Tóm tắt luận án Tiến sĩ Cơ kỹ thuật: Phân tích ổn định phi tuyến của vỏ cầu làm bằng vật liệu Composite FGM

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ

VŨ THỊ THÙY ANH

PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH PHI TUYẾN CỦA VỎ CẦU
LÀM BẰNG VẬT LIỆU COMPOSITE FGM

Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật
Mã số: 62520101

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ KỸ THUẬT

HÀ NỘI - 2017


Công trình đƣợc hoàn thành tại:
Trƣờng Đại học C ng nghệ Đại học Quốc gi Hà N i

Người hướng dẫn khoa học: GS. TSKH Nguyễn Đình Đức

Phản biện: ..........................................................................
Phản biện: ..........................................................................
Phản biện: ..........................................................................

Luận án sẽ đƣợc bảo vệ trƣớc H i đồng cấp
Đại học Quốc gi chấm luận án tiến sĩ họp tại
vào hồi

giờ

ngày

tháng

năm

Có thể tìm hiểu luận án tại:
- Thư viện Quốc gia Việt Nam
- Trung tâm Thông tin - Thư viện, Đại học Quốc gia Hà Nội


DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC
CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN

1.

Vu Thi Thuy Anh, Nguyen Dinh Duc (2016). Nonlinear response
of shear deformable S-FGM shallow spherical shell with ceramic-metalceramic layers resting on elastic foundation in thermal environment. J.
Mechanics of Advanced Materials and Structures, Vol. 23 (8), pp.926-934
(Taylor & Francis, SCIE, IF=1.0).

2.

Dinh Duc Nguyen, Huy Bich Dao, Thi Thuy Anh Vu (2016). On
the nonlinear stability of eccentrically stiffened functionally graded
annular spherical segment shells. J. Thin-Walled Structures. Vol. 106, pp.
258-267 (Elsevier, SCIE, IF=2.063).

3.

Vu Thi Thuy Anh, Pham Hong Cong, Dao Huy Bich, Nguyen
Dinh Duc (2016). On the linear stability of eccentrically stiffened
functionally graded annular spherical shell on elastic foundations. J. of
Advanced Composite Materials, DOI: 10.1080/09243046.2016.1187819
(Taylor & Francis, SCIE, IF=0.929).

4.

Vu Thi Thuy Anh, Nguyen Dinh Duc (2015). The nonlinear
stability of axisymmetric FGM annular spherical shells under thermomechanical load. J. Mechanics of Advanced Materials and Structures,
Vol.23 (12), pp.1421-1429 (Taylor & Francis, SCIE, IF=1.0).

5.

Vu Thi Thuy Anh, Dao Huy Bich, Nguyen Dinh
Duc (2015). Nonlinear buckling analysis of thin FGM annular spherical
shells on elastic foundations under external pressure and thermal loads.
European Journal of Mechanics – A/Solids, Vol. 50, pp 28-38 (Elsevier,
SCI, IF=2.453).

6.

Nguyen Dinh Duc, Vu Thi Thuy Anh, Pham Hong
Cong (2014). Nonlinear axisymmetric response of FGM shallow spherical
shells on elastic foundations under uniform external pressure and
temperature. J. European Journal of Mechanics – A/Solids, Vol.45, pp.8089 (Elsevier, SCI, IF=2.453).

7.

Nguyen Dinh Duc, Vu Thi Thuy Anh (2013). Nonlinear

axisymmetric response of thin FGM shallow spherical shells with ceramic-


metal-ceramic layers under uniform external pressure and temperature.
Journal of Science, Mathematics- Physics, Vietnam National University,
Hanoi, Vol.29(2), 2013, pp. 1-15.

8.

Vu Thi Thuy Anh, Pham Hong Cong, Nguyen Dinh
Duc (2013). Nonlinear stability of axisymmetric spherical shell with
ceramic-metal-ceramic layers (S-FGM) and temperature-dependent
properties on elastic foundation. Proceedings of XI National Conference
on Mechanics of Deformed Solid, Ho Chi Minh City, Nov. 2013.

9.

Vu Thi Thuy Anh, Dao Huy Bich, Nguyen Dinh
Duc (2014). Nonlinear post-buckling analysis of thin Sigmoid FGM
annular spherical shells surrounded on elastic foundations under uniform
external pressure including temperature effects. Proceeding of The Third
International Conference on Engineering Mechanics and Automation
(ICEMA 2014), Hanoi, October- 2014, ISBN:

10.

Vu Van Dung, Vu Thi Thuy Anh, Nguyen Dinh
Duc (2014). Nonlinear response of axisymmetric shear deformable
Sigmoid FGM shallow spherical shells resting on elastic foundations
under external pressure. Proceeding of The Third International Conference

on Engineering Mechanics and Automation (ICEMA 2014), Hanoi,
October- 2014, ISBN: 978-604-913-367-1, pp. 622

11.

Nguyen Dinh Duc, Vu Thi Thuy Anh, Dao Huy Bich (2014), The
nonlinear post-buckling of thin FGM annular spherical shells under
mechanical loads and resting on elastic foundations. Vietnam Journal of
Mechanics, Vol.36, N4, pp. 283-290.

12.

Vu Thi Thuy Anh, Dao Huy Bich, Nguyen Dinh
Duc (2015). Nonlinear stability of thin FGM annular spherical segment in
thermal environment. Vietnam Journal of Mechanics,

pp.285-302.

Vol.37, N4,


1
MỞ ĐẦU
1. Tính cấp thiết củ đề tài
Vật liệu composite FGM, với đặc tính chịu tải cơ và nhiệt rất tốt, khối
lượng riêng nhẹ, siêu bền là lựa chọn phổ biến cho các kết cấu chịu tải phức
tạp và làm việc trong môi trường nhiệt độ cao. bài toán liên quan đến ứng xử
của kết cấu làm bằng vật liệu FGM là những vấn đề cần được quan tâm. Bên
cạnh đó, kết cấu không chỉ có hình dạng tấm, vỏ hay panel, mà còn có cả
hình dạng phức tạp khác như cầu nhẫn, vỏ cầu nhẫn. Tuy nhiên, bài toán

liên quan đến ứng xử của vỏ cầu có hình dạng đặc biệt vẫn còn hạn chế. Các
nghiên cứu về kết cấu vỏ cầu FGM vẫn còn mở, do đó “phân tích ổn định
phi tuyến của vỏ cầu làm bằng vật liệu composite FGM” là thực sự cần thiết.
2. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
Luận án nghiên cứu ổn định phi tuyến tĩnh và động của vỏ cầu FGM (P –
FGM, S – FGM), đồng thời nghiên cứu thêm hai trường hợp đặc đặc biệt của vỏ
cầu là vỏ cầu nhẫn và mảnh cầu nhẫn FGM khi các loại kết cấu này chịu các tải
cơ, nhiệt và cơ – nhiệt, hoặc được gia cố bằng gân gia cường.
3. Phƣơng pháp nghiên cứu
Nghiên cứu bằng phương pháp giải tích, bán giải tích các bài toán ổn
định theo lý thuyết vỏ cổ điển, lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất, sử dụng lý
thuyết san đều tác dụng gân của Lekhnitsky. Các kết quả tính toán được so
sánh với các kết quả của các tác giả khác để kiểm tra độ tin cậy của phương
pháp tiếp cận hiện tại.
4. nghĩ kho học và th c tiễn củ nghiên cứu
Bài toán có ý nghĩa quan trọng, thiết thực trong lĩnh vực cơ học kết
cấu. Các kết quả nhận được dưới dạng giải tích (dạng hiển), cung cấp cơ sở
khoa học cho các nhà thiết kế, chế tạo.
5. Cấu trúc củ luận án
Luận án bao gồm mở đầu, 4 chương, kết luận, danh mục các công
trình khoa học của tác giả, tài liệu tham khảo và phụ lục.
CHƢƠNG 1
TỔNG QUAN VỀ MÔ HÌNH VỎ CẦU COMPOSITE FGM
VÀ CÁC PHƢƠNG TRÌNH CƠ BẢN
1.1. Tổng quan về vật liệu composite FGM
Vật liệu composite FGM thường được tạo thành từ gốm và kim loại
trong đó tỷ lệ thể tích của mỗi thành phần biến đổi một cách trơn và liên tục từ
mặt này sang mặt kia theo chiều dày thành kết cấu cho phù hợp với thế mạnh
đặc trưng của các vật liệu thành phần. Có 3 loại composite FGM chủ yếu [26].

