Thực nghiệm toán học trong việc kiến tạo kiến thức về giới hạn hữu hạn của hàm số

JOURNAL OF SCIENCE OF HNUE
Educational Science - Mathematics, 2013, Vol. 58, pp. 162-171
This paper is available online at

THỰC NGHIỆM TOÁN HỌC TRONG VIỆC KIẾN TẠO KIẾN THỨC
VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ

Phạm Sỹ Nam
Trường trung học phổ thông chuyên Phan Bội Châu, Nghệ An
Email:
Tóm tắt. Giới hạn hữu hạn của hàm số là một khái niệm toán học rất khó ngay cả
đối với học sinh (HS) giỏi và là một khái niệm điển hình cho một tư tưởng tiên tiến
của toán học. Khi trình bày định nghĩa khái niệm này, sách giáo khoa dành cho HS
chuyên toán giới thiệu cả hai loại định nghĩa: theo ngôn ngữ dãy và theo ngôn ngữ
epsilon-delta. Việc tổ chức dạy học để HS kiến tạo được cả hai định nghĩa là điều
khó khăn. Bằng tiếp cận có tính kiến tạo, nghiên cứu này thiết kế các nhiệm vụ
toán học hỗ trợ HS trong việc kiến tạo khái niệm giới hạn hữu hạn của hàm số. Kết
quả nghiên cứu cho thấy, việc thực nghiệm cho phép HS hình thành các giả thuyết;
kiểm nghiệm, bác bỏ những quan niệm sai và kiến tạo kiến thức về giới hạn hữu
hạn của hàm số một cách dễ dàng hơn.
Từ khóa: Lí thuyết kiến tạo, giới hạn hữu hạn của hàm số.

1.

Đặt vấn đề

Khái niệm giới hạn hàm số là khái niệm khó để dạy và để hiểu. Khi trình bày về
khái niệm này sách giáo khoa dành cho HS chuyên toán do tác giả Đoàn Quỳnh chủ biên
2x2 − 8
rồi xét một dãy số (xn ) khác 2 và quan
đã bắt đầu từ ví dụ xét hàm số f (x) =

x−2
tâm đến việc trả lời câu hỏi: Nếu lim xn = 2 thì lim f (xn )? Sau đó tổng quát hóa kết quả
đi đến:
Định nghĩa 1: Giả sử (a; b) là một khoảng chứa điểm x0 và f là một hàm số xác
định trên tập hợp (a; b) | {x0 } . Ta nói rằng hàm số f có giới hạn là số thực L khi x dần
đến x0 (hoặc tại điểm x0 ) nếu với mọi dãy số (xn ) trong tập hợp (a; b) | {x0 } (tức là
xn ∈ (a; b) và xn = x0 với mọi n) mà lim xn = x0 , ta đều có lim (xn ) = L [1; 153].
Định nghĩa 1 nêu lên mối liên hệ chặt chẽ giữa khái niệm giới hạn dãy số và giới
hạn hàm số. Điều này tạo nên một số thuận lợi cho việc hình thành khái niệm giới hạn
hàm số từ khái niệm dãy số có giới hạn và các tính chất, các định lí của giới hạn dãy số
sẽ được chuyển sang các tính chất, các định lí của giới hạn hàm số một cách tự nhiên. Tuy
162


Thực nghiệm toán học trong việc kiến tạo kiến thức về giới hạn hữu hạn của hàm số

nhiên, để thuận lợi hơn trong việc tìm giới hạn bằng định nghĩa cũng như chứng minh một
số tính chất đặc trưng cho giới hạn hàm số, sách giáo khoa trình bày thêm định nghĩa theo
ngôn ngữ epsilon-delta như sau:
Định nghĩa 2: “Giả sử (a; b) là một khoảng chứa điểm x0 và f là một hàm số xác
định trên tập hợp (a; b)\{x0 }. Ta nói rằng hàm số f có giới hạn là số thực L khi x dần đến
x0 (hoặc tại điểm x0 ) nếu với mọi số dương nhỏ tùy ý ε, tồn tại số dương δ sao cho nếu
x ∈ (a; b)\{x0 }, x cách x0 một khoảng không quá δ thì f (x) cách L một khoảng không
quá ε ”. [1; 154]
Có một hướng kết nối định nghĩa 2 với định nghĩa 1 là bằng việc dựa trên quan
sát khi giá trị xn gần với x0 thì giá trị f (xn ) gần với L. Điều này đúng với mọi dãy số
xn → x0 nên cũng đúng với mọi số gần x0 . Tuy nhiên, việc nhận ra điều này là không dễ.
Finzer & Nick (1998) nghiên cứu các thao tác trên các mô hình toán học động đã
cho thấy những đặc điểm của các hoạt động này và khẳng định vai trò của chúng trong
việc hỗ trợ HS xây dựng kiến thức toán học. Các mô hình, được thiết kế trên phần mềm

