Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 2: Định thức

Chương 2: ĐỊNH THỨC

Bài giảng môn học Đại số tuyến tính
Nguyễn Anh Thi
Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Tp Hồ Chí Minh

2014

Nguyễn Anh Thi
Bài giảng môn học Đại số tuyến tính

Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Tp Hồ Chí Minh


Chương 2: ĐỊNH THỨC

Chương 2

ĐỊNH THỨC

Nguyễn Anh Thi
Bài giảng môn học Đại số tuyến tính

Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Tp Hồ Chí Minh


Chương 2: ĐỊNH THỨC

1. Đònh nghóa và các tính chất

1. Đònh nghóa và các tính chất

1.1
1.2
1.3
1.4

Đònh nghóa
Quy tắc Sarrus
Khai triển đònh thức theo dòng và cột
Đònh thức và các phép biến đổi sơ cấp

Nguyễn Anh Thi
Bài giảng môn học Đại số tuyến tính

Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Tp Hồ Chí Minh


Chương 2: ĐỊNH THỨC

1. Đònh nghóa và các tính chất

1.1 Đònh nghóa

Đònh nghóa
Cho A = (aij )n×n ∈ Mn (R). Đònh thức của A, được ký hiệu là det A
hay |A|, là một số thực được xác đònh bằng quy nạp theo n như
sau:
Nếu n = 1, A = (a), thì |A| = a.
a11 a12
Nếu n = 2, A =

, thì |A| = a11 a22 − a12 a21 .
a21 a22

Nguyễn Anh Thi
Bài giảng môn học Đại số tuyến tính

Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Tp Hồ Chí Minh


Chương 2: ĐỊNH THỨC

1. Đònh nghóa và các tính chất

Đònh nghóa


a11 a12
 a21 a22
Nếu n > 2, A = 
 ··· ···
an1 an2

···
···
···
···


a1n
a2n 

, thì
··· 
ann

dòng 1

|A| ===== a11 (−1)1+1 |A(1|1)| + a12 (−1)1+2 |A(1|2)| + · · · +
a1n (−1)1+n |A(1|n)|, trong đó A(i|j) là ma trận có được từ A
bằng cách xóa đi dòng i và cột j của A.

Nguyễn Anh Thi
Bài giảng môn học Đại số tuyến tính

Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Tp Hồ Chí Minh


Chương 2: ĐỊNH THỨC

1. Đònh nghóa và các tính chất

1.1 Đònh nghóa
Ví dụ
1 −3
4 −2

Cho A =

. Khi đó |A| = 1.(−2) − (−3).4 = 10

Ví dụ




1 3 6
Cho A =  1 4 10 
1 5 15

Nguyễn Anh Thi
Bài giảng môn học Đại số tuyến tính

Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Tp Hồ Chí Minh


Chương 2: ĐỊNH THỨC

1. Đònh nghóa và các tính chất

1.1 Đònh nghóa
Ví dụ
1 −3
4 −2

Cho A =

. Khi đó |A| = 1.(−2) − (−3).4 = 10

Ví dụ




1 3 6
Cho A =  1 4 10 
1 5 15
4 10
|A| = 1(−1)1+1
+3(−1)1+2
5 15
= 10 − 15 + 6 = 1
Nguyễn Anh Thi
Bài giảng môn học Đại số tuyến tính

1 10
+6(−1)1+3
1 15

1 4
1 5

Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Tp Hồ Chí Minh


Chương 2: ĐỊNH THỨC

1. Đònh nghóa và các tính chất

1.2 Quy tắc Sarrus
Trong trường hợp n = 3, thì ta có ma

a11 a12


a21 a22
A=
a31 a32

trận

a13
a23 
a33

Áp dụng đònh nghóa trên ta có thể tính được đònh thức của A
a22 a23
a21 a23
|A| = a11 (−1)1+1
+ a12 (−1)1+2
+
a32 a33
a31 a33
a21 a22
a13 (−1)1+3
a31 a32
= a11 a22 a33 +a12 a23 a31 +a13 a21 a32 −a13 a22 a31 −a11 a23 a32 −a12 a21 a33
Nguyễn Anh Thi
Bài giảng môn học Đại số tuyến tính

Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Tp Hồ Chí Minh


Chương 2: ĐỊNH THỨC

1. Đònh nghóa và các tính chất

Từ đây ta đưa ra quy tắc Sarrus, đưa vào sơ đồ như sau

Theo đó đònh thức bằng tổng các tích số của từng bộ 3 số trên các
đường liền nét trừ đi tổng các tích số của từng bộ 3 số trên các
đường không liền nét. Hoặc

Nguyễn Anh Thi
Bài giảng môn học Đại số tuyến tính

Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Tp Hồ Chí Minh


Chương 2: ĐỊNH THỨC

1. Đònh nghóa và các tính chất

• ∗ ◦
∗ ◦ •
a11 a12 a13
a21 a22 a33 = ◦ • ∗ − ◦ • ∗
∗ ◦ •
• ∗ ◦
a31 a32 a33
Đònh thức của ma trận A được tính bằng tổng các tích số của từng
bộ 3 số tương ứng với cùng một ký hiệu trong hình màu đỏ trừ đi
tổng các tích số của từng bộ 3 số tương ứng với cùng một ký hiệu
trong hình màu xanh.
Ví dụ

