SKKN: Một số bài toán thường gặp về đồ thị hàm số

Chuyên đề: Một số bài toán thường gặp về đồ thị hàm số

Chuyên đề: MỘT SỐ BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP VỀ ĐỒ THỊ
A­ ĐẶT VẤN ĐỀ:

Trong quá trình giảng dạy thì vấn đề tổ chức, hướng dẫn cho học sinh ôn tập, củng cố các 
kiến thức và rèn luyện kỹ  năng giải toán chuẩn bị  cho các kỳ  thi sắp đến là một công việc rất 
quan trọng và cần thiết cho mỗi người thầy, cô giáo. Nên mỗi một thầy, cô giáo cần phải đổi 
mới phương pháp dạy học, chọn lọc nội dung và tìm ra phương pháp giải toán cho học sinh dễ 
hiểu, dễ tiếp thu để kích thích học sinh hứng thú say mê, sáng tạo và tìm ra hướng giải quyết bài 
toán đó. Chúng ta cần phải chọn lọc nội dung trọng tâm, dung lượng kiến thức,  ứng dụng các  
kiến thức đã học để giúp các em rèn luyện kỹ năng và tư duy để tìm ra phương pháp giải những 
dạng toán thường gặp trong các kỳ thi mà sách giáo khoa chưa đề cập đến nhiều.
Để  góp phần nhỏ  vào việc ôn tập môn Toán 12 cho học sinh, bản thân xin trình bày một  
phần nội dung ôn tập: “Một số bài toán thường gặp về đồ thị hàm số”.
Ta thường gặp một số “Bài toán liên quan đến đồ thị hàm số” trong Bài 1 của các đề thi Tốt 
nghiệp Trung học phổ thông và Tuyển sinh Đại học, Cao đẳng. Đây là dạng toán có liên quan đến  
việc “Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số”, là một trong những nội dung toán học có tính  
chất phát triển tư duy lô­gic, hình thành kỹ năng thực hành và phát huy khả  năng vận dụng sáng  
tạo vào thực tiễn cuộc sống sau này cho học sinh. Qua những năm giảng dạy nội dung này, tôi 
nhận thấy kết quả học tập của đa số  học sinh chưa cao, khoảng trên 65% chưa đạt theo chuẩn. 
Việc tìm hiểu nguyên nhân và biện pháp khắc phục để nâng cao chất lượng học tập của học sinh  
là thực sự cần thiết đối với mỗi giáo viên đang trực tiếp giảng dạy. Thực tế cho thấy:
  – Khả năng phân tích bài toán còn lúng túng, kỹ năng tính toán còn chậm và thiếu chính xác.
– Liên hệ với những kiến thức ở lớp dưới còn nhiều hạn chế.
– Thiếu chủ động, tư tưởng ngại khó khi gặp phải bài toán phức tạp, nhiều dữ kiện ràng buộc.
– Đa số các em chỉ làm phần Khảo sát hàm số mà chưa làm được Bài toán liên quan đến đồ thị.
Để giúp các em lấy được trọn vẹn điểm số của Bài 1 trong các Đề thi Tốt nghiệp Trung học  
phổ thông, cũng như Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng dưới đây xin đưa ra một số giải pháp  
như sau:

B­ GIẢI PHÁP THỰC HIỆN:

Việc trang bị cẩn thận cho học sinh những phương pháp cơ  bản, những kỹ  năng ban đầu là 
rất cần thiết, củng cố được niềm tin và tạo cơ sở tiền đề cho các em tiếp tục phát huy khả năng 
sáng tạo để có thể tự giải được các dạng toán tương tự: 
­ Giảng dạy thật chu đáo các bài toán cơ bản, chẳng hạn:
  + Tìm các điểm cực trị của đồ thị hàm số;
  + Tìm phương trình các đường tiệm cận của đồ thị hàm số;
  + Tìm tọa độ giao điểm của hai đường;
  + Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong ...
­ Hướng dẫn cho học sinh cách phân tích định hướng giải quyết bài toán, biết quy lạ về quen.
­ Đặc biệt cần hướng dẫn cho các em biết cách phân rã một bài toán phức tạp thành những bài 
toán con đơn giản đã biết cách giải.
­ Dành thời gian hợp lý để  học sinh tự  giải quyết được những bài toán tương đối đơn giản,  
gây được sự tự tin và hứng thú học tập cho các em. 
1
Trường THPT Trường Chinh                                                                          Giáo viên: Nguy
ễn Xuân Vĩ 


Chuyên đề: Một số bài toán thường gặp về đồ thị hàm số

­ Sau khi học sinh tự giải được bài toán cơ  bản  ở trên, để  tiếp tục nâng cao năng lực tư  duy  
cho các em, giáo viên có thể mở rộng, tăng độ phức tạp của bài toán bằng cách:  Đưa vào tham số 
và thêm những ràng buộc giữa các dữ kiện của bài toán.

C­ QUÁ TRÌNH THỰC HIỆN:
Qua quá trình giảng dạy, bản thân nhận thấy rằng: Để  một tiết ôn tập đạt chất lượng và  
hiệu quả thiết thực thì học sinh phải biết tư duy, sáng tạo, tích cực hoạt động tham gia xây dựng  
bài học, người thầy phải chủ động vạch hướng giải quyết bằng cách hướng dẫn, đặt câu hỏi gợi  

ý, gợi mở  từng bước để  dẫn dắt các em tìm hướng giải và lời giải đúng, từ  đó các em mới có 
hứng thú, say mê vào việc giải quyết bài toán. Muốn vậy thì chúng ta phải chuẩn bị kỹ và tiến  
hành các khâu sau:
I./ Nghiên cứu nội dung cần ôn tập:
­ Nghiên cứu kỹ nội dung cần ôn tập, cần củng cố cho học sinh.
­ Vạch ra phương án kiểm tra nội dung kiến thức chuẩn bị cho tiết ôn tập.
Trước khi ôn tập “Một số  bài toán thường gặp về  đồ  thị  hàm số”  thì thầy, cô giáo cần 
dặn dò học sinh ôn tập trước các kiến thức đã học và kiến thức cơ bản có liên quan:
+ Định nghĩa điểm cực trị của hàm số; Điều kiện đủ để hàm số có cực trị.
+ Đường tiệm cận của đồ thị và cách tìm phương trình của đường tiệm cận.
+ Giao điểm và cách tìm tọa độ giao điểm của hai đường.
+ Khoảng cách và các công thức tính khoảng cách.
+ Bất đẳng thức Cô­si; Định lý Vi­ét và các ứng dụng ...
II./ Thành lập hệ thống các dạng bài tập.
­ Cần thành lập hệ thống các dạng bài tập từ dễ đến khó, từ cơ bản đến nâng cao.
­ Phân thành từng dạng bài tập có liên quan với nhau.
III./ Phân tiết dạy: 
­ Dựa vào tình hình thực tế giảng dạy, thời lượng ôn tập, năng lực tư duy của học sinh trong  
lớp dạy để thầy, cô giáo lựa chọn nội dung kiến thức, phân bổ  các dạng bài tập cụ thể  cho phù  
hợp.
IV./ Chọn các bài tập mẫu:
­ Chọn ra các bài tập mẫu, trọng tâm thường gặp ở đề thi để tiến hành ôn tập trên lớp.
­ Dựa theo trình độ của học sinh trong lớp dạy để chọn các bài tập trọng tâm, chọn bài tập  
từ dễ đến khó, đầy đủ các dạng:
V./ Chọn các bài tập tương tự:
­ Sau khi thầy, cô giáo đã hướng dẫn ôn tập kiến thức thông qua các bài tập mẫu thì chúng ta  
tiếp tục cung cấp cho học sinh các bài tập tương tự để các em tự học, tự rèn luyện. Đây là yếu tố 
rất cần thiết giúp học sinh tự củng cố kiến thức, phát huy tính độc lập, chủ động, tự tin làm bài. 
­ Trên cơ  sở  các bài tập mẫu học sinh   tự  lực, chủ  động rèn luyện phương pháp, kỹ  năng 
giải, củng cố kiến thức đã thu nhận từ thầy, cô giáo để từ đó các em tự giải quyết được các bài 

toán khác. 
­ Các bài tập tương tự này thầy, cô giáo gợi ý hướng dẫn phương pháp và có thể cho đáp số 
bài toán để học sinh giải xong đối chiếu kết quả tìm được của mình.

D­ NỘI DUNG:

Bao gồm hệ thống các dạng bài tập liên quan đến đồ thị của hàm số, thường gặp trong các  
đề  thi và được phân thành từng dạng. Trong quá trình giảng dạy, tùy vào tình hình thực tế, thời 
2
Trường THPT Trường Chinh                                                                          Giáo viên: Nguy
ễn Xuân Vĩ 


