Bài giảng Giải tích 1: Chương 4.1 - ĐH Bách Khoa Tp.HCM

Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh
Bộ môn Toán Ứng dụng
-------------------------------------------------------------------------------------

Giải tích 1
Chương 4.
Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2
Hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp một.
•

Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (11/2008)



Nội dung
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

I – Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 tổng quát.
II – Phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng.
III- Hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp 1.


I. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2
Định nghĩa phương trình không thuần nhất
Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai không thuần nhất
''

'

y  p ( x) y  q( x) y  f ( x), (1)
trong đó p ( x), q ( x), f ( x) là các hàm liên tục.

Định nghĩa phương trình thuần nhất
Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai thuần nhất

y ''  p ( x) y '  q ( x) y  0, (2)
trong đó

p ( x ), q ( x )

là các hàm liên tục.


I. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2
Cấu trúc nghiệm của phương trình không thuần nhất

ytq  y0  yr
ytq là nghiệm tổng quát của pt không thuần nhất.
y0

là nghiệm tổng quát của pt thuần nhất.

yr

là nghiệm riêng của pt không thuần nhất.


Tập hợp các nghiệm của phương trình thuần nhất là
không gian 2 chiều: y0  c1 y1 ( x )  c2 y2 ( x )

y1 ( x ) là nghiệm riêng của pt thuần nhất (2)
Tìm nghiệm thứ hai ở dạng: y2  y1 ( x)  u ( x)

y2'  y1' u  y1u ' ;

y2''  y1''u  2 y1' u '  y1u ''





 y1''u  2 y1' u '  y1u ''  p y1' u  y1u '  qy1u  0



y1''



py1'



''

 qy1 u  y1u 



2 y1'







''
'
'
y
u

2
y

py
u
0
 py1 u  0 1
1
1
'





Đặt z  u ' , có phương trình tách biến y1 z '  2 y1'  py1 z  0
u 

e

 p ( x ) dx

y12 ( x )

dx

e  p ( x ) dx
 y2 ( x)  y1 ( x)   2
dx
y1 ( x)


I. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2
Tìm nghiệm riêng của (1) bằng phương pháp biến thiên
hằng số:

yr  c1 ( x ) y1 ( x )  c2 ( x ) y2 ( x )

 yr'  C1' ( x) y1  C1 ( x) y1' ( x)  C2' ( x) y2  C2 ( x) y2' ( x)
 yr''  C1'' y1  C1' y1'  C1' y1'  C1' y1''  C2'' y2  C2' y2'  C2' y2'  C2 y2''
Thay vào pt (1): yr''  p ( x) yr'  q ( x ) yr  f ( x)
'
1 1
' '
1 1

'
2 2
' '

2 2

C y  C y

C y  C y



0



f ( x)

Nghiệm riêng: yr

Giải hệ tìm

C1' , C2' .

Suy ra C1 ( x), C.2 ( x)

Nghiệm tổng quát của (1): ytq  y0  yr


KẾT LUẬN:
Để giải phương trình y ''  p ( x) y '  q ( x) y  f ( x)
chỉ cần tìm một nghiệm riêng y1 ( x) của pt thuần nhất.

e   p ( x ) dx

Từ nghiệm y1 ( x) suy ra: y2 ( x)  y1 ( x)   2
dx
y1 ( x)
Tìm nghiệm yr  c1 ( x) y1 ( x)  c2 ( x) y2 ( x)

C1' y1  C2' y2
 ' '
' '
C
y

C
2 y2
 1 1



0



f ( x)

 C1 ( x), C2 ( x)  yr

Nghiệm tổng quát của pt không thuần nhất: ytq  y0  yr


Ví dụ Giải phương trình x 2 y ''  xy '  y  4 x 3 (1)

1 ' 1
Phương trình chuẩn: y  y  2 y  4 x
x
x
1 ' 1
''
Phương trình thuần nhất: y  y  2 y  0 (2)
x
x
Đoán một nghiệm riêng của pt thuần nhất: y1 ( x)  x
''