Tính đònh
1
|A| = 4
3

thức
2 3
2 1
1 5

Nguyễn Anh Thi
Bài giảng môn học Đại số tuyến tính

= 1.2.5+2.1.3+3.4.1−3.2.3−1.1.1−2.4.5 = −31

Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Tp Hồ Chí Minh


Chương 2: ĐỊNH THỨC

1. Đònh nghóa và các tính chất

Đònh nghóa
Cho A = (aij )n×n là một ma trận vuông cấp n với hệ số trong K.
Với mỗi i, j, ta gọi
cij = (−1)i+j detA(i|j)
là phần bù đại số của hệ số aij , trong đó A(i|j) là ma trận vuông
cấp (n − 1) có được từ A bằng cách xóa dòng i, cột j.
Ví dụ



1 1 1
Cho A =  2 3 1 . Khi đó c11 = (−1)1+1
3 4 0
2 1
= 3.
c12 = (−1)1+2
3 0
Nguyễn Anh Thi
Bài giảng môn học Đại số tuyến tính

3 1
4 0

= −4;

Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Tp Hồ Chí Minh


Chương 2: ĐỊNH THỨC

1. Đònh nghóa và các tính chất

1.3 Khai triển đònh thức theo dòng và cột

Đònh lý
Cho A = (aij )n×n ∈ Mn (R). Với mỗi i, j , gọi cij là phần bù đại số
của hệ số aij . Ta có
Công thức khai triển |A| theo dòng i: |A| =

Công thức khai triển |A| theo cột j: |A| =

Nguyễn Anh Thi
Bài giảng môn học Đại số tuyến tính

n
k=1 aik cik .
n
k=1 akj ckj .

Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Tp Hồ Chí Minh


Chương 2: ĐỊNH THỨC

1. Đònh nghóa và các tính chất

Chú ý
Trong việc tính đònh thức của ma trận ta nên chọn dòng hay cột
có nhiều số 0 để tính.
Ví dụ



1 1 1
Tính đònh thức của ma trận  2 3 1 .
3 4 0

Nguyễn Anh Thi
Bài giảng môn học Đại số tuyến tính

Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Tp Hồ Chí Minh


Chương 2: ĐỊNH THỨC

1. Đònh nghóa và các tính chất

Mệnh đề
Cho A ∈ Mn (R). Khi đó:
i. |AT | = |A|.
ii. Nếu ma trận A có một dòng hay một cột bằng 0 thì |A| = 0.
iii. Nếu A là một ma trận tam giác thì |A| bằng tích các phần tử
trên đường chéo của A, nghóa là
|A| = a11 a22 ...ann .

Đònh lý
Nếu A, B ∈ Mn (R), thì |AB| = |A||B|
Nguyễn Anh Thi
Bài giảng môn học Đại số tuyến tính

Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Tp Hồ Chí Minh


Chương 2: ĐỊNH THỨC

1. Đònh nghóa và các tính chất

1.4 Đònh thức và các phép biến đổi sơ cấp

Đònh lý
Cho A, A ∈ Mn (R). Khi đó
1

di ↔dj

Nếu A −−−→ A , thì |A | = −|A|;
i=j

di :=αdi

2

Nếu A −−−−→ A thì |A | = α|A|;

3

Nếu A −−−−−−→ A thì |A | = |A|.

di :=di +βdj
i=j

Nguyễn Anh Thi
Bài giảng môn học Đại số tuyến tính

Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Tp Hồ Chí Minh


Chương 2: ĐỊNH THỨC

1. Đònh nghóa và các tính chất

Ví dụ
1
3
7
2
6 −8
5 −12
4

Nguyễn Anh Thi
Bài giảng môn học Đại số tuyến tính

1
3
7
dòng 2
3 −4
===== 2 1
5 −12
4
1
1
7
cột 2
1 −4
==== 2.3 1
5 −4
4

1
1
7
d :=d2 −d1
0 −11
==2===
=== 6 0
5 −4
4
dòng 2
1
1
===== 6(−11)(−1)2+3
5 −4

= −594.

Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Tp Hồ Chí Minh


Chương 2: ĐỊNH THỨC

2. Đònh thức và ma trận khả nghòch

2. Đònh thức và ma trận khả nghòch
Đònh nghóa
Cho A = (aij ) ∈ Mn (R). Đặt C = (cij ) với cij = (−1)i+j |A(i|j)| là
phần bù đại số của aij . Ta gọi ma trận chuyển vò CT của C là ma
trận phụ hợp của A, ký hiệu là adj(A).
Ví dụ






2
3
1
−6 10 11
2 . Khi đó C =  10 −7
1 . Suy
Cho A =  2 −1
3
4 −2
7 −2 −8


−6 10
7
ra adj(A) =  10 −7 −2 
11
1 −8
Nguyễn Anh Thi
Bài giảng môn học Đại số tuyến tính

Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Tp Hồ Chí Minh


Chương 2: ĐỊNH THỨC

2. Đònh thức và ma trận khả nghòch

Nhận diện ma trận khả nghòch
Đònh lý
Ma trận vuông A khả nghòch khi và chỉ khi |A| = 0. Hơn nữa,
A−1 =

1
adj(A)
|A|

Ví dụ



1 1 1
Tìm ma trận nghòch đảo của A =  2 3 1 
3 4 0
Nguyễn Anh Thi
Bài giảng môn học Đại số tuyến tính

Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Tp Hồ Chí Minh


Chương 2: ĐỊNH THỨC

2. Đònh thức và ma trận khả nghòch

1 1
1 1

=1
= −2; c32 = (−1)3+2
2 1
3 1
|A| = 3c31 + 4c32 = 3.(−2) + 4.1 = −2 = 0.
Vậy ma trận A khả nghòch.
Tương tự như trên ta có thể tính được
c11 = −4; c12 = 3; c13 = −1;
 c21 = 4; c22 = −3;
 c23 = −1; c33 = 1.
−4
3 −1
Từ đó ta có ma trận C =  4 −3 −1  và
−2
1
1


−4
4 −2
1 . Suy ra
adj(A) =  3 −3
−1 −1
1


−4
4 −2
1 
1

3 −3
1 
adj(A) = −2
A−1 = |A|
−1 −1
1
c31 = (−1)3+1

Nguyễn Anh Thi
Bài giảng môn học Đại số tuyến tính

Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Tp Hồ Chí Minh


Chương 2: ĐỊNH THỨC

2. Đònh thức và ma trận khả nghòch

Hệ quả
Ma trận A =

a b
c d

khả nghòch khi và chỉ khi ad − bc = 0.

Khi đó
A−1 =

1

ad − bc

d −b
−c
a

Ví dụ
Cho A =

2 4
3 5

Nguyễn Anh Thi
Bài giảng môn học Đại số tuyến tính

. Suy ra A−1 =

1
−2

5 −4
−3
2

Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Tp Hồ Chí Minh


Chương 2: ĐỊNH THỨC

3. Quy tắc Cramer

3. Quy tắc Cramer
Đònh lý
Cho hệ phương trình tuyến tính AX = B (∗) gồm n ẩn và n
phương trình. Đặt ∆ = detA; ∆i = detAi , i ∈ 1, n trong đó Ai là ma
trận có được từ A bằng cách thay cột i bằng cột B. Khi đó
i. Nếu ∆ = 0 thì hệ (∗) có một nghiệm duy nhất là:
xi =

∆i
, i ∈ 1, n
∆

ii. Nếu ∆ = 0 và ∆i = 0 với một i nào đó thì hệ (∗) vô nghiệm.
iii. Nếu ∆ = 0 và ∆i = 0, ∀i ∈ 1, n thì hệ vô nghiệm hoặc vô số
nghiệm.
Nguyễn Anh Thi
Bài giảng môn học Đại số tuyến tính

Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Tp Hồ Chí Minh


Chương 2: ĐỊNH THỨC

3. Quy tắc Cramer

Giả
 i hệ phương trình
 x − y − 2z = −3;
2x − y + z =

1;

x + y + z =
4.

Nguyễn Anh Thi
Bài giảng môn học Đại số tuyến tính

(1)

Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Tp Hồ Chí Minh


Chương 2: ĐỊNH THỨC

3. Quy tắc Cramer

Giả
 i hệ phương trình
 x − y − 2z = −3;
2x − y + z =
1;
(1) Ta có

x + y + z =
4.
1 −1 −2
1 = −7;
∆ = |A| = 2 −1
1

1
1
−3 −1 −2
1 −1
1 = −7;
∆1 = |A1 | =
4
1
1

Nguyễn Anh Thi
Bài giảng môn học Đại số tuyến tính

Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Tp Hồ Chí Minh


Chương 2: ĐỊNH THỨC

3. Quy tắc Cramer

1
2
1
1
∆3 = |A3 | = 2
1
Vì ∆ = 0, nên hệ
z = ∆∆3 = 1.
∆2 = |A2 | =

Nguyễn Anh Thi
Bài giảng môn học Đại số tuyến tính

−3 −2
1
1 = −14;
4
1
−1 −3
−1
1 = −7;
1
4
có nghiệm duy nhất x =

∆1
∆

= 1; y =

∆2
∆

= 2;

Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Tp Hồ Chí Minh


Chương 2: ĐỊNH THỨC

3. Quy tắc Cramer


 x + y − 2z = 4;
2x + 3y + 3z = 3;
Giải hệ phương trình

5x + 7y + 4z = 5.

Nguyễn Anh Thi
Bài giảng môn học Đại số tuyến tính

Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Tp Hồ Chí Minh