Dạy học mô hình hóa toán học chủ đề hàm số trong chương trình trung học cơ sở

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

LƯU THANH HÀ

DẠY HỌC MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC CHỦ ĐỀ HÀM SỐ
TRONG CHƯƠNG TRÌNH TRUNG HỌC CƠ SỞ

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN

HÀ NỘI - 2020


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

LƯU THANH HÀ

DẠY HỌC MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC CHỦ ĐỀ HÀM SỐ
TRONG CHƯƠNG TRÌNH TRUNG HỌC CƠ SỞ

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN

CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC
BỘ MÔN TOÁN
Mã số: 8.14.01.11

Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS Chu Cẩm Thơ

HÀ NỘI - 2020

LỜI CẢM ƠN
Tác giả xin trân trọng cảm ơn các thầy giáo, cô giáo, Hội đồng khoa học, Ban
giám hiệu Trường Đại học Giáo dục - Đại học Quốc gia Hà Nội đã giảng dạy và tạo
điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn
thành khóa học. Đây không chỉ là nền tảng kiến thức cho quá trình hoàn thành luận
văn mà còn là hành trang quý báu để tác giả vững bước trên con đường làm nghề
dạy học.
Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc tới PGS.TS Chu Cẩm Thơ,
người thầy đã đồng hành, dìu dắt những bước đi đầu tiên trong sự nghiệp và hướng
dẫn tác giả hoàn thành luận văn này.
Tác giả xin cảm ơn Ban giám hiệu, các thầy, cô giáo tổ Toán, các em học sinh
trường THCS Đông La - Hoài Đức - Hà Nội, cảm ơn Ban lãnh đạo, các anh chị em
đồng nghiệp tại công ty Cổ phần Phát triển Giáo dục POMath đã tạo những điều
kiện thuận lợi nhất để tác giả có thể thực hiện đề tài và hoàn thành khóa học.
Tác giả cũng xin được dành lời cảm ơn chân thành đến những người thân và
bạn bè, đặc biệt là các học viên lớp cao học QH-2017S đã luôn quan tâm, cổ vũ,
chia sẻ, động viên, giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Do thời gian và trình độ bản thân còn nhiều hạn chế, luận văn chắc chắn sẽ
không tránh khỏi những thiếu sót, tác giả rất mong nhận được những ý kiến đóng
góp của thầy, cô và các bạn để luận văn được hoàn chỉnh hơn.
Xin trân trọng cảm ơn!
Hà Nội, ngày 11 tháng 03 năm 2020
Tác giả

Lưu Thanh Hà

i

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

Viết tắt
GV
HS
MHH
SGK
THCS

ii


MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN............................................................................................................i
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT........................................................................ ii
DANH MỤC CÁC BẢNG, BIỂU ĐỒ, HÌNH VÀ SƠ ĐỒ......................................iii
MỞ ĐẦU...................................................................................................................1

1. Lí do chọn đề tài...................................................................................... 1
2. Phạm vi nghiên cứu................................................................................. 3
3. Mục đích nghiên cứu...............................................................................3
4. Nhiệm vụ nghiên cứu..............................................................................3
5. Đối tượng nghiên cứu.............................................................................. 3
6. Giả thuyết khoa học.................................................................................3
7. Phương pháp nghiên cứu.........................................................................4
8. Cấu trúc luận văn..................................................................................... 4
Chương 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN.......................................................5

1.1. Mô hình hóa toán học...........................................................................5
1.1.1. Mô hình, mô hình toán học và mô hình hóa toán học......................................5

1.1.2. Quy trình mô hình hóa toán học......................................................................8
1.1.3. Phương pháp dạy học mô hình hóa................................................................ 16

1.2. Vai trò của mô hình hóa trong dạy học môn Toán............................... 17
1.2.1. Mối liên hệ giữa Toán học và thực tiễn.......................................................... 17
1.2.2. Vai trò của mô hình hóa trong dạy học môn Toán.......................................... 21

1.3. Thực tiễn dạy học bằng mô hình hóa toán học ở cấp trung học cơ sở
hiện nay..................................................................................................... 23
1.3.1. Thực trạng dạy học bằng mô hình hóa ở bậc trung học cơ sở hiện nay.........23
1.3.2. Những thuận lợi và trở ngại, khó khăn của dạy học bằng mô hình hóa.........27

Kết luận chương 1...................................................................................... 30
Chương 2. THIẾT KẾ MỘT SỐ HOẠT ĐỘNG MÔ HÌNH HÓA TRONG
DẠY HỌC CHỦ ĐỀ HÀM SỐ Ở CẤP TRUNG HỌC CƠ SỞ....................................... 31

2.1. Định hướng thiết kế............................................................................ 31
2.1.1. Nguyên tắc thiết kế........................................................................................ 31
2.1.2. Biện pháp thiết kế.......................................................................................... 32
iii


2.1.3. Định hướng sử dụng

2.2. Thiết kế một số hoạt động mô hình hóa chủ đề Hàm số ở cấp trung
học cơ sở...................................................................................................
2.2.1. Dạy học hàm số và đồ thị hàm số
2.2.3. Mô hình trong dạy học hàm số và đồ thị hàm số
học sinh lớp 9 .....................................................................................................................

2.2.4. Mô hình trong dạy học hàm số và đồ thị hàm số
sinh lớp 9 ............................................................................................................................