Tìm nghiệm riêng thứ hai của (2):
1
 dx
x

e
e   p ( x ) dx
y2 ( x)  y1 ( x)   2
dx  x   2 dx  x ln x
x
y1 ( x)
Tìm nghiệm riêng của pt (1) bằng PP biến thiên hằng số
Trong bài này ta đoán được: y  x3
Nghiệm tổng quát của (1): ytq  y0  yr  C1 x  C2 x ln | x |  x3


y ''   tan x  y '  2 y  0

Ví dụ Giải phương trình

Đoán một nghiệm riêng: y1 ( x)  sin x
Tìm nghiệm riêng thứ hai của (2):
 tan xdx
e   p ( x ) dx
y2 ( x)  y1 ( x)   2
dx  sin x   e
dx
2
y1 ( x)
sin x

2x '
2y
y  2
0
Ví dụ Giải phương trình y  2
x 1
x 1
''

Đoán một nghiệm riêng: y1 ( x)  x
Tìm nghiệm riêng thứ hai của (2):
2x
 2 dx
x 1

e   p ( x ) dx
y2 ( x)  y1 ( x)   2

dx  x  e
 x2
y1 ( x)

dx


II. Ptrình vi phân tuyến tính cấp 2 hệ số hằng
Định nghĩa phương trình không thuần nhất hệ số hằng
Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai là phương trình

y ''  py '  qy  f ( x), (1)
trong đó p, q là hằng số, và f(x) là hàm liên tục.
Định nghĩa phương trình thuần nhất hệ số hằng
Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai là phương trình

y ''  py '  qy  0, (2)
trong đó p, q là các hằng số.


Giải phương trình thuần nhất: y ''  py '  qy  0, (2)
Phương trình đặc trưng: k 2  pk  q  0
TH 1: PTĐT có hai nghiệm thực phân biệt k1 , k2
Nghiệm tổng quát: y0  C1ek1x  C2ek2 x
TH 2: PTĐT có một nghiệm kép k0
Nghiệm tổng quát:

y0  C1ek0 x  C2 xe k0 x

TH 3: PTĐT có một nghiệm phức k1  a  bi

Nghiệm tổng quát: y0  e ax  C1 cos bx  C2 sin bx 


Tìm nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất
Trường hợp chung: Phương pháp biến thiên hằng số.
Xét hai trường hợp đặc biệt:
TH 1:

f ( x)  Pn ( x)e x , Pn(x) là đa thức bậc n.

s x
y

x
e Qn ( x)
Tìm yr ở dạng: r

s = 0, nếu  không là nghiệm của pt đặc trưng.
s = 1, nếu  là nghiệm đơn của pt đặc trưng.
s = 2, nếu  là nghiệm kép của pt đặc trưng.

Qn ( x) là đa thức cùng bậc Pn ( x) với các hệ số cần tìm.
Để tìm các hệ số này, thay yr vào pt (1).


TH 2: f ( x)  e x  Pn ( x)cos  x  Qm ( x)sin  x 
Tìm yr ở dạng: yr  x s e x  H k ( x)cos  x  Tk ( x)sin  x 
s = 0, nếu   i  không là nghiệm của pt đặc trưng.
s = 1, nếu   i  là nghiệm đơn của pt đặc trưng.

H k , Tk: hai đa thức bậc k  max{m, n} với các hệ số cần tìm.
Để tìm các hệ số này, thay yr vào pt (1):

yr''  pyr'  qyr  f ( x)
Vì sinx và cosx độc lập tuyến tính nên các hệ số tương
ứng bằng nhau.


Chú ý: 1) Có nguyên lý cộng dồn (chồng chất) nghiệm:
''

'

y  py  qy  f ( x)  f1 ( x)  f 2 ( x)
nghiệm riêng của (1) có dạng yr  yr1  yr2

yr1 nghiệm riêng của pt: y ''  py '  qy  f1 ( x)

yr2 nghiệm riêng của pt: y ''  py '  qy  f 2 ( x)
2) f ( x )  Pn ( x ) là trường hợp 1: f ( x)  e0 x Pn ( x)
3) f ( x)  Pn ( x)cos  x là trường hợp 2:

f ( x)  e

0x

 Pn ( x)cos  x  0sin  x 


Ví dụ Giải phương trình y ''  5 y '  6 y  e x

Phương trình đặc trưng: k 2  5k  6  0  k1  2  k2  3
Nghiệm tổng quát của pt thuần nhất: y0  C1e 2 x  C2e3 x

f ( x)  e  x  Pn ( x)e x    1, Pn ( x) bậc 0.
yr  x s e xQn ( x)

