Phát triển năng lực suy luận cho học sinh thông qua dạy học chủ đề bất đẳng thức

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

ĐÔN VĂN TÚ

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC SUY LUẬN CHO HỌC SINH
THÔNG QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN

HÀ NỘI - 2019


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

ĐÔN VĂN TÚ

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC SUY LUẬN CHO HỌC SINH
THÔNG QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN
CHUYÊN NGÀNH: LÍ LUẬN VÀ PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC

BỘ MÔN TOÁN
Mã số: 8.14.01.11

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học:PGS.TS. Nguyễn Thành Văn

HÀ NỘI - 2019

LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên, tác giả xin đƣợc tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới Ban giám
hiệu, Hội đồng khoa học, các thầy cô giáo của trƣờng Đại học Giáo dục - Đại
học Quốc gia Hà Nội đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả đƣợc học tập và
nghiên cứu hoàn thành khóa học trong suốt hơn hai năm học qua.
Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ lòng thành kính và sự biết ơn sâu sắc nhất
tới PGS.TS. Nguyễn Thành Văn đã giúp đỡ, hƣớng dẫn tận tình, sát sao trong
suốt quá trình tác giả làm và hoàn thiện luận văn.
Tác giả cũng chân thành cảm ơn Ban giám hiệu và các thầy giáo, cô
giáo trong tổ Toán Tin, trƣờng THPT Quốc Oai, huyện Quốc Oai, thành phố
Hà Nội đã nhiệt tình giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi nhất, tốt nhất có thể cho
tác giả trong suốt quá trình nghiên cứu và thực hiện đề tài.
Xin cảm ơn tới Ban giám hiệu, các anh chị đồng nghiệp của tác giả,
trƣờng THCS Kiều Phú, huyện Quốc Oai, thành phố Hà Nội đã tạo điều kiện
về thời gian, lịch dạy học để tác giả yên tâm học tập và nghiên cứu.
Xin đƣợc cảm ơn đến những ngƣời thân trong gia đình, những ngƣời
bạn trong lớp Cao học Toán khóa 2017 - 2019 đã luôn cổ vũ, quan tâm, giúp
đỡ để tác giả học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn một cách tốt nhất.
Mặc dù có nhiều cố gắng, song luận văn chắc chắn không tránh khỏi
những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận đƣợc những ý kiến đóng góp của các
thầy cô giáo và các bạn đồng nghiệp.
Xin trân trọng cảm ơn!
Hà Nội, tháng 6 năm 2019
Tác giả
Đôn Văn Tú
i


AM-GM

BPT
CBQL
C -S
Nxb
ĐC
GV
HS
TN
THPT
THCS

ii


DANH MỤC CÁC BẢNG VÀ BIỂU ĐỒ
Bảng 1.1. Kết quả đánh giá của cán bộ quản lí, giáo viên về vai trò của việc
phát triển năng lực suy luận cho học sinh................................................................. 21
Bảng 1.2. Kết quả đánh giá của cán bộ quản lí, giáo viên những đơn vị
kiến thức nên vận dụng suy luận khi tiến hành giảng dạy......................................... 22
Bảng 1.3. Kết quả đánh giá của cán bộ quản lí, giáo viên về những biện pháp
mà GV áp dụng để phát triển năng lực suy luận cho HS........................................ 23
Biểu đồ 1.1. Kết quả đánh giá của cán bộ quản lí, giáo viên về những khó
khăn nào cho giáo viên khi tiến hành giảng dạy vận dụng suy luận vào đổi
mới phƣơng pháp dạy học............................................................................................... 24
Bảng 1.4. Kết quả đánh giá của cán bộ quản lí, giáo viên về những biện
pháp mà giáo viên mong muốn để khắc phục khó khăn..................................... 25
Bảng 3.1. Bảng thống kê điểm kiểm tra 45 phút của lớp thực nghiệm và lớp
đối chứng................................................................................................................................... 86
Biểu đồ 3.1. Phân bố tần suất điểm của lớp thực nghiệm và đối chứng...........87
Bảng 3.2. Bảng tính tần suất và tần suất tích lũy...................................................... 87

Biểu đồ 3.2. Phân bố tần suất tích lũy của lớp thực nghiệm và đối chứng......88
Bảng 3.3. Kết quả đánh giá của học sinh sau khi thực nghiệm............................. 89

iii


MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN ....................................................................................................
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT ...............................................................
DANH MỤC CÁC BẢNG VÀ BIỂU ĐỒ ......................................................
MỞ ĐẦU...........................................................................................................
1.

Lý do chọn đề tài .........................................................................................

2.

Mục đích nghiên cứu ...................................................................................

3.

Giả thuyết nghiên cứu .................................................................................

4.

Đối tƣợng, khách thể nghiên cứu ................................................................

4.1.

Đối tƣợng nghiên cứu............................................................

4.2.

Khách thể nghiên cứu ............................................................

5.

Phƣơng pháp nghiên cứu .............................................................................

5.1.

Phƣơng pháp nghiên cứu lý luận ...........................................

5.2.

Phƣơng pháp nghiên cứu thực tiễn .......................................

5.3.

Phƣơng pháp thực nghiệm sƣ phạm ......................................

5.4.

Phƣơng pháp thống kê toán học ............................................

6.

Nhiệm vụ nghiên cứu ..................................................................................

7.

Giới hạn và phạm vi nghiên cứu .................................................................

8.

Cấu trúc luận văn ........................................................................................

CHƢƠNG 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN...........................................
1.1.

Lịch sử nghiên cứu đề tài ......................................................

1.2.

Năng lực và năng lực toán học ..............................................

1.2.1. Nguồn gốc của năng lực ..........................................................................
1.2.2. Năng lực ..................................................................................................
1.2.3. Năng lực toán học ...................................................................................
1.3.