2.3. Xây dựng hệ thống bài tập mô hình hóa chủ đề Hàm số ở cấp trung
học cơ sở...................................................................................................
2.3.1. Bài tập mô hình hóa chủ đề Hàm số cho học sinh lớp 7 ....................................
2.3.2. Bài tập chủ đề Hàm số cho học sinh lớp 9 ..........................................................

Kết luận chương 2 .....................................................................................
Chương 3. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM .......................................................................

3.1. Mục đích thực nghiệm .........................................................................
3.1.1. Mục đích thực nghiệm ...........................................................................................
3.1.2. Nhiệm vụ thực nghiệ m...........................................................................................

3.2. Tổ chức thực nghiệm ...........................................................................
3.2.1. Kế hoạch thực nghiệm ...........................................................................................
3.2.2. Nội dung thực nghiệm............................................................................................

3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm..............................................................
3.3.1 Cơ sở đánh giá kết quả thực nghiệm .....................................................................
3.3.2 Kết quả thực nghiệm sư phạm................................................................................

Kết luận chương 3 .....................................................................................
KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ .................................................................................

1. Kết luận .................................................................................................
2. Khuyến nghị ..........................................................................................
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................................
PHỤ LỤC

iv


DANH MỤC CÁC BẢNG, BIỂU ĐỒ, HÌNH VÀ SƠ ĐỒ
Hình 1.1. Mô hình gia tăng dân số của Maithus (1798)............................................. 7
Sơ đồ 1.2. Quy trình mô hình hóa 7 bước của Blum [1]............................................ 9
Sơ đồ 1.3. Quy trình mô hình hóa 7 bước của Stillman [1].......................................9
Sơ đồ 1.4. Quy trình mô hình hóa 5 bước của PISA (2006)[1]................................ 10
Sơ đồ 1.5. Quy trình mô hình hóa 4 bước phỏng theo Coulange (1997)[9].............11
Sơ đồ 1.6. Quy trình mô hình hóa khép kín [28]..................................................... 13
Sơ đồ 1.7. Cơ chế điều chỉnh trong quá trình mô hình hóa [28].............................. 14
Sơ đồ 1.8. Các bước tổ chức hoạt động mô hình hóa [21]....................................... 16
Hình 1.9: Một phần bức tường ở quần thể cung điện Alhambra..............................19
Hình 1.10. Cách t ạo ra viên gạch lát từ hình tam giác đều.....................................20
Hình 1.11. Một số tác phẩm c ủa Escher................................................................. 20
Hình 1.12. Một số ứng dụng c ủa Lát mặt phẳng trong kiến trúc, xây dựng............20
Hình 1.13. Cách tính chiều cao kim tự tháp bằng tam giác đồng dạng....................22
Biểu đồ 1.14. Kinh nghiệm giảng dạy c ủa các giáo viên tham gia khảo sát...........24
Biểu đồ 1.15. Thống kê về đánh giá tầm quan trọng của việc tăng cường các hoạt
động liên hệ với thực tiễn trong dạy học môn Toán................................................ 24
Biểu đồ 1.16. Thống kê về việc thường xuyên quan tâm đến việc dạy học theo
hướng tăng cường liên hệ Toán học với thực tiễn của giáo viên..............................24
Biểu đồ 1.17. Thống kê về việc thường xuyên tự tìm hiểu những ứng dụng của Toán
học trong thực tế và liên hệ với các kiến thức Toán học đang được giảng dạy tại
trường phổ thông..................................................................................................... 25
Biểu đồ 1.18. Thống kê về việc thường xuyên đưa các tình huống thực tiễn, các mô
hình c ủa toán học trong thực tiễn vào dạy học Toán............................................... 25
Biểu đồ 1.19. Thống kê về việc thường xuyên thiết kế cho học sinh các hoạt động,
bài tập theo hướng vận dụng mô hình toán học để giải quyết các bài toán thực tiễn

26
Biểu đồ 1.20. Thống kê về đánh giá tầm quan trọng của việc tăng các câu hỏi có nội
dung thực tiễn vào kiểm tra, đánh giá môn Toán..................................................... 26

v


Bảng 1.21. Thống kê ý kiến của giáo viên về những thuận lợi và khó khăn của việc
đưa tình huống thực tiễn vào dạy học môn toán...................................................... 27
Sơ đồ 2.1. Quy trình thiết kế hoạt động mô hình hóa.............................................. 34
Hình 2.2. Dấu chân đi bộ c ủa một người................................................................ 36
Hình 2.3. Vận động viên Phạm Thị Thu Trang t ại Seagames 30............................37
Hình 2.4. Bảng giá sản phẩm tại cửa hàng HLT MUSIC......................................... 40
Hình 2.5. Bảng giá cước Taxi 5 chỗ (dòng xe Vios) của hãng taxi G......................49
Hình 2.6. Bảng giá cước Taxi Vios 5 chỗ, hãng taxi M........................................... 49
Hình 2.7. Bảng thành tích giành huy chương Vàng nội dung 100m nam tại các kì
Olympic mùa hè từ năm 1900 đến năm 2012.......................................................... 54
Hình 2.8. Cầu Trường Tiền...................................................................................... 58
Hình 2.9. Nhịp c ầu Trường Tiền............................................................................. 58
Bảng 2.10. Mối tương quan giữa điểm số trên lớp và thời gian học tập ở nhà của
một học sinh............................................................................................................ 61
Hình 2.11. Tốc độ truyền dịch................................................................................. 67
Hình 2.12. Bảng giá bán lẻ xăng tháng 9/2019 của tập đoàn Petrolimex................68
Hình 2.13. Turbin gió.............................................................................................. 79
Hình 2.14. Cổng Arch tại thành phố St Louis - Mỹ................................................. 81
Hình 2.15. Tượng Merlion - Singapore................................................................... 84
Bảng 3.1. Kết quả học tập môn Toán năm học 2018 - 2019....................................89
Bảng 3.2. Kết quả thực nghiệm lớp 7A1................................................................. 90
Bảng 3.3. Kết quả thực nghiệm lớp 9...................................................................... 90

