PT-ĐS SỐ PHỨC

Nhóm 4 “Phương trình đại số và số phức”
Chủ đề: PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ VÀ SỐ PHỨC
A PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ
I PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN
1 Định nghĩa: Phương trình bậc nhất một ẩn là
phương trình có dạng ax + b = 0 , trong đó a,
b là các số thực cho trước a
≠
0, x gọi là ẩn.
Nghiệm của phương trình ax + b = 0 là x =
a
b
−
VD : 2x -6 = 0 là một phương trình bậc nhất ẩn
x. Ngiệm của phương trình là x = 3
2. Giải và biện luận phương trình ax + b =0
theo tham số m .
* Xét a = 0
+ Nếu b = 0 : phương trình có vô
số nghiệm
+ Bếu b
≠
0 : phương trình vô
nghiệm.
* Xét a
≠
0 : phương trình có nghiệm duy nhất
x =
a
b
−

Ví dụ: Giải và biện luận phương trình 3( m+ 3 ) x -3 = 3x + 2m (*) ( m là tham số)
(*)
⇔
(3m+6)x - 3 -2m = 0 Đặt a = 3m + 6 :
b = -3 – 2m
+ Nếu a =3m + 6 = 0
⇔
m = -2 => b = -3 - 2
(-2) =1
≠
0 => phương trình vô nghiệm
+ Nếu a =3m + 6
≠
0
⇔
m
≠
-2=> phương
trình có nghiệm duy nhất x =
a
b
−
=
63
32
+
+
m
m
Kết luận : m= -2 : phương trình vô nghiệm

m
≠
-2 : phương trình có nghiệm
duy nhất x =
63
32
+
+
m
m
II. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN
1. Định nghĩa: Là phương trình có dạng:
, trong đó là các
số thực cho trước và .
2. Cách giải: Đặt . Ta có:
nên:
* Nếu thì phương trình có hai nghiệm
phân biệt:
.
* Nếu thì phương trình có nghiệm kép
.
* Nếu thì phương trình vô nghiệm.
Chú ý : Nếu thì ta dùng công thức thu
gọn. .
.
3. Định lí Viét:
Định lí: Nếu phương trình bậc hai
Trang 1
Nhóm 4 “Phương trình đại số và số phức”
có hai nghiệm

thì ta có: .
Chú ý :
* Định lí Viet chỉ là điều kiện cần chứ không
phải là điều kiện đủ, do đó trước khi sử dụng
định lí Viet ta phải tìm điều kiện cho phương
trình bậc hai có nghiệm .
* Đảo lại ta có: “ Nếu hai số có tổng là S và
tích là P thì hai số đó (nếu có) là nghiệm của
phương trình : .
4. Các ví dụ
Ví dụ 1:
Giải phương trình:
033108
2
=−+
xx
GiảiTa có:
8
là hệ số của
2
x
,
10
là hệ số của
x
,
33
−
là số hạng tự do, vì thế
10,8

==
ba
và
33
−=
c
. Để tìm nghiệm của phương trình ta
tính
289)33.(85
22
=−−=−
′
=∆
′
acb
với
5
2
==
′
b
b
.
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt là
4
11
8
2895
;
2

3
8
2895
21
−=
−−
==
+−
=
∆
′
+
′
−
=
x
a
b
x
Ví dụ 2: Giải và biện luận phương trình :
(1)
Giải:
* , khi đó
.
* , khi đó (1) là phương trình bậc hai có:
.
i) vô nghiệm
ii) có nghiệm kép:
.
iii) có hai nghiệm

phân biệt
.
Kết luận:
* phương trình có một nghiệm
* phương trình vô nghiệm.
* phương trình có nghiệm kép
.
* phương trình có hai nghiệm phân
biệt:
.
Ví dụ 3: Xác định tham số
m
để phương trình
0)1(2
32
=++−
mxmx

)1(
có hai nghiệm thỏa mãn
2
21
xx
+
Giải
Trang 2
Nhóm 4 “Phương trình đại số và số phức”
Phương trình
)1(
có hai nghiệm

21
, xx
thỏa
yêu cầu bài toán







=
+=+
=
≥−+=∆
′
⇔
)4(...............................
)3.(..........).........1(2
)2......(..............................
)1...(..........0)1(
3
21
21
2
21
32
mxx
mxx
xx

mm
Từ
)2(
và
)4(
ta có
2
12
33
2
mxmxmx
=⇒=⇒=
.
Thay
mxmx
==
2
2
1
,
vào
)3(
ta có:



=
−=
⇔=−−
2

1
02
2
m
m
mm
∙
)1(01)1()11(:1
32
⇒>=−−+−−=
m
thỏa mãn
∙
)1(012)12(:2
32
⇒>=−+=
m
thỏa mãn
III. Phương trình bậc 3 có dạng là:
3 2
ax bx cx d 0
+ + + =
trong đó a, b, c, d là các số thực
cho trước với
a 0
≠
.
1. Thông thường để giải phương trình bậc 3 thì ta thường đoán nghiệm, rồi sau đó đưa về dạng
tích của một nhị thức bậc 1 và một tam thức bậc 2 và giải.
VD1: Giải phương trình:

3
4x 3x 9 0− − =
(1)
Giải
Ta thấy (1) có một nghiệm
3
x
2
=
từ đó ta có:
( )
( )
2
(1) 2x 3 2x 3x 3 0
3
x=
2
⇔ − + + =
⇔
VD2: Giải phương trình:
3 2
x 3x x 1 0− + + =
(2)
Giải
Vì tổng các hệ số bằng không nên ta dễ dàng đoán được (2) có một nghiệm
x 1=
từ đó ta có
2. Cách giải tổng quát cho phương trình bậc 3
Cho phương trình bậc 3 có dạng
3 2