Chuyên đề: Một số bài toán thường gặp về đồ thị hàm số

lượng ôn tập, năng lực tư  duy của học sinh trong lớp để  quý thầy, cô giáo có thể  lựa chọn nội  
dung kiến thức, các dạng bài tập cụ thể cho phù hợp.
Phần 1: MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ĐIỂM CỰC ĐẠI VÀ CỰC TIỂU CỦA HÀM SỐ
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị:
 Nếu hàm số f(x) đạt cực trị tại điểm  x0  và hàm số có đạo hàm tại điểm  x0  thì  f '( x0 ) = 0.
(Hàm số f(x) có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó nó không có đạo hàm)
Ý nghĩa hình học: Nếu hàm số f có đạo hàm tại x0 và đạt cực trị tại x0 thì tiếp tuyến với đồ thị 
hàm số tại  (x0; f (x0 ))  song song hay trùng với trục hoành.
2. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị. 
     a.) Giả sử hàm số f(x) liên tục trên khoảng (a;b) chứa điểm  x0  và có đạo hàm trên các khoảng 
(a; x 0 )  và  (x 0; b) . Khi đó:
 Nếu  f '( x ) < 0, ∀x (a; x0 )  và  f '( x ) > 0, ∀x ( x0 ; b) thì hàm số f(x) đạt cực tiểu tại điểm  x0
 Nếu  f '( x ) > 0, ∀x ( a; x0 )  và  f '( x ) < 0, ∀x ( x0 ; b) thì hàm số f(x) đạt cực đại tại điểm  x0
(Chú ý: Không cần xét hàm số f(x) có hay không có đạo hàm tại điểm  x = x0 )

b.) Giả sử hàm số  f(x) có đạo hàm cấp một trên khoảng (a;b) chứa điểm  x0 ,  f '( x0 ) = 0  và f(x) 
có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm  x0 . Khi đó:
 Nếu  f "( x0 ) < 0  thì hàm số đạt cực đại tại điểm  x0 .
 Nếu  f "( x0 ) > 0  thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm  x0 .
II. BÀI TẬP.
Trước khi đi vào giải những bài toán nâng cao kỹ  năng, để  kiểm tra tình hình nắm kiến  
thức của học sinh, thầy cô giáo có thể hỏi bài cũ với kiến thức cơ bản hoặc tương tự  như  
sau:
Bài 1.  Xác định  m để mỗi hàm số sau có cực đại và cực tiểu: 
a.)  y = x 3 − 3x 2 + mx + m − 1
b.)  y = x 4 − 2(m + 1)x 2 − m
c.)  y =

x 2 + 2mx + 1
x −1

Gợi ý giải:

a.)  
+  y ' = 3x 2 − 6x + m ;      y ' = 0 � 3x 2 − 6x + m = 0  (*)
+ Hàm số có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt
� ∆ ' = 9− 3m > 0 � m < 3
Vậy, với  m < 3 thì hàm số luôn có cực đại và cực tiểu.

b.) 
+  y ' = 4x 3 − 4(m + 1)x = 4x (x 2 − m − 1)
3
Trường THPT Trường Chinh                                                                          Giáo viên: Nguy
ễn Xuân Vĩ 

Chuyên đề: Một số bài toán thường gặp về đồ thị hàm số
2
         y ' = 0 � 4x (x − m − 1) = 0 �

x=0

x 2 = m + 1 (*)
+ Hàm số có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác  

0
       � m + 1> 0 � m > −1.
Vậy, với  m < −1 thì hàm số luôn có cực đại và cực tiểu.
c.) 

x 2 − 2x − 2m − 1
x 2 − 2x − 2m − 1
=0
 +  y ' =
;      y ' = 0 �
(x − 1)2
(x − 1)2
x 1
                                                              
x 2 − 2x − 2m − 1= 0 (*)
      + Đặt:  g(x ) = x 2 − 2x − 2m − 1
+ Hàm số có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác  
1
∆'> 0
2m + 2 > 0

m > −1
�
�
�
��
��
� m > −1.
−2m − 2 0 �
m −1
�g(1) 0 �
Vậy, với  m < −1 thì hàm số luôn có cực đại và cực tiểu.
1
Bài 2. Cho hàm số:  y = x3 − mx 2 + (m 2 − m + 1) x + 1 .
3

       � �

Xác định m để hàm số đạt cực đại tại điểm x = 1. 

Lưu ý:  Hàm số  y = ax 3 + bx 2 + cx + d ,(a 0)  đạt cực đại (hoặc cực tiểu) tại điểm x0 khi và chỉ khi  
y '(x 0 ) = 0
y '(x 0 ) = 0
    (hoặc
)
y ''(x0 ) < 0
y ''(x0 ) > 0

Sau đó thầy, cô giáo cho học sinh ghi nhớ:
Hàm số bậc ba:  y = ax 3 + bx 2 + cx + d , (a 0)  có cực trị khi và chỉ khi phương trình  y ' = 0 có 
hai nghiệm phân biệt.

Hàm số trùng phương:  y = ax 4 + bx 2 + c, (a 0)  có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi phương  
trình  y ' = 0 có ba nghiệm phân biệt.
ax 2 + bx + c
Hàm số:  y =
, (aa ' 0)  có cực trị khi và chỉ khi phương trình  y ' = 0 có hai nghiệm  
a 'x + b '
phân biệt khác  −

b'
.
a'

Để  tăng thêm những vướng mắc cho học sinh, giáo viên có thể  đưa vào tham số  hay những  
ràng buộc dữ kiện của bài toán.
Một vấn đề  phức tạp là tổ  hợp của nhiều vấn đề  đơn giản, một bài toán khó là sự  kết nối  
của nhiều bài toán đơn giản. Chỉ cần nắm vững kiến thức cơ bản, rồi bằng óc phân tích và tổng  
hợp chúng ta có thể  giải quyết được những bài toán khó. Đứng trước một bài toán phức tạp, có  
nhiều ràng buộc học sinh thường lúng túng, không biết bắt đầu giải quyết từ đâu. Giáo viên cần  
4
Trường THPT Trường Chinh                                                                          Giáo viên: Nguy
ễn Xuân Vĩ 


Chuyên đề: Một số bài toán thường gặp về đồ thị hàm số

phân tích và hướng dẫn cho các em biết cách phân rã bài toán ban đầu thành những bài toán con,  
rà soát lại những mạch kiến thức đã học có liên quan để giải quyết.
Bài tập 1. Cho hàm số   y
mãn  x1 − x2

1 3
x
3

mx 2

mx 1 . Xác định m để  hàm số  đạt cực trị  tại  x1 ,x2  thoả 

4?

Hướng dẫn: Có thể xem đây là sự kết hợp của 2 bài toán con là:
1.) Xác định m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị;
2.) Điều kiện để hai điểm cực trị  x1 ,x2  thoả mãn  x1 − x2 4 .
Gợi ý giải:
2
2
*  y ' = x − 2mx + m ;      y ' = 0 � x − 2mx + m = 0 (*)
+ Hàm số có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt
� ∆ ' > 0 � m2 − m > 0 �

* Ta có:  x1 − x2

4 

m<0
m >1

  (x1 ­ x 2 ) 2 �16 � ( x1 + x 2 ) 2 − 4x1x 2 �16   (**)

{

x + x = 2m

+ Áp dụng định lý Vi­ét vào phương trình (*), ta có:  x11 x2 =2 m

1 ­ 17
2
(**) � 4m2 − 4m �16 � m 2 − m − 4 �0 �
1 + 17
m
2
1 ­ 17
+ Đối chiếu với điều kiện, ta được kết quả:  m
  hoặc   m
2
m

1 + 17
.
2

Bài tập 2. Cho hàm số   y = x3 − 3mx 2 − 3x + 3m + 2  có đồ thị là ( Cm ) . Xác định m để đồ thị   ( Cm )  có 
điểm cực đại và cực tiểu, đồng thời khoảng cách giữa chúng là nhỏ nhất?
Hướng dẫn: Có thể xem đây là sự kết hợp của 2 bài toán con là:
1.) Xác định m để đồ thị hàm số có điểm cực đại và cực tiểu;
2.) Điều kiện để khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị nhỏ nhất.
Gợi ý giải:
2
2
*  y ' = 3 x − 6mx − 3;     y ' = 0 � x − 2mx − 1 = 0,   (*)

+ Hàm số có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt   
    � ∆ ' = m 2 + 1> 0,∀m �R .
   Suy ra, với mọi giá trị của m, hàm số luôn có hai điểm cực trị.
* Tìm tọa độ các điểm cực trị của  ( Cm ) : Gọi A, B là 2 điểm cực trị của đồ  thị, khi đó hoành  
độ điểm A, B là các nghiệm của phương trình (*). 
Cách 1: Vì   A, B ( Cm ) nên lần lượt thay các nghiệm của (*) vào hàm số, ta có:
  A(m + m 2 + 1; −2m 3 − 2m 2 m 2 + 1 − 2 m 2 + 1 + 2) ,
B(m − m 2 + 1; −2m3 + 2m 2 m 2 + 1+ 2 m 2 + 1 + 2)

 Cách 2:
1
3

1
3

  ­ Chia y cho y’ và viết lại hàm số dưới dạng:  y = y '.( x − m) − (2m 2 + 2) x + 2m + 2 . 
5
Trường THPT Trường Chinh                                                                          Giáo viên: Nguy
ễn Xuân Vĩ 


Chuyên đề: Một số bài toán thường gặp về đồ thị hàm số

  ­ Suy ra, đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị A, B của đồ thị có phương trình:   
     y = − (2m2 + 2) x + 2m + 2 (**)
­ Lần lượt thay các nghiệm của (*) vào (**), ta có:
    A(m + m 2 + 1; −2m3 − 2m 2 m 2 + 1 − 2 m 2 + 1 + 2)  ,
    B(m − m 2 + 1; −2m3 + 2m 2 m 2 + 1+ 2 m 2 + 1 + 2)
uuur

+  AB = (−2 m 2 + 1;4m 2 m 2 + 1+ 4 m 2 + 1)
� AB = 2 (m 2 + 1)(4m 4 + 8m 2 + 5) = 2 (m 2 + 1)[4(m 2 + 1)2 + 1] �2 5

Cách 3: 
  ­ Gọi  x1, x2 là hai nghiệm của (*) và lần lượt thay vào (**) , ta có: 
   A(x1; −(2m 2 + 2)x1 + 2m + 2) ,
   B(x2; −(2m 2 + 2)x 2 + 2m + 2)
� AB = (x2 − x1)2 + (2m 2 + 2)2(x2 − x1)2
= (4m 4 + 8m + 5)[(x2 + x1)2 − 4x1x2 ]
x1 + x2 = 2m

- Áp dụng định lý Vi­ét vào phương trình (*), ta có:  x x = ­1
1 2
� AB = (4m 4 + 8m + 5)(4m 2 + 4)
= 2 [4(m 2 + 1)2 + 1](m 2 + 1) 2 5

+  ABmin = 2 5 � m = 0.
+ Đối chiếu với điều kiện, ta được kết quả:  m = 0 .
Giáo viên cho học sinh nhận xét: Việc thay hoành độ của A, B vào hàm số khá phức tạp, dễ  
dẫn đến kết quả sai. Chỉ áp dụng cách này trong trường hợp phương trình (*) có biệt thức là số  
chính phương.
Bài tập 3.   Cho hàm số   y = x 3 + mx 2 + 12x + 3 . Xác định m để  hàm số  có đường thẳng đi qua hai  
điểm cực đại và cực tiểu vuông góc với đường thẳng y = x ­7?
Hướng dẫn: Có thể xem đây là sự kết hợp của những bài toán con là:
1.) Xác định m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị;
2.) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số;
3.) Điều kiện để hai đường thẳng vuông góc với nhau.
Gợi ý giải:
2

*  y ' = 3x + 2mx + 12
          y ' = 0 � 3x 2 + 2mx + 12 = 0 (*)
+ Điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu là phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt
� ∆ ' > 0 � m 2 − 36 > 0 �

m < −6
m>6

1
3

1
9

2
9

4
3

* Chia y cho y’ và viết lại hàm số dạng:  y = ( x + m).y '+ (8− m 2 )x − m + 3 .