vi


MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Thực hiện Nghị quyết số 29/NQ-TW của Ban Chấp hành Trung ương Đảng
Cộng sản Việt Nam (khóa XI), Nghị quyết số 88/2014/QH13 của Quốc hội và Quyết
định số 404/QĐ-TTg của Thủ tướng Chính phủ, ngày 26 tháng 12 năm 2018, Bộ
Giáo dục và Đào tạo đã ban hành thông tư số 32/2018/TT-BGDĐT về việc ban hành
chương trình giáo dục phổ thông. Theo đó, chương trình giáo dục phổ thông mới đã
nêu rõ mục tiêu: Chương trình giáo dục phổ thông cụ thể hoá mục tiêu giáo dục phổ
thông, giúp học sinh làm chủ kiến thức phổ thông, biết vận dụng hiệu quả kiến thức,
kĩ năng đã học vào đời sống và tự học suốt đời, có định hướng lựa chọn nghề
nghiệp phù hợp, biết xây dựng và phát triển hài hoà các mối quan hệ xã hội, có cá
tính, nhân cách và đời sống tâm hồn phong phú, nhờ đó có được cuộc sống có
ý nghĩa và đóng góp tích cực vào sự phát triển của đất nước và nhân loại [4]. So

với chương trình giáo dục phổ thông hiện hành, chương trình giáo dục phổ thông
tổng thể mới được ban hành có nhiều điểm mới, khác biệt mà điểm khác biệt căn
bản nhất là chương trình giáo dục phổ thông mới được xây dựng theo mô hình phát
triển năng lực, thông qua những kiến thức cơ bản, thiết thực, hiện đại và các phương
pháp tích cực hóa hoạt động của người học, giúp học sinh hình thành và phát triển
những phẩm chất và năng lực mà nhà trường, xã hội kỳ vọng. Theo đó, chương trình
giáo dục phổ thông đã đưa ra các yêu cầu cần đạt bao gồm 5 phẩm chất (yêu đất
nước, yêu con người, chăm chỉ, trung thực, trách nhiệm) và 10 năng lực cốt lõi (Bao
gồm 3 năng lực chung là: năng lực tự chủ và tự học, năng lực giao tiếp và hợp tác,
năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo và 7 năng lực chuyên môn là: năng lực ngôn
ngữ, năng lực tính toán, năng lực khoa học, năng lực công nghệ, năng lực tin học,
năng lực thẩm mỹ, năng lực thể chất).
Năng lực Toán học bao gồm các thành tố cốt lõi: năng lực tư duy và lập luận

toán học; năng lực mô hình hóa toán học; năng lực giải quyết vấn đề toán học; năng
lực giao tiếp toán học và năng lực sử dụng công cụ, phương tiện toán học. Trong đó,
năng lực mô hình hóa toán học hướng tới việc giúp học sinh biết sử dụng các mô
hình toán học (gồm công thức, phương trình, bảng biểu, đồ thị …) để mô tả các
1


tình huống đặt ra trong các bài toán thực tế; biết giải quyết các vấn đề toán học
trong mô hình được thiết lập, biết thể hiện và đánh giá lời giải trong ngữ cảnh thực
tế. Đây là những điều rất cần thiết, không chỉ để phát triển năng lực toán học, năng
lực tính toán mà còn giúp các em học sinh phát triển và hoàn thiện bản thân để tham
gia vào cuộc sống lao động sau này.
Một trong những phương pháp để phát triển tốt năng lực mô hình hóa toán
học cho học sinh chính là phương pháp dạy học bằng mô hình hóa. Phương pháp
này giúp học sinh tìm hiểu, khám phá và giải quyết các tình huống thực tiễn bằng
công cụ và ngôn ngữ Toán học với sự hỗ trợ của các phần mềm dạy học. Qua đó,
việc học Toán của học sinh trở nên có ý nghĩa hơn, có động cơ và niềm ham thích
hơn với môn Toán. Từ đây, học sinh cũng có thể tự mình tìm thêm những đáp án
thuyết phục hơn cho câu hỏi: “Học Toán để làm gì?”, bên cạnh những đáp án mà
bấy lâu nay ai cũng thường trả lời: Học Toán để thi, học Toán để lên lớp; học Toán
vì phải học; …
Về mặt thực tiễn, việc dạy học phát triển năng lực mô hình hóa Toán học và
việc dạy học bằng mô hình hóa Toán học cho học sinh đã được quan tâm và thực
hiện ở nhiều quốc gia trên thế giới. Tuy nhiên, ở Việt Nam, việc dạy học định hướng
phát triển năng lực còn khá mới và chỉ được quan tâm rộng rãi sau khi có quyết định
về việc đổi mới chương trình, sách giáo khoa phổ thông theo hướng phát triển năng
lực người học.
Hơn nữa, chương trình giáo dục phổ thông hiện hành được xây dựng theo mô
hình định hướng nội dung, nặng về truyền thụ kiến thức, chưa chú trọng giúp học
sinh vận dụng kiến thức học được vào thực tiễn. Theo mô hình này, kiến thức vừa là