3 2 1 0
a x a x a x a 0+ + + =
(1) trong đó
a
3,
a
2,
a
1,
a
0
là các số thực cho trước với
3
a 0
≠
Cách giải tổng quát cho (1) như sau:
Vì
3
a 0
≠
nên ta có thể chia 2 vế của phương
trình (1) cho a
3
. Do vậy ta chỉ cần giải phương
trình dạng
3 2
x ax bx c 0+ + + =
(2)
Đặt
a

x y
3
= −
, khi đó (2) trở thành
3
y py q 0− + =
(3)
Trang 3
( )
( )
2
(2) x 1 x 2x 1 0
x 2

x 1 2
⇔ − − − =
=

⇔

= ±

Nhóm 4 “Phương trình đại số và số phức”
Trong đó:
2 3
a 2a 9ab 27c
p b, q=
3 27
− +
= −

Đặt
2 3
27q 4p∆ = −
. Để xét số nghiệm của
(3), ta khảo sát sự tương giao của hàm số
3
f (y) y py q= − +
với trục ox.
 Hàm bậc 3 cắt ox tại:
i) Một điểm
⇔
hàm luôn đơn điệu hoặc
CD CT
f f 0× >
ii) Hai điểm
⇔

CD CT
f f 0× =
iii) Ba điểm
⇔

CD CT
f f 0× <
 Xét hàm số
3
f (y) y py q= − +
, ta có
' 2
f (y) 3y p= −

a) Nếu
'
p 0 f (y) 0 f (y)≤ ⇒ ≥ ⇒
là
hàm đồng biến
f (y) 0⇒ =
có một
nghiệm
b) Nếu
'
p
p 0 f (y) 0 y
3
> ⇒ = ⇔ = ±
Và từ đây ta có kết quả sau:
- Nếu
0 (3)∆ > ⇒
có nghiệm duy nhất, để
tìm nghiệm này ta làm như sau:
Đặt
y u v= +
, khi đó (3) trở thành:
( ) ( )
3 3
u v 3uv p u v q 0+ + − + + =
Ta chọn u, v sao cho :
p
3uv p 0 uv
3
− = ⇔ =

, lúc đó
3 3
u v q+ = −
Ta có hệ
3 3
p
uv
3
u v q

=



+ = −


là nghiệm phương trình
3
2
p
X qX 0 (4)
27
+ + =
, (4) có hai nghiệm
- Nếu
0∆ <
, khi đó (3) có 3 nghiệm phân
biệt và 3 nghiệm này nằm trong khoảng
p p

2 ,2
3 3
 
−
 ÷
 
.
Để tìm 3 nghiệm này ta đặt
p
y 2 cos t
3
=
với
( )
t 0,
π
∈
.
Ta đưa (3) về dạng :
cos3t m=
(5), trong
đó
3 3q
m
2p p
= −
Giải (5) ta được 3 nghiệm t
1
, t
2,

t
3

( )
0,
π
∈
, từ
đây suy ra 3 nghiệm của phương trình (3) và từ
đó suy ra nghiệm của phương trình đã cho.
- Nếu
0∆ =
, khi đó (3) có 2 nghiệm, 1
nghiệm kép
3
3
q
y
2
q
y
2

=



= −



và 1 nghiệm đơn.
Tức là
3
3
q
y
2
y 4q

=



= −

hoặc
3
3
q
y
2
y 4q

= −



=

VD: Giải phương trình

3
x 3x 1 0− − =
(1)
Trang 4
Nhóm 4 “Phương trình đại số và số phức”
Giải
Ta có
3
2 0 9 0 3 27 1
p 0 ( 3) 3, q= 1
27
× − × × − ×
= − − = = −

2 3 3
27q 4p 27 1 4 3 81 0∆ = − = × − × = − <
nên phương trình có 3 nghiệm thuộc khoảng
( )
2,2−
.
Đặt
x 2cos t=
với
( )
t 0,
π
∈
(1) trở thành
Vì
( )

t 0,
π
∈
nên ta có :
1 2 3
7 5
t , t , t
9 9 9
π π π
= = =
.
Vậy phương trình có 3 nghiệm là :
1 2 3
7 5
x 2cos , x 2cos , x 2cos
9 9 9
π π π
= = =
3. Giải và biện luận phương trình bậc 3 có chứa tham số
VD1: Tìm m để phương trình
( ) ( )
3 2
x 2m 1 x 3m 2 x m 2 0− + + − − + =
(1) có 3 nghiệm phân biệt.
Giải
Ta thấy tổng của các hệ số của phương trình bằng 0 nên phương trình có 1 nghiệm x = 1.
Từ đó ta có (1)
( )
( )
2

x 1 x 2mx m 2 0⇔ − − + − =
Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt
2
f (x) x 2mx m 2 0⇔ = − + − =
có 2 nghiệm phân
biệt
1≠
, điều này tương đương với
' 2
m m 2 0
m 1
f (1) m 1 0

∆ = − + >
⇔ ≠ −

= − − ≠

VD2: Tìm m để đồ thị hàm số
( ) ( )
3 2
y 2mx 1 2m x 3 8m x 4m 2= − − + − + −
cắt ox tại 2
điểm phân biệt.
Giải
Ta có phương trình hoành độ giao điểm

( ) ( )
3 2
2mx 1 2m x 3 8m x 4m 2 0− − + − + − =

(2)
Trang 5
( )
3 3
1
8cos t 6cos t 1 4cos t 3cos t
2
1
cos3t cos
2 3
2
t= k k
9 3
π
π π
− = ⇔ − =
⇔ = =
⇔ ± + ∈ ¢