6
Trường THPT Trường Chinh                                                                          Giáo viên: Nguy
ễn Xuân Vĩ 


Chuyên đề: Một số bài toán thường gặp về đồ thị hàm số
2
9

4
3

  Suy ra đường thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu có phương trình  y = (8− m 2 )x − m + 3
* Hai đường thẳng vuông góc với nhau khi và chỉ khi tích hệ số góc của chúng bằng ­1
2
2
81
9
� 1.(8− m 2 ) = −1� 8− m 2 = −1� 81− 2m 2 = 0 � m 2 =
�m=� .
9
9
2
2
9
+ Đối chiếu với điều kiện, ta được kết quả: m =
2
3
2
Bài tập 4.  Cho hàm số   y = 2 x − 3(2m + 1) x + 6m ( m + 1) x + 1      (1)   

Tìm m đê đô thi ham sô (1) co hai điêm c
̉ ̀ ̣ ̀
́
́
̉ ực tri đôi x
̣ ́ ứng nhau qua đường thăng (d): y = x + 2.
̉

Hướng dẫn: Có thể xem đây là sự kết hợp của những bài toán con là:
1.) Xác định m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị;
2.) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số;
3.) Điều kiện để hai điểm cực trị đối xứng với nhau qua đường thẳng.
Gợi ý giải:
2
*  y ' = 6 x − 6(2m + 1) x + 6m ( m + 1)
          y ' = 0 � 6 x 2 − 6(2m + 1) x + 6m ( m + 1) = 0

                   � x 2 − (2m + 1) x + m ( m + 1) = 0   (*)
+ Vì  ∆ = 1 > 0, ∀m  nên phương trình (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt  x = m, x = m + 1
* Gọi A, B là 2 điểm cực trị của đồ thị ta có:  A(m;2m 3 + 3m 2 + 1) ,  B(m + 1;2m 3 + 3m 2 )
   Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị A, B của đồ thị, ta có phương trình: 
y = − x + 2m3 + 3m 2 + m + 1

Có thể học sinh giải cách khác: 
1
3

1
6

  ­ Chia y cho y’ và viết lại hàm số dưới dạng:  y = [ x − (2m + 1)].y' − x + 2m3 + 3m 2 + m + 1 . 
  ­ Suy ra, đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị A, B của đồ thị có pt:  y = − x + 2m3 + 3m 2 + m + 1
Giáo viên lưu ý thêm cho học sinh: Trong trường hợp này việc chia đa thức cũng dễ dẫn 
đến kết quả sai.
1
2

1

2

* Gọi I là trung điểm của AB, ta có:  I (m + ;2m 3 + 3m 2 + )
+ A và B đối xứng với nhau qua đường thẳng (d) khi và chỉ khi: 

AB ⊥ (d )
I (d(V
), ới I là trung điểm AB)

Với mọi m đường thẳng AB luôn vuông góc với (d).
I �(d ) � 2m 3 + 3m 2 +

1
1
= m + + 2 � 2m 3 + 3m 2 − m − 2 = 0 � (m + 1)(2m 2 + m − 2) = 0
2
2

m = −1

                      

m=

−1

17
4

Giáo viên cho học sinh ghi nhớ:

 1.) A và B cách đều đường thẳng (d)   � d ( A, d ) = d (B, d ) .
            2.) A và B cách đều gốc tọa độ O   OA = OB.
7
Trường THPT Trường Chinh                                                                          Giáo viên: Nguy
ễn Xuân Vĩ 


Chuyên đề: Một số bài toán thường gặp về đồ thị hàm số
O AB
OA = OB
AB ⊥ (d )
           4.) A và B đối xứng với nhau qua đường thẳng (d)  
I (d ),(Với I là trung điểm AB)

            3.) A và B đối xứng với nhau qua gốc tọa độ O  

Bài tập 5. Cho hàm số   y
tam giác vuông cân.

2m 2 x 2 1 . Xác định m để hàm số có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của 

x4

Gợi ý giải:
+  y ' = 4x − 4m x = 4x (x − m )
3

          y ' = 0

2

4

2

2

x=0
x 2 − m 2 = 0 (*)

+ Hàm số có ba điểm cực trị  Phương trình (*) có  hai nghiệm phân biệt khác 0.
                                               ۹ m 0
+ Gọi  A(0;1), B(m; −m 4 + 1),C (−m; −m 4 + 1)  là các điểm cực trị của đồ thị.
uuur
+ Tính:  AB = (m; − m 4 ) � AB = m 2 + m 8
uuur

             AC = (− m; −m 4 ) � AC = m 2 + m8
+ Vì  ∆ABC  cân tại A nên 3 điểm cực trị của đồ  thị  tạo thành một tam giác vuông cân khi và  
uuur uuur uuur uuur
chỉ khi  AB ⊥ AC � AB.AC = 0.
                � −m 2 + m 8 = 0    � m 2(m 6 − 1) = 0
m=0
m= 1

         

+ Đối chiếu với điều kiện, ta có kết quả:  m = 1.
Bài tập 6. Cho hàm số  y = x 4 + 2mx 2 + m2 + m    (1) , với  m  là tham số thực.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi  m = −2 .

b) Xác định  m  để  hàm số  (1) có ba điểm cực trị, đồng thời các điểm cực trị  của đồ  thị  tạo 
thành một tam giác có góc bằng 120o .
Gợi ý giải:
a) (Học sinh tự giải)
b)  +  y ' = 4 x3 + 4mx = 4 x( x 2 + m) ;    y ' = 0

x=0
x 2 = − m    (*)

+ Hàm số  có 3 điểm cực trị  khi và chỉ  khi phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 0

�m<0

+ Gọi  A(0; m 2 + m), B( −m ; m),C (− −m ; m)  là các điểm cực trị của đồ thị.
uuur

+ Ta có:  AB = ( − m ; − m 2 ) � AB = m 4 − m

uuur
AC = (− −m ; −m 2 ) � AC = m 4 − m
                uuur
BC = (−2 − m ;0) � BC = −4m = 2 −m
+ Vì  ∆ABC  cân tại A nên 3 điểm cực trị của đồ  thị  tạo thành một tam giác có góc bằng  120o  
uuur uuur
uuur uuur
1
khi và chỉ khi  ( AB, AC ) = 1200 � cos( AB, AC ) = −
2

8

Trường THPT Trường Chinh                                                                          Giáo viên: Nguy
ễn Xuân Vĩ 


Chuyên đề: Một số bài toán thường gặp về đồ thị hàm số
uuur uuur
AB.AC
1
m + m4
1
m4 + m
1
�
=− �
=− � 4
= − � 2(m 4 + m) = − m 4 + m
4
4
AB.AC
2
2
m −m
2
m − m. m − m
m=0
4
3
� 3m + m = 0 � m(3m + 1) = 0 �
1
m= 3−

3

+ Đối chiếu điều kiện, ta được:  m = 3 −

1
3

Bài tập 7. Cho hàm số  y = x 4 + 2mx 2 − m − 1    (1) , với  m  là tham số thực.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi  m = −1 .
b) Xác định  m  để  hàm số  (1) có ba điểm cực trị, đồng thời các điểm cực trị  của đồ  thị  tạo 
thành một tam giác có diện tích bằng  4 2 .
Gợi ý giải:
a) (Học sinh tự giải)
b)  +  y ' = 4 x3 + 4mx = 4 x( x 2 + m) ;    y ' = 0

x=0
x 2 = − m    (*)

+ Hàm số  có 3 điểm cực trị  khi và chỉ  khi phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 0

�m<0

+ Gọi  A(0; − m − 1), B( − m ; − m 2 − m − 1),C (− −m ; −m 2 − m − 1)  là các điểm cực trị của đồ thị.
uuur

+ Ta có:  AB = ( − m ; − m 2 ) � AB = m 4 − m

uuur
AC = (− −m ; −m 2 ) � AC = m 4 − m
                uuur

BC = (−2 − m ;0) � BC = −4m = 2 −m
+ Vì  ∆ABC  cân tại A nên gọi I là trung điểm BC khi đó IA là đường cao
uur
+  IA = (0; m 2 ) � IA = m 2
1
+ Diện tích:  S∆ABC = 4 2    � IA.BC = 4 2
2
1
                                          � m 2.2 − m = 4 2   � m 5 = −32 � m 5 = (−2)5 � m = −2
2
+ Đối chiếu với điều kiện, ta có kết quả:  m = −2.