Năng lực suy luận .................................................................
iv


1.3.1. Suy luận.................................................................................................11
1.3.2. Các loại suy luận...................................................................................12
1.3.3. Một số qui tắc suy luận cơ bản..............................................................17
1.3.4. Năng lực suy luận của học sinh............................................................ 17

1.4. Thực trạng dạy học phát triển năng lực suy luận cho học sinh thông qua
dạy học chủ đề bất đẳng thức ở trƣờng THPT............................................... 18
1.4.1. Nội dung, chƣơng trình chủ đề bất đẳng thức...................................... 18
1.4.2. Thực trạng dạy học phát triển năng lực suy luận cho học sinh thông qua
dạy học chủ đề bất đẳng thức ở trƣờng THPT............................................... 20
Kết luận chƣơng 1.......................................................................................... 25
CHƢƠNG 2. XÂY DỰNG VÀ ĐỀ XUẤT MỘT SỐ BIỆN PHÁP PHÁT
TRIỂN NĂNG LỰC SUY LUẬN CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY
HỌC CHỦ ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC...............................................................26
2.1. Nguyên tắc xây dựng các biện pháp........................................................ 26
2.1.1. Nguyên tắc 1. Đảm bảo tính khoa học, tính tƣ tƣởng và tính thực tiễn 26

2.1.2. Nguyên tắc 2. Đảm bảo sự thống nhất giữa cụ thể và trừu tƣợng........27
2.1.3. Nguyên tắc 3. Đảm bảo sự thống nhất giữa tính đồng loạt và tính phân
hóa...................................................................................................................29
2.1.4. Nguyên tắc 4. Đảm bảo sự thống nhất giữa tính vừa sức và yêu cầu phát
triển trong dạy học.......................................................................................... 29
2.1.5. Nguyên tắc 5. Đảm bảo sự thống nhất giữa vai trò chủ đạo của thầy và
tính tự giác, tích cực, chủ động của học trò....................................................30
2.2. Các biện pháp nhằm phát triển năng lực suy luận cho học sinh thông qua
dạy học chủ đề bất đẳng thức..........................................................................31
2.2.1.Biện pháp 1. Làm cho học sinh nhớ và hiểu tính chất cơ bản của bất
đẳng thức.........................................................................................................31
2.2.2.Biện pháp 2. Rèn luyện cho học sinh quy tắc suy luận diễn dịch, suy
luận quy nạp và suy luận tƣơng tự................................................................. 36
v


2.2.3. Biện pháp 3. Tăng cƣờng huy động các kiến thức khác nhau cho học
sinh để học sinh biết suy luận nhằm chứng minh bất đẳng thức bằng nhiều

cách khác nhau................................................................................................45
2.2.4. Biện pháp 4. Giúp học sinh thấy đƣợc ứng dụng thực tiễn từ đó tạo
hứng thú cho học sinh học chủ đề này............................................................61
2.2.5. Biện pháp 5. Hƣớng dẫn học sinh phát hiện sai lầm và sửa chữa sai lầm
cho học sinh trong quá trình suy luận............................................................. 68
Kết luận chƣơng 2.......................................................................................... 77
CHƢƠNG 3. THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM.................................................. 78
3.1. Mục đích, yêu cầu của thực nghiệm sƣ phạm......................................... 78
3.1.1. Mục đích thực nghiệm.......................................................................... 78
3.1.2. Yêu cầu thực nghiệm.............................................................................78
3.2. Tổ chức thực nghiệm................................................................................78
3.2.1. Đối tƣợng thực nghiệm.........................................................................78
3.2.2.Thời gian thực nghiệm...........................................................................79
3.2.3. Phƣơng pháp thực nghiệm....................................................................79
3.2.4. Quy trình tổ chức thực nghiệm............................................................. 79
3.3. Nội dung thực nghiệm..............................................................................79
3.4. Thiết kế dạy học thực nghiệm..................................................................80
3.5. Kết quả thực nghiệm sƣ phạm.................................................................81
3.5.1. Đánh giá định tính.................................................................................81
3.5.2. Phân tích kết quả thực nghiệm..............................................................83
3.5.3. Đánh giá qua phiếu điều tra.................................................................. 89
Kết luận chƣơng 3.......................................................................................... 91
KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ................................................................. 92
1. Kết luận.......................................................................................................92
2. Khuyến nghị................................................................................................93
2.1. Đối với Bộ Giáo Dục và Đào Tạo............................................................93
vi


2.2. Đối với Sở giáo dục................................................................................. 93

2.3. Đối với nhà trƣờng.................................................................................. 93
TÀI LIỆU THAM KHẢO...............................................................................95
PHỤ LỤC..........................................................................................................1

vii


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Cùng với sự phát triển của cuộc cách mạng công nghiệp 4.0. Việc đào
tạo những con ngƣời phát triển toàn diện, có năng lực thực hành giỏi, tƣ duy,
suy luận nhạy bén đáp ứng đƣợc sự phát triển của thời đại là nhiệm vụ cấp
bách nhất đối với ngành giáo dục nƣớc ta hiện nay. Mặt khác, một trong
những điểm nổi bật của việc đổi mới chƣơng trình giáo dục trong những năm
gần đây là dạy học theo định hướng phát triển năng lực người học đang là xu
hƣớng chính đối với nhiều nƣớc trên thế giới và các nƣớc phát triển thuộc tổ
chức hợp tác và phát triển kinh tế OECD (Organisation for Economic Cooperation and Development ).
Hơn thế, trong thời đại phát triển công nghệ thông tin việc con ngƣời
sử dụng các thiết bị khoa học kĩ thuật hiện đại càng nhiều thì việc đào tạo ra
những con ngƣời có năng lực suy luận, tƣ duy sáng tạo lại càng cần thiết hơn.
Có lẽ sẽ chẳng có nhà giáo dục nào lại không muốn phát triển năng lực suy
luận cho học sinh vì vậy ngày nay các nhà giáo dục đã và đang quan tâm hơn
đến điều đó. Một trong những bộ môn có thế mạnh trong việc phát triển năng
lực suy luận cho học sinh đó là bộ môn Toán.
Tuy nhiên, thực tế lại cho thấy trong quá trình học toán, rất nhiều học
sinh bộc lộ những hạn chế và thiếu đi năng lực suy luận cần thiết. Các em học
sinh nhìn đối tƣợng toán học một cách rời rạc không logic, gắn kết với nhau
và chƣa có sự linh hoạt trong khi giải toán, chƣa thấy đƣợc mối liên hệ giữa
các yếu tố toán học, chƣa điều chỉnh hƣớng suy nghĩ khi gặp trở ngại, quen
với kiểu suy nghĩ dập khuôn, áp dụng một cách máy móc những kinh nghiệm