hình học động và các thao tác động đã tạo ra một cách tiếp cận mới trong dạy và học toán
học ở trường. Thực tiễn của dạy học cho thấy việc sử dụng mô hình động sẽ giúp HS giải
quyết vấn đề được dễ dàng hơn. Trong bài viết này, chúng tôi tập trung vào câu hỏi nghiên
cứu: Làm thế nào để HS kiến tạo được kiến thức về khái niệm giới hạn hàm số thông qua
thực nghiệm trên mô hình động?

2.
2.1.

Nội dung nghiên cứu
Cơ sở lí luận

Theo quan điểm của nhà kiến tạo:
- Học tập của cá nhân không phải là hoạt động thụ động mà là hoạt động tích cực,
tức là, cá nhân hành động trên môi trường để xây dựng kiến thức.
- Quá trình xây dựng kiến thức là quá trình phát triển, nó không phải là quá trình
tĩnh mà là quá trình động.
- Kiến thức có thể được hình thành thông qua quá trình liên ảnh hưởng giữa việc
học tập trước đó và liên quan với việc học tập mới. Trong quá trình học tập, HS có thể
sáng tạo kiến thức bằng cách tự mình tích cực sử dụng kinh nghiệm hiện có để giải quyết
bất kì mâu thuẫn có thể phát sinh để có thể đạt được một sự hiểu biết chung với các thông
tin mới.
- Kiến thức không phải là một lời giải thích của sự thật, mà như là hợp lí hóa kinh
nghiệm của cá nhân. Như vậy, mỗi cá nhân xây dựng kiến thức, ngay cả trong các tình
huống giống nhau, có thể không thể giống nhau.
Theo Kan- tơ: “Mọi nhận thức của con người đều bắt đầu từ những quan sát, rồi từ
đó đi đến các khái niệm và kết thúc bằng những tư tưởng” [3; 255]. Trong câu nói này đã
sử dụng các thuật ngữ “quan sát”, “khái niệm”, “tư tưởng”. G.Polya đã diễn đạt lại câu
163

Phạm Sỹ Nam

này như sau: “Việc học tập bắt đầu từ hành động và sự thụ cảm, rồi từ đó đi đến các từ và
các khái niệm và phải kết thúc bằng sự rèn luyện những đặc điểm mới mẻ nào đó của tư
chất trí tuệ” [3; 255]. Thường tồn tại một ý kiến được công thức hóa: “cách tốt nhất để học
một cái gì đấy là tự khám phá lấy” [3; 254]. Điều này cũng phù hợp với quan điểm của
các nhà kiến tạo khi cho rằng HS tự xây dựng nên kiến thức cho bản thân. Lictenbe (nhà
vật lí người Đức thế kỉ XVIII) đã bổ sung vào đấy nét đặc sắc: “Những cái gì mà bản thân
anh buộc phải khám phá, để lại trong tiềm thức anh một con đường nhỏ mà anh lại có thể
sử dụng khi cần thiết”. Như vậy, trong dạy học cần phải tạo điều kiện cho HS tự kiến tạo,
tự khám phá kiến thức. Tuy nhiên, để việc kiến tạo kiến thức được thành công và đạt kết
quả cao và không mất quá nhiều thời gian thì việc “khám phá” đó cần được đặt trong một
môi trường học tập với dụng ý sư phạm của giáo viên (GV). Vận dụng điều này trong dạy
học, chúng tôi yêu cầu HS chú ý vào các hình ảnh mà các em quan sát được nhằm hình
thành các ý tưởng mới về kiến thức được học.

2.2.