Bài tập 8. Cho hàm số  y = x 4 − 2mx 2 + m − 1    (1) , với  m  là tham số thực.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi  m = 1 .
b) Xác định  m  để  hàm số  (1) có ba điểm cực trị, đồng thời các điểm cực trị  của đồ  thị  tạo 
thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng  1 .
Gợi ý giải:
a)  (Học sinh tự giải)
b)  +  y ' = 4 x3 − 4mx = 4 x( x 2 − m) = 0

x=0

x2 = m
+ Hàm số (1) có ba điểm cực trị  � m > 0.
+ Gọi  A(0; m − 1), B( m ; −m 2 + m − 1),C (− m ; −m 2 + m − 1)  là các điểm cực trị của đồ thị.
uuur
+ Ta có:  AB = ( m ; −m 2 ) � AB = m 4 + m

9
Trường THPT Trường Chinh                                                                          Giáo viên: Nguy

ễn Xuân Vĩ 


Chuyên đề: Một số bài toán thường gặp về đồ thị hàm số
uuur
AC = (− m ; −m 2 ) � AC = m 4 + m
                uuur
BC = (−2 m ;0) � BC = 4m = 2 m

uur

+  ∆ABC  cân tại A, gọi I là trung điểm của BC, ta có:  I (0; − m 2 + m − 1) � AI = (0; − m 2 ) � AI = m 2  
1
1
AI .BC = m 2.2 m = m 2 m  (1)
2
2
4
4
4
+ Mặt khác:  S∆ABC = AB.AC .BC = m + m . m + m .2 m = (m + m) m   (2)
4R
4.1
2
4
(m + m) m
+ Từ (1) và (2) suy ra: 
= m 2 m � m(m 3 + 1) m = 2m 2 m
2
m=0

m =1
m=0
m=0
�
�
��
� m = −1+ 5
                                  � � 3
2
m
−
2
m
+
1
=
0
(
m
−
1)(
m
+
m
−
1)
=
0
2
�

�
−1− 5
m=
2
−1+ 5
+ Đối chiếu với điều kiện, ta được kết quả:  m = 1, m =
.
2
� S∆ABC =

III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài 1. Cho hàm số  y x 3 3x 2 m 2 x m
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 0
b)
Tìm  m  để  đồ  thị  hàm số  có cực đại và cực tiểu  đối xứng với nhau qua  đường thẳng  
1 5
(d ): y = x −
2 2
Bài 2. Cho hàm số  y x 3 3(m 1) x 2 ( 2m 2 3m 2) x m(m 1)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1
b) Tìm  m để  hàm số  có cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua cực đại cực tiểu tạo với  
1
đường thẳng  y = − x + 5  một góc 450.
4
x 3 3 x 2 3(m 2 1) x 3m 2 1
Bài 3. Cho hàm số  y
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1
b) Tìm m để đồ thị hàm số có cực đại và cực tiểu cách đều gốc toạ độ O.

Bài 4. Cho hàm số  y 2 x 3 9mx 2 12m 2 x 1

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1
2
= x CT
b) Tìm m để hàm số có hai điểm cực đại x CD và  cực tiểu  x CT  đồng thời  x CD

Bài 5.  Cho hàm số  y = f ( x ) = x 4 + 2 ( m − 2 ) x 2 + m 2 − 5m + 5     
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị  (C ) hàm số với  m  = 1
b) Tìm các giá trị  của m để  đồ  thị  hàm số  có các điểm cực đại, cực tiểu tạo thành một tam  
giác vuông cân.  
Bài 6. Cho hàm số  y x 4 2mx 2 2m m 4
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1
b) Tìm m để đồ thị hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu lập thành một tam giác đều.
10
Trường THPT Trường Chinh                                                                          Giáo viên: Nguy
ễn Xuân Vĩ 


Chuyên đề: Một số bài toán thường gặp về đồ thị hàm số

Hướng dẫn:
b)  + Điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu: m >0.
+ Gọi  A(0;2m + m 4 ) ,  B( m ; m 4 − m 2 + 2m ) ,  C (− m ; m 4 − m 2 + 2m )  là các điểm cực trị. 
+ ABC là tam giác đều khi và chỉ khi AB = AC = BC.
+ Đối chiếu điều kiện để kết luận:  m = 3 3 .
Phần 2: MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
Hoành độ giao điểm của hai đường  (C1) : y = f (x )  và  (C2) : y = g(x )  là nghiệm của phương trình 
f (x ) = g(x ) ;
Số giao điểm của  (C1)  và  (C2 )  bằng số nghiệm của phương trình  f (x ) = g(x ) .
II. BÀI TẬP.

Bài tập 1. Cho hàm số:  y = x 3 + (m − 1)x 2 − (m − 2)x − 2, (Cm)
Xác định m để đường thẳng  (d ) : y = x − 2cắt đồ thị (Cm) tại 3 điểm phân biệt.
Gợi ý giải:
3
+ Phương trình hoành độ giao điểm:  x + (m − 1)x 2 − (m − 2)x − 2 = x − 2
x=0
� x 3 + (m − 1)x 2 − (m − 1)x = 0 � x[x 2 + (m − 1)x − m + 1] = 0 � 2
x + (m − 1)x − m + 1 = 0 (*)
+ Đặt:  g(x ) = x 2 + (m − 1)x − m + 1
+ Đường thẳng (d) cắt đồ  thị   (Cm )  tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ  khi phương trình (*) có 2 
nghiệm phân biệt khác 0
m < −3
m < −3
∆ = m 2 + 2m − 3 > 0
��
� �m > 1 �
m >1
g(0) = −m + 1 0
m 1
Vậy, giá trị cần tìm là:  m < −3  hoặc   m > 1.
Bài tập 2. Cho hàm số:  y = x3 − mx 2 + (2m + 1) x − m − 2 . Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục Ox tại 3 điểm 
phân biệt có hoành độ dương.
Hướng dẫn: Có thể xem đây là sự kết hợp của những bài toán con là:
1.) Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt;
2.) Điều kiện để phương trình hoành độ giao điểm có hai nghiệm dương phân biệt.
Gợi ý giải:
3
2
+ Phương trình hoành độ giao điểm:  x − mx + (2m + 1) x − m − 2 = 0

x=1
x 2 − (m − 1) x + m + 2 = 0,   (*)

+ Đồ thị  hàm số cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ  dương khi và chỉ  khi phương 
trình (*) có 2 nghiệm dương phân biệt khác 1.
∆ = m 2 − 6m − 7 > 0
�
       � �m + 2 > 0
�m − 1 > 0

m < − 1 �m > 7
� m>7.
�m > − 2
�m > 1

Vậy, giá trị cần tìm là:  m > 7 .
11
Trường THPT Trường Chinh                                                                          Giáo viên: Nguy
ễn Xuân Vĩ 


Chuyên đề: Một số bài toán thường gặp về đồ thị hàm số

Bài tập 3. Cho hàm số  y =

2x +1
 (H). Gọi (d) là đường thẳng đi qua điểm A(­2;2) và có hệ số góc 
x −1

m. Xác định m để (d) cắt (H):
a.) tại 2 điểm phân biệt;
b.) tại 2 điểm thuộc 2 nhánh của (H).

Gợi ý giải:
+ Đường thẳng (d) đi qua điểm A(­2;2), có hệ số góc m có phương trình dạng:  y = mx + 2m + 2
2x +1
= mx + 2m + 2, ( x 1)
x −1
� mx 2 + mx − (2m + 3) = 0 (*) Đặt:  g ( x) = mx 2 + mx − (2m + 3)

+ Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (H) là: 

a.) + (d) cắt (H) tại 2 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 1
m 0
a 0
m 0
4
�
�
2
��
∆>0 ��
9m + 12m > 0 � �
� m < −   hoac   m > 0
4
3
�g (1) 0
�−3 0, ∀m
�m < − 3    hoac   m > 0

4
3

+ Giá trị cần tìm là:  m < −  hoặc  m > 0 .
b.) + (d) cắt (H) tại 2 điểm thuộc 2 nhánh của (H) khi và chỉ khi phương trình (*) có 2 nghiệm 
x1, x2  thỏa mãn  x1 < 1< x2 .
+ Đặt   t = x − 1 phương trình (*) trở thành:  mt 2 + 3mt − 3 = 0   (**)
+ Phương trình (*) có 2 nghiệm  x1, x2  thỏa mãn  x1 < 1< x2
    Phương trình (**) có 2 nghiệm  t1,t2  thỏa mãn  t1 < 0 < t2
   

−

3
< 0 � m > 0.
m

+ Vậy, giá trị cần tìm là:  m > 0 .
Bài tập 4. Cho hàm số  y = x3 − 2(m + 1) x 2 + (m − 2) x + m + 3  (1), m là tham số thực. Xác định m để đồ 
thị   của   hàm   số   (1)   cắt   trục   hoành   tại   3   điểm   phân   biệt   có   hoành   độ   x1 , x2 , x3   sao   cho 

P = x12 + x2 2 + x32  nhỏ nhất.
Hướng dẫn: Có thể xem đây là sự kết hợp của hai bài toán con là:
1.) Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt;
2
2
2
2.) Điều kiện để  P = x1 + x2 + x3  nhỏ nhất.
Gợi ý giải:
2

* Hàm số được viết lại:  y = ( x − 1)[x − (2m + 1) x − (m + 3)]
y = 0 � ( x − 1)[x 2 − (2m + 1) x − (m + 3)] = 0
x =1
x 2 − (2m + 1) x − (m + 3) = 0   (2)

Đặt:  g ( x) = x 2 − (2m + 1) x − (m + 3)
+ Đồ thị của hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (2) có  
2 nghiệm phân biệt khác 1
∆>0
��۹
�−
g (1) 0

4m 2 + 8m + 13 > 0, ∀m
�
−3m − 3 0

m

1

12
Trường THPT Trường Chinh                                                                          Giáo viên: Nguy
ễn Xuân Vĩ 


Chuyên đề: Một số bài toán thường gặp về đồ thị hàm số

Với  m −1, phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2  khác 1; Tức là, phương trình y 
= 0 có ba nghiệm  x1 , x2  và  x3 = 1 .