đã có vào hoàn cảnh mới trong khi điều kiện mới đã chứa đựng những yếu tố
thay đổi. Hơn nữa các em cũng chƣa có tính độc đáo khi tìm lời giải bài toán,
dẫn đến hệ quả là nhiều học sinh gặp khó khăn khi giải toán, nhất là các bài

1


toán đòi hỏi phải có năng lực suy luận. Bất đẳng thức là một dạng toán đòi hỏi
năng lực suy luận nhƣ thế.
Bên cạnh đó, các em học sinh bây giờ có vẻ ngại học, ít chịu suy nghĩ,
tìm tòi lời giải của các bài toán, nhất là các bài toán đòi hỏi sự suy nghĩ, năng
lực suy luận nhiều. Cũng vì vậy, khi học sinh khi gặp các vấn đề của thực tế
thì khả năng suy luận, vận dụng kiến thức để xử lí thƣờng tỏ ra lúng túng. Do
đó việc phát triển năng lực suy luận cho học sinh thông qua giải toán là cần
thiết.
Hơn nữa, trong chƣơng trình Toán phổ thông bất đẳng thức là một
trong những nội dung kiến thức có tính hấp dẫn và thách thức nhất. Nó đòi hỏi
học sinh phải năng lực suy luận, tƣ duy sáng sáng tạo mới có thể học và giải
đƣợc các bài toán từ cơ bản đến nâng cao.
Với những lý do trên, tôi chọn đề tài nghiên cứu "Phát triển năng lực
suy luận cho học sinh thông qua dạy học chủ đề bất đẳng thức ".
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của luận văn là đề xuất một số biện pháp nhằm
phát triển năng lực suy luận cho học sinh lớp 10 trong dạy học chủ đề bất
đẳng thức.
3. Giả thuyết nghiên cứu
Dạy học chủ đề bất đẳng thức cho học sinh có thể giúp học sinh phát
triển năng lực suy luận trong giải toán nói chung, giải toán bất đẳng thức nói
riêng, từ đó góp phần nâng cao chất lƣợng dạy học và bồi dƣỡng học sinh
trong giai đoạn đổi mới phƣơng pháp giáo dục hiện nay.

4. Đối tƣợng, khách thể nghiên cứu
4.1. Đối tượng nghiên cứu
Học sinh lớp 10 của trƣờng THPT Quốc Oai - Quốc Oai - Hà Nội

2


4.2. Khách thể nghiên cứu
Quá trình dạy học môn Toán, cụ thể là nội dung các bài toán về bất
đẳng thức..
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
5.1. Phương pháp nghiên cứu lý luận
Nghiên cứu, phân tích, hệ thống hóa, khái quát hóa các tài liệu về giáo
dục, về môn Toán, Tâm lý học, lý luận dạy học môn Toán.
Thu thập, tìm hiểu và nghiên cứu sách báo, các bài viết khoa học toán
phục vụ cho đề tài, các công trình nghiên cứu có các vấn đề liên quan trực tiếp
tới đề tài.
5.2. Phương pháp nghiên cứu thực tiễn
Điều tra giáo dục.
Lấy ý kiến chuyên gia.
Quan sát thực nghiệm.
Nghiên cứu các sản phẩm hoạt động giáo dục.
Tổng kết kinh nghiệm giáo dục.
5.3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm
Thực nghiệm dạy học một số giáo án soạn theo hƣớng nghiên cứu của
đề tài, phục vụ công việc đánh giá tính khả thi và hiệu quả của đề tài.
5.4. Phương pháp thống kê toán học
Sử dụng các phần mềm SPSS, phần mềm thống kê Toán học để xử lí số
liệu điều tra khảo sát.
6. Nhiệm vụ nghiên cứu

Làm sáng tỏ khái niệm năng lực, năng lực suy luận, các loại suy luận,
những biểu hiện suy luận của học sinh.
Tìm hiểu thực trạng dạy học phát triển năng lực suy luận cho học sinh
thông qua dạy học chủ đề bất đẳng thức ở một số trƣờng trung học phổ

3


thông, đặc biệt là trƣờng THPT Quốc Oai, huyện Quốc Oai, thành phố Hà
Nội.
Đề xuất ra một số biện pháp nhằm rèn luyện, phát triển năng lực suy
luận cho học sinh.
Thực nghiệm sƣ phạm để kiểm nghiệm tính khả thi, hiệu quả của đề tài.
7.

Giới hạn và phạm vi nghiên cứu
+

Giới hạn nghiên cứu: Chƣơng trình Toán lớp 10

+

Địa bàn thực nghiệm: Lớp 10 trƣờng THPT QUỐC OAI, huyện

Quốc Oai, thành phố Hà Nội.
8.

Cấu trúc luận văn
Luận văn dự kiến đƣợc trình bày trong 3 chƣơng (không tính phần mở

đầu, phần kết luận và các mục tài liệu tham khảo và phụ lục ). Cụ thể là:
Chƣơng 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn vấn đề phát triển năng lực suy
luận cho học sinh trong dạy học môn Toán ở trƣờng THPT.
Chƣơng 2: Xây dựng và đề xuất một số biện pháp phát triển năng lực
suy luận cho học sinh thông qua dạy học chủ đề bất đẳng thức.
Chƣơng 3: Thực nghiệm sƣ phạm.