Thiết kế nghiên cứu

Trong việc thiết kế nghiên cứu chúng tôi chú ý đến các yếu tố sau: Kế hoạch thiết
kế, ý tưởng thiết kế và thiết kế các nhiệm vụ toán học cụ thể.
Kế hoạch thiết kế của giáo viên
Trong thiết kế các hoạt động học tập:
- GV cần tập trung vào tầm quan trọng của khái niệm chủ chốt, không tập trung quá
sâu vào những giai đoạn dạy học chung hoặc miêu tả chung chung, chẳng hạn, trong dạy
học giới hạn hàm số chúng tôi tập trung vào các hoạt động để thông qua các hoạt động
đó làm rõ được trình tự của việc khẳng định giới hạn hàm số f (x) bằng L khi x dần tới a,
đó là: đầu tiên xét ε là số dương nhỏ tùy ý cho trước, sau đó cần chứng tỏ tồn tại số δ sao

cho: Nếu |x − a| < δ thì |f (x) − L| < ε.
- Giáo viên cần có kế hoạch cho các hoạt động tiếp theo để ứng phó với câu trả lời
sai của HS.
- Giáo viên có kế hoạch lâu dài để có thể phát triển hiểu biết sâu sắc của HS về kiến
thức giới hạn hàm số được dạy.
- Khi giảng dạy, giáo viên cần đưa ra những ví dụ cụ thể, quen thuộc và dễ hiểu để
giúp HS hiểu kiến thức về giới hạn hàm số.
Ý tưởng thiết kế giảng dạy
Khái niệm giới hạn hàm số là một khái niệm khó dạy và khó hiểu, ngay một lúc
không thể giúp HS hiểu được định nghĩa. Ý tưởng thiết kế giảng dạy của chúng tôi là:
Đầu tiên, tạo các hoạt động để HS hiểu khái niệm một cách trực giác, sau đó tiến hành
các hoạt động nhằm giúp HS dần dần hiểu chính xác định nghĩa. Trong quá trình thực
hiện hoạt động trên, HS có được những ý tưởng nhất định liên quan đến khái niệm, vì vậy
chúng tôi đặt ra các câu hỏi có kết thúc mở nhằm tạo cơ hội để HS đề xuất các ý tưởng
164


Thực nghiệm toán học trong việc kiến tạo kiến thức về giới hạn hữu hạn của hàm số

sáng tạo. Hoạt động 1 nhằm giúp HS nhận thức được khái niệm một cách trực giác khi x
dần tới a thì f (x) dần tới L. Các hoạt động sau nhằm dần dần mô tả một cách chính xác
f (x) dần tới L khi x dần tới a là như thế nào. Việc mô tả này được tiến hành theo các
cấp độ. Đầu tiên, HS xác định được khoảng cách giữa x và a phải bé hơn bao nhiêu để
|f (x) − 8| nhỏ hơn một số cụ thể cho trước. Cấp độ 2, nhằm tạo niềm tin rằng luôn tồn tại
một khoảng giá trị x để |f (x) − 8| nhỏ hơn một số dương tùy ý. Các cấp độ này là tiền đề
cho cấp độ hình thức của định nghĩa khái niệm mà chúng tôi muốn HS đạt được sau này
đó là: nếu cho trước một số dương ε nhỏ tùy ý thì luôn tìm được số δ để với |x − 2| < δ
thì |f (x) − 8| < ε.
Thiết kế các nhiệm vụ toán học
Điều quan trọng là chọn được nhiệm vụ và các hoạt động toán học phù hợp với HS.

Chìa khóa cho việc hiểu là:
- Nhiệm vụ cần phải được thiết kế để khuyến khích sự tích cực tư duy của HS.
- Nhiệm vụ cần phải kết nối được kiến thức và kinh nghiệm đã có của HS.
- Một loạt các công cụ nên được sử dụng để hỗ trợ sự hiểu biết của HS về các quan
niệm toán học có liên quan đến nhiệm vụ.
Để có dữ liệu cho việc trả lời các câu hỏi nghiên cứu, chúng tôi thiết kế các hoạt
động, lấy thực nghiệm HS chuyên toán lớp 11.
Phiếu học tập số 1

Hình 1.
2x2 − 8
Giới thiệu: Hình vẽ trên (Hình 1) là đồ thị hàm số f (x) =
. Với mọi x = 2
x−2
1
thì f (x) hoàn toàn xác định. Xét dãy số xn = 2 + , khi giá trị n thay đổi thì giá trị xn sẽ
n
thay đổi. Em hãy khảo sát với mô hình bằng cách:
165


Phạm Sỹ Nam

- Thay đổi giá trị của n bằng cách kéo rê thanh trượt tham số. Hãy quan sát những
thay đổi của các đối tượng khác.
- Thay đổi độ dài đơn vị bằng cách kéo điểm 1 trên trục hoành ra xa hoặc tới gần
gốc tọa độ.
Câu hỏi 1: Em hãy thay đổi giá trị n bằng cách kéo rê đầu mút thanh n và cho biết
khi n dần tới dương vô cực thì f (xn ) dần tới số nào?