*  P = x12 + x2 2 + x32   = x12 + x2 2 + 1 = 1 + ( x1 + x2 ) 2 − 2 x1 x2
3
2

             = 1+ ( 2m + 1) + 2(m + 3)   = 4m 2 + 6m + 8    = (2m + )2 +
2

23 23
4 4

23
3
 khi và chỉ khi  m = − .
4
4
3
2
Bài tập 5. Cho hàm số:  y = x + 2mx + (m + 3) x + 4,   (Cm )

+ Vậy, P nhỏ nhất bằng 

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = ­3.
b) Tìm m để  đường thẳng  (∆): y = x + 4  cắt đồ  thị   (Cm )  tại 3 điểm phân biệt A, B,C sao cho 
tam giác MBC có diện tích bằng 4, với M(1;3), điểm B và C có hoành độ khác 0.
Gợi ý giải:
a) (Học sinh tự giải)
b)  + Phương trình hoành độ giao điểm: 
         x3 + 2mx 2 + (m + 3) x + 4 = x + 4 � x3 + 2mx 2 + (m + 2) x = 0
+  (∆)   cắt  (Cm )  tại A, B, C 

x=0
x 2 + 2mx + m + 2 = 0  (*)

 Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 0.

m < −1�m > 2
∆'= m − m − 2> 0
��
m −2
m+2 0
2

         � �

+ Với điều kiện trên, phương trình (*) luôn có 2 nghiệm  x1, x2 . Gọi  B(x1; x1 + 4), C (x2; x2 + 4)
� BC = (x2 − x1)2 + (x2 − x1)2 = 2[(x2 + x1)2 − 4x2x1] = 2(4m 2 − 4m − 8) = 2 2(m 2 − m − 2)
1− 3+ 4

2
= 2
2
2
m = −2
1
2
2
2
+  S∆MBC = 4 � . 2.2 2(m − m − 2) = 4 � m − m − 2 = 2 � m − m − 6 = 0 �
m=3
2

+ Đối chiếu điều kiện, ta được kết quả:  m = 3.
2x − 2
Bài tập 6.  Cho hàm số   y =
 (C). Xác định m để đường thẳng (d): y = 2x +m cắt đồ thị (C) 
x +1
tại hai điểm phân biệt A, B sao cho  AB = 5 .

+ Chiều cao của  ∆MBC  hạ từ đỉnh M đến BC là:  h = d (M ,(∆)) =

=

Gợi ý giải:
+ Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (C): 2x2 + mx + m + 2 = 0, (x ≠ ­1)   
+ Đặt: g(x) = 2x2 + mx + m + 2 
+ (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt   Phương trình g(x) = 0 có 2  nghiệm phân biệt khác ­1 
          

∆>0
 
g(−1) 0

 m2 ­ 8m ­ 16 > 0  (*)

+ Gọi A(x1; 2x1 + m), B(x2; 2x2 + m). Ta có x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình g(x) = 0.
m
2
Theo ĐL Vi­ét, ta có:  
.
m+2
x1 x2 =

2
x1 + x2 = −

13
Trường THPT Trường Chinh                                                                          Giáo viên: Nguy
ễn Xuân Vĩ 


Chuyên đề: Một số bài toán thường gặp về đồ thị hàm số
2
2
2
AB2 = 5    ( x1 − x2 ) + 4( x1 − x2 ) = 5     ( x1 + x2 ) − 4x1 x2 = 1    m2 ­ 8m ­ 20 = 0
 m = 10, m =  ­ 2  (thỏa mãn (*))
Đối chiếu điều kiện (*), ta có kết quả: m = 10, m = ­ 2.

x−2
 (H). Xác định m để đường thẳng (d): y = x +  m cắt đồ thị hàm số 
x −1
(H) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho  OA2 + OB 2 = 32 .

Bài tập 7. Cho hàm số  y =

Gợi ý giải:

x−2
= x + m,   ( x 1)
x −1
� x − 2 = ( x + m)( x − 1) � x 2 − (2 − m) x − ( m − 2) = 0  (*)

+ Phương trình hoành độ giao điểm: 

+ Đặt:  g ( x) = x 2 − (2 − m) x − (m − 2)
+ (d) cắt (H) tại 2 điểm phân biệt   Phương trình (*) có 2  nghiệm phân biệt khác 1
∆>0
m < −2
m2 − 4 > 0
�
�
�
�
�
        �
�
m>2
1 0, ∀m
�g (1) 0
�

+ Với điều kiện trên, phương trình (*) luôn có hai nghiệm  x1 , x2 . Gọi A, B là hai giao điểm 
của (d) và (H), ta có:  A(x1; x1 + m), B(x2; x2 + m)
OA2 = x12 + (x1 + m )2 = 2x12 + 2x1m + m 2
OB 2 = x22 + (x2 + m )2 = 2x 22 + 2x2m + m 2
2
2
2
� OA2 + OB 2 = 32   � 2( x1 + x2 ) + 2( x1 + x2 )m + 2m = 32
� ( x12 + x2 2 ) + ( x1 + x2 ) m + m 2 = 16

� ( x1 + x2 ) 2 − 2 x1 x2 + ( x1 + x2 ) m + m 2 = 16   (Áp dụng định lý Vi­ét vào phương trình (*))

� (2 − m) 2 − 2(m − 2) + (2 − m)m + m 2 = 16
� m 2 = 16 � m = �4

+ Đối chiếu điều kiện, ta được kết quả:  m = 4
Bài tập 8. Cho hàm số  y = x 4 − 2x 2 + 2 . Xác định m để đường thẳng y = m  cắt (C) tại 4 điểm A, B, 
C, D sao cho hoành độ của chúng lập thành một cấp số cộng.
Gợi ý giải:
+ Gọi  xC = x 0 .
y
+ Do đồ thị (C) nhận trục tung làm trục đối xứng nên  x B = − x0
Và vì  x A , x B , xC , x D  lập thành CSC nên  x A = −3x0  và  x D = 3x0
+ Vì  C , D (C )   nên:
� x04 − 2x02 + 2 = m
� x04 − 2x02 + 2 = m
�
� 80x04 − 16x02 = 0
� 4
4
2
2
(3
x
)
−
2(3
x
)
+
2
=

m
81
x
−
18
x
+
2
=
m
0
0
� 0
� 0

 �

x 0 = 0 (loại, vì khi đó B trùng với C)
� x 02(5x 02 − 1) = 0 �
1
x0 =
5

      + Với  x0 =

2
A

B

C

D

1

xA -1 xB O

xC

1 xD

x

1
41
 ta có:  m =   là giá trị cần tìm.
5
25

14
Trường THPT Trường Chinh                                                                          Giáo viên: Nguy
ễn Xuân Vĩ 


Chuyên đề: Một số bài toán thường gặp về đồ thị hàm số
2x + 1
 Tìm m để  đường thẳng (d): y = ­2x + m cắt đồ  thị  (C) tại hai 
x +1
điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng  3  (O là gốc tọa độ).

Bài tập 9. Cho hàm số  y = 

Gợi ý giải:
+ Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và đường thẳng (d) là:
2x +1
= −2 x + m � 2 x 2 − ( m − 4 ) x − (m − 1) = 0,  ( x �−1)   ( *)   
x +1
+ Đặt:   g ( x) = 2 x 2 − ( m − 4 ) x − (m − 1)

+ Đường thẳng (d) cắt đồ  thị  (C) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ  khi phương trình (*) có 2  
nghiệm phân biệt khác ­1
∆>0
��
g (−1)

m2 + 8 > 0
��
(∀m)
0
−1 0

Suy ra, với mọi m phương trình (*) luôn có hai nghiệm  x1 , x2  nên đường thẳng (d) luôn cắt đồ thị 
(C) tại hai điểm phân biệt .
Cách 1: 
+ Gọi A, B là hai giao điểm của (d) và (C), ta có:  A(x1; −2x1 + m), B(x2; −2x2 + m)
        � AB = (x2 − x1)2 + 4(x2 − x1)2 = 5(x2 − x1)2 = 5[(x2 + x1)2 − 4x2 x1]
2
�
�m − 4 �

m − 1�

�m 2 − 8m + 16
�
�m 2 + 8� 1
+ 2m − 2�= 5�
5(m 2 + 8)
�=
4
�
� 4 � 2

                  = 5�
�= 5�
�
�+ 4.
2 �
�2 �
�
�

+ Chiều cao hạ từ đỉnh O đến AB là:  h = d (O; d ) =

m
5

1 m 1
. 5(m 2 + 8) = 3
2 5 2

+  S∆OAB = 3 � .
�

m
4

m2 + 8 = 3 �

m2 = 4
m2
.(m 2 + 8) = 3 � m 4 + 8m 2 − 48 = 0 � 2
� m = �2
16
m = −12

+ Vậy, giá trị cần tìm là:  m = 2.
 Giáo viên hướng dẫn cách chứng minh công thức S∆OAB =

:
Ta có:  S1 =

1
x A y B − xB y A
2

y
B

yB

S3

1
1
x A .y A = x A .y A
2
2

yA

1
   S2 = x B .yB = − x B .yB  
2
1
1
1
S3 = x A − x B . yB − y A = (x A − x B ).(y B − y A ) = (x A yB − x A y A − x B yB + x B y A )        
2
2
2

S2
xB

A
S1

O

xA

1

x

1
� S∆OAB = x A − x B . yB − (S1 + S2 + S3) = (x A − x B ).y B − (x A .y A − x B .yB + x A .y B − x A .y A − x B .y B + x B .y A )
2
1
2

