Bài giảng Lý thuyết xác suất thống kê toán - Chương 1: Biến cố - Các công thức tính xác suất

LÝ THUYẾT XÁC SUẤT
CHƯƠNG 1
Biến cố – Các công thức tính xác suất
1. Phép thử và biến cố
1.1 Khái niệm
Phép thử ngẫu nhiên.
Không gian mẫu Ω.
Biến cố.
Biến cố A xảy ra.
Biến cố chắc chắn Ω. Biến cố không thể ∅.


Ví dụ
“Tung xúc sắc và xem mặt nào xuất hiện".
1 chấm: ω1, 2 chấm: ω2,..., 6 chấm: ω6.
Không gian mẫu Ω = {ω1, ω2,…, ω6}.
A = {ω1, ω6} là một biến cố.


1.2 Các phép toán biến cố
Biến cố là tập hợp. Dựa theo các phép toán và
quan hệ trên tập hợp ta có các phép toán biến cố.
1.2.1 Biến cố kéo theo, biến cố tương đương
A ⊂ B: A kéo theo B, ký hiệu A ⇒ B.
A = B: A và B tương đương, ký hiệu A = B.


1.2.2 Biến cố tổng
A+B (A∩B) xảy ra khi A hay B xảy
ra.
n

A1 + A2 +...+ An ( ∑ A i hay
i =1

n

∪ Ai )

xảy ra khi có

i =1

một biến cố Ai xảy ra.
Nếu A1 + A2 +...+ An = Ω thì A1, A2, ..., An gọi là
họ biến cố đầy đủ.
Kết quả phép thử phải xảy ra một biến cố trong
họ đầy đủ.


1.2.3 Biến cố hiệu
A–B (A\B) xảy ra khi biến cố A xảy
ra nhưng biến cố B không xảy ra.
A = Ω–A gọi là biến cố đối lập của A.
Một biến cố không xảy ra thì biến cố đối
lập với nó xảy ra.


1.2.4 Biến cố tích
A.B (A∪B) xảy ra khi A và B đồng
thời xảy ra.

n

A1.A2...An ( ∏ A i hay
i =1

n

∩ Ai )

xảy ra khi mọi biến

i =1

cố Ai đều xảy ra đồng thời.
Nếu A.B = ∅ ta nói hai biến cố A và
B là xung khắc.
Một biến cố xảy ra thì biến cố xung khắc với nó
không xảy ra.
A1, A2, ..., An là họ biến cố xung khắc từng đôi
nếu hai biến cố bất kỳ trong họ là xung khắc.


Ghi chú
Trong hai biến cố đối lập phải xảy ra một.
Hai biến cố xung khắc có thể đều không xảy ra.
Phải xảy ra một và chỉ một biến cố trong họ đầy
đủ và xung khắc từng đôi.
A và A là họ biến cố đầy đủ và xung khắc từng
đôi.

Ví dụ
Xét phép thử tung xúc sắc.
{ω1} và {ω2} là hai biến cố xung khắc.
{ω1, ω3, ω3} và {ω2, ω4, ω6} là hai biến cố đối lập.
{ω1}, {ω2}, ..., {ω6} là họ đầy đủ và xung khắc
từng đôi.


Ví dụ
(1) Trong lớp có sinh viên giỏi Toán, giỏi Anh văn.
Gặp ngẫu nhiên một sinh viên trong lớp.
Gọi A là biến cố "sinh viên này giỏi Toán", B là
biến cố "sinh viên này giỏi Anh văn".


A+B là biến cố "gặp sinh viên giỏi Toán hay giỏi
Anh văn". (giỏi ít ra là một môn).
A.B là biến cố "gặp sinh viên giỏi Toán và giỏi
Anh văn". (giỏi cả hai môn).
A+B là biến cố "gặp sinh viên không phải giỏi
Toán hay giỏi Anh văn". (không giỏi môn nào cả).
A . B là biến cố "gặp sinh viên không giỏi Toán
và không giỏi Anh văn". (không giỏi môn nào cả).
A.B là biến cố "gặp sinh viên không phải giỏi
Toán và giỏi Anh văn". (không giỏi cả hai môn).
A + B là biến cố "gặp sinh viên không giỏi Toán
hay không giỏi Anh văn". (không giỏi cả hai môn).

A B , A B, A B + A B là gì ?

Ghi chuù
Ta luoân luoân coù:
A+B+... = A .B...

A.B... = A +B+...