“chất liệu”, “đầu vào”; vừa là “kết quả”, “đầu ra” của quá trình giáo dục. Vì vậy,
học sinh phải học và ghi nhớ rất nhiều nhưng khả năng vận dụng vào đời sống thực
tiễn rất hạn chế. Giáo viên cũng khó lòng có thể có nhiều thời gian dành cho các
hoạt động phát triển các năng lực cho học sinh.
Đối với chương trình và sách giáo khoa Toán hiện hành và nói riêng đối với chủ đề
Hàm số ở cấp trung học cơ sở, các tình huống thực tiễn liên quan đến nội dung kiến thức
được học có được đưa vào trong các hoạt động mở đầu, dẫn nhập hoặc

2


trong các bài tập. Tuy nhiên, các tình huống này chưa nhiều và giáo viên cũng chưa
khai thác triệt để hoặc chưa tìm hiếm, thiết kế các tình huống tương tự trong quá
trình dạy học cho học sinh, dẫn đến học sinh rất hạn chế khi vận dụng Toán học vào
thực tiễn.
Vì những lí do trên, tôi chọn đề tài nghiên cứu của luận văn là: “Dạy học mô
hình hóa toán học chủ đề Hàm số trong chương trình trung học cơ sở”.
2. Phạm vi nghiên cứu
Luận văn tập trung nghiên cứu và thiết kế một số hoạt động mô hình hóa
trong dạy học chủ đề Hàm số ở cấp trung học cơ sở.
3. Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của luận văn là nghiên cứu cơ sở lí luận và thực tiễn
của phương pháp dạy học bằng mô hình hóa; thiết kế một số hoạt động mô hình hóa
trong dạy học chủ đề Hàm số ở cấp trung học cơ sở.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu lí luận về mô hình hóa toán học, phương pháp dạy học bằng

mô hình hóa.
- Tìm hiểu tình hình dạy học bằng mô hình hóa ở cấp trung học cơ sở hiện nay.

- Nghiên cứu nội dung chương trình, sách giáo khoa môn Toán trung học cơ

sở để thiết các thành các hoạt động mô hình hóa trong dạy học chủ đề Hàm số.
- Thiết kế, xây dựng một số hoạt động mô hình hóa trong dạy học chủ đề
Hàm số ở cấp trung học cơ sở.
- Tổ chức thực nghiệm sư phạm để kiểm tra tính khả thi của các hoạt động đã

được thiết kế cũng như việc vận dụng phương pháp dạy học mô hình hóa trong quá
trình dạy học chủ đề Hàm số ở cấp trung học cơ sở.
5. Đối tượng nghiên cứu
- Quá trình dạy học chủ đề Hàm số cấp trung học cơ sở bao gồm: chương

trình, nội dung, phương pháp dạy học.
6. Giả thuyết khoa học
Nếu xây dựng được các hoạt động, hệ thống bài tập mô hình hóa và thực hiện
được phương pháp dạy học mô hình hóa trong quá trình dạy học thì sẽ giúp
3


học sinh vận dụng được các kiến thức được học vào giải quyết các tình huống thực
tiễn. Qua đó, học sinh được hình thành và phát triển năng lực mô hình hóa Toán học
đồng thời thấy được ý nghĩa của môn Toán trong đời sống cũng như trong các môn
học khác, góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn Toán.
7. Phương pháp nghiên cứu

7.1. Phương pháp nghiên cứu lí luận
- Nghiên cứu các bài báo khoa học, sách chuyên khảo, các luận án, luận văn
về mô hình hóa, phương pháp dạy học bằng mô hình hóa, phát triển năng lực mô
hình hóa trong môn Toán.
7.2. Phương pháp điều tra, quan sát

- Quan sát, điều tra, tìm hiểu thực tế dạy học bằng mô hình hóa ở cấp trung

học cơ sở
- Đánh giá mức độ quan tâm, yêu thích của giáo viên và học sinh với việc

liên hệ Toán học và thực tiễn cũng như việc dạy học bằng mô hình hóa.
7.3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm
- Thực nghiệm sư phạm để đánh giá tính khả thi của các biện pháp đề xuất.
8. Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, luận văn gồm:
Chương 1. Cơ sở lí luận và thực tiễn
Chương 2. Thiết kế một số hoạt động mô hình hóa trong dạy học chủ đề
Hàm số ở cấp trung học cơ sở
Chương 3. Thực nghiệm sư phạm

4


Chương 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC
TIỄN 1.1. Mô hình hóa toán học
1.1.1. Mô hình, mô hình toán học và mô hình hóa toán học
Theo từ điển Tiếng Việt thì mô hình là vật cùng hình dạng nhưng được làm
thu nhỏ lại nhiều lần, mô phỏng cấu tạo và hoạt động của một vật khác, thường
nhằm mục đích để trình bày, nghiên cứu. [20,Tr.665]. Ví dụ: Mô hình ô tô, mô hình
khu công nghiệp, mô hình công viên nước, ….
Ngoài ra, mô hình còn được hiểu là hình thức diễn đạt hết sức ngắn gọn, theo
một ngôn ngữ nào đó, các đặc trưng chủ yếu của một đối đối tượng, để nghiên cứu
đối tượng ấy. Ví dụ: Mô hình của một câu đơn (gồm một nòng cốt câu với hai bộ