1
2

             = (2x A yB − 2xB yB − x A .y A + x B .yB − x A .yB + x A .y A + xB .yB − x B .y A )     = (x A yB − x B y A )
15
Trường THPT Trường Chinh                                                                          Giáo viên: Nguy
ễn Xuân Vĩ 


Chuyên đề: Một số bài toán thường gặp về đồ thị hàm số

   Tổng quát:      S∆ OAB =

1
x A .yB − x B .y A
2

Cách 2. Ta có:
1

x A yB − xB y A = 3 � xA ( −2 xB + m ) − xB ( −2 xA + m ) = 2 3
2
2
m2 + 8
� m ( x A − xB ) = 2 3 � m 2 ( x A − xB ) = 12 � m 2 .
= 12 � m4 + 8m 2 − 48 = 0 � m = �2
4
1
Giáo viên lưu ý: Học sinh thường mắc sai lầm  S∆OAB = OA.OB
2
S∆OAB = 3

III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài 1. Cho hàm số y = x3   6x2 + 9x   1 (C)
a) Khảo sát hàm số.
b) Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(2; 1) và có hệ số góc m. Tìm m để đường thẳng d cắt 
đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt.
Bài 2. Cho hàm số  y x 3 2(1 2m) x 2 (5 7 m) x 2(m 5) . Xác định  m để đồ thị hàm số cắt trục 
Ox tại 3 điểm có hoành độ nhỏ hơn 1.
Bài 3. (ĐH 2010­A) Cho hàm số y  y = x3 − 2 x 2 + (1 − m) x + m  (1), m là tham số thực.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m  1.
b) Tìm m để  đồ  thị  của hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ   x1 ; x2 ; x3  
thoả mãn điều kiện  x12 + x2 2 + x32 < 4
Bài 4. Cho hàm số  y =

x
(H)
x −1

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (H)

b) Xác định m để đường thẳng: y = ­x + m cắt (H) tại 2 điểm phân biệt.
Bài 5. Cho hàm số  y x 3 3mx 2 3(m 2 1) x (m 2 1)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1.
b) Tìm m để hàm số cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương.
Bài 6.  Tìm  m  để  đồ  thị  hàm số   y x 3 3mx 2 2m(m 4) x 9m 2 m   cắt trục Ox tại 3 điểm tạo 
thành 1 cấp số cộng.
Bài 7. Tìm m để hàm số   y x 3 (3m 1) x 2 (5m 4) x 8  cắt trục Ox tại 3 điểm lập thành cấp số 
nhân.
Bài 8. Tìm m để hàm số  y x 4 2(m 1) x 2 2m 1  cắt Ox tại 4 điểm tạo thành cấp số cộng.
Bài 9. Cho hàm số:  y = x3 + 2mx2 + (m + 3) x + 4   (Cm) 
a.) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1.
b.) Xác định m để đường thẳng  (d ): y = x + 4 cắt đồ thị (Cm) tại 3 điểm phân biệt A(0;4), B và 
C sao cho tam giác BCM có diện tích bằng  8 2 , với M(1;3)?
Bài 10. Cho hàm số: y = 

2x −1
 (C)
x +1

a) Khảo sát hàm số.
b) Gọi d là đường thẳng đi qua I(2; 0) và có hệ số góc m. Xác định m để d cắt đồ thị (C) tại 2 
điểm phân biệt A và B sao cho I là trung điểm của đoạn AB.   Đáp số: m = 2/3
16
Trường THPT Trường Chinh                                                                          Giáo viên: Nguy
ễn Xuân Vĩ 


Chuyên đề: Một số bài toán thường gặp về đồ thị hàm số

Bài 11. Cho hàm số  y

2x 1
(H )
x 1

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số  (H)
b) Viết phương trình đường thẳng cắt (H) tại B, C sao cho B, C cùng với điểm  A( 2;5)  tạo 
thành tam giác đều.
Phần 3: MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ TIẾP TUYẾN VÀ ĐƯỜNG TIỆM CẬN
I. BÀI TẬP:
Bài tập 1. Cho hàm số  y x 3 mx m 1   (Cm). Xác định m để tiếp tuyến tại giao điểm của (Cm) 
với trục Oy chắn trên hai trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng 8.
Hướng dẫn: Có thể xem đây là sự kết hợp của các bài toán con là:
1.) Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị với trục tung;
2.) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị tại một điểm;
3.) Tìm giao điểm của tiếp tuyến với các trục tọa độ;
4.) Xác định m để diện tích tam giác bằng 8.
Gợi ý giải:
+ Gọi B là giao điểm của (Cm) với trục Oy, ta có:  B(0; − m + 1)
+ Phương trình tiếp tuyến với (Cm) tại B:
y ' = 3x 2 − m � y '(0) = −m  là hệ số góc
Phương trình tiếp tuyến là:  y = −m(x − 0) − m + 1  hay  y = −mx − m + 1

1− m
;0) .
m

+ Gọi A là giao điểm của tiếp tuyến với trục Ox, ta có:  A(
1− m
  và  OB = 1− m

m
1
+ Diện tích:  S∆OAB = 8 � OA.OB = 8
2
1− m
.1− m = 16   � (1− m)2 = 16. m
                                   �
m

+ Ta có:  OA =

�
m 0
�
m 0
�
�
�
�
�
�
(1− m)2 = 16m
m 2 − 18m + 1= 0
m = 9 80
�
�
�
�
��
�

                                  � �
m<0
m<0
�
�
m = −7 48
�
�
�
�
2
2
�
�
(1− m) = −16m
m + 14m + 1= 0
�
�
�
�

+ Vậy, giá trị cần tìm là:  m = 9
Bài tập 2.  Cho hàm số  y

80  hoặc  m = −7

48 .

2x
(H )

x 1

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số  đã cho.
b) Tìm tọa độ điểm M thuộc (H) sao cho tiếp tuyến tại M của (H) cắt 2 trục Ox, Oy t ại A, B  
1
4

sao cho tam giác OAB có diện tích bằng  .
a) (Học sinh tự giải)

Gợi ý giải:

17
Trường THPT Trường Chinh                                                                          Giáo viên: Nguy
ễn Xuân Vĩ 


Chuyên đề: Một số bài toán thường gặp về đồ thị hàm số
2m
) (H ) , gọi (d) là tiếp tuyến với (H) tại M.
m +1
2
2
� y '(m ) =
= k  là hệ số góc của tiếp tuyến
+  y ' =
2
(x + 1)
(m + 1)2
2

2m
2
2m 2
� (d ): y =
(
x
−
m
)
+
y
=
x
+
 hay 
(m + 1)2
m +1
(m + 1)2
(m + 1)2
2m 2
)
+ (d) cắt Ox, Oy lần lượt tại  A(−m 2;0)  và  B(0;
(m + 1)2
2m 2
� OA = m 2 , OB =
(m + 1)2
1
1
1
+ Diện tích:  S∆OAB = � OA.OB =

4
2
4
2
1
2m
1
=
                                    � m 2.
2
2
(m + 1)
4
4
2
                                    � 4m = (m + 1) � (2m 2 + m + 1)(2m2 − m − 1) = 0
m =1
2m 2 + m + 1= 0 (VN )
�
�
1
m=−
2m 2 − m − 1= 0
2
1
+ Vậy, có hai điểm M cần tìm có tọa độ: (1; 1),  (− ; −2) .
2

b)  + Giả sử  M (m;

Bài tập 3. Cho hàm số y = x3 + mx2 + 1 có đồ thị (Cm).
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = ­3.
b) Tìm m để (Cm) cắt (d): y = – x + 1 tại ba điểm phân biệt A(0;1), B, C sao cho các tiếp tuyến 
của (Cm) tại B và C vuông góc với nhau.
Gợi ý giải:
+ Phương trình hoành độ giao điểm của d và (Cm) là: 
     x3 + mx2 + 1 = – x +1 x(x2 + mx + 1) = 0    (*)
+ Đặt g(x) = x2 + mx + 1. 
+ (d) cắt (Cm) tại ba điểm phân biệt g(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 0.
�

∆g = m 2 − 4 > 0
g ( 0 ) = 1 0, ∀m

�

m>2
.
m < −2

Vì xB , xC là nghiệm của g(x) = 0

S = xB + xC = −m
P = xB xC = 1

.

+ y’ = 3x2 +2 mx = x(3x + 2m)  
+ Tiếp tuyến của (Cm) tại B và C vuông góc với nhau nên ta có: y ' ( xC ) . y ' ( xB ) = −1
9 xB xC + 6m ( xB + xC ) + 4m 2 �

� xB xC ( 3 xB + 2m ) ( 3xC + 2m ) = −1   � xB xC �
�
�= −1  
2
� 1. �
9 + 6m ( −m ) + 4m 2 �
�
�= −1   � 2m = 10 � m = � 5    

+ Đối chiếu với điều kiện, ta được kết quả:  m =
Bài tập 4. Cho hàm số  y

5.