2
Vật liệu P-FGM. Là loại vật liệu trong đó tỷ lệ thể tích của các
thành phần gốm và kim loại biến đổi một cách trơn và liên tục từ bề mặt này
sang bề mặt kia theo chiều dày thành kết cấu. Đối với P-FGM, một bề mặt
giàu gốm và một bề mặt giàu kim loại. Tỉ phần thể tích biến đổi theo quy
luật hàm mũ – Power law)
 2z  h 
Vc ( z )  
 , Vm  z   1  Vc  z  ,
 2h 
k

(1.1)

với k là một số không âm được gọi là chỉ số tỷ lệ thể tích và các chỉ số dưới
c và m để chỉ thành phần gốm (ceramic) và kim loại (metal) tương ứng. Các
tính tính chất hiệu dụng Peff của vật liệu có cơ tính biến đổi xác định theo
quy tắc hỗn hợp sau đây:
(1.2)
Peff  z   PV
c c  z   PmVm  z  ,
trong đó Pc , Pm là ký hiệu một tính chất cụ thể của vật liệu như E ,  ,
K của từng vật liệu thành phần ceramic hoặc kim loại.
Vật liệu S-FGM. Đối với vật liệu S-FGM (hay còn gọi là vật liệu
FGM 3 lớp).Tỷ lệ thể tích biến đổi theo quy luật Sigmoid (sử dụng quy luật
hàm mũ cho 2 miền) như sau:
 2 z  h k

 , h/2 z 0

 h 
Vm ( z )  
, Vc ( z )  1  Vm ( z ),
k
  2 z  h 
  h  , 0  z  h / 2


(1.5)

Vật liệu E-FGM. Trong vật liệu loại E-FGM thì mô-đun đàn hồi
được giải thiết tuân theo quy luật hàm siêu việt (hàm e mũ):
Trong giới hạn của luận án, chỉ nghiên cứu về loại vật liệu P-FGM và
S-FGM, trong đó vật liệu P-FGM được gọi chung là FGM.
Tính chất vật liệu phụ thu c vào nhiệt đ
Các tính chất hiệu dụng Pj của vật liệu được mô tả như sau:
2
3
Pj  P0  P1T 1  1  PT
 PT
,
1  PT
2
3

(1.10)

ở đây P0 , P1 , P1 , P2 , P3 là các hệ số nhiệt độ T (đơn vị 0 K ) và là duy nhất đối
với từng vật liệu cấu thành. Các tính chất vật liệu thường được tính toán ở
điều kiện nhiệt độ phòng T  3000 K .

1.2. Tổng quan về tình hình nghiên cứu kết cấu vỏ cầu FGM
1.2.1. Ổn định tĩnh phi tuyến kết cấu vỏ cầu FGM
Bằng cách tiếp cận giải tích, hai tác giả Huang H. và Han Q. [51][56] đã nghiên cứu về sự mất ổn định và sau mất ổn định phi tuyến của các


3
vỏ trụ tròn FGM chịu các tải cơ và nhiệt. Tác giả Sofiyev A.H. cùng đồng
nghiệp nghiên cứu ổn định của kết cấu vỏ nón cụt mỏng, vỏ trụ FGM chịu
các tải khác nhau ([88]- [100]]) như tải nén, áp lực ngoài, áp lực thủy tĩnh,
cho các trường hợp khác nhau. Nhóm của tác giả Đào Huy Bích và Đào Văn
Dũng đã có những nghiên cứu về sự ổn định tĩnh phi tuyến kết cấu vỏ FGM
trong các công trình [12], [16], trong đó ở [12] bằng phương pháp giải tích.
Bằng phương pháp giải tích, dựa trên lý thuyết vỏ cổ điển, nhóm của tác
giả Nguyễn Đình Đức [28] kiểm tra sự mất ổn định kết cấu vỏ cầu thoải
FGM đối xứng dưới tác dụng của tải và nhiệt độ, hay trong [31] nhóm
nghiên cứu cho kết cấu vỏ thoải FGM hai độ cong tựa trên nền đàn hồi.
1.2.2. Ổn định phi tuyến kết cấu vỏ FGM có gân gia cường
Mở đầu cho các nghiên cứu có gân gia cường FGM là Najafizadeh N.N.
và đồng nghiệp [66] theo phương pháp giải tích và PPPTHH để xác định lực tới
hạn của vỏ trụ FGM có gân gia cường dọc và vòng chịu tải nén dọc trục. Tuy
nhiên các gân gia cường được họ xây dựng và đề xuất cũng làm bằng vật liệu
FGM, do đó về phần chế tạo sẽ gặp nhiều khó khăn. Tác giả Đào Huy Bích đã
đưa ra một giải pháp vừa đảm bảo tính chất của gân gia cường, lại vừa dễ chế
tạo, đồng thời đưa ra được phương pháp để giải quyết bài toán đối với gân gia
cường một cách khoa học hơn đó là sử dụng thêm lý thuyết san đều tác dụng
gân của Lekhnitsy. Nhóm tác giả Đào Huy Bích trong [13], [14], [11] nghiên
cứu về kết cấu vỏ trụ mỏng FGM, vỏ hai độ cong, hay khó hơn là vỏ hai độ
cong có tính đến yếu tố không hoàn hảo hình học của vỏ, và một số nghiên cứu
khác nữa. Nhóm của tác giả Nguyễn Đình Đức [34] phân tích ổn định phi tuyến
kết cấu vỏ trụ tròn mỏng có gân gia cường không hoàn hảo trên nền đàn hồi,

[33] cũng cho kết cấu vỏ trụ tròn nhưng có tính thêm đến yếu tố nhiệt độ. Hay
trong [32], [31] nhóm của tác giả Nguyễn Đình Đức nghiên cứu kết cấu vỏ thoải
hai độ cong dày FGM có gân gia cường trên nền đàn hồi bằng phương pháp
biến dạng trượt.
1.2.3. Ổn định động phi tuyến kết cấu vỏ FGM
Deniz và Sofiev [24] điều tra sự mất ổn định động phi tuyến kết cấu vỏ
nón cụt FGM chịu tải nén như một hàm tuyến tính của thời gian, trong khi
Sofiyev A.H. sử dụng cách tiếp cận giải tích để phân tích ổn định động lực của
các vỏ trụ và vỏ nót cụt FGM dưới tác dụng của tải xung [91], [86].
1.2.4. Ổn định phi tuyến tĩnh và động kết cấu vỏ có hình dạng đặc biệt
Đối với kết cấu vỏ có hình dạng đặc biệt, các nghiên cứu về kết cấu
đặc biệt này nhận được ít sự quan tâm hơn các kết cấu thông thường, lý do
xuất phát từ sự phức tạp hơn về mặt toán học. Dựa trên lý thuyết tấm và
phương pháp cổ điển, hai tác giả Ma và Wang trong [62] phân tích ứng xử
uốn và sau mất ổn định của tấm tròn FGM dưới tác dụng của tải cơ và tải