4


CHƢƠNG 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC
TIỄN 1.1. Lịch sử nghiên cứu đề tài
Trong chƣơng trình học kì 2 của lớp 8 ở trƣờng trung học cơ sở, các
em học sinh đã đƣợc học khái niệm bất đẳng thức và một số tính chất cơ bản
và khá đơn giản. Lên môi trƣờng trung học phổ thông, ở cuối học kì 1 của
chƣơng trình toán lớp 10, bất đẳng thức đƣợc trình bày ngay ở bài đầu tiên
trong chƣơng 4 - Bất đẳng thức và bất phƣơng trình, đó là bài 1 "Bất đẳng
thức và chứng minh bất đẳng thức". Ngoài ra bất đẳng thức Bunhiacopski đối
với bốn số thực, sáu số thực đƣợc sách giáo khoa trình bày dƣới dạng bài đọc
thêm. Mặt khác về nội dung chứng minh bất đẳng thức, sách giáo khoa không
nêu cụ thể, tƣờng minh các phƣơng pháp chứng minh mà chỉ hình thành các
phƣơng pháp giải thông qua các ví dụ hay các bài tập cụ thể cụ thể.
Bên cạnh đó, dạy học về chủ đề "Bất đẳng thức" sao cho tất cả mọi đối
tƣợng học sinh có thể hiểu, nhớ và vận dụng tốt kiến thức là một việc không
đơn giản, dễ dàng chút nào. Học sinh sẽ lúng túng, mất nhiều thời gian để hệ
thống kiến thức, dạng toán và các phƣơng pháp giải về chủ đề này nếu không
đƣợc sự hƣớng dẫn, gợi ý của ngƣời dạy. Đây là điều mà thực tế đã cho thấy
điều đó.
Qua tìm hiểu chúng tôi thấy có một số đề tài nghiên cứu về phát triển
năng lực giải toán cho học sinh và một số đề tài nghiên cứu về xây dựng hệ

thống bài tập chủ đề bất đẳng thức và ứng dụng nhƣng chƣa có nhiều công
trình nghiên cứu về phát triển năng lực suy luận cho học sinh thông qua dạy
học chủ đề bất đẳng thức. Nhƣ vậy, vấn đề bất đẳng thức cũng cần đƣợc
nghiên cứu một cách bài bản.
1.2. Năng lực và năng lực toán học
1.2.1. Nguồn gốc của năng lực
Để học tập và rèn luyện có kết quả, con ngƣời cần phải có một hệ thống
kỹ năng chuyên biệt mà ngƣời ta gọi là kỹ năng học tập. Các nhà tâm lý học

5


cho rằng năng lực của học sinh thể hiện qua các kỹ năng học tập là khả năng
thực hiện của con ngƣời có kết quả các hành động học tập phù hợp với điều
kiện và hoàn cảnh nhất định, nhằm đạt đƣợc mục đích, nhiệm vụ đề ra.
Với học sinh trung học phổ thông, các kỹ năng học tập có thể hệ thống
nhƣ sau:
Các kỹ năng học tập nhằm phục vụ chứa năng tổ chứa, đuề chỉnh quá
trình học tập nhƣ: kỹ năng sử dụng các phƣơng tiện học tập, kỹ năng tự học,
tự kiểm tra, tự đánh giá, kỹ năng quản lý thời gian, kỹ năng quản lý chất
lƣợng học tập...
Các kỹ năng nhằm phục vụ chức năng tƣơng tác trong học tập nhƣ: kỹ
năng làm việc nhóm, kỹ năng hợp tác...
1.2.2. Năng lực
1.2.2.1. Khái niệm về năng lực
Từ điển Tiếng Việt: “Năng lực là phẩm chất tâm lý và sinh lý tạo cho
con ngƣời khả năng hoàn thành một loại hoạt động nào đó với chất lƣợng
cao. [21, tr.322]
Theo tác giả Trần Trọng Thủy và Nguyễn Quang Uẩn (1998): “Năng
lực là tổng hợp những thuộc tính độc đáo của cá nhân phù hợp với những yêu

cầu đặc trƣng của một hoạt động nhất định, nhằm đảm bảo việc hoàn thành có
kết quả tốt trong lĩnh vực hoạt động ấy ” [24, tr.11].
Howard Gardner (1999): “Năng lực phải đƣợc thể hiện thông qua hoạt
động có kết quả và có thể đánh giá hoặc đo đạc đƣợc ” [26, tr.11].
F.E.Weinert (2001) cho rằng: “ Năng lực là những kĩ năng kĩ xảo học
đƣợc hoặc sẵn có của cá thể nhằm giải quyết các tình huống xác định, cũng
nhƣ sự sẵn sàng về động cơ xã hội…và khả năng vận dụng các cách giải
quyết vấn đề một cách có trách nhiệm và hiệu quả trong những tình huống
linh hoạt ”[29, tr.18].