3x 2
( H )  và M là điểm bất kỳ thuộc (H).
x 1

18
Trường THPT Trường Chinh                                                                          Giáo viên: Nguy
ễn Xuân Vĩ 


Chuyên đề: Một số bài toán thường gặp về đồ thị hàm số
a) Tiếp tuyến tại điểm M cắt hai đường tiệm cận tại A, B. Chứng minh rằng M là trung  

điểm của đoạn AB.
b) Gọi I là giao điểm hai đường tiệm cận. Chứng minh diện tích tam giác IAB không đổi.
c) Tìm vị trí của M để chu vi tam giác IAB nhỏ nhất.
Gợi ý giải:

3m − 2
) (H ) , gọi (d) là tiếp tuyến với (H) tại M.
m −1
−1
−1
� y '(m ) =
= k  là hệ số góc của tiếp tuyến
+  y ' =
2
(x − 1)
(m − 1)2
−1
3m − 2
−1
3m 2 − 4m + 2
� (d ): y =
(
x
−
m
)
+
y
=
x
+
 hay 
(m − 1)2
m −1
(m − 1)2

(m − 1)2

a)   + Giả sử  M (m;

+ Gọi A, B lần lượt là giao điểm của (d) với tiệm cận đứng và tiệm cận ngang, ta có:
A(1;

3m 2 − 4m + 1
), B(2m − 1;3)
(m − 1)2

Suy ra, trung điểm của AB có tọa độ:  (m;

3m − 2
)  đây chính là tọa độ của M.
m −1

b)   + Giao điểm của hai đường tiệm cận là: I(1;3)
uur
2
2
) � IA =
+  IA = (0;
m −1
m −1
uur
   IB = (2m − 2;0) � IB = 2 m − 1
1
2

1 2
.2 m − 1 = 2  là hằng số.
2 m −1

+ Diện tích:  S∆IAB = IA.IB = .
c)  + Chu vi:  C∆IAB = IA + IB + AB
uuur

+  AB = (2m − 2;
� C∆IAB =

−2m + 2
−2
1
) = (2m − 2;
) � AB = 2 (m − 1)2 +
2
(m − 1)
m −1
(m − 1)2

2
1
+ 2 m − 1 + 2 (m − 1)2 +
m −1
(m − 1)2

+ Theo bất đẳng thức Cô­si, ta có: 
2
+ 2 m −1 4

m −1
1
2 (m − 1)2 +
(m − 1)2

C+∆IAB

4 2 2

2 2

+  minC∆IAB = 4 + 2 2 ��

1
= m −1
m −1

(m − 1)2 =

1
(m − 1)2

m=0
m=2

M (0;2)
M (2;4)

+ Vậy, có hai vị trí của M cần tìm có tọa độ: (0;2), (2;4).
Bài tập 5. Cho hàm số   y =

2x + 3
 (H). Tìm những điểm M thuộc đồ  thị sao cho tiếp tuyến tại M  
x+2

cắt hai  tiệm cận tại A, B sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có bán kính nhỏ nhất, với I 
là giao điểm của hai đường tiệm cận.
19
Trường THPT Trường Chinh                                                                          Giáo viên: Nguy
ễn Xuân Vĩ 


Chuyên đề: Một số bài toán thường gặp về đồ thị hàm số

Gợi ý giải:
+ Giao điểm của hai đường tiệm cậnlà: I(­2;2).

2m + 3
) (H ) , gọi (d) là tiếp tuyến với (H) tại M.
m+2
1
1
� y '(m ) =
= k  là hệ số góc của tiếp tuyến
+  y ' =
2
(x + 2)
(m + 2)2
1
2m + 3

1
2m 2 + 6m + 6
� (d ): y =
(
x
−
m
)
+
x+
 hay  y =
(m + 2)2
m+2
(m + 2)2
(m + 2)2

+ Giả sử  M (m;

+ Gọi A, B lần lượt là giao điểm của (d) với tiệm cận đứng và tiệm cận ngang, ta có:
2(m + 1)
), B(2m + 2;2)
m+2
+ Vì  ∆IAB  vuông tại I nên bán kính đường tròn ngoại tiếp  ∆IAB  là: 
A(−2;

2

1
1
4

1
�2 � 1
R = AB =
(2m + 4)2 + �
4(m + 2)2 +
= (m + 2)2 +
�=
2
2
2
(m + 2)
(m + 2)2
�m + 2 � 2
1
2)2+ +
2 R
2
+ Theo bất đẳng thức Cô­si, ta có:  (m �
(m + 2)2
1
Rmin = 2 � (m + 2)2 =
� (m + 2)4 = 1� [(m + 2)2 − 1].[(m + 2)2 + 1]=0
2
(m + 2)
m = −1� M (−1;1)
� (m + 2)2 − 1=0 � m 2 + 4m + 3 = 0 �
m = −3 � M (−3;3)
+ Vậy, có hai điểm M cần tìm có tọa độ:  (−1;1), (−3;3) .

Bài tập 6.  Cho hàm số   y =

x2 + 1
. Tìm tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ  để từ đó có thể 
x

kẻ đến (C) hai tiếp tuyến vuông góc.

Gợi ý giải:
+ Gọi M(x0; y0). Đường thẳng d đi qua M, có hệ số góc k có phương trình là: y = k(x – x0) + y0.
+ Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d: 
� ( 1 − k ) x 2 − ( y0 − kx0 ) x + 1 = 0 ( *)
k

+ (d)  tiếp xúc với (C):

x2 + 1
= k ( x − x0 ) + y0 , ( kx
x

0)

k 1

1

∆ = ( y0 − kx0 ) − 4 ( 1 − k ) = 0
2

� x02 k 2 + 2 ( 2 − x0 y0 ) k + y02 − 4 = 0                ( I )
y0

kx0

+ Từ  M vẽ  hai tiếp tuyến đến (C) vuông góc với nhau khi (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa 
x0

mãn: 

k1 , k2

1

k1k2 = −1

 �

0

y02 − 4
x02

x0
= −1

( y0 − x0 )

2

�
0

x02
y0

0
+ y02 = 4 .
x0

Vậy tập hợp các điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán là một đường tròn:  x 2 + y 2 = 4  loại bỏ bốn 
giao điểm của đường tròn với hai đường tiệm cận.
II. BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
20
Trường THPT Trường Chinh                                                                          Giáo viên: Nguy
ễn Xuân Vĩ 


Chuyên đề: Một số bài toán thường gặp về đồ thị hàm số

Bài 1. Cho hàm số  y x 3 3x 2 mx 1  (Cm)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 0
b) Tìm m để  đường thẳng y=1 cắt (Cm) tại 3 điểm phân biệt C(0;1), D, E và các tiếp tuyến 
tại D và E của (Cm) vuông góc với nhau. 
Bài 2. Cho hàm số  y x 3 3 x  (C) và đường thẳng y = m(x+1)+2 (d)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)
b) Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn cắt (C) tại một  điểm cố định A. Tìm  m để đường 
thẳng (d) cắt (C) tại 3 điểm A, M, N mà tiếp tuyến tại M và N vuông góc với nhau.
Bài 3. Cho hàm số  y

2x 1
(H )

x 1

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
b) Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận của (H). Tìm điểm M thuộc (H) sao cho tiếp  
tuyến của (H) tại M vuông góc với đường thẳng IM.
Hướng dẫn:
+ Giao điểm của hai đường tiệm cận là: I(1;2).
+ Gọi  M (x0;
+  y ' =

2x 0 − 1
2x02 − 4x 0 + 1
1
) (H ) , đường thẳng IM có phương trình:  y =
x+
.
x0 − 1
(x0 − 1)2
(x 0 − 1)2

−1
−1
� y '( x0 ) =
 là hệ số góc của tiếp tuyến tại M.
2
(x − 1)
(x0 − 1)2

+ Tiếp tuyến của (H) tại M vuông góc với đường thẳng IM khi và chỉ khi:

−1
1
.
= −1� (x0 − 1)4 = 1
2
2
(x 0 − 1) ( x0 − 1)
+ Giải ra được:  x0 = 0, x0 = 2 ; Suy ra có hai điểm M thỏa mãn: (0;1), (2; 3).

Phần 4: MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHOẢNG CÁCH.
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
          Công thức về khoảng cách:
        + Khoảng cách giữa hai điểm (độ dài đoạn thẳng):  AB = ( xB − x A ) 2 + ( yB − y A ) 2 .
                +   Khoảng   cách   từ   điểm  M(x0;y0)   đến   đường   thẳng (∆) : Ax + By + C = 0   là: 
d ( M ,.∆ ) =

Ax0 + By0 + C
A2 + B 2

II. BÀI TẬP:

mx − 1
    (C) và   đường thẳng (d): y = x ­ 1.   Xác định   m  để  đường 
x +1
thẳng (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho A và B cách đều đường thẳng  (∆) : x +2y ­3 

Bài tập 1.  Cho hàm số   y =
= 0.

Hướng dẫn: Có thể xem đây là sự kết hợp của hai bài toán con là:

1.) Xác định điều kiện để đường thẳng cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt;
2.) Tìm điều kiện để hai điểm cách đều đường thẳng.
Gợi ý giải:
21
Trường THPT Trường Chinh                                                                          Giáo viên: Nguy
ễn Xuân Vĩ 


Chuyên đề: Một số bài toán thường gặp về đồ thị hàm số

* Phương trình hoành độ giao điểm: 
       � mx − 1 = ( x − 1)( x + 1)

mx − 1
= x − 1,  ( x
x +1

−1)

x=0
x=m

       � x 2 − mx = 0 �

+ Suy ra, đường thẳng (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B khi và chỉ khi  m 0  và  m −1.
* Gọi  A(0; −1) ,  B(m; m − 1)  là hai giao điểm.
+ A và B cách đều đường thẳng  (∆) : x +2y ­3 = 0 
       � d ( A,(∆)) = d (B,(∆))
       �

0 + 2.(−1) − 3
12 + 22

=

m + 2(m − 1) − 3
12 + 22

10
3m − 5 = 5
m=
�
3
       � 5 = 3m − 5 �
3m − 5 = −5
m=0

+ Đối chiếu điều kiện, ta được kết quả:  m =
Bài tập 2. Cho hàm số   y

10
.
3

2x 1
 (H). Xác định m để đường thẳng (d): y = ­x +  m cắt đồ thị (H) 
x 2

tại hai điểm A, B mà độ dài AB nhỏ nhất.