Hình 2.
Chúng ta lấy một dải màu đỏ, có hình chiếu vuông góc trên trục hoành là
[2 − δ, 2 + δ] \ {2} , lấy ảnh của tất cả các điểm thuộc [2 − δ, 2 + δ] \ {2} , ta được một
đoạn là hình chiếu vuông góc của dải màu xanh trên trục tung. Khi thay đổi kích thước
của dải màu đỏ bằng cách kép rê đầu mút thanh δ màu đỏ, thì kích thước dải màu xanh sẽ
thay đổi. Khi độ cao của dải màu xanh nhỏ hơn hoặc bằng độ dài đoạn [8 − ε, 8 + ε] , một
hình tròn trên trang hình sẽ có màu xanh với dòng chữ “ở bên trong”. Ngược lại, dòng chữ
“không ở bên trong” sẽ xuất hiện. Hãy thao tác với mô hình và trả lời câu hỏi 2, 3 sau đây:
Câu hỏi 2: Để f (x) sai khác 8 một số nhỏ hơn 0,1; 0,01 thì khoảng cách giữa x và
2 phải nhỏ hơn bao nhiêu? Hãy điền kết quả vào bảng sau:
Với |x − 2| < ... thì |f (x) − 8| < 0, 1
Với |x − 2| < ... thì |f (x) − 8| < 0, 01
Câu hỏi 3: Bây giờ chúng ta thực hiện một trò chơi, mỗi nhóm 2 người, người thứ
nhất hãy đưa ra một số nhỏ hơn 0,01, nhiệm vụ của người còn lại là thử tìm xem |x − 2|
nhỏ hơn bao nhiêu để f (x) sai khác 8 một số nhỏ hơn số mà người thứ nhất đưa ra, sau
đó hai người đổi vai trò cho nhau. Tiếp theo, các em hãy điền kết quả vào bảng sau:
166


Thực nghiệm toán học trong việc kiến tạo kiến thức về giới hạn hữu hạn của hàm số

Với |x − 2| < ... thì |f (x) − 8| < ...
Với |x − 2| < ... thì |f (x) − 8| < ...
Câu hỏi 4. Cho ε là số dương nhỏ tùy ý. Liệu có thể tìm được số δ để với |x − 2| < δ
thì |f (x) − 8| < ε không? Giải thích.
Sau khi HS kiến tạo được khái niệm chúng tôi phát phiếu học tập số 2
Phiếu học tập số 2
Câu hỏi 1. Để chứng minh hàm số f (x) có giới hạn L khi x dần tới a ta làm như
thế nào?
Câu hỏi 2. Em hãy quan sát hình ảnh của đồ thị hàm số trong hình 1và đưa ra nhận

xét về sự tồn tại giới hạn của hàm số khi x dần tới số a, tính đơn điệu của hàm số trên
các khoảng (−∞; 2) , (2; +∞) , mối quan hệ giữa tính đơn điệu, giá trị hàm số trên mỗi
khoảng và kết quả giới hạn của hàm số. Từ các nhận xét trên, em hãy đề xuất các kết quả
về kiến thức giới hạn hàm số. Giải thích (nếu có thể).

2.3.