6


OECD (Tổ chức các nƣớc kinh tế phát triển) (2002) đã xác định
“Năng lực là khả năng cá nhân đáp ứng các yêu cầu phức hợp và thực hiện
thành công nhiệm vụ trong một bối cảnh cụ thể ” [28, tr.12]
Tóm lại, “Năng lực là kkhả năng thực hiện có hiệu quả và có trách
nhiệm các hành động, giải quyết các nhiệm vụ, vấn đề thuộc kcác lĩnh vực
nghề nghiệp, xã hội hay cá nhân trong những tình huống khác nhau trên cơ
sở hiểu biết, kỹ năng, kỹ xảo và kinh nghiệm cũng như sự sẵn sàng hành
động”
1.2.2.1. Các thành phần của năng lực
Năng lực chuyên môn (Professional competency): Là khả năng thực
hiện các nhiệm vụ chuyên môn cũng nhƣ khả năng đánh giá kết quả chuyên
môn một cách độc lập, có phƣơng pháp và chính xác về mặt chuyên môn. Nó
đƣợc tiếp nhận qua việc học nội dung – chuyên môn và chủ yếu gắn với khả
năng nhận thức và tâm lý vận động.
Năng lực phƣơng pháp (Methodical competency): Là khả năng đối với
những hành động có kế hoạch, định hƣớng mục đích trong việc giải quyết các
nhiệm vụ và vấn đề. Năng lực phƣơng pháp bao gồm năng lực phƣơng pháp

chung và phƣơng pháp chuyên môn. Trung tâm của phƣơng pháp nhận thức
là những khả năng tiếp nhận, xử lý, đánh giá, truyền thụ và trình bày tri thức.
Nó đƣợc tiếp nhận qua việc học phƣơng pháp luận giải quyết vấn đề.
Năng lực xã hội (Social competency): Là khả năng đạt đƣợc mục đích
trong những tình huống giao tiếp ứng xử xã hội cũng nhƣ trong những nhiệm
vụ khác nhau trong sự phối hợp chặt chẽ với những thành viên khác. Nó
đƣợc tiếp nhận qua việc học giao tiếp.
Năng lực cá thể (Induvidual competency): Là khả năng xác định, đánh
giá đƣợc những cơ hội phát triển cũng nhƣ những giới hạn của cá nhân, phát
triển năng khiếu, xây dựng và thực hiện kế hoạch phát triển cá
7


nhân, những quan điểm, chuẩn giá trị đạo đức và động cơ chi phối các thái độ
và hành vi ứng xử. Nó đƣợc tiếp nhận qua việc học cảm xúc, đạo đức và liên
quan đến tƣ duy và hành động tự chịu trách nhiệm.[13, tr.27]
1.2.3. Năng lực toán học
1.2.3.1. Khái niệm
Theo Tâm lý năng lực Toán học của V.A.Kruchetxki: “Những năng lực
Toán học đƣợc hiểu là những đặc điểm tâm lí cá nhân (trƣớc hết là những
đặc điểm của hoạt động trí tuệ) đáp ứng những yêu cầu của hoạt động học tập
toán, và trong những điều kiện vững chắc nhƣ nhau thì là nguyên nhân của
sự thành công trong việc nắm vững một cách sáng tạo toán học với tƣ cách là
một môn học, đặc biệt nắm vững tƣơng đối nhanh, dễ dàng, sâu sắc những
kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo trong lĩnh vực Toán học” [12, tr.45].
Theo Lê Hải Châu, năng lực toán: “Là khả năng nhận biết ý nghĩa, vai
trò của kiến thức toán học trong cuộc sống; khả năng vận dụng tƣ duy toán
học để giải quyết các vấn đề của thực tiễn đáp ứng nhu cầu đời sống hiện tại
và tƣơng lai một cách linh hoạt; khả năng phân tích, suy luận, lập luận khái
quát hoá, trao đổi thông tin một cách hiệu quả thông qua việc đặt ra, hình

thành và giải quyết vấn đề toán học trong các tình huống, hoàn cảnh khác
nhau…” [3, tr.29]
1.2.3.2. Cấu trúc của năng lực toán học
Theo Kơrutecxki thì cấu trúc của năng lực toán học bao gồm những
thành phần sau:
a)

Về mặt thu nhận thông tin: Năng lực tri giác hình thức hóa tài liệu

toán học, năng lực nắm cấu trúc hình thức của bài toán.
b)

Về mặt chế biến thông tin, đó là:

8


-

Năng lực tƣ duy lôgíc trong phạm vi các quan hệ số lƣợng và các

quan hệ không gian, các kí hiệu, năng lực suy nghĩ với các kí hiệu toán học.
-

Năng lực khái quát hóa nhanh chóng và rộng rãi các đối tƣợng, quan

hệ, các phép toán của toán học. Năng lực rút ngắn quá trình suy luận toán học
và hệ thống các phép toán tƣơng ứng, năng lực suy nghĩ
với những cấu trúc đƣợc rút gọn.
-

Tính mềm dẻo của quá trình tƣ duy trong hoạt động toán học.

-

Khuynh hƣớng đạt tới sự rõ ràng, sự đơn giản, tính tiết kiệm và tính

hợp lí của lời giải.
-

Năng lực thay đổi nhanh chóng và dễ dàng hƣớng suy nghĩ, dạng

tƣ duy thuận chuyển qua tƣ duy nghịch.
c)

Về mặt lƣu trữ các thông tin, đó là trí nhớ toán học tức là trí nhớ

khái quát về các quan hệ toán học, về các đặc điểm điển hình, các
sơ đồ suy luận và chứng minh, về các phƣơng pháp giải toán và các nguyên
tắc xem xét các bài toán ấy.
d)

Về thành phần tổng hợp chung, đó là khuynh hƣớng toán học của trí

tuệ. Tuy nhiên, cần chú ý rằng tốc độ tƣ duy, năng lực tính toán, trí nhớ về
các công thức,…không nhất thiết phải có mặt trong các thành phần của năng
lực toán học.
1.2.3.3. Các yếu tố ảnh hưởng đến sự hình thành và phát triển năng lực toán
học của học sinh
Nói đến các yếu tố ảnh hƣởng đến sự hình thành và phát triển năng lực

nói chung, năng lực toán học nói riêng chúng ta phải kể đến một số các yếu tố
sau, đó là:
Yếu tố thứ nhất: Tự nhiên – sinh học: Đây là yếu tố tiền đề cho sự hình
thành và phát triển năng lực toán học sau này của học sinh. Chúng ta có thể nói
nhƣ vậy bởi lẽ năng lực toán của học sinh có thể đƣợc di truyền từ ông bà,