phận chính là chủ ngữ và vị ngữ)
Theo Nguyễn Thị Tân An (2012), mô hình là một mẫu, một kế hoạch, một
đại diện, một minh họa được thiết kế để mô tả cấu trúc, cách vận hành của một đối
tượng, một hệ thống hay một khái niệm. Mô hình theo ý nghĩa vật lí của nó, đó là
bản sao, thường thì nhỏ hơn của một đối tượng. Mô hình đó có cùng nhiều tính chất
với đối tượng gốc: nó có cùng những điểm đặc trưng, có thể là màu sắc thậm chí cả
chức năng với đối tượng mà mô hình đó biểu diễn. Một mô hình lí thuyết của một
sự vật hiện tượng là một tập hợp các quy tắc biểu diễn sự vật hiện tượng đó trong
đầu của người quan sát. [1]
Như vậy, mô hình có thể hiểu như là một vật, một mẫu được thiết kế mà
thông qua chúng, ta có thể thấy được các đặc điểm đặc trưng của vật thể gốc. Từ đó,
ta có thể nghiên cứu, tìm hiểu và khám phá các đặc trưng của vật thể mà không cần
tạo ra vật thể thật. Tuy nhiên điều này còn phụ thuộc vào ý đồ của người thiết kế mô
hình và bối cảnh áp dụng của mô hình đó.
Mô hình toán học, theo từ điển Tiếng Việt, là hệ thống các công thức, phương
trình, ký hiệu toán học diễn đạt các đặc trưng chủ yếu của một đối tượng, dùng để
nghiên cứu đối tượng ấy. [20,Tr.665]
Theo Nguyễn Danh Nam (2015), mô hình toán học (mô hình sử dụng trong
dạy Toán) là một mô hình trừu tượng sử dụng ngôn ngữ toán học để mô tả về một
5


hệ thống nào đó. Nó có thể hiểu là các hình vẽ, bảng biểu, hàm số, đồ thị, phương
trình, hệ phương trình, sơ đồ, biểu đồ, biểu tượng hay thậm chí cả các mô hình ảo
trên máy vi tính. [18]
Theo Từ điển bách khoa toàn thư, MHH là sự chuyển đổi trừu tượng một
thực tiễn cụ thể nhằm mục đích mô tả thế giới trực giác hay thế giới đã được quan
niệm hóa bằng ngôn ngữ tự nhiên. Sự chuyển đổi này được đặt dưới sự kiểm tra của
tư duy lôgic hay tư duy toán học.
MHH toán học là sự giải thích toán học cho một hệ thống ngoài toán học

nhằm trả lời cho những câu hỏi mà người ta đặt ra trên hệ thống này.
MHH toán học là quá trình chuyển đổi một vấn đề thực tế sang một vấn đề
toán học bằng cách thiết lập và giải quyết các mô hình toán học, thể hiện và đánh
giá lời giải trong ngữ cảnh thực tế, cải tiến mô hình nếu cách giải quyết không thể
chấp nhận [1].
MHH trong dạy học Toán là quá trình giúp HS tìm hiểu, khám phá các tình
huống nảy sinh từ thực tiễn bằng công cụ toán học với sự hỗ trợ của công nghệ
thông tin và các công cụ trực quan khác. Quá trình này đòi hỏi các kỹ năng và thao
tác tư duy Toán học như: phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa, trừu tượng
hóa...[28]
Như vậy, có thể nói mô hình là một mẫu được thiết kế để nhìn ra được các
đặc điểm từ vật thể, tình huống gốc ban đầu; mô hình Toán học là mô hình sử dụng
ngôn ngữ Toán học để mô tả một tình huống nào đó thông qua quá trình MHH toán
học, tức là quá trình tạo ra các mô hình để giải quyết các vấn đề Toán học liên quan
đến các tình huống thực tiễn.
Mô hình toán học và MHH có vai trò hết sức quan trọng, không chỉ trong nội
bộ môn Toán và nó còn được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau.
 Trong sinh học: Mô hình về sự phát triển của dân số [32]

Một mô hình đơn giản cho bài toán này là Mô hình gia tăng dân số của
Maithus (1798). Đây là mô hình mô tả sự tăng trưởng của dân số theo hàm mũ dựa
trên sự bất biến của tỉ lệ của hệ số phức. Nó được xác định bởi công thức:

6


P (t ) = P0 ert
Trong đó:
+ P (t ): Là dân số tại thời điểm t
+

P0 : Là dân số ban đầu (tức là tại thời điểm t = 0)

+

r : Là tỉ lệ gia tăng dân số tại thời điểm t
Hình 1.1. Mô hình gia tăng dân số của Maithus (1798)

Hình 1.1 thể hiện ba kịch bản thay đổi dân số theo thời gian: Nếu tỉ lệ r > 0
thì dân số tăng dần, nếu r < 0 thì dân số giảm dần, nếu r = 0 thì dân số sẽ giữ
nguyên. Về mặt trực quan thì ta thấy điều này là hợp lí vì nếu r > 0 tức là tỉ lệ sinh
lớn hơn tỉ lệ tử, nghĩa là dân số sẽ tăng và ngược lại.
Tuy nhiên, vì sự đơn giản nên mô hình này chỉ phù hợp hữu ích cho việc dự
đoán trong khoảng thời gian ngắn, và không tốt nếu áp dụng cho khoảng thời gian
10 hay 20 năm hoặc lâu hơn. Bởi lẽ, mô hình đã không tính đến thực tế những điều

kiện tự nhiên (môi trường sống, tài nguyên, …) cũng chỉ hạn chế trong một giới
hạn. Khi dân số tăng đến một ngưỡng nào đó thì những điều kiện tự nhiên này
không đáp ứng được nhu cầu sinh hoạt của người dân (lương thực thiếu hụt, ô
nhiễm môi trường, …). Dẫn đến tỉ lệ sinh giảm mà tỉ lệ tử tăng. Khi đó, mô hình
này không còn phản ánh đúng thực tế nữa. Để khắc phục yếu điểm này Pierre