Kết quả nghiên cứu

Trong phần này chúng tôi tập trung vào các kết quả sau: Sự tương tác giữa các HS,
giáo viên hỗ trợ HS khi gặp khó khăn, xử lí của giáo viên với các kết quả đúng, giáo viên
ứng phó với câu trả lời sai của HS.
Sự tương tác giữa các HS
Trong quá trình theo dõi sự làm việc giữa các nhóm, chúng tôi thấy rằng: đa số HS
tích cực hoạt động để đưa ra kết quả chung cho cả nhóm. Các nhóm thay nhau thao tác với
mô hình động mà chúng tôi cung cấp. Trong khi thao tác, mỗi nhóm cử một thành viên
thao tác với mô hình động, một thành viên ghi chép kết quả, các thành viên còn lại quan
sát và đề xuất hướng giải quyết khi gặp khó khăn, việc thao tác được luân phiên thay đổi
giữa các thành viên. Trong quá trình thao tác khi các nhóm gặp khó khăn về thao tác với
mô hình, một số nhóm đã cùng thảo luận và giải quyết được khó khăn, một điều thú vị là
với nhóm không giải quyết được thì khi nêu khó khăn có thành viên nhóm khác đã lên hỗ
trợ.
Giáo viên hỗ trợ HS khi gặp khó khăn
Trong quá trình theo dõi các nhóm thực hiện hoạt động nếu HS gặp khó khăn trong
việc trả lời các câu hỏi thì GV đặt ra thêm các câu hỏi hoặc đưa ra thêm yêu cầu nhằm
hỗ trợ HS. Khi thực hiện thao tác với mô hình để trả lời cho câu hỏi 1 và câu hỏi trong
phiếu học tập số 2, có một số nhóm dịch chuyển thanh n quá nhanh nên không thấy rõ
được sự thay đổi của giá trị f (xn ) tương ứng, trong trường hợp này chúng tôi yêu cầu HS
dịch chuyển sao cho tăng (giảm) giá trị n lên từng đơn vị để nhận thấy rõ hơn sự thay đổi.
Khi thực hiện phiếu học tập số hai, ban đầu nhiều nhóm chỉ đưa ra được một hoặc

hai kết quả, chúng tôi khuyến khích các em cố gắng tìm thêm những kết quả khác nữa
167


Phạm Sỹ Nam

bằng việc tập trung quan sát vào các hình ảnh đã có trong quá trình hình thành khái niệm,
và nêu ra yêu cầu cụ thể. Chẳng hạn:
“Xét với dãy số xn , lim xn = 1, em hãy tính lim f (xn ). Em có nhận xét gì về
lim f (xn ) và f (1). Từ đó có thể khái quát được kết quả gì?”
“Dễ thấy rằng hàm số đã cho đồng biến trên (−∞; 2) , lim f (x) = 8, em hãy so
x→2

sánh giá trị hàm số f (x) trên x ∈ (−∞; 2) và 8. Từ đó hãy đề xuất kết quả cho trường hợp
tổng quát.”
“Dễ thấy rằng hàm số đã cho đồng biến trên (2; +∞) , lim f (x) = 8, em hãy so
x→2

sánh giá trị hàm số f (x) trên x ∈ (2; +∞) và 8. Từ đó hãy đề xuất kết quả cho trường hợp
tổng quát.”
“Xét trên (0 : +∞) thì f (x) > 4, hãy so sánh lim f (x) và 4, với a ∈ (0; +∞) . Từ
x→a

kết quả này có thể khái quát được điều gì? ”
Xử lí của GV với kết quả đúng
Trong quá trình thực hiện hoạt động, có nhiều kết quả tốt được các nhóm đưa ra, có
những kết quả nằm trong dự đoán của chúng tôi, nhưng cũng có những kết quả nằm ngoài
dự đoán. Đối với những kết quả đúng chúng tôi yêu cầu HS làm rõ cơ sở phát sinh kết quả
và chứng minh chúng (nếu có thể). Có những kết quả mà vốn kiến thức của các em chưa
chứng minh được, nhưng theo chúng tôi điều đó cũng đáng quý, bởi vì điều quan trọng là