4
nhiệt. Hai tác giả Eslami và Kiani trong [49] đã đưa ra những phân tích ban
đầu về mất ổn định nhiệt của tấm cầu nhẫn FGM trên nền đàn hồi. Dumir và
đồng nghiệp [46] đã nghiên cứu ứng xử vồng của tấm cầu nhẫn đẳng hướng
dày biến dạng đối xứng sử dụng lý thuyết biến dạng trược bậc nhất khi kết cấu
chịu tải trọng ngoài phân bố đều trên bề mặt vỏ kết cấu. Hoặc đối với vỏ cầu
nhẫn, Alwar và Narasimhan [7] đã nghiên cứu ổn định phi tuyến đối xứng
trục kết cấu vỏ cầu nhẫn làm bằng vật liệu trực hướng nhiều lớp. Wu và Tsai
[106] đã nghiên cứu về vỏ cầu nhẫn FGM bằng phương pháp tiệm cận
“differential quadrature” – DQ.
1.3. Mục tiêu nghiên cứu của luận án
Luận án phân tích ổn định tĩnh phi tuyến kết cấu vỏ cầu có và không kể
đến cả yếu tố gân gia cường; cũng như là của kết cấu vỏ có hình dạng đặc biệt là

vỏ cầu nhẫn và mảnh cầu nhẫn FGM và tấm tròn FGM.
1.4. Phân loại ổn định và tiêu chuẩn ổn định tĩnh
Theo hai quan niệm khác nhau của Euler và Poincarre về trạng thái tới
hạn, có hai loại mất ổn định: mất ổn định theo kiểu rẽ nhánh và mất ổn định theo
kiểu cực trị [1, 2, 4, 5].
Sự mất ổn định xảy ra khi tải tác dụng đạt giá trị tới hạn tại điểm rẽ
nhánh, tức là giá trị tải trọng làm kết cấu chuyển từ dạng cân bằng ổn định ban
đầu (trạng thái cân bằng cơ bản, độ võng bằng không) sang dạng mất ổn định,
hoặc xảy ra tại giá trị độ võng làm tải tác dụng đạt cực trị (đối với kết cấu dạng
vỏ). Trên quan điểm đó, các tải tới hạn tại điểm rẽ nhánh (trong trường hợp tồn
tại) sẽ được xác định bằng giới hạn của hàm độ võng – tải trọng khi độ võng
tiến đến không, trong khi các tải vồng theo kiểu cực trị (của kết cấu vỏ) được
xác định bằng việc cực trị tải trọng theo biến độ võng.
1.5. Xây d ng các phƣơng trình cơ bản đối với kết cấu vỏ cầu FGM
Vỏ cầu tựa hoặc không tựa trên nền đàn hồi với bán kính cong R, bán
kính của hình tròn cơ sở r0 đối với vỏ cầu (hoặc r1 , r0 tương ứng với hình
tròn cơ sở dưới và trên đối với vỏ cầu nhẫn hoặc mảnh cầu nhẫn), độ dày
thành kết cấu h . Vỏ chịu áp lực ngoài phân bố đều trên bề mặt ngoài q , đặt
hệ tọa độ ( ,  , z) . Biến mới r được định nghĩa bởi quan hệ r  R sin  ,
trong đó r là bán kính của đường tròn vĩ tuyến. Lý thuyết vỏ cổ điển được
sử dụng để viết các phương trình cơ bản đối với kết cấu vỏ cầu FGM.
Hệ phương trình cân bằng của vỏ FGM hoàn hảo theo lý thuyết cổ
điển được dẫn như sau (có xét tới nền đàn hồi)
N r 1 N r N r N



 0,
r r 
r

r

(1.21)


5
N N r 2 N r


 0,
r
r
r

(1.22)

 2 M r 1 M r
 2 M r 2 M r
1  2 M  1 M  1

 2(
 2
) 2

 (N r  N )
2
r
r r
rr r 
r  2 r r R

(1.23)
1 
w
w 1 
w N w

(rN r
 N r ) 
( N r

)  q  k1w  k2 w  0.
r r
r
 r 
r r 

Trong phương trình (1.23) thành phần  k1w  k2 w biểu thị cho tải
trọng thay thế quan hệ nền đàn hồi w 

 2 w 1 w 1  2 w
, với w là độ


r 2 r r r 2  2

võng của vỏ.
CHƢƠNG 2
ỔN ĐỊNH PHI TUYẾN KẾT CẤU VỎ CẦU FGM VÀ S-FGM
2.1. Phân tích ổn định phi tuyến kết cấu vỏ cầu thoải biến dạng đối
xứng FGM và S-FGM

2.1.1. Đặt vấn đề
Trong phần này, luận án nghiên cứu bài toán ổn định phi tuyến đối
xứng trục kết cấu vỏ cầu FGM và S-FGM trong trường hợp tổng quát của vỏ
cầu khi xét kết cấu tựa trên nền đàn hồi theo lý thuyết vỏ cổ điển có tính đến
yếu tố phi tuyến về hình học và không hoàn hảo ở hình dáng ban đầu.
2.1.2. Các phương trình cơ bản

Hình 2. 1. Mô hình vỏ cầu FGM trên nền đàn hồi và tọa độ của nó.
Phương trình cân bằng và tương thích biến dạng được biểu diễn bởi
1
w 1  2 w 1 w 2  2 w 1 w 1  2 w
F  
(

)  2 (

),
E1
R
r r r 2 
r r r r 2  2
F 1 F 1  2 F  2 w 1 w 1  2 w  2 F
(

)
(

)
R
r r r 2  2 r 2

r r r 2  2 r 2
1 2 F
1 F 1  2 w 1 w
 2(
 2
)(

)  q  k1w  k2 w.
r r  r  r r  r 2 

(
(2.3)

Dw 

(
(2.4)


6
Phương trình (2.3) và (2.4) là phương trình tương thích biến dạng và
phương trình cân bằng của vỏ cầu thoải FGM biểu diễn qua hai hàm là hàm
độ võng và hàm ứng suất trong trường hợp tổng quát. Đặc biệt hoá các
phương trình này cho trường hợp vỏ cầu thoải biến dạng đối xứng trục ta thu
được phương trình cân bằng và phương trình tương thích mới
1
F  2 w w  2 F
s F 

 q  k1w  k2  s w  0

R
rr r 2 rr r 2
 w 1  2 w w
1 2
s F   s 
E1
R
r r 2 r

D 2s w 

(2.5)
(2.6)

Đối với vỏ cầu không hoàn hảo, gọi w* là một hàm biểu thị tính
không hoàn hảo của vỏ cầu. Hàm này để chỉ độ lệch nhỏ ban đầu của bề mặt
vỏ so với hình dạng cầu. Khi tính không hoàn hảo được xét, các phương
trình (2.5), (2.6) được biến đổi tương ứng thành các phương trình sau đây
 F F   2 w  2 w*   2 F  w w* 
D 2s w  s 
 2 



  q  k1w  k2  s w  0,
R
rr  r 2
r  r r 2  r r 
 w 1 w  2 w* 1  2 w w* 1 w  2 w
1 2

s F   s 


.
E1
R
r r r 2 r r 2 r r r r 2

(2.7)