9


cha mẹ, dòng dõi huyết thống, cái mà chúng ta thƣờng gọi là năng khiếu toán
học. Thực tế, ở đất nƣớc chúng ta đã có nhiều học sinh đƣợc thừa hƣởng
những thuộc tính sinh học (gen), những phẩm chất toán học từ cha mẹ là
những ngƣời có phẩm chất, tố chất toán học tốt
Yếu tố thứ hai: Yếu tố môi trƣờng xã hội và giáo dục: Mỗi cá thể đều
hoạt động, sinh sống trong một môi trƣờng xã hội nhất định, học sinh cũng
không là một ngoại lệ. Môi trƣờng sống tạo ra động lực, mục đích, động cơ
và hành động của mỗi cá thể, nhất lại là học sinh, trong đó giáo dục đóng vai
trò then chốt và chủ đạo. Thực tế đã chứng minh, có nhiều nƣớc trên thế giới
nền toán học rất phát triển, đất nƣớc họ có đƣợc nhƣ vậy chính là do môi
trƣờng xã hội và giáo dục, môi trƣờng đã ƣơm mầm cho những tài năng toán
học xuất chúng. Ngay tại Việt Nam chúng ta cũng vậy thôi, có những vùng
miền, địa phƣơng có phong trào học tập nói chung, học bộ môn toán nói riêng
vƣợt trội hẳn so với những nơi khác, nơi mà chúng ta hay gọi là đất học toán.
Yếu tố thứ ba: Yếu tố nội dung của toán học: Với đặc thù là bộ môn tƣ
duy, logic, đòi hỏi có sự tƣ duy cao, do vậy toán học đã góp phần hình thành
và phát triển các năng lực toán học cho học sinh. Việc học toán có phƣơng
pháp hợp lí, có hệ thống là điều kiện quan trọng để phát triển năng lực toán
cho học sinh một cách bền vững.
Yếu tố thứ tƣ: Yếu tố hoạt động của học sinh: Không giống nhƣ các
yếu tố khác, yếu tố hoạt động đóng vai trò trực tiếp quyết định đến sự hình

thành và phát triển năng lực toán của học sinh. Để có học sinh có đƣợc sự
hình thành và phát triển năng lực toán, các em cần phải đƣợc trực tiếp thao
tác, hoạt động với các nội dung toán học một cách tích cực, đam mê, cộng với
ý

chí, nghị lực và sự kiên trì để vƣợt qua các trở ngại. Qua thời gian các em

dần dần chiếm lĩnh các tri thức toán học. Tuy nhiên không phải học sinh nào
cũng đạt đƣợc các năng lực toán học tốt nhất, mà năng lực đó sẽ đƣợc hinh
thành và phát triển ở các mức độ khác nhau, tùy thuộc vào sự nỗ lực của bản
10


thân. Điều này khẳng định rằng: Năng lực, tài năng của mỗi con ngƣời chỉ có
thể đƣợc hình thành “trong hoạt động, thông qua hoạt động và bằng hoạt
động” của mỗi cá nhân.
1.3. Năng lực suy luận
1.3.1. Suy luận
Theo tác giả Nguyễn Bá Kim thì “Suy luận là một hình thức tƣ duy cơ
bản của tƣ duy đáng nhận thức, nó xuất phát từ những phán đoán đã biết để
rút ra phán đoán mới. Phán đoán đã biết gọi là tiền đề, phán đoán mới rút ra
gọi là kết luận của suy luận, cách thức rút ra kết luận từ tiền đề gọi là lập
luận” [10, tr.45].
Nhƣ vậy ta có thể hiểu suy luận là thao tác đƣợc sử dụng rất rộng rãi
trong đời sống và trong khoa học. Chúng không những làm gắn kết các tri
thức của con ngƣời thành một tổ hợp phức tap, hoàn chỉnh mà còn làm cho
các tổ hợp tri thức đó phong phú và mạnh mẽ thêm.
Suy luận giúp ngƣời học có sự gắn kết logic, từ cái đã cho ban đầu để
đƣa tới cái kết quả cần khẳng định, hoặc cần chứng minh sau khi đã dùng một
loạt các lập luận có tính hệ thống và logic.

Suy luận trong học toán cũng là thao tác giúp ngƣời học gắn kết các
kiến thức đã học, đang học thành những kiến thức phức tạp có tính hệ thống,
hoàn chỉnh, phong phú hơn. Thậm chí nó còn là tiền đề cho sự suy luận ra các
kiến thức mới.
Suy luận trong khoa học, trong toán học giúp con ngƣời khắc phục
những hạn chế của nhận thức cảm tính mà ở đó cảm giác của con ngƣời bất
lực. Để từ đó làm phƣơng tiện cho nhận thức tiếp theo.
Từ định nghĩa suy luận của Nguyễn Bá Kim ta thấy suy luận có cấu
trúc khá đơn giản đó là tiền đề và kết luận, đây cũng là hai thành phần cơ bản
nhất của suy luận.