(2) Lấy ngẫu nhiên 3 sản phẩm từ một lô hàng rồi
đếm xem đã lấy được bao nhiêu phế phẩm.
Gọi Ao (A1, A2, A3) là biến cố "có 0 (1, 2, 3) phế
phẩm (trong 3 sản phẩm đã lấy ra)".
A là biến cố "có tối đa 1 phế phẩm".
B là biến cố "có ít nhất 1 phế phẩm".


A = Ao + A1
B = A1 + A2 + A3 = A o
Ao, A1, A2, A3 là họ đầy đủ, xung khắc từng đôi.

Ghi chú
Gọi X là số phế phẩm thì:
A = (X ≤ 1) = (X = 0) + (X = 1)
B = (X ≥ 1) = (X = 1) + (X = 2) + (X = 3) = ( X = 0)


(3) Hộp I (II) đều có một số bi trắng và bi đen. Lấy
1 bi từ hộp I bỏ vào hộp II rồi lấy 1 bi từ hộp II bỏ
vào hộp I.

Gọi A1 (A2) là biến cố "lấy được bi trắng từ hộp
I (II)".
B là biến cố "số bi trắng và bi đen của hộp I
không đổi".


B = A1.A2 + A1 . A 2 .
Lửu yự A1.A2 vaứ A1 . A 2 laứ hai bieỏn coỏ xung khaộc.


(4) Mua 3 bao gạo, mỗi bao từ một cửa hàng khác
nhau.
Gọi A1 (A2, A3) là biến cố "bao gạo mua từ cửa
hàng I, (II, III) là bao gạo tốt".
A là biến cố "mua được 2 bao gạo tốt".


A = A1.A2. A 3 + A1. A 2 .A3 + A1 .A2. A3
Lưu ý A1.A2. A 3 , A1. A 2 .A3, A1 .A2.A3 là họ biến cố
xung khắc từng đôi.

Ghi chú
Gọi X là số bao gạo tốt mua được thì:
(X = 2) = A1.A2. A 3 + A1. A 2 .A3 + A1 .A3. A3


(5) Gieo đồng xu nhiều lần, đếm số mặt sấp, đến
khi được mặt sấp 2 lần thì ngừng.
Gọi X là số lần gieo.
Gọi S1 (S2, ...) là biến cố "được mặt sấp tại lần

gieo I (II, ...)".


(X = 3) = S1 S2 S3 + S1 S2S3


(6) Một lô sản phẩm được kiểm tra bằng cách lấy
ngẫu nhiên 15 sản phẩm rồi đếm số chính phẩm.
Nếu có từ 8 chính phẩm trở lên thì lô hàng đạt yêu
cầu. Nếu không đạt yêu cầu nhưng số chính phẩm
trên 5 thì trả lại 15 sản phẩm, lấy ngẫu nhiên 20
sản phẩm rồi đếm số chính phẩm. Nếu có từ 10
chính phẩm trở lên thì lô hàng đạt yêu cầu.
Gọi A là biến cố "lô hàng đạt yêu cầu".


Gọi X (Y) là số chính phẩm có trong 15 (20) sản
phẩm được lấy ra.
A = (X ≥ 8) + (5 < X < 8).(Y ≥ 10)


2. Đònh nghóa xác suất
2.1 Khái niệm
Để đo khả năng xảy ra của một biến cố sau
phép thử, biến cố được gán một con số trong khoảng
[0, 1] sao cho biến cố càng dễ xảy ra thì con số này
càng lớn. Giá trò được gán vào biến cố A gọi là xác
suất của biến cố A, ký hiệu P(A). Hàm P phải thoả
các tính chất:
(i)

P(Ω) = 1

(ii) P(A+B) = P(A) + P(B) nếu A.B = ∅
Có 3 đònh nghóa xác suất thoả các điều kiện
trên và chúng đều tương thích nhau.


Tuỳ trường hợp cụ thể của phép thử, ta sẽ vận dụng
đònh nghóa thích hợp để việc tính xác suất được
thuận lợi.


2.2 Đònh nghóa cổ điển của xác suất
Phép thử có hữu hạn kết quả và khả năng xảy
ra của mỗi kết quả là như nhau (đồng khả năng).
n: số kết quả đồng khả năng (n trường hợp).
Biến cố A gồm m kết quả (m trường hợp thuận
lợi).
Xác suất của biến cố A được đònh nghóa là:
m
P(A) =
n
n cũng chính là số phần tử của không gian mẫu
Ω còn m là số phần tử của biến cố A.


Ví dụ
Tung con xúc sắc. Có 6 biến cố đồng khả năng
xảy ra (n = 6). Gọi A là biến cố xuất hiện mặt chẳn

thì A có 3 trường hợp thuận lợi (m = 3). Vậy:
3
P(A) = = 50%.
6