Phân tích ổn định phi tuyến kết cấu chịu tải cơ
Hai dạng của điều kiện biên được xem xét, dạng 1: các cạnh biên
ngàm và tựa tự do (FM) theo hướng kinh tuyến và các cạnh biên ngàm và
tựa cố định (ngàm cứng) (IM) dạng 2.
Nghiệm xấp xỉ được chọn để thoả mãn điều kiện biên là [16]
2.1.3.

r
w W

2
0

 r2 
r04

2
*

,w

r
 h

2
0

Hàm ứng suất F được xác định với [16]
E1W  r 5 r02 r 3  E1W  W  2 h   r 7
F
r



 

r R 6
2 
r08
E W  W  2 h 
 1
r  Nr 0r
2r02
4
0

 r2 
r04

 

6

2

(2.10)

 EW
2r02 r 5
 r04 r 3   1 r
3
 3R
(2.13)

Thay các biểu thức (2.10), (2.11) và (2.13) vào phương trình (2.6)
và áp dụng phương pháp Bubnov - Galerkin cho phương trình kết quả, tức
là nhân vào hai vế phương trình kết quả với (r02  r 2 ) 2 / r04 và lấy tích phân
trên miền 0  r  r0 ta thu được


7
976 E1W  W+ h  409 E1W  W  2 h 
 64 D 3E 
q   4  12  W 

(2.14)
7R 
693r02 R
693Rr02
 r0
40 N

2N
848E1
16k W 40k W

 W+ h  W  W  2 h   2r 0  W+ h   r 0  1  22 .
429r04
7r0
R
21
7r0

Phương trình (2.14) sẽ được sử dụng để xác định các tải vồng loại cực
trị và các đường cân bằng phi tuyến liên hệ độ võng – tải trọng của các vỏ
cầu thoải FGM chịu áp lực ngoài phân bố đều trên bề mặt vỏ, có và không
kể đến ảnh hưởng của nhiệt độ.
Vỏ cầu thoải FGM chịu liên kết ngàm trượt trên cạnh biên và áp lực
với cường độ q (Pascal) phân bố đều trên bề mặt ngoài của vỏ trong điều
kiện đẳng nhiệt. Trong trường hợp này Nr 0  0 và phương trình (2.14) đưa
về phương trình liên hệ độ võng – áp lực được cho trong công thức
 64 D 3E
16 DK1 40 DK 2 
E1
q   4 4  12 

W
W 1385W  1794  
4 4
4 4 
693Rh3 R02
 Rh R0 7 Rh 21Rh R0 7 Rh R0 

848E1
W W   W  2  .
(2.15)
429 Rh4 R04
trong đó:
r
E
k a4
k a2
R
D
W
(2.16)
Rh  ; R0  0 ; D  3 ; E1  1 ; W  , K1  1 , K 2  2 .
h
R
h
h
h
D
D
Điểm cực đại, cực tiểu của giá trị tải trọng tương ứng với hai hàm độ
võng W1 , W2 (hay là điểm tới hạn trên và điểm tới hạn dưới) tương ứng là


1
3C 2

3



2
2
2
B
3
AC

2
B

2(B

AC)

 
,



1
 q(W2 ) 
3C 2

3


2
2
2

 B  3 AC  2 B   2(B  AC)  .



qupper  q(W1 ) 
qlower

(2.21)

2.1.4. Phân tích ổn định phi tuyến kết cấu chịu tải cơ nhiệt kết hợp
Xét vỏ cầu thoải FGM chịu liên kết ngàm tựa cố định trên biên và
chịu tác dụng đồng thời của áp lực q (Pascal) phân bố đều trên mặt ngoài và
tải nhiệt. Điều kiện không thể dịch chuyển trên cạnh biên, có thể được thoả
mãn theo nghĩa trung bình như sau, trong đó
u 1  F
 2 F  E  2 w 1  w  w w* w  m
 
v 2  2 2  
 
 
r E1  rr
r  E1 r
2  r 
r r R E1
2

(2.23)

Thay các biểu thức ở (2.10), (2.11) và (2.13) vào phương trình (2.23),

8
sau đó lấy tích phân theo (2.22), thu được biểu thức của phản lực trên cạnh
biên tựa cố định
  5v  7  E1

35  13v  E1 W W  2 h (2.24)
2E2 
Nr 0   m  

W


2
1  v  36 1  v  R 1  v  r0 
72 1  v  r02
Trong biểu thức (2.24), giá trị của  m sẽ được xét trong hai trường
hợp ảnh hưởng của nhiệt độ:
Ảnh hƣởng của nhiệt đ tăng dần
Khi vỏ cầu thoải FGM được đặt trong trường nhiệt độ tăng đều từ giá
trị đầu Ti đến giá trị cuối T f thì m  PhT . Thay N r 0 vào (2.14) ta thu
được biểu thức hiển liên hệ độ võng, áp lực và nhiệt độ như được cho trong
E   Emcc Emcmc

, T  T f  Ti .
công thức dưới, với P  Ec c  c mc
N 1

2N  1

Nhiệt đ tăng theo chiều dày thành kết cấu
Sự phân bố nhiệt độ qua chiều dày của vỏ cầu thoải FGM được biểu
thị như sau [17]

  K c  K m  h  2 K cm z  

ln
 
4
K
2hK m
cm


 
2
 
T   K c  K m  2 K cm Rh  h 
2( R  z )
T  z   Tm 

  ln
  (2.29)
I 
2R  h

 


2(2 z  h)



  K c  K m  2 K cm Rh  ( R  z )2 R  h


trong đó z đã được thay bằng z  R sau khi lấy tích phân. Giả sử nhiệt độ bề
mặt kim loại được giữ không đổi ở nhiệt độ ban đầu, điều này dẫn đến
 m  ThL , trong đó các biểu thức L, I được cho trong Phụ lục 2.1.
I
Tiến hành tương tự như trường hợp nhiệt độ tăng đều phía trên ta thu
được biểu thức của các đường cong q(W) của vỏ cầu FGM chịu đồng thời
áp lực ngoài đều và sự truyền nhiệt qua chiều dày như ở (2.25) trong đó P
được thay bằng L / I và T  Tc  Tm .
2.1.5. Kết quả số
Ứng xử ổn định phi tuyến đối xứng trục vỏ cầu thoải FGM
Hình 2.2 chỉ ra rằng nền đàn có hồi ảnh hưởng tích cực, khả năng
chịu tải của vỏ cầu tăng lên trong suốt quá trình tăng của kệ số K1 và K 2 .
Ngoài ra, ảnh hưởng của hệ số K 2 mạnh hơn ảnh hưởng của hệ số K1 .
Trường hợp không có nền đàn hồi, kết quả này cũng nhận được trong bài
báo của Bích và Tùng [16], cho thấy sự tin cậy của luận án.