11


Mặt khác mỗi suy luận đƣợc biểu diễn dƣới dạng một mệnh đề kéo
theo, chẳng hạn Pi ⇒ Q, trong đó Pi là các tiền đề ( có thể là hội của nhiều
mệnh đề ), Q là kết luận. Tiền đề chân thực cùng với quá trình suy luận cũng
phải tuân theo đúng quy luật và quy tắc logic hình thức, tức là quá trình suy
luận phải đúng đắn thì đây chính là điều kiện cần và đủ để suy luận đạt đến
kết luận chân thực.
Nhƣ vậy có thể hiểu năng lực suy luận là năng lực dựa trên những tri
thức có giá trị chân thực để liên kết chúng lại với nhau nhằm rút ra tri thức
mới mà ta chƣa biết ở trong các phán đoán trƣớc đó [5, tr.30].
Bất kì suy luận nào cũng có ba bộ phận hợp thành là tiền đề lập luận và
kết luận: Tiền đề là phán đoán có trƣớc đƣợc sử dụng để liên kết chúng lại
với nhau nhằm rút ra phán đoán mới. Trong mỗi suy luận tiền đề của nó có
thể chỉ có một phán 10 đoán nhƣng cũng có thể bao gồm nhiều phán đoán
liên hệ chặt chẽ với nhau để rút ra phán đoán mới. Lập luận là cách thức liên
kết các lôgic giữa các phán đoán cho trƣớc để rút ra phán đoán mới. Cách
thức liên kết các lôgic này không chỉ thể hiện trình tự sắp xếp các phán đoán

thuộc tiền đề mà con bao gồm cả những quy luật và những quy tắc lôgic chi
phối trình tự sắp xếp đó để rút ra phán đoán mới một cách tất yếu. Kết luận là
phán đoán mới đƣợc rút ra từ tiền đề thông qua những lập luận lôgic. Kết
luận có nhiều dạng khác nhau có kết luận phù hợp, có kết luận không phù
hợp với hiện thực khách quan, có kết luận là ngẫu nhiên, có kết luận là tất
yếu từ những lập luận lôgic của các tiền đề.
1.3.2. Các loại suy luận
Theo tác giả Peirce (1960) thì có nhiều loại suy luận nhƣng chủ yếu
đƣợc tập trung ở ba dạng suy luận cơ bản sau :Suy luận diễn dịch, suy luận
quy nạp và suy luận tƣơng tự [23, tr.29.]

12


1.3.2.1. Suy luận diễn dịch
Suy diễn ( hay suy luận diễn dịch ) là loại suy luận trong đó có những
quy tắc tổng quát xác định rằng: Nếu thừa nhận tiền đề (có một cấu trúc xác
định nào đó) là đúng thì kết luận (có một cấu trúc xác định nào đó) cũng phải
đúng. Sở dĩ nói nhƣ vậy vì nó là loại suy luận trong đó: Nếu thừa nhận tiền đề
mà có một cấu trúc xác định nào đó là đúng thì kết luận cũng có một cấu trúc
xác định nào đó cũng phải đúng.
Suy luận diễn dịch là suy luận từ tri thức chung hơn về cả lớp đối
tƣợng ta suy ra tri thức riêng về từng đối tƣợng, đi từ cái phổ biến đến cái cá
biệt, từ cái chung đến cái riêng. Tức là căn cứ vào thuộc tính và quan hệ phổ
biến của một loại sự vật hiện tƣợng nào đó mà rút ra kết luận một sự vật hiện
tƣợng cá biệt trong loại đó cũng có thuộc tính và quan hệ nhƣ vậy. Ta nói
nhƣ thế vì dựa trên căn cứ giữa quan hệ phổ biến và thuộc tính của một loại
sự vật hiện tƣợng nào đó mà rút ra kết luận.
1.3.2.2. Suy luận quy nạp
Đã có rất nhà nghiên cứu đƣa ra các định nghĩa khác nhau về loại suy

luận này, nhƣng tất cả các định nghĩa về suy luận quy nạp đều hƣớng tới cái
đặc điểm chung, nói cách khác các định nghĩa đều có chung bản chất là nhằm
đƣa ra một giả thuyết mang tính tổng quát, nhƣng không chắc chắn đúng mà
xuất phát của nó là từ việc kiểm chứng tính đúng đắn của giả thuyết thông qua
một số trƣờng hợp cụ thể. Ví dụ ngay trong toán học, số 4 chia hết cho 2, số 6
chia hết cho 2, số 8 chia hết cho 2. Từ đó ta đƣa ra giả thuyết : Các số tự
nhiên chẵn đều chia hết cho 2. Nhà toán học Polya (1968) đƣa ra một số kết
cấu của suy luận quy nạp, chẳng hạn, nếu P suy ra Q đúng và Q đúng thì P trở
nên đáng tin cậy hơn. Trở lại với ví dụ trên, khi đƣa ra giả thuyết số tự nhiên
chẵn (P) thì chia hết cho 2 (Q), khi đó ta kiểm tra một số trƣờng hợp thấy
đúng tức là (Q) đúng, khi đó giả thuyết (P) đáng tin cậy hơn rất nhiều. Nhƣ

13


vậy kết cấu mà nhà toán học Polya đƣa ra thể hiện một niềm tin rằng sự kiểm
tra của một dãy các trƣờng hợp sẽ đƣa ra một giả thuyết đáng tin cậy hơn.
Một kết cấu phức tạp hơn ta có thể kể đến đó là nếu P suy ra Q n+1 đúng,
trong đó Qn+1 khác xa so với một dãy Q 1, Q2... Qn đã đƣợc kiểm chứng của P
đồng thời Qn+1 đúng thì giả thuyết P càng đáng tin cậy hơn nữa. Ngƣợc lại,
nếu Qn+1 rất giống với dãy Q1, Q2... Qn ở trƣớc thì P chỉ đáng tin cậy hơn ít
hơn [27, tr.34].
Chẳng hạn:
13 + 23 = (1+2)2
13 + 23 + 33 = (1+2+3)2
13 + 23 + 33 + 43 =(1+2+3+4)2
........................................................
Suy luận ra:
13 + 23 + 33 + 43 + ... + n3 = (1 + 2 + 3 + 4 + ... + n)2
Trong suy luận quy nạp, khi ta đi từ cái riêng đến cái chung thì việc kết

luận có thể là đúng ( xác thực ), mà cũng có thể không hoàn toàn chắc chắn
mà đó chỉ là xác suất, ngay cả khi các tiền đề đó là chân thực.
Quy nạp giản đơn nhắc lại những điều đã có trong các tiền đề mà nó
luôn dẫn ta đến những tri thức mới, những kết quả mới và nhiều điều mới mẻ,
làm giàu thêm cho khoa học. Một vấn đề nữa khi nhắc đến quy nạp đó là cơ
sở logic của nó. Đó là mối liên hệ lôgíc giữa các tiền đề và kết luận. Mối liên
hệ này phản ánh mối quan hệ khách quan giữa cái riêng và cái chung và cái
riêng, giữa kết quả và nguyên nhân. Khi nhắc đến quy nạp chúng ta phải biết
đến hai loại quy nạp, đó là quy nạp hoàn toàn và quy nạp không hoàn toàn.
Quy nạp không hoàn toàn là phép quy nạp mà kết luận chung chỉ dựa
vào một số trƣờng hợp cụ thể đã đƣợc xét đến. Kết luận chỉ có tính chất ƣớc
đoán.
14