HS đã tự mình khám phá được kết quả và chính những sự khám phá ra các kết quả mới
(đối với HS) đã tạo động lực, sự tích cực tìm hiểu sâu hơn về kiến thức được học.
Việc thực hiện hoạt động 1 nhằm giúp HS nhận ra được rằng: Bằng trực giác, khi x
tiến sát về 2 nhưng khác 2 thì f (x) tiến gần 8. Khi thực hiện tất cả các nhóm đều cho kết
1
1
giảm
quả đúng, có 3 nhóm trình bày cụ thể hơn “khi n tăng thì 2 + giảm và f 2 +
n
n
dần đến 8 ”. Tuy nhiên, để đạt được thông tin chi tiết hơn về giá trị hàm f (x) thay đổi như
thế nào khi x gần 2, chúng tôi yêu cầu HS trả lời câu hỏi 2. Mục đích của câu hỏi 2 nhằm
giúp HS nhận ra được một cách cụ thể rằng |x − 2| nhỏ hơn bao nhiêu thì |f (x) − 8| nhỏ
hơn 0,1; 0,01. Trong các kết quả thu được từ các nhóm, tất cả các nhóm đều cho kết quả
đúng và đưa ra nhiều giá trị khác nhau thỏa mãn yêu cầu câu hỏi. Khi tổng hợp kết quả
các nhóm, điều này đã gây cho một số HS sự ngạc nhiên, câu hỏi của các em được nêu lên
là: “Tại sao có nhiều giá trị cùng thỏa mãn?”. Câu hỏi này tạo một cơ hội thú vị, chúng
tôi yêu cầu các nhóm suy nghĩ trả lời, câu trả lời thu được là: “khi |x − 2| nhỏ hơn một
số thì nó sẽ nhỏ hơn số lớn hơn số đó”. Điều này làm đã làm rõ hơn nghĩa thuật ngữ “tồn
tại số δ ” trong định nghĩa sau này, một thuật ngữ mà HS cần được hiểu trong định nghĩa
epsilon-delta, đồng thời giúp HS nhận ra được có vô số số như vậy.
Câu hỏi 3 nhằm tạo cho HS niềm tin rằng, nếu cho trước một số dương (sau này kí
hiệu là ε ) dù nhỏ đến mấy thì ta luôn tìm được một số dương (sau này kí hiệu là δ ) để
với |x − 2| < δ thì |f (x) − 8| < ε. Kết quả các nhóm đưa ra đều đúng. Tuy nhiên, điều
168


Thực nghiệm toán học trong việc kiến tạo kiến thức về giới hạn hữu hạn của hàm số

này chỉ mới là cảm nhận ban đầu, để có chứng minh chặt chẽ về mặt toán học, HS cần trả

lời câu hỏi 4. Trong kết quả cho câu hỏi 4, các nhóm đưa ra các giá trị δ khác nhau, có 10
ε
ε
nhóm cho giá trị δ = , có 4 nhóm đưa ra kết quả δ < .
2
2
Trong thực hiện phiếu học tập số 2, chúng tôi thu được nhiều loại kết quả, có thể
chia thành các loại sau:
i. Kết quả về phương pháp chứng minh hàm số f (x) có giới hạn L khi x dần tới a
Có 10 nhóm cho rằng: “để chứng minh hàm số f (x) có giới hạn L khi x dần tới a
ta chứng minh với mọi dãy số (xn ) , lim xn = a thì lim f (xn ) = L, có 9 nhóm cho rằng:
“đầu tiên xét là số dương nhỏ tùy ý cho trước, sau đó cần chứng tỏ tồn tại số δ sao cho
|f (x) − L| < ε, ∀ |x − a| < δ, x = a. ”. Như vậy, các kết quả đã giúp HS có được tri thức
phương pháp, đây là những kết quả cần thiết cho việc vận dụng lí thuyết được học vào giải
các bài tập.
ii. Kết quả về sự tồn tại giới hạn
Có 5 nhóm cho rằng: “giới hạn hàm số khi x dần tới một số nếu có là duy nhất”. Vì
chứng minh kết quả này vượt ngoài khả năng của HS, chúng tôi chỉ thông báo rằng đây
là một kết quả đúng. Chúng tôi có yêu cầu thêm “em hãy đề xuất cách chứng minh giới
hạn hàm số f (x) khi x dần tới a không tồn tại ”. Có 5 nhóm đã vận dụng phép phủ định
mệnh đề để đưa ra kết quả đúng nếu có hai dãy số xn , x′n mà lim xn = lim x′n = a nhưng
lim f (xn ) = lim f (x′n ) thì lim f (x) không tồn tại. Kết quả này cho HS một phương
x→a

x→a

x→a

pháp để chứng minh giới hạn hàm số không tồn tại.
Có 9 nhóm đã dựa vào: “ lim xn = 2, lim f (xn ) = 2 (xn + 2) = 8 ” để đưa ra kết