9
0.06
0.05

____ Luận án,
_ _ _ Luận án,
o Bích và Tùng (2011),
* Bích và Tùng (2011),

0.04

0.03

4
3

0.02
2
0.01

1
0

0

1

2

3

4

5

Hình 2. 2. Ảnh hưởng của nền đàn
hồi và tính không hoàn hảo lên ổn
định phi tuyến vỏ cầu thoải FGM

(IM)

Hình 2.8. Ảnh hưởng của trường
nhiệt độ và tính không hoàn hảo lên
ứng xử phi tuyến đối xứng trục của
vỏ cầu thoải FGM với các cạnh tựa
cố định (IM)

Hình 2.8 cho thấy rằng vỏ cầu hoàn hảo khi không chịu tác dụng của
tải nhiệt biểu hiện một một ứng xử thông qua phản ứng hóp lành tính hơn và
có ứng sử sau mất ổn định dường như ôn hòa hơn.
Ứng xử ổn định phi tuyến đối xứng trục vỏ cầu thoải S-FGM
Từ hình 2.13 có thể thấy khả năng mang tải của vỏ cầu thoải S-FGM
là cao hơn so với vỏ cầu thoải FGM trong cả hai trường hợp vỏ hoàn hảo và
không hoàn hảo về hình dáng ban đầu. Hình 2.20 chỉ ra rằng các vỏ cầu
thoải thể hiện một ứng xử đơn điệu tăng trong độ võng và không có sự rẽ
nhánh các trạng thái cân bằng

Hình 2.13. Ứng xử của vỏ cầu thoải
FGM và S-FGM trong cùng điều
kiện

Hình 2.20. Ảnh hưởng của sự phụ
thuộc nhiệt độ của các tính chất vật
liệu lên ứng xử ổn định của vỏ cầu
S-FGM (IM).

2.2. Phân tích ổn định phi tuyến kết cấu vỏ cầu S-FGM biến dạng đối
xứng trục sử dụng lý thuyết biến dạng trƣợt bậc nhất

10
2.2.1. Đặt vấn đề
Trong phần này của luận án, sử dụng lý thuyết biến dạng trượt bậc
nhất bằng phương pháp đặt hàm chuyển vị, tác giả sẽ phân tích ổn định tĩnh
cho kết cấu vỏ cầu thoải S-FGM biến dạng đối xứng qua mặt giữa trên nền
đàn hồi với tính chất vật liệu phụ thuộc vào nhiệt độ và biến thiên theo chiều
dày thành kết cấu theo quy luật Sigmoid. Đặc biệt trong phần này, tác giả
cũng xem xét tới trường hợp tấm tròn.
2.2.2. Các phương trình cơ bản
Kết cấu vỏ cầu thoải S-FGM giả định là chịu biến dạng đối xứng tại
mặt giữa của vỏ, khi đó các thành phần biến dạng tại bề mặt cách mặt giữa
__ __ __

một khoảng z được kí hiệu là u , v , w và được xác định theo công thức [105]
_

u  r , z   u  r   z  r  ,

_

v  r , z   0,

_

w  r, z   w  r 

(2.35)

Các thành phần nội lực và mô – men trong vỏ được biểu diễn qua các

thành phần ứng suất như sau

 Nr , N   h/2  r ,   dz,  M r , M  h/2  r ,   zdz,
h/2

h/2

Qr  Ks 

h/2

 h/2

 rz dz. (2.36)

với K s là hệ số hiệu chỉnh và thường được chọn bằng 5 / 6 .
Trong khuôn khổ lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất của vỏ, các
phương trình cân bằng phi tuyến của vỏ trên nền đàn hồi được cho bởi [74]
 w 
  rNr 
  rNr 
  rM r 
  rQr  r
r 
 N  0;
 M  rQr  0;
  N r  N   
 r  q  q f   0. (2.38)
r
r

r
R
r
với q là áp lực ngoài phân bố đều trên bề mặt ngoài của vỏ, q f thay thế
quan hệ nền đàn hồi.
Vỏ cầu thoải được xét bị ngàm tại các cạnh đáy tựa cố định và chịu
biến dạng đối xứng trục. Nghiệm xấp xỉ của hệ thỏa mãn điều kiện biên
được đề xuất có dạng như dưới
r02  r 2 
r  r02  r 2 

r  r0  r 
(2.41)
.
u U
, 
, w W
r04
r03
r02
ở đây U ,  là biên độ của thành phần chuyển vị u, , W là độ võng.
2

Phương trình được sử dụng để phân tích ổn định phi tuyến đối xứng
trục vỏ cầu thoải S-FGM trên nền đàn hồi chịu tác dụng của áp lực ngoài
phân bố đều trên bề mặt và tải nhiệt độ với tính chất vật liệu phụ thuộc vào
nhiệt độ có dạng
__
__
__

(2.47)
2
3
q  e1  e2 W  e3 W  e4 W


11
trong đó các tham số được ghi trong phụ lục 2.1.
Giá trị tải trọng tới hạn của vỏ được tính theo công thức
__
 __ 
qcr  q  W1   e1  e2 W1  e3 W12  e4 W13
 
Điều kiện để tồn tại tải tới hạn là: e32  3e2e4  0
__

__

(2.51)
(2.52)

Tấm tròn FGM hoặc S-FGM
Độ biến thiên nhiệt độ T
1   12  '

__
__
'
'
2

e

e
W

e
W
 2 3

4
4P 

Giá trị biến thiên nhiệt độ tới hạn Tcr

T 

__
__

2 1    K s2 E1
K s E1

2
2
__
__
  __
2
2 
2

32
E

K
E


K
E


1


 1    1
1    1  
3
s 1 1
s 1 1 



Tcr 
4 P 
__
__
  1 K1 E1  1 E1 K 2
 20 1   2   4 3 1   2   4
1
1



(2.53)





.





(2.54)

2.2.3. Kết quả số
Giá trị biến thiên nhiệt độ tới hạn được tính toán theo công thức
(2.54) và được so sánh với kết quả thu được bởi Trần và các đồng nghiệp
trong [104] Có thể thấy từ hình 2.21 có một sự tương đồng giữa hai đồ thị
kết quả thu được.

Hình 2.21. So sánh độ biến thiên
nhiệt độ tới hạn Tcr của tấm tròn
đẳng hướng với điều kiện nhiệt độ
tăng dần.

Hìn 2.22. So sánh ứng xử phi tuyến
của vỏ cầu thoải S-FGM với P-FGM

12
So sánh thứ hai được xem xét ở đây là khảo sát ứng xử phi tuyến đối
xứng trục của kết cấu vỏ cầu thoải S-FGM và P-FGM (nghiên cứu của tác
giả Hoàng văn Tùng [105]). Có thể thấy trong giai đoạn trước mất ổn định,
khả năng tải của vỏ cầu FGM là tốt hơn, nhưng trong giai đoạn sau mất ổn
định, điều này lại ngược lại, tức là vỏ cầu S-FGM chịu tải tốt hơn FGM.
Kết luận chƣơng 2
Chương 2 của luận án đã giải quyết được một số vấn đề sau:
1. Các phương trình cơ bản được thiết lập dựa trên lý thuyết vỏ
Donnell và tính phi tuyến hình học von Kármán.
2. Sử dụng lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất phân tích ổn định phi
tuyến đối xứng trục kết cấu vỏ cầu thoải S-FGM trong trường hợp thành kết
cấu dày.
3. Khảo sát ảnh hưởng của nhiệt độ lên ứng xử của kết cấu, để từ đó
đưa ra được những kết luận chính xác nhất về ảnh hưởng của trường nhiệt
độ lên kết cấu.
4. Đã khảo sát được ảnh hưởng của vật liệu, đặc trưng hình học, tính
không hoàn hảo về hình dáng ban đầu và điều kiện biên lên ổn định phi
tuyến của kết cấu vỏ cầu thoải FGM và S-FGM trong trường hợp kết cấu
được xét có tính đối xứng và không xét đến tính đối xứng. Kết quả chính
của chương này được thể hiện trong các bài báo [1, 6, 7, 8, 10] trong “Danh
mục công trình khoa học của tác giả liên quan đến luận án”.
CHƢƠNG 3
ỔN ĐỊNH PHI TUYẾN KẾT CẤU VỎ CẦU NHẪN FGM