Quy nạp hoàn toàn là phép suy luận nhằm rút ra kết luận chung về tất
cả các trƣờng hợp cụ thể đã đƣợc xét đến. Kết luận thu đƣợc từ quy nạp
hoàn toàn luôn đúng, do đó quy nạp hoàn toàn thực chất là một phép chứng
minh
Nhƣ vậy: Phép quy nạp hoàn toàn luôn cho kết luận đúng, phép quy
nạp không hoàn toàn có thể dẫn đến kết luận đúng hoặc sai. Tuy nhiên phần
lớn chúng ta đều dùng phƣơng pháp quy nạp không hoàn toàn, bởi lẽ phép
quy nạp không hoàn toàn đóng vai trò rất quan trọng trong khi suy luận. Ví dụ
về số tự nhiên chẵn chia hết cho 2 đã nêu ở phần trên là một minh chứng.
Muốn thực hiện phép suy luận quy nạp một cách vững chắc, chúng ta
cần tuân theo hai điều kiện sau :
Điều kiện thứ nhất : Kết luận của suy luận quy nạp phải đƣợc khái quát
hoá từ các dấu hiệu bản chất. Nói cách khác, kết luận của suy luận phải có độ
tin cậy.
Điều kiện thứ hai : Suy luận quy nạp chỉ đƣợc áp dụng khi các đối

tƣợng là cùng loại hoặc tƣơng tự.
Suy luận diễn dịch và suy luận quy nạp là một thể thống nhất kế thừa
và làm tiền đề của nhau, hỗ trợ cho nhau. Chúng có mối quan hệ biện chứng
với nhau, hỗ trợ cho nhau bởi lẽ nếu chỉ có quy nạp thì những kiến thức chung
khái quát có đƣợc trở nên xa lạ thậm chí hầu nhƣ không còn đóng vai trò gì
nữa vì khi đó có lẽ con ngƣời không còn nhu cầu quy nạp nữa. Mặt khác
chúng ta khó mà kiểm soát, đánh giá những tri thức đó nếu nhƣ không đem
những tri thức đó vào ứng dụng trong thực tiễn. Do vậy diễn dịch sẽ phải luôn
đồng hành và tạo nên một thể thống nhất. Cứ nhƣ vậy, quy nạp và suy diễn hỗ
trợ, tƣơng hỗ lẫn nhau, trong khi quy nạp cung cấp nguyên liệu cho diễn dịch
thì diễn dịch lại đặt ra nhu cầu mới cho quy nạp. Quá trình đó cứ

15


diễn ra tuần tự giúp chúng ta tiến gần hơn đến bản chất của sự vật hiện tƣợng
và hiểu sâu hơn về thế giới vật chất chúng ta đang sống.
1.3.2.3. Suy luận tương tự
Nói đến suy luận tƣơng tự là ta đang nói đến một dạng suy luận đƣợc
sử dụng khá phổ biến trong khoa học và đời sống hàng ngày mà có lẽ đã là
con ngƣời dù học thức cao hay thấp thì việc vận dụng suy luận loại này vẫn
diễn ra thƣờng ngày. Nói cách khác đây là một dạng suy luận loại suy. Đây là
dạng suy luận mà trong đó kết luận đƣợc rút ra nhờ sự giống nhau, tƣơng tự
nhau của các đối tƣợng.
Để hiểu và vận dụng loại suy luận này, ta cần nhớ và hiểu cấu trúc của
suy luận tƣơng tự nhƣ sau :
+

Đối tƣợng A có tính chất P1, P2, … , Pn, Q

+

Đối tƣợng B có tính chất P1, P2, … , Pn

Từ đây suy ra đối tƣợng B cũng có tính chất Q
Ví dụ: Các số tự nhiên 2, 3, 5, 7 đều chỉ có hai ƣớc tự nhiên là 1và
chính nó nên ngƣời ta nói 2, 3, 5, 7 là các số nguyên tố. Từ đó suy ra các số
17, 19, 23, 29 cũng là các số nguyên tố vì chúng cũng đều là các số tự nhiên
chỉ có 2 ƣớc là 1 và chính nó.
Phân tích ví dụ trên ta thấy rõ phép suy luận tƣơng tự ở đây nhƣ sau:
Các số tự nhiên 2, 3, 5, 7 chính là đối tƣợng A, các số tự nhiên 17, 19, 23, 29
là đối tƣợng B, các tính chất P1, P2, … , Pn chính là số lƣợng ƣớc của mỗi số
tự nhiên đó, Q chính là số nguyên tố. Nhƣ vậy đối tƣợng B có tính chất giống
đối tƣợng A nên đối tƣợng B cũng có tính chất (Q), đó là số nguyên tố.
-

Dùng suy luận tƣơng tự để xây dựng ý nghĩa của tri thức; xây dựng

giả thuyết; dùng trong giải bài tập toán; để phát hiện và sửa chữa sai lầm của
học sinh. Để vận dụng tốt đƣợc suy luận loại này thì ngoài nhớ định nghĩa,
cấu trúc của nó, ta phải biết cả tính chất của suy luận tƣơng tự, các tính chât
đó là:
16