Mô hình của lí thuyết tán sắc

Trường Mùa hè 2007- Chuyên đề Quang học
______________________________________________________________________
TÁN SẮC DỊ THƯỜNG
VÀ MÔ HÌNH CỦA LÍ THUYẾT TÁN SẮC
1. NHỮNG KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM
1.1. Hiện tượng tán sắc dị thường.
Hiện tượng tán sắc quan sát được khi cho chùm ánh sáng trắng qua một lăng kính
thủy tinh là hiện tượng tán sắc thông thường, trong đó góc lệch của các tia ló tăng dần
theo trật tự màu: đỏ, da cam, vàng, lục, lam, chàm, tím. Từ đó, ý kiến cho rằng có sự
tăng chiết suất của thủy tinh khi bước sóng ánh sáng giảm được xem là lí thuyết về sự
tán sắc. Thực ra đây chẳng phải là một lí thuyết gì độc đáo, mà chỉ là những kết luận
tất yếu suy ra từ định luật khúc xạ ánh sáng.
Thậm chí Cauchy còn đi xa hơn thế. Ông mò ra được một công thức thực
nghiệm mô tả khá chính xác sự phụ thuộc đó. Theo Cauchy, chiết suất của một chất
trong suốt có thể diễn tả bởi công thức
42
λλ
CB
An
++=
(1)
trong đó A, B, C là các hằng số có trị số khác nhau đối với những chất khác nhau.
Các hằng số đó có thể xác định được bằng thực nghiệm, bằng cách đo cẩn thận
chiết suất của môi trường ứng với ba bức xạ có bước sóng biết trước, nằm đủ xa
nhau. Thực tế cho biết, khi đã xác định được ba hằng số một cách chính xác, thì
chiết suất đối với bất kì bức xạ nào trong vùng ba bước sóng đó đều có thể tính
được với mức chính xác tới hàng phần nghìn.
Tóm lại, với mỗi môi trường trong suốt, đường cong tán sắc là một đường đơn
điệu (đường liền trên hình 1).
Tuy nhiên, năm 1862 LeRoux phát hiện một hiện tượng lí thú khác hẳn: khi cho
ánh sáng trắng qua một lăng kính rỗng chứa hơi aiốt (một thứ khí có màu tía), thì

nhận thấy chùm tia ló da cam lệch về
đáy nhiều hơn tia ló màu lam. Tia lam
nằm sát tia đỏ, còn tia da cam nằm sát tia
chàm (hình 2). Quy tắc chiết suất tăng
khi bước sóng ánh sáng giảm không còn
đúng nữa. LeRoux gọi hiện tượng là tán
sắc dị thường.
1.2. Hiện tượng hấp thụ lựa lọc. Điều độc
đáo là, sự đảo lộn trật tự màu sắc trong
1
Hình 1
n
λ
Trường Mùa hè 2007- Chuyên đề Quang học
______________________________________________________________________
tán sắc dị thường không xảy ra một cách tùy tiện, mà chỉ xảy ra cho vùng bức xạ
nào bị chính môi trường của chất làm lăng kính hấp thụ lọc lựa. Trong trường hợp
lăng kính chứa hơi aiốt kể trên, các bức xạ vàng lục không ló ra khỏi lăng kính.
Chúng bị hơi aiốt hấp thụ. Với những bức xạ nằm ngoài vùng hấp thụ, người ta
vẫn quan sát được sự tăng của chiết suất khi bước sóng ánh sáng giảm. Đường
cong tán sắc cho toàn miền ánh sáng khả kiến là đường gián đoạn (cho trên hình 1)
Khảo sát hiện tượng tán sắc dị thường đối với nhiều chất trong cả vùng hồng
ngoại lẫn tròng tử ngoại, Kunt rút ra một kết luận quan trọng là chất nào gây ra tán
sắc dị thường ở vùng bức xạ nào thì cũng hấp thụ lựa lọc tại vùng bức xạ đó. Rồi
ta sẽ thấy, hiện tượng hấp thụ lọc lựa mới là nguyên nhân thật sự của tán sắc dị
thường.
Như vậy, hiện tượng tán sắc thường của thủy tinh trong suốt hóa ra lại chỉ là
trường hợp riêng của tán sắc, khi truyền qua lăng kính là các bức xạ nằm xa vùng
hấp thụ mạnh của chất đó.
1.3. Sự biến thiên của chiết suất trong miền hấp thụ lựa lọc.

Hiện tượng tán sắc dị thường luôn đi kèm hiện tượng hấp thụ
lọc lựa là một điều rất hấp dẫn các nhà vật lí, nhưng cũng là
một thách thức lớn đối với những ai muốn xét xem trong miền
hấp thụ đó chiết suất của môi trường thay đổi theo bước sóng
như thế nào. Thực vậy, thông thường muốn xác định chiết
suất ta chỉ việc chiếu xiên một chùm sáng đơn sắc hẹp từ chân
không lên mặt môi trường. Song, với một môi trường hấp thụ
mạnh ánh sáng thì, chùm tia khúc xạ hầu như tắt hẳn ngay khi
ánh sáng vừa mới đi sâu vào môi trường được chừng vài phần
milimet, khiến ta không thể xác định được góc khúc xạ. Rất
may, chiết suất môi trường lại ảnh hưởng trực tiếp đến bước sóng ánh sáng do đó
2
n, k
2,4
2,0
1,6
1,2
0,4 0,48 0,56 0,64 0,72
Hình 3
k
n
Hình
Hình 2
Trường Mùa hè 2007- Chuyên đề Quang học
______________________________________________________________________
ảnh hưởng trực tiếp đến độ rộng vân giao thoa. Rojdestvenski đã đo thành công
chiết suất của các chất theo độ rộng vân giao thoa nhờ một thiết bị gọi là khúc xạ
kế giao thoa, và do đó ông đi sâu được vào miền bức xạ bị môi trường hấp thụ
mạnh. Kết quả đo được cho ta một điều bất ngờ thứ hai của tán sắc dị thường. Đó
là, trong miền hấp thụ, chiết suất của môi trường tăng khi bước sóng tăng. Trên