3.1. Bài toán tổng quát ổn định phi tuyến kết cấu vỏ cầu nhẫn
FGM
3.1.1. Đặt vấn đề
Trong phần này của luận án, tác giả sẽ trình bày giải pháp nhằm khắc

phục khó khăn về mặt toán học đối với bài toán tổng quát nhất của ổn định
kết cấu vỏ cầu nhẫn FGM.
3.1.2. Phương trình cơ bản

Hình 3.1. Mô hình vỏ cầu nhẫn FGM trong điều kiện biên tổng quát.


13
Xét mô hình kết cấu vỏ cầu nhẫn FGM với bán kính cong R, độ dày
thành kết cấu h , hai bán kính của hình tròn cơ sở trên và dưới tương ứng là
r0 , r1 . Xét điều kiện biên vỏ tựa đơn với cạnh biên tựa tự do (FM) hoặc tựa cố
định (IM) chịu áp lực ngoài q phân bố đều trên bề mặt vỏ và tải nén Nr 0 , Nr1
trên các cạnh đáy của đường tròn vĩ tuyến có bán kính tương ứng r1 , r0 như ở
hình 3.1.
Trường hợp 1 (TH1). Các cạnh đáy tựa đơn với cạnh biên tựa tự do (FM),
điều kiện biên được viết dưới dạng công thức như sau
 2 w w

 0, N r  N0 , N r  0 , tại r  r0
r 2 r
r2
 2 w w
w  0, 2 
 0, N r  N0 ( 02 ), N r  0 tại r  r1
r
r
r1
w  0,

với N0   ph , và p là tải nén.

Trường hợp 2 (TH2). Các cạnh đáy tựa đơn với cạnh biên tựa cố định (IM)
 2 w w

 0, N r  N0 , N r  0, tại r  r0
r 2 r
r2
 2 w w
u  0, w  0, 2 
 0, N r  N0 ( 02 ), N r  0 , tại r  r1
r
r
r1

u  0, w  0,

Giải pháp được đề xuất thông qua phép biến đổi như sau
w  w( ), F  F0 ( ) e2 , với r  r0 e ,   ln

r
.
r0

(3.4)

Ứng với phép biến đối này, hệ hai phương trình tương thích biến
dạng và cân bằng được đưa về hệ hai phương trình với hai ẩn mới w( ) và
F0 ( ) , ứng với điều kiện biên (3.3a) và (3.3b), nghiệm xấp xỉ được chọn để
thỏa mãn điều kiện biên của hệ có dạng
r
w  We sin( 1 ) sin(n ), 1  m , a  ln 1 .

(3.7)
a

r0

trong đó W là độ võng lớn nhất và m, n là số nửa bước sóng theo phương
kinh tuyến và vĩ tuyến tương ứng. Dạng nghiệm này được Agamirov đề xuất
trong tài liệu [110] và được tác giả Sofiyev áp dụng lần đầu tiên cho vỏ nón
cụt trong [92].
3.2. Ổn định phi tuyến kết cấu vỏ cầu nhẫn FGM đối xứng


14
3.2.1. Đặt vấn đề
Trong phần này của luận án, tác giả sẽ trình bày cách tiếp cận giải
tích để giải quyết bài toán ổn định phi tuyến kết cấu vỏ cầu nhẫn đối xứng
FGM tựa trên nền đàn hồi với các tính chất vật liệu phụ thuộc vào nhiệt độ.
3.2.2. Phương trình cơ bản

Hình 3.2. Mô hình vỏ cầu nhẫn đối xứng FGM trên nền đàn hồi.
Hai phương trình cơ bản được sử dụng để nghiên cứu ổn định phi
tuyến kết cấu vỏ cầu nhẫn đối xứng FGM
3 F0
 2 F0 
r02  2 w 1  2 w w w
1   4 F0

(
 )
,

 4  4 3  4 2  
E1  

 
R  2 e2  2  

  4 w 4 3 w 4 2 w  r 2e4
D1  4  3  2   0

 
R
 

(3.13)

  2 F0 4F0
  F
   2 w w 
 4 F0    0  2 F0   2   e2
 2 

    
 
  

 2 F
F  w
  20  2 F0  3 0  e2  qr04 e4  k1r04e4  k2 r02e2 .
  
 

(3.14)

3.2.3. Phân tích ổn định
Vỏ cầu nhẫn đối xứng FGM được được giả định tựa đơn và chịu tải
trọng phân bố đều trên bề mặt ngoài và các cạnh đáy của nó. Nghiệm xấp xỉ
(3.7) cho kết cấu đối xứng với điều kiện biên trên được cho bởi dạng mới
r
m
w  We sin(  ),  
, a  ln 1 ,
(3.16)
a

r0

Phương trình được sử dụng để xác định các tải vồng và các đường
cân bằng phi tuyến liên hệ độ võng – tải trọng dưới tác dụng của tải cơ và tải
nhiệt có kể đến ảnh hưởng của nền đàn hồi đối với kết cấu vỏ cầu nhẫn đối
xứng FGM:
__

__

__

__

__

__

__

__

__

q  N 0 M 5 W  N 0 M 6  M1 W  M 2 W 2  M 3 W 3 ,

trong đó các hằng số được cho ở phụ lục.
3.2.3.1. Ổn định phi tuyến kết cấu chịu tải cơ

(3.20)


15
Vỏ cầu nhẫn đối xứng FGM với các cạnh được xét là tựa đơn và
không dịch chuyển. Nếu vỏ chỉ đơn giản, chịu tải trọng ngoài phân bố đều
trên bề mặt vỏ và tựa nền đàn hồi, thì N0  0 .
Tải tới hạn trên qupper (qu ) và tải tới hạn dưới qlower (ql ) :
__
__
__
__
__ __ 
__ __
__
__ __
M 2  M 22  3 M1 M 3  5 M 22  6 M1 M 3  5 M 2 M 22  3 M 1 M 3

qu 

__
__

3 M3
9 M3




,



__
__
__
__ __ 
__ __
__
__ __
__
M 2  M 22  3 M1 M 3  5 M 22  6 M 1 M 3  5 M 2 M 22  3 M 1 M 3
ql 

__
__

3 M3

9 M3




.



(3.23)

(3.24)

3.2.3.2. Ổn định phi tuyến kết cấu chịu tải cơ nhiệt kết hợp
Phương trình được sử dụng để xác định các đường cong tải nhiệt kết
cấu vỏ cầu nhẫn đối xứng FGM chịu áp lực ngoài phân bố đều trên bề mặt
ngoài của vỏ.
__

__

__

 __

 __

 __

q

W
W2
W3
T  __
 __
M1  4   __
M 2  2  5   __
M 3  3  .