7


Francois Verhulst đã phát triển mô hình hàm logistic vào năm 1838 và vẫn được sử
dụng đến ngày nay:

P (t ) =
Trong đó:

+ P (t ): Là dân số tại thời điểm t
+

P0 : Là dân số ban đầu (tức là tại thời điểm t = 0)

+ C: Là ngưỡng chặn trên của dân số
 Trong cơ học cổ điển:

v=

Mô hình dao động của dây, của màng; mô hình chuyển động của tên lửa; mô
hình chuyển động của tàu ngầm... Một dạng đặc biệt của dao động có chu kỳ chiếm
vị trí quan trọng trong thực tế là dao động điều hòa. Về mặt động học dao động điều
hòa được miêu tả bởi hệ thức:

q = A sin (kt +α )
Trong đó:
+ q : Là tọa độ của điểm dao động tính từ vị trí trung bình của nó (chọn làm gốc

tọa độ);
+

A: Là biên độ dao động;

+

kt + α : Là pha dao động với α là pha ban đầu; k là tần số (riêng) dao động.

Ngoài ra, mô hình toán học còn được ứng dụng trong khoa học máy tính (mô

hình kiến trúc mạng, mô hình dữ liệu, đồ họa máy tính....), trong kinh tế (mô hình


mô tả hành vi (có lí trí) của một khách hàng…), trong điện tử (mô hình quang phổ,
mô hình năng lượng,...),….
1.1.2. Quy trình mô hình hóa toán học
Khi mô tả về quy trình MHH toán học, đã có nhiều sơ đồ được đưa ra để chỉ
ra một cách tương đối rõ ràng về bản chất của MHH toán học, trở thành một hướng
dẫn để thiết kế các hoạt động MHH trong quá trình dạy học. Một số quy trình mà
luận văn đã tìm hiểu được là:

8


* Quy trình của Blum (2005):
Sơ đồ 1.2. Quy trình mô hình hóa 7 bước của Blum [1]

Quy trình gồm 7 bước:
Bước 1: Đọc hiểu tình huống thực và xây dựng mô hình cho tình huống đó;
Bước 2: Xây dựng mô hình thực của tình huống bằng cách đơn giản hóa và
xác định các biến phù hợp;
Bước 3: Chuyển từ mô hình thực sang mô hình toán;
Bước 4: Giải bài toán trong nội bộ môn toán để tìm kết quả;
Bước 5: Chuyển kết quả toán thành kết quả thực;
Bước 6: Kiểm tra tính phù hợp của kết quả với mô hình thực;
Bước 7: Trình bày và trả lời cho tình huống thực.
* Quy trình của Stillman (2007):
Sơ đồ 1.3. Quy trình mô hình hóa 7 bước của Stillman [1]

9

Trong quy trình trên, các mục từ A đến G biểu diễn các bước của quá trình MHH;
các mũi tên đậm biểu thị sự chuyển đổi giữa các bước, các mũi tên nhạt thể hiện sự
tồn tại của hoạt động phản ánh (trong trường hợp không thể chuyển sang bước tiếp
theo thì quay lại xem xét các bước phía trước của chu trình). Quá trình MHH bắt
đầu từ bước 1 và kết thúc bởi việc thể hiện kết quả MHH hoặc tiếp tục một chu trình
MHH khác nếu kết quả là không thỏa đáng ở một phương diện nào đó. * Quy trình
của PISA (2006):
Sơ đồ 1.4. Quy trình mô hình hóa 5 bước của PISA (2006)[1]

Quy trình gồm 5 bước:
Bước 1: Bắt đầu từ một vấn đề được đặt ra trong thực tế;
Bước 2: Nhận ra các kiến thức toán phù hợp với vấn đề, tổ chức lại vấn đề
theo các khái niệm toán học;
Bước 3: Không ngừng cắt tỉa các yếu tố thực tế để chuyển vấn đề thành một
bài toán mà thể hiện trung thực cho tình huống;
Bước 4: Giải quyết bài toán;
Bước 5: Làm cho lời giải của bài toán có ý nghĩa đối với tình huống thực tế,
xác định những hạn chế của lời giải.

10


* Quy trình phỏng theo Coulange (1997) của Lê Thị Hoài Châu (2015):
Sơ đồ 1.5. Quy trình mô hình hóa 4 bước phỏng theo Coulange (1997)[9]

Quy trình gồm 4 bước:
Bước 1. Xây dựng mô hình phỏng thực tiễn của vấn đề, tức là xác định các
yếu tố có ý nghĩa quan trọng nhất trong hệ thống và xác lập những quy luật phải

tuân theo.
Bước 2. Xây dựng mô hình toán học cho vấn đề đang xét, tức là diễn tả lại
dưới dạng ngôn ngữ toán học cho mô hình phỏng thực tiễn. (Có thể có nhiều mô
hình toán học khác nhau ứng với vấn đề đang xem xét, nên khi lựa chọn mô hình,
cần xem xét kĩ các yếu tố nào của hệ thống và mối liên hệ nào giữa chúng là quan
trọng).
Bước 3. Sử dụng các công cụ toán học để khảo sát và giải quyết bài toán hình
thành ở bước 2.
Bước 4. Kiểm tra, đánh giá các kết quả thu được trong bước 3 (xác định mức
độ phù hợp của mô hình và kết quả tính toán với vấn đề thực tế, nếu không phù hợp
thì quá trình lặp lại từ bước 1).