Gợi ý giải:

2x + 1
= − x + m,  ( x −2)
x+2
       � x 2 − (m − 4) x − (2m − 1) = 0  (*). Đặt:  g ( x) = x 2 − (m − 4) x − (2m − 1)

+ Phương trình hoành độ giao điểm: 

      + Đường thẳng (d) cắt (H) tại hai điểm phân biệt A, B khi và chỉ khi phương trình (*) có hai  
nghiệm phân biệt khác ­2
∆>0
m 2 + 12 > 0
��
��
(∀m)
g(−2) 0
−3 0

+   Với   mọi   giá   trị   của  m  đường   thẳng   (d)   luôn   cắt   (H)   tại   hai   điểm   là: 

A(x1; − x1 + m), B(x2; − x2 + m)
uuur
� AB = (x2 − x1; x1 − x2 )

� AB = (x2 − x1)2 + (x1 − x2 )2 = 2(x1 − x2 )2 = 2[(x1 + x2 )2 − 4x1x1]

          = 2[(m − 4)2 + 4(2m − 1) = 2(m 2 + 12)

24

+  ABmin = 24 � m = 0 .
+ Đối chiếu với điều kiện, ta có kết quả:  m = 0 .
Bài tập 3. Cho hàm số:  y =

x 2 + mx − 1
. Xác định m để  tiệm cận xiên của đồ  thị  hàm số  cắt các 
x −1

trục tọa độ theo một tam giác có diện tích bằng 32 (đvdt).
Gợi ý giải:
+  y =

x 2 + mx − 1
m
� y = x + m +1+
x −1
x −1

+ Tiệm cận xiên (TCX) có phương trình:  y = x + m + 1
22
Trường THPT Trường Chinh                                                                          Giáo viên: Nguy
ễn Xuân Vĩ 


Chuyên đề: Một số bài toán thường gặp về đồ thị hàm số

+ Gọi A là giao điểm của TCX với trục Ox:  y = 0 � x = − m − 1 � A(− m − 1;0)
     và B là giao điểm của TCX với trục Oy:  x = 0 � y = m + 1 � B(0; m + 1)
1

2

1
1
2
−m − 1 . m + 1 = m + 1
2
2
m +1 = 8
m=7
�
�
1
2
2
Suy ra:  m + 1 = 32 � m + 1 = 64 � m + 1 = 8 ��
�
�
m + 1 = −8
m = −9
2
�
�

Suy ra, diện tích tam giác OAB là:  S = OA.OB =

Bài tập 4. Cho hàm số:  y =

− x2 + 6 x − 9
. Chứng minh rằng: Tích các khoảng cách từ điểm  M ( x; y )  

x−2

bất kỳ trên đồ thị hàm số đến các đường tiệm cận là một hằng số.
Gợi ý giải:
− x2 + 6 x − 9
1
+  y =
� y = −x + 4 −
x−2
x−2
y
=
−
x
+
4
�
x+ y−4=0
+ TCĐ: x = 2, TCX: 
+ Khoảng cách từ điểm M đến TCĐ là:  d1 = x − 2

     Khoảng cách từ điểm M đến TCX là:  d 2 =

x+ y−4
1+1

, vì  y = − x + 4 −

1
 nên 

x−2

1
1
1
1
.−
=
.
x−2
2
2 x−2
1
1
1
=
Suy ra:  d1.d 2 = x − 2 . .
 là hằng số.
2 x−2
2
d2 =

Bài tập 5. Cho hàm số   ( H ) : y =
đến hai tiệm cận là nhỏ nhất.

2x + 2
. Tìm tọa độ các điểm M nằm trên (H) có tổng khoảng cách 
x −1

Gợi ý giải:

+ TCĐ: x = 1, TCN:  y = 2
+ Khoảng cách từ điểm  M (x; y ) (H )  đến TCĐ là:  d1 = x − 1
    Khoảng cách từ điểm M đến TCN là:  d 2 = y − 2 , vì  y = 2 +
    Suy ra, tổng khoảng cách :  d = d1 + d 2 = x − 1 +
+  dmin = 4 � x − 1 =

4
x −1

4
4
4
=
 nên  d 2 =
x −1 x −1
x −1

4 

4
x = 3� y = 4
    � (x − 1)2 = 4 �
x −1
x = −1� y = 0

+ Vậy, có hai điểm cần tìm:  ( 3;4) ,

( −1;0)

2

Bài tập 6. Cho hàm số   ( H ) : y = x − x + 1 . Tìm các điểm M thuộc (H) có tổng khoảng cách đến 2 
tiệm cận là nhỏ nhất.

x −1

Gợi ý giải:
x − x +1
1
� y = x+
x −1
x −1
y
=
x
� x− y =0
+ TCĐ: x = 1, TCX: 
+ Khoảng cách từ điểm  M (x; y ) (H )  đến TCĐ là:  d1 = x − 1

+  y =

2

23
Trường THPT Trường Chinh                                                                          Giáo viên: Nguy
ễn Xuân Vĩ 


Chuyên đề: Một số bài toán thường gặp về đồ thị hàm số

      Khoảng   cách   từ   điểm   M   đến   TCX   là:   d 2 =

 
d2 =

x− y
1+1

,   vì   y = x +

1
  nên 
x −1

1
1
1
1
.−
=
.
2 x −1
2 x −1

    Suy ra, tổng khoảng cách :  d = d1 + d 2 = x − 1 +
+  dmin = 2

1
1

.
2 x −1

2

1
 
2

1
1
1
� x −1 =
.
2
2 x −1

1
1
� y = 1+ 4 + 4 2
2
2
                          � 2(x − 1)2 = 1� 2(x − 1)4 = 1�
1
1
x = 1− 4 � y = 1− 4 − 4 2
2
2
1
1

� 1
� � 1
�
1+ 4 ;1+ 4 + 4 2 �
, �
1− 4 ;1− 4 − 4 2 �
+ Vậy, có hai điểm cần tìm:  �
2
2
� 2
� � 2
�
x = 1+

4

III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
3x 5
Bài 1. Tìm M thuộc (C): y
 để tổng khoảng cách từ M đến 2 đường tiệm cận của (C) nhỏ 
x 2

nhất.

Bài 2. Cho hàm số   ( C ) : y =
đoạn  MN nhỏ nhất.

2x + 2
. Tìm hai điểm M, N thuộc hai nhánh khác nhau của (C) sao cho 
x −1

x 2 − (m − 1) x − m + 1
. Xác định m để tiệm cận xiên của đồ thị hàm số cắt các  
x +1
trục tọa độ theo một tam giác có diện tích bằng 18 (đvdt).  ĐS:  m = 6.

Bài 3. Cho hàm số:  y =

1
x
1

Bài 4. (ĐH Khối A 2005) Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số: y = mx +  (*)   (với m là tham số)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (*) khi m =  .
4

b) Tìm m để đồ thị hàm số (*) có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của ( Cm) đến tiệm 
cận xiên bằng 

1
2

.

ĐS: m=1.
x2

Bài 5. Tìm trên đồ  thị  hàm số   y
đường tiệm cận.
�

1+
ĐS: Có hai điểm cần tìm là  �
�

2x 2
 điểm M sao cho MI nhỏ nhất với I là giao điểm 2  
x 1

1
1
�
;4 + 4 + 4 2 �
,
2
2
�

4

1
� 1
�
1− 4 ;4 − 4 − 4 2 �
�
2
� 2
�

E­ ĐÁNH GIÁ HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:

1. Sau khi thực hiện chuyên đề, đã tiến hành kiểm tra ở 3 lớp 12:
KIỂM TRA 45 PHÚT (Năm học 2010 ­ 2011)
24
Trường THPT Trường Chinh                                                                          Giáo viên: Nguy
ễn Xuân Vĩ 


Chuyên đề: Một số bài toán thường gặp về đồ thị hàm số
2x + 3
 có đồ thị (H).
x+2
a.) Xác định m để đường thẳng  (d ): y = x + m  cắt đồ thị (H) tại hai điểm phân biệt. (3,0 điểm)

ĐỀ BÀI: Cho hàm số  y =

b.) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (H) tại giao điểm của (H) với trục tung. 
(3,0  
điểm)
c.) Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận. Tìm những điểm M thuộc đồ thị (H) thỏa mãn  
tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A và B sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có bán 
kính nhỏ nhất.  
(4,0 điểm)
ĐÁP SỐ:
a.)  m < 2   hoặc  m > 6 .   
1
4

3
2

b.)  y = x + .
c.)  + Giao điểm của hai đường tiệm cận là: I(­2;2).
+ Gọi (d) là tiếp tuyến với (H) tại  M (m;

1
2m 2 + 6m + 6
2m + 3
) (H ) . Khi đó (d):  y =
x
+
m+2
(m + 2)2
(m + 2)2

+ Gọi A, B lần lượt là giao điểm của (d) với TCĐ và TCN, ta có: 

A(−2;

2(m + 1)
), B(2m + 2;2)
m+2
+ Vì  ∆IAB  vuông tại I nên bán kính đường tròn ngoại tiếp  ∆IAB  là: 
2

1
1
4
1
�2 � 1
AB =

(2m + 4)2 + �
4(m + 2)2 +
= (m + 2)2 +
�=
2
2
2
(m + 2)
(m + 2)2
�m + 2 � 2
1
2)2+ +
2 R
2
+ Theo bất đẳng thức Cô­si, ta có:  (m �
(m + 2)2
1
Rmin = 2 � (m + 2)2 =
, giải ra được m = ­1 hoặc m = ­3
(m + 2)2
+ Vậy, có hai điểm M cần tìm có tọa độ:  (−1;1), (−3;3) .
R=

2. Kết quả thu được trong bảng sau:
1. Lớp 12A1: Sĩ số 36
Điểm
Số 
lượng

10

5

9
6

8
6

7
4

6
4

5
4

4
3

3
2

2
1

1
1

0

0

9
5

8
6

7
5

6
7

5
5

4
4

3
3

2
2

1
0

0

0

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

2. Lớp 12A2: Sĩ số 44
Điểm
Số 
lượng

10
7

3. Lớp 12A5: Sĩ số 35
Điểm

10

25
Trường THPT Trường Chinh                                                                          Giáo viên: Nguy
ễn Xuân Vĩ