2 PRh
2PRh 
  W  2 PRh 
  W  2 PRh 

1 W 
 W
1
1
1  v  1 1  v 
1  v 
1  v 

(3.31)
3.2.4. Kết quả tính toán

Hình 3.10. Ảnh hưởng của tỉ lệ
R/h lên ổn định phi tuyến nhiệt
của vỏ cầu nhẫn FGM

Hình 3.11. Ảnh hưởng của bán
kính r0 , r1 lên ổn định phi tuyến
nhiệt của vỏ cầu nhẫn FGM

Hình 3.10 và 3.11 phân tích ảnh hưởng của các thông số hình học lên
khả năng mang tải, và tải nhiệt của vỏ..


16
3.3. Ổn định phi tuyến kết cấu vỏ cầu nhẫn FGM
3.3.1. Đặt vấn đề
Ở phần này của luận án, tác giả xem xét ảnh hưởng trực tiếp của nhiệt độ
lên ứng xử của kết cấu.
3.3.2. Phương trình cơ bản
Xét kết cấu vỏ cầu nhẫn làm bằng vật liệu FGM tựa trên nền đàn hồi,
chịu tải trọng ngoài q phân bố đều trên bề mặt vỏ.
3.3.3. Phân tích ổn định
Bài toán đặt ra ở phần này của luận án là xét kết cấu vỏ cầu nhẫn
FGM chịu tải trọng phân bố đều trên bề mặt ngoài và các cạnh đáy, khi đó
điều kiện biên được viết bởi
 2 w w
u  0, w  0, 2   0, N r  N0 , N r  0, với   0 (tức tại r  r0 )
(3.34)
 
Với điều kiện biên (3.36) cùng với hai phương trình (3.32) và (3.33),
nghiệm xấp xỉ được chọn để thỏa mãn điều kiện biên được lấy như ở công
thức (3.7) đối với bài toán tổng quát
r
w  We sin( 1 ) sin(n ), 1  m , a  ln 1 .

(3.35)
a

r0

Phương trình được sử dụng để xác định các tải vồng và các đường
cân bằng phi tuyến liên hệ độ võng – tải trọng dưới tác dụng của tải trọng
phân bố đều có và không kể đến ảnh hưởng của nhiệt độ.
q

3
N0 A5
A0 N 0  DA3 E1 A4 k1 A6 k2 A7 
E1 A2W 2 E1 AW
1
W





W


. (3.41)


RB1  B1r04 B1 R 2
B1
B1r02

B1r02 
RB1r02
B1r04

3.3.3.1. Ổn định cơ học
Vỏ cầu nhẫn FGM tựa đơn với các cạnh tựa tự do chịu tải trọng
q (Pascals) phân bố đều trên bề mặt ngoài của vỏ trong điều kiện đẳng nhiệt.
Trong trường hợp này N0  0 và phương trình (3.47) đưa về phương trình
liên hệ độ võng – áp lực được cho trong công thức
 D* R4 A E* A R 2 K D* A K D* A R 2 
E * A R3
E* A R4
q   h 4 3  1 4 h  1 6  2 27 h  W *  1 2 2 h (W * )2  1 1 4 h (W * )3 (3.42)
B1
B1
B1R0 
B1R0
B1R0
 B1R0
3.3.3.2. Ổn định cơ nhiệt
Xét vỏ cầu nhẫn FGM tựa đơn với các cạnh tựa tự cố định chịu tải
trọng q (Pascal) phân bố đều trên mặt ngoài trong môi trường nhiệt.
Phương pháp phân tích tương tự như ở chương 2 cho kết cấu vỏ cầu
thoải FGM.


17
3.3.4. Kết quả tính toán
q(GPa)

q(GPa)

1.5

0.6

R/h=300,
(m,n)=(1,11)
r1=R/2; r0=R/30

k=0

0.4
k=1
k =5

0.2

(m,n)=(1,11);
k=1
r1=R/2; r0=R/30

R/h=200
1

K1  K 2  0

K1  K 2  0

T  00 C

T  00 C

0.5

R/h=300

0

R/h=400
0

k=

-0.2

R/h=500
-0.5

-0.4
0

1

2

W/h

3

4

5

Hình 3.12. Ảnh hưởng của k
lên ổn định phi tuyến của vỏ cầu
nhẫn FGM chịu áp lực ngoài

0

1

2

W/h

3

4

5

Hình 3.13.Ảnh hưởng của
R / h lên ổn định phi tuyến
của vỏ cầu nhẫn FGM

Hình 3.12 thể hiện ảnh hưởng của tỉ lệ thể tích k (0,1,5, ) lên ổn
định phi tuyến của vỏ cầu nhẫn FGM chịu áp lực ngoài
(mode (m, n)  (1,11) ). Hình 3.13 khảo sát các ảnh hưởng của tỷ số bán kính
trên chiều dày R / h (200, 300, 400, và 500) lên ứng xử ổn định phi tuyến

của vỏ cầu nhẫn FGM chịu áp lực ngoài (mode (m, n)  (1,11) ). Có thể thấy
rằng, khả năng mang tải của vỏ cầu nhẫn bị giảm đáng kể khi R / h tăng.

3.4. Phân tích ổn định tuyến tính kết cấu vỏ cầu nhẫn FGM có
gân gi cƣờng trên nền đàn hồi
3.4.1. Đặt vấn đề
Trong phần này, tác giả nghiên cứu kết cấu tựa trên nền đàn hồi, và gân
gia cường theo cả phương vĩ tuyến và phương kinh tuyến.
3.4.2. Các phương trình cơ bản

Hình 3.23. Mô
hình kết cấu vỏ
cầu nhẫn FGM
có gân gia
cường.


18
Lý thuyết vỏ cổ điển, kỹ thuật san đều tác dụng gân của Lekhnitsky
với các gân đặt mau [4] được sử dụng trong phần này của luận án, biểu thức
lực dọc và mô men

E A
N r   A11  0 1   r0  A120   B11  C1   r  B12  ,
s1 


E A 
N  A12 r0   A22  0 2  0  B12  r   B22  C2   ,
s2 


0
N r  A66 r  2 B66  r ,

(3.52)


EI 
M r   B11  C1   r0  B120   D11  0 1   r  D12  ,
s1 


EI 
M   B12 r0   B22  C2  0  D12  r   D22  0 2   ,
s2 

0
M r  B66 r  2 D66  r ,

Các phương trình ổn định của vỏ cầu nhẫn FGM có gân gia cường có
thể được thiết lập bởi tiêu chuẩn cân bằng lân cận (hay còn gọi là tiêu chuẩn
ổn định tĩnh). Các thành phần chuyển vị và các thành phần lực dọc và mô –
men của các trạng thái cân bằng lân cận (trạng thái B) ký hiệu bởi
(3.55)
u  u0  u1 , v  v0  v1 , w  w0  w1.
N r  N r0  N r1 , N  N0  N1 , N r  N r0  N r1 ,
M r  M r0  M r1 , M   M 0  M 1 , M r  M r0  M r1 .