11


Cả 4 quy trình giới thiệu trên đây, dù khác nhau về số lượng các bước và mô
tả thực hiện ở mỗi bước nhưng đều có chung 4 giai đoạn: Toán học hóa tình huống
thực tiễn; Làm việc và giải quyết bài toán trong nội bộ môn Toán; Chuyển đổi thành
kết quả cho bài toán thực tiễn ban đầu và Phản ánh, đánh giá kết quả thu được. Các
giai đoạn này cũng mô tả các hoạt động chính của HS cần thực hiện trong quá trình
MHH.
Tuy nhiên, thực tế dạy học, không phải lúc nào việc thực hiện quá trình
MHH cũng suôn sẻ và cần thiết một sự hướng dẫn về việc “phải điều chỉnh như thế
nào nếu gặp khó khăn?” hay nói cách khác, cần phải có một cơ chế điều chỉnh trong
quy trình MHH để làm đơn giản hóa và làm vấn đề trở nên dễ hiểu hơn với HS.
Trong 4 quy trình được nêu bên trên, chỉ có quy trình của Stillman (2007) là đề cập
đến vấn đề này một cách có chủ đích hơn trong sơ đồ. Tuy nhiên, việc mô tả cơ chế
điều chỉnh còn chưa rõ ràng nên khó để HS có thể hình dung.
Vì vậy, đối với quy trình MHH toán học, luận văn lựa chọn trình bày theo
Trần Trung (Ứng dụng công nghệ thông tin và truyền thông vào dạy học môn Toán)

[28]. Ở đó, ngoài một quy trình MHH toán học, các tác giả còn thiết kế riêng một cơ
chế điều chỉnh trong quá trình MHH toán học.
Quy trình này gồm bốn giai đoạn sau đây:
 Giai đoạn 1: Quan sát hiện tượng, phác thảo tình huống và nhận ra các yếu

tố quan trọng (như biến số, tham số) có tác động đến vấn đề.
 Giai đoạn 2: Lập giả thuyết về mối quan hệ giữa các yếu tố dưới góc nhìn

của Toán học. Từ đó phác họa mô hình toán học tương ứng.
 Giai đoạn 3: Áp dụng các phương pháp, công cụ Toán học phù hợp để

MHH các vấn đề và phân tích mô hình.
 Giai đoạn 4: Thông báo kết quả, đối chiếu mô hình với thực tiễn và kết luận.

MHH có thể xem là một quy trình khép kín. Nó được nảy sinh từ các tình
huống thực tiễn và kết quả của nó được dùng để giải thích và cải thiện các vấn đề
trong thực tiễn. Có thể minh họa quy trình trên bằng sơ đồ dưới đây:

12


Sơ đồ 1.6. Quy trình mô hình hóa khép kín [28]

Thực hiện quy trình trên, trong quá trình dạy học Toán, GV cần giúp HS nắm
được yêu cầu cụ thể của từng giai đoạn:
 Toán học hóa: Quan sát, hiểu tình huống thực tế, đơn giản hóa tình huống
bằng cách thành lập các giả thuyết, mô tả và diễn đạt lại tình huống bằng ngôn ngữ

toán học.
Đây là quá trình chuyển các tình huống thực tế sang tình huống toán học

bằng cách tạo ra các mô hình toán học tương ứng của chúng (Từ giai đoạn 1 sang
giai đoạn 2). Quá trình này yêu cầu HS phải quan sát, liên hệ để hiểu được tình
huống (có độ phức tạp khác nhau). Từ đó, HS lập các giả thuyết, đơn giản hóa các
vấn đề để chuyển hóa tình huống thành bài toán toán học. HS cũng phải xác định
các khái niệm toán học liên quan, các biến số, tham số tác động đến vấn đề; biểu
diễn vấn đề bằng ngôn ngữ toán học và lập mô hình toán học như bảng biểu, hình
vẽ, đồ thị, hàm số hay phương trình, công thức toán học.
 Giải bài toán: Áp dụng các phương pháp, công cụ Toán học phù hợp để

giải bài toán.
Đây là quá trình giải quyết bài toán toán học (xây dựng được ở bước 1) trong
nội bộ môn Toán (Từ giai đoạn 2 sang giai đoạn 3). Ở đó, đòi hỏi HS lựa chọn, sử
dụng các phương pháp và công cụ toán học thích hợp để thành lập và giải quyết vấn
đề sử dụng ngôn ngữ toán học.
 Thông hiểu: Hiểu lời giải của bài toán đối với tình huống trong thực tiễn

(bài toán ban đầu).
13


Đây là quá trình HS sử dụng kết quả (ở bước 2) để “thông dịch” và trả lời
cho bài toán ban đầu (Từ giai đoạn 3 sang giai đoạn 4). Ở bước này, HS cần hiểu
được ý nghĩa lời giải của bài toán trong thực tiễn, bao gồm cả việc HS nhận ra được
những hạn chế và khó khăn có thể có khi áp dụng kết quả của bài toán này vào tình
huống thực tiễn ban đầu.
 Đối chiếu: Đánh giá lại các giả thuyết, hạn chế của mô hình toán học và lời giải

của bài toán, từ đó cải tiến mô hình đã xây dựng.