quả: “ Cho f (x) = ax + b, nếu lim xn = x0 thì lim f (xn ) = ax0 + b ”. Khi chúng tôi yêu
cầu chứng minh, có 5 nhóm đã thực hiện được chứng minh.
iii. Kết quả dưới dạng bất đẳng thức
Có 5 nhóm cho kết quả: “Hàm số f (x) đồng biến trên khoảng chứa
(a; b), lim f (x) = L thì f (x) < L ∀x ∈ (a; b) ”. Có 4 nhóm cho kết quả: “Hàm số
x→b

f (x) đồng biến trên khoảng chứa (a; b), lim f (x) = L thì f (x) > L∀x ∈ (a; b) ”. Có 3
x→a

nhóm cho kết quả: “nếu f (x) > m với mọi khoảng I chứa x0 , có thể trừ x0 , lim f (x) = L
x→x0

thì L ≥ m. ” Có 3 nhóm cho kết quả: “nếu f (x) < m với mọi khoảng I chứa x0 , có thể
trừ x0 , lim f (x) = L thì L ≤ m ”. Có một nhóm đã dựa trên kết quả này để khái quát:
x→x0

“nếu f (x) > g(x) với mọi D thì lim f (x) ≥ lim g(x) ”.
x→x0

x→x0

Giáo viên ứng phó với các câu trả lời sai của HS
Trong các kết quả thảo luận của HS, bên cạnh những kết quả đúng, vẫn có một số
nhóm đưa ra câu trả lời sai. Nhằm giúp HS nhận ra được sai lầm của mình, chúng tôi tiến
hành như sau: Nêu quan niệm sai trước cả lớp và yêu cầu tất cả các nhóm kiểm chứng.
GV có thể sử dụng các cách sau để hỗ trợ việc kiểm chứng của HS:
169

Phạm Sỹ Nam

- GV đưa ra một phản ví dụ và yêu cầu HS kiểm tra, đối chiếu với câu trả lời.
- GV yêu cầu HS thực hiện thêm hoạt động để thông qua hoạt động đó HS nhận ra
được sai lầm.
- GV yêu cầu HS sử dụng kiến thức đã học để kiểm tra kết quả của mình, bởi các
kết quả mà các em đưa ra thường dựa vào hình ảnh thu được trên các mô hình chưa được
chứng minh chặt chẽ.
Khi đưa ra kết quả cho câu hỏi số 1, có 2 nhóm cho rằng: “Khi n dần tới dương vô
cực thì giá trị của f (xn ) bằng 8”, kết quả này có được từ quan sát khi tăng giá trị n thì
điểm đỏ thể hiện sự thay đổi giá trị của f (xn ) không di chuyển, nhằm giúp HS nhận ra
sai lầm này, chúng tôi đặt ra câu hỏi ” chúng ta biết rằng xn = 2, liệu f (xn ) có thể bằng
8 được không? ”. Bằng việc tính cụ thể f (xn ) = 2 (xn + 2) kết hợp xn = 2 HS nhận ra
được sai lầm trên.
Trong kết quả cho câu hỏi 4 ở phiếu học tập số 1, có 2 nhóm đưa ra kết quả là
ε
ε
δ > , trong trường hợp này, chúng tôi đặt ra câu hỏi “Liệu |x − 2| < < δ có suy ra
2
2
được |f (x) − 8| = 2 |x − 2| < ε không?”. Việc kiểm tra điều này giúp HS nhận ra được
sai lầm.
Trong các kết quả của phiếu học tập số 2. Có 3 nhóm cho kết quả “Cho hàm số
f (x) xác định tại x0 , nếu limxn = x0 thì limf (xn ) = f (x0 ) ”. Kết quả này chỉ đúng nếu
hàm số f (x) liên tục, tuy nhiên khái niệm hàm số liên tục HS chưa được học, trong tình
huống này, chúng tôi chỉ
ra cho HS trường hợp không thỏa mãn, chẳng hạn yêu cầu HS
 −1 khi x < 0
xét với hàm số f (x) =
0

khi x = 0 , với việc vẽ đồ thị hàm số, HS có thể nhận ra

1
khi x > 0
được kết quả trên không đúng. Có hai nhóm cho rằng: “nếu f (x) > m với mọi khoảng I
chứa x0 , có thể trừ x0 , lim f (x) = L thì L > m”. Nhằm giúp HS nhận ra sai lầm này,
x→x0

chúng tôi yêu cầu HS quan sát lại kết quả có được khi thực hiện phiếu học tập số 1, “xét
trên (2; +∞) thì f (x) > 8, hãy so sánh lim f (x) và 8 ”.
x→2