(3.56)

Các cạnh của vỏ cầu nhẫn là tựa tự do, vì vậy điều kiện biên viết cho
gia số được biểu diễn bởi
(3.67)
w1  0, M r1  0, Nr1  0, Nr1  0, tại r  r0
Nghiệm của hệ phương trình (3.66) thỏa mãn điều kiện biên (3.67) được
chọn
u1  U cos

m  r  r0 
m  r  r0 
m  r  r0 
sin  n  ; v1  V sin
cos  n  ; w1  W sin
sin  n  .
r1  r0
r1  r0
r1  r0

Sử dụng nghiệm trên và áp dụng phương pháp Galerkin, sau đó biến
đổi thu được hệ ba phương trình đại số tuyến tính với các biến mới
U , V ,W như sau


19
a11U  a12V  a13W  0,
a21U  a22V  a23W  0,

(3.70)

a31U  a32V   a33  qa34  pa35  k1a36  k2 a37  W  0,

các hệ số aij được thể hiện trong Phụ lục 3.4.
Phương trình (3.72) dưới đây là phương trình cơ bản để xác định tải
làm mất ổn định của vỏ cầu nhẫn FGM có gân và không gân gia cường dưới
áp lực ngoài và tải nén tựa trên nền đàn hồi. Các giá trị tải tới hạn được xác
định bằng cách tối thiểu hóa tải trọng với các giá trị tương ứng của  m, n .
qa34  pa35 

1
a12 a21  a11a22

 a31  a12 a23  a13 a22   a32  a13 a21  a11a23 

 . (3.72)
   a33  k1a36  k2 a37  a11a22  a12 a21  

3.4.3.
Kết quả tính toán
Kết quả so sánh được thể hiện trong bảng 3.1cho thấy sự đồng nhất
giữa hai nghiên cứu, sai số là không đáng kể, hay nói cách khác phương
pháp tiếp cận của bài toán là đáng tin cậy.
Bảng 3. 1. So sánh tải nén tới hạn pcr  GPa  với kết quả của tác giả Đào
Huy Bích và Nguyễn Thị Phƣơng [4] cho kết cấu vỏ cầu nhẫn FGM
kh ng có gân gi cƣờng dƣới tác dụng của tải nén
R h

k 0

k 1
a

k 5
a

Tài liệu [4]
1.1395
0.6200
800
Luận án
1.1390 a
0.6223 a
a
Tài liệu [4]
0.9252
0.4979b
1000
Luận án
0.9243 a
0.4970b
b
Tài liệu [4]
0.7592
0.4144 b
1200
Luận án
0.7590 b
0.4100 b
Dạng mode vồng: a=(5, 1), b=(6, 1).

k  10

a

0.3708
0.3700 a
0.3002 a
0.3000 a
0.2468 b
0.2460 b

0.3194 a
0.3176 a
0.2551 a
0.2550 a
0.2121 b
0.2120 b

Bảng 3.2 chỉ ra sự ảnh hưởng của cách bố trí gân lên tải tới hạn
pcr , qcr của vỏ cầu nhẫn FGM. Có thể thấy rằng đối với kết cấu vỏ cầu nhẫn
FGM việc bố trí gân trong làm cho khả năng chịu tải của vỏ cao hơn so với
bố trí gân ngoài.


20
Bảng 3. 2. Ảnh hƣởng của cách bố trí gân gi cƣờng lên tải nén
tới hạn pcr  GPa   k  1, R / h  1000, r1 / R  0.3, R / r0  20
pcr  GPa 

Không gân
Gân theo kinh tuyến  n1  30 
Gân theo vĩ tuyến  n2  30 

Gân theo kinh tuyến và vĩ tuyến

 n1  n2  15

Gân ngoài

Gân trong

18.7728 (1,1)

18.7728 (1,1)

20.3599 (1,1)

20.9102(1,1)

21.7343 (1,1)

27.6560(1,1)

21. 0549(1,1)

24.4792(1,1)

Kết luận chƣơng 3
- Thiết lập được các hệ thức và các phương trình cơ sở của bài toán
ổn định phi tuyến kết cấu vỏ cầu nhẫn trong hệ tọa độ cầu theo phương pháp
giải tích. Sử dụng phép biến đổi đưa về hàm số mũ e đã khắc phục được khó
khăn về mặt toán học đối với bài toán về kết cấu vỏ cầu nhẫn. Giải pháp này
sẽ không chỉ được áp dụng đối với bài toán liên quan tới vỏ cầu nhẫn, mà

còn áp dụng được cho cả kết cấu mảnh cầu nhẫn.
- Đối với vỏ cầu nhẫn FGM có gân gia cường, luận án đã giải quyết
được bài toán tổng quát trong trường hợp xét gân gia cường cả theo phương
kinh tuyến và vĩ tuyến
- Kết quả chính của chương này thể hiện trong các bài báo [3, 4, 5, 9,
11] trong “Danh mục công trình khoa học của tác giả liên quan đến luận án”.
CHƢƠNG 4
ỔN ĐỊNH PHI TUYẾN KẾT CẤU MẢNH CẦU NHẪN FGM
4.1. Mở đầu
Mảnh cầu nhẫn là trường hợp đặc biệt của vỏ cầu. Nó được tạo ra khi
cắt 1 hình cầu bằng hai kinh tuyến và hai vĩ tuyến song song bất kì.
4.2. Ổn định phi tuyến kết cấu mảnh cầu nhẫn trong m i trƣờng nhiệt đ
4.2.1. Phương trình cơ bản
Xét mô hình kết cấu mảnh cầu nhẫn làm bằng vật liệu FGM tựa trên
nền đàn hồi với bán kính cong R, 2 bán kính của hình tròn cơ sở trên và dưới


21
tương ứng là r0 , r1 , góc mở của 2 mặt phẳng kinh tuyến là  và độ dày
thành kết cấu h .

Hình 4. 1. Mô hình mảnh cầu nhẫn FGM chịu áp lực ngoài
Khi chưa xét đến sự ảnh hưởng của góc mở  , các phương trình cơ
bản tương tự như đối với vỏ cầu nhẫn. Hàm ứng suất F và phép biến đổi
được sử dụng để thu được 2 phương trình phi tuyến với 2 hàm w( ) và
F0 ( ) như ở (3.38) và (3.39).

4.2.2. Ổn định cơ nhiệt
Mảnh cầu nhẫn FGM được giả định tựa đơn và chịu tải trọng phân bố
đều trên bề mặt ngoài và các cạnh đáy. Khi đó dạng nghiệm:

w  We sin( 1 ) sin(  2 ),
(4.4)
r
m
n
1 
, a  ln 1 ,  2 
.
a
r0

Phương trình (4.10) dưới đây sẽ được sử dụng để xác định các tải
vồng và các đường cân bằng phi tuyến liên hệ độ võng – tải trọng dưới tác
dụng của tải trọng phân bố đều có và không kể đến ảnh hưởng của nhiệt độ.
N0 A5
A N  DA E A k A k A 
EA
EA
W  0 0   34  1 42  1 6  2 27  W  1 22 W 2  1 41 W 3 .(4.10)
2
B1r0
RB1  B1r0 B1R
B1 B1r0 
RB1r0
B1r0
Bài toán được đặt ra ở đây đối với kết cấu mảnh cầu nhẫn là tương tự
như đối với bài toán vỏ cầu nhẫn FGM. Do đó phương pháp và cách phân
tích ổn định phi tuyến kết cấu dưới ảnh hưởng của tải cơ và tải nhiệt là hoàn
toàn tương tự như ở vỏ cầu nhẫn phần 3.2. Do đó ở phần này của luận án sẽ
không trình bày phần phân tích ổn định nữa, mà đi thẳng vào phần kết quả.

4.2.3. Kết quả tính toán
Hình 4.15 chỉ ra ảnh hưởng của áp lực bên ngoài lên khả năng tải
nhiệt của mảnh cầu nhẫn trong môi trường nhiệt độ.
q