
du  dx  
du    dx
2u  3
u6
u6
 2u  9ln | u  6 |  x  C

Nghiệm của phương trình vi phân là

2(2 x  3 y  1)  9ln | 2 x  3 y  7 |  x  C


Chú ý:

Ví dụ Giải phương trình

2 x  3 y

y 
4x  6 y  5
'

Bỏ số 1 ở tử ta vẫn được phương trình vi phân dạng
đang xét.

Ví dụ Giải phương trình

1 2x  3y
y 
2x  6 y  5
'

Thay số 4 bởi một số khác (số 2) thì phương trình
này không có dạng phương trình vi phân đang xét.