  1, Qn ( x)  A (vì Pn bậc 0)

s = 0, vì   1 không là nghiệm pt đặc trưng.
0 x

yr  x e A  Ae

x

yr'   Ae x , yr''  Ae  x

1
yr''  5 yr'  6 yr  e  x  Ae  x  5 Ae  x  6 Ae  x  e  x  A 
12
1 x
2x
3x
Kluận: Nghiệm t/quát: ytq  y0  yr  C1e  C2e  e
12


Ví dụ Giải phương trình

y ''  4 y  x 2

Phương trình đặc trưng: k 2  4  0
Nghiệm t/quát của pt th/nhất: y0  e

 k1  2i  k2  2i
0x

 C1 cos 2 x  C2 sin 2 x 

f ( x)  x 2  Pn ( x)e0 x    0, Pn ( x) bậc 2.
s x

yr  x e Qn ( x)

  0, Qn ( x)  Ax 2  Bx  C (vì Pn bậc 2)

s = 0, vì   0 không là nghiệm pt đặc trưng.
'
''
yr  x 0e0 x  Ax 2  Bx  C   Ax 2  Bx  C yr  2 Ax  B, yr  2 A

1
1
 4 yr  x  2 A  4( Ax  Bx  C )  x  A  , B  0, C 
4
8
1 2 1
Nghiệm t/quát: ytq  y0  yr  C1 cos 2 x  C2 sin 2 x  x 
4
8

yr''

2

2

2


Ví dụ Giải phương trình y ''  2 y '  3 x
Phương trình đặc trưng: k 2  2k  0  k1  0  k2  2
Nghiệm t/quát của pt th/nhất:

0x

y0  C1e  C2e

2 x

f ( x)  3 x  Pn ( x)e0 x    0, Pn ( x) bậc 1.
s x

yr  x e Qn ( x)

  0, Qn ( x)  Ax  B

(vì Pn bậc 1)

s = 1, vì   0 là nghiệm đơn pt đặc trưng.

'
''
y

2
Ax

B
,
y
yr  x e  Ax  B   Ax  Bx
r
r  2A
3
3
''
'
yr  2 y  3 x  2 A  2(2 Ax  B)  3 x  A  , B 
4
4
3
3
2 x
Nghiệm t/quát: ytq  y0  yr  C1  C2e  x 
4
4
1 0x

2

Ví dụ Giải phương trình y ''  2 y '  y  2e x
Phương trình đặc trưng: k 2  2k  1  0  k1  k2  1
Nghiệm t/quát của pt th/nhất:

x

y0  C1e  C2 xe

x

f ( x)  2e x  Pn ( x)e1 x    1, Pn ( x) bậc 0.
s x

yr  x e Qn ( x)

  1, Qn ( x)  A

(vì Pn bậc 0)

s = 2, vì   1 là nghiệm kép pt đặc trưng.

yr  x 2e x A  Ax 2e x yr'  Ae x (2 x  x 2 ), yr''  Ae x (2  4 x  x 2 )
3
3
''
'
x
 A  ,B 
yr  2 yr  yr  2e

4
4
3
3
2 x
Nghiệm t/quát: ytq  y0  yr  C1  C2e  x 
4
4


Ví dụ Giải phương trình y ''  4 y '  3 y  sin 2 x
Phương trình đặc trưng: k 2  4k  3  0  k1  1  k2  3
Nghiệm t/quát của pt th/nhất:

x

y0  C1e  C2e

3x

f ( x)  e0 x (0.cos 2 x  sin 2 x)
   0,   2, Pn ( x), Qm ( x) bậc 0.
yr  x s e x Tk ( x )cos 2 x  H k ( x )sin 2 x 
k  max{m, n}  0