Như vậy, trong quá trình thao tác, không phải ngay một lúc HS có thể khám phá
được các kết quả đúng, mà để đi đến được kiến thức đúng đắn HS phải trải qua một quá
trình và trên quá trình đó không tránh khỏi những quan niệm sai, những khó khăn. Việc
giải quyết các vấn đề này đòi hỏi HS tích cực suy nghĩ tìm hướng giải quyết và cần sự trợ
giúp của GV bằng việc gợi ý, yêu cầu HS thực hiện các hoạt động cần thiết để đối tượng
bộc lộ ra dấu hiệu cần nghiên cứu và kiểm tra được tính đúng đắn của một quan niệm.
Trong việc giải thích tính đúng đắn của các quan niệm, nên yêu cầu HS sử dụng nhiều
hình thức khác nhau có thể sử dụng mô hình trực quan, có thể sử dụng suy luận. Ở đây
cũng cần lưu ý rằng, việc thao tác với mô hình trực quan cho chúng ta những dấu hiệu
được diễn tả bằng lời dưới hình thức mô tả là chính.

170


Thực nghiệm toán học trong việc kiến tạo kiến thức về giới hạn hữu hạn của hàm số

3.

Kết luận

Giới hạn hàm số là một khái niệm có tính trừu tượng cao, định nghĩa giới hạn được
phát biểu ở cả hai dạng: theo ngôn ngữ dãy và theo ngôn ngữ epsilon- delta nên GV gặp
khó khăn trong việc tổ chức dạy học để hình thành chúng. Việc hiểu bản chất khái niệm
này là tiền đề quan trọng cho việc nắm vững các khái niệm Giải tích sau này. Trong quá
trình giảng dạy theo tiến trình trên chúng tôi thấy rằng: Việc vận dụng Lí thuyết kiến tạo
cùng với sự hỗ trợ của mô hình động đã tạo cho HS cơ hội khám phá Toán học. HS được
thực hành nhiều hơn và có cơ hội thể hiện năng lực của bản thân, để từ đó có những dự
đoán đúng về đặc điểm của khái niệm cần lĩnh hội, xây dựng cho mình hiểu biết đúng đắn
về khái niệm. Bên cạnh những câu trả lời mà GV mong đợi, cũng xuất hiện những câu trả
lời có thể sai lầm, hoặc chưa đầy đủ, đây chính là cơ hội để GV có hoạt động thích hợp
nhằm giúp HS có được hiểu biết đúng và tránh được các sai lầm này. Mô hình động thực
sự là cầu nối quan trọng trong việc dạy và học những khái niệm trừu tượng như khái niệm
dãy số có giới hạn hữu hạn chẳng hạn.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Đoàn Quỳnh, Trần Nam Dũng, Nguyễn Vũ Lương, Đặng Hùng Thắng, 2010. Tài
liệu chuyên toán Đại Số và Giải tích 11. Nxb Giáo dục Việt Nam.
[2] Finzer W., Jackiw N., 1998. Dynamic manipulation of mathematics objects. Key
Curriculum Press, USA.
[3] G. Polya, 2010. Sáng tạo toán học. Nxb Giáo dục Việt Nam.
[4] Phuc N. D. M., Nam. P. S., 2012. Experiment school mathematics in constructing
knowledge of infinitesimal small quantities. Proceedings of the 5th Annual
Conference ICER 2012, International Conference on Educational Research:
Challenging Education for Future Change, Khon Kaen University, Thailand, pp.
309-319.
ABSTRACT
Doing mathematics experiment in order to
construct knowledge of the finite limit of a function
A finite limit of a function is a difficult Mathematical concept, even for good

students, and also a typical notion for a necessary ideology of advanced mathematics.
When presenting the definition of this concept, textbooks for Mathematical gifted student
introduce both kinds of definitions: sequence version and epsilon-delta version. The
organization for students to construct both definitions is difficult. Using a constructivist
approach, this study used mathematical tasks that support students in constructing the
concept of the finite limit of a function. The results show that experimentation using
dynamic manipulations enables students to form and verify hypotheses, reject the wrong
ones and construct the knowledge about the finite limit of a function in an easier way.
171