Ở giai đoạn này, muốn đánh giá lại các giả thuyết, hạn chế của mô hình và

cải tiến mô hình đã xây dựng thì trước hết HS cần phải có những hiểu biết rõ về các
công cụ toán học, đồng thời phải biết lựa chọn sử dụng công cụ có chức năng phù
hợp để giải quyết các vấn đề thực tiễn.
Tuy nhiên, trong thực tế dạy học quy trình MHH ở trên luôn tuân theo một cơ
chế điều chỉnh phù hợp nhằm làm đơn giản hóa và dễ hiểu hơn đối với HS ở trường
phổ thông. Cơ chế điều chỉnh này cho thấy mối liên hệ mật thiết giữa toán học với
các vấn đề trong thực tiễn:
Sơ đồ 1.7. Cơ chế điều chỉnh trong quá trình mô hình hóa [28]

14


Cơ chế điều chỉnh trên bao gồm các bước cụ thể như sau:
- Tìm hiểu, xây dựng cấu trúc, làm sáng tỏ, phân tích, đơn giản hóa vấn đề,
xác định giả thuyết, tham số, biến số trong phạm vi của vấn đề thực tế;
- Thiết lập mối liên hệ giữa các giả thuyết khác nhau đã đưa ra;
- Lựa chọn và sử dụng hiệu quả phương pháp giải quyết vấn đề và quá trình
MHH;
- Lựa chọn và sử dụng các mô hình toán học phù hợp với tình huống thực tế

cũng như tính toán đến sự phức tạp của nó;
- Tìm hiểu các ưu điểm và hạn chế của mô hình đã đưa ra, sau đó cải tiến mô

hình cho phù hợp với thực tiễn;
- Hiểu được ý nghĩa của mô hình toán học trong hoàn cảnh thực tế có độ

phức tạp cao hơn;
- Kiểm tra tính hợp lí và tối ưu của mô hình đã xây dựng.
Từ quy trình MHH và cơ chế điều chỉnh trên, luận văn đề xuất các bước tổ

chức hoạt động MHH trong dạy học môn Toán như sau:
 Bước 1 (Tìm hiểu vấn đề thực tiễn): Tìm hiểu, xây dựng cấu trúc, làm sáng

tỏ, phân tích, đơn giản hóa vấn đề, xác định giả thuyết, tham số, biến số trong
phạm vi của vấn đề thực tế.
 Bước 2 (Lập giả thuyết): Thiết lập mối liên hệ giữa các giả thuyết khác

nhau đã đưa ra.

 Bước 3 (Xây dựng bài toán): Xây dựng bài toán bằng cách lựa chọn và sử

dụng ngôn ngữ toán học mô tả tình huống thực tế cũng như tính toán đến độ
phức tạp của nó.
 Bước 4 (Giải bài toán): Sử dụng các công cụ toán học thích hợp để giải bài

toán.

 Bước 5 (Hiểu lời giải bài toán): Hiểu được lời giải của bài toán, ý nghĩa của

mô hình toán học trong hoàn cảnh thực tế.

 Bước 6 (Kiểm nghiệm mô hình): Kiểm nghiệm mô hình (ưu điểm và hạn

chế), kiểm tra tính hợp lý và tối ưu của mô hình đã xây dựng

15


 Bước 7 (Thông báo, gi ải thích, dự đoán): Thông báo, giải thích, dự đoán,

cải tiến mô hình hoặc xây dựng mô hình có độ phức tạp cao hơn sao cho phù
hợp với thực tiễn. [18]
Sơ đồ 1.8. Các bước tổ chức hoạt động mô hình hóa [18]

1.1.3. Phương pháp dạy học mô hình hóa
Nâng cao năng lực giải quyết các vấn đề thực tiễn cho HS là một trong
những ưu tiên hàng đầu của giáo dục hiện nay. Do đó, trong quá trình dạy học môn
Toán, GV không chỉ dừng lại ở việc giúp HS lĩnh hội được các tri thức Toán mà còn
phải giúp HS áp dụng các kiến thức được học vào giải quyết các vấn đề trong cuộc
sống. Qua đó, HS thấy được ý nghĩa của môn học và có hứng thú, động lực học tập
với môn học hơn. Phương pháp dạy học MHH là một trong những công cụ giúp GV
đạt được mục tiêu này.
Bàn về phương pháp dạy học MHH, tác giả Lê Văn Tiến (2005) đã đưa ra hai
tiến trình tổ chức dạy học:
Trình bày tri thức toán học lý thuyết (giới thiệu định nghĩa, khái niệm hay
định lý, công thức) → Vận dụng tri thức vào việc giải quyết các bài toán thực tiễn,
ở đó phải xây dựng mô hình toán học.

Xuất phát từ một vấn đề thực tiễn → Xây dựng mô hình toán học → Câu trả
lời cho bài toán thực tiễn → Thể chế hóa tri thức cần giảng dạy bằng cách nêu định
nghĩa hay định lý, công thức → Vận dụng vào giải các bài toán thực tiễn khác mà tri
thức đó cho phép xây dựng một mô hình toán học phù hợp. [25]
16