   0, Tk  A, H k  B

s = 0, vì   i  2i không là nghiệm pt đặc trưng.

yr  A cos 2 x  B sin 2 x
'
yr

 2 A sin 2 x

''
 2 B cos 2 x, yr

 4 A cos 2 x  4 B sin 2 x

yr''  4 yr'  3 yr  sin 2 x

 4 A cos 2 x  4 B sin 2 x   4  2 A sin 2 x  2 B cos 2 x  
3  A cos 2 x  B sin 2 x   sin 2 x
( A  8 B )cos 2 x  (8 A  B )sin 2 x  sin 2 x
 A  8B  0
8
1
8
1
 A  ,B 
 yr  cos 2 x  sin 2 x

65
65
65
65
 8A  B  1
8

1
x
3x
Nghiệm t/quát: ytq  y0  yr  C1e  C2e  cos 2 x  sin 2 x
65
65


y ''  y  cos x

Ví dụ Giải phương trình
Phương trình đặc trưng:

2

k  1  0  k1  i  k2  i

Nghiệm t/quát của pt th/nhất: y0  e

0x

 C1 cos x  C2 sin x 

0 x

f ( x)  e (cos x  0.sin x)
   0,   1, Pn ( x), Qm ( x) bậc 0.
yr  x s e x Tk ( x)cos x  H k ( x)sin x 
k  max{m, n}  0

s = 1, vì

   0, Tk  A, H k  B

  i  i là nghiệm pt đặc trưng.


yr  x  A cos x  B sin x 

yr'  ( A  Bx)cos x  ( B  Ax)sin x

yr''   -2 A - Bx  sin x   2 B - Ax  cos x
yr''  yr  cos x

 -2 A - Bx  sin x   2 B - Ax  cos x  x  A cos x  B sin x   cos x
2 A sin x  2 B cos x  cos x
1
 A  0, B 
2

1
 yr  x sin x
2

1
y

y

y

Nghiệm t/quát: tq
x sin x
0
r  C1 cos x  C2 sin x 
2


Ví dụ Giải phương trình y ''  y '  2 y  2 sin x  cos x
Phương trình đặc trưng: k 2  k  2  0  k1  1  i 7
2
2
1
x
7
7
2
x  C2 sin
Nghiệm t/quát pt th/nhất: y0  e  C1 cos
2
2

0 x
f ( x)  e (cos x  2sin x)

   0,   1, Pn ( x), Qm ( x) bậc 0.
yr  x s e x Tk ( x)cos x  H k ( x)sin x 
k  max{m, n}  0

   0, Tk  A, H k  B

s = 0, vì   i  i không là nghiệm pt đặc trưng.


x



yr'   A sin x  B cos x

yr  A cos x  B sin x

yr''

  A cos x  B sin x

yr''  yr'  2 yr  cos x  2sin x

 A cos x  B sin x  A sin x  B cos x  2  A cos x  B sin x   cos x  2 sin x

( A  B )cos x  ( A  B)sin x  cos x  2sin x
 A  B  1  A  1 , B  3  y  1 cos x  3 sin x
r

2
2
2
2

A


B

2

Nghiệm t/quát: ytq  y0  yr

ytq 

1
x
2
e  C1 cos



7
7  3
1
x  C2 sin
x   cos x  sin x
2
2  2
2


Ví dụ Giải phương trình

y ''  4 y '  4 y  x  e 2 x

Phương trình đặc trưng: k 2  4k  4  0  k1  k2  2

Nghiệm t/quát pt th/nhất: y0  C1e 2 x  C2 xe 2 x

f ( x)  f1 ( x)  f 2 ( x)  x  e 2 x
Sử dụng nguyên lý cộng dồn nghiệm
Tìm nghiệm riêng ứng với f1 ( x): y ''  4 y '  4 y  x  f1 ( x) (1)

yr1  x s e xQn ( x)

  0, Qn ( x)  Ax  B (vì Pn bậc 1)

s = 0, vì   0 không là nghiệm đơn pt đặc trưng.
1
1
1
yr1  Ax  B Thay vào pt (1), ta có A  B   yr1  x 
4
4
4