hình 3 cho đường cong tán sắc và đường cong hấp thụ kèm theo của xyanin.
2. MÔ HÌNH LÍ THUYẾT TÁN SẮC.
2.1. Một vài kiến thức bổ trợ.
a. Biểu diễn các hàm điều hòa dưới dạng e mũ. Theo cách viết Euler
ϕϕ
ϕ
sincos ie
i
+=
, thì mỗi hàm điều hòa
)sin(
ϕω
+
tA
hoặc
)cos(
ϕω
+
tA
là hệ số phần ảo hoặc phần thực của hàm mũ
)(
ϕω
+
ti
Ae
. Mặt khác các phép tính
với các hàm e mũ bao giờ cũng thuận tiện hơn nhiều so với các hàm lượng giác.
Vì vậy các hàm điều hòa sẽ được viết dưới dạng e mũ. Ở kết quả cuối cùng ta sẽ
lấy hệ số của phần thực hoặc phần ảo làm đại lượng cần tìm. Ngoài ra, trong cách
viết dưới dạng hàm e mũ thì độ lệch pha

ϕ
có thể được đưa ra khỏi hàm điều
hòa:
tiiti
eAeAex
ωϕϕω
.
)(
==
+
. Điều đó tương đương với việc biên độ là một đại
lượng phức. Khi đó
ϕ
tg
được xác định từ các hệ số phần ảo và phần thực của
biên độ phức:
( )
ϕϕϕϕ
sincossincos* iAAiAA
+=+=
suy ra
ϕ
ϕ
ϕ
cos
sin
A
A
tg
=

b. Chiết suất của môi trường đối với sóng điện từ. Trong thuyết điện từ của Maxwel,
chiết suất của môi trường liên quan với độ điện thẩm (hằng số điện môi)
ε
và độ
từ thẩm
µ
theo hệ thức
εµ
==
v
c
n
(2)
Với các đa số các môi trường truyền sáng thì
1
≈
µ
, nên có thể viết
ε
=
n
(3)
Về mặt thực nghiệm hệ thức này khá đúng cho hầu hết các chất trong suốt, trừ
trường hợp của nước.
c. Chiết suất phức. Khi chùm sáng đơn sắc truyền trong môi trường có hấp thụ ánh
sáng thì cường độ chùm sáng giảm theo hàm mũ
kl
eII
−
=

1
trong đó l là bề dày
của lớp môi trường, k là hệ số hấp thụ, có thứ nguyên là m
-1
. Do đó biên độ sóng
giảm theo qui luật
l
k
o
eAA
2
−
=
.
Nếu ở lối vào môi trường (nơi có l = 0), biểu thức sóng có dạng
3
Trường Mùa hè 2007- Chuyên đề Quang học
______________________________________________________________________
ti
o
eAE
ω
=
1
thì khi đi sâu vào một lớp có bề dày l, biểu thức sóng là









−






−






−
===
o
nl
T
t
i
l
T
t
i
v
l

ti
AeAeAeE
λ
π
λ
πω
2
2
(4)
trong đó
λ
là bước sóng ánh sáng trong môi trường, liên hệ với bước sóng ánh
sáng trong chân không theo hệ thức
n
o
/
λλ
=
. Nếu kể cả sự yếu đi của biên độ vì
hấp thụ, ta có








+−









−








−
===
πλ
π
λ
π
λ
π
4
22
2
2
kl
i

nl
T
t
i
o
nl
T
t
i
l
k
o
nl
T
t
i
ooo
eAeeAAeE
(5)
Đặt một tham số mới
π
λ
χ
4
o
k
=
(6)
thay cho k, ta được









−
−








+−
==
l
in
T
t
i
o
kl
i
nl
T
t

i
o
oo
eAeAE
λ
χ
π
πλ
π
2
4
2
(7)
Như vậy trong môi trường hấp thụ ánh sáng, biếu thức sóng có thể được viết một
cách đơn giản, tương tự như biểu thức trong môi trường trong suốt, nếu ta đưa vào
một đại lượng phức
χ
inn
−=
*
, trong đó phần thực vẫn là chiết suất thông thường,
còn hệ số phần phức liên quan chặt chẽ với hệ số hấp thụ k. Có thể gọi n* là chiết
suất phức.
2.2. Mô hình của lí thuyết tán sắc.
Theo quan điểm thuyết sóng ánh sáng, thì tán sắc ánh sáng thực chất là kết quả
tương tác của môi trường với trường điện từ ánh sáng. Sau đây là nội dung chính
trong lí thuyết tán sắc cổ điển do Laurentz nêu ra sau khi có thuyết điện từ của
Maxwel.
Tưởng tượng có một ánh sáng đơn sắc tần số
ω

rọi vào một môi trường gồm
các nguyên tử (phân tử) giống nhau. Xem rằng mỗi nguyên tử chỉ chứa một
electron liên kết còn đủ lỏng lẻo với phần còn lại của nguyên tử, khiến nó có khả
năng dao động cưỡng bức với sóng điện từ trong miền khả kiến và tử ngoại với một
biên độ đáng kể.
Khi chưa có sóng điện từ rọi tới, hệ nguyên tử thực hiện một dao động riêng với
tần số
m
k
o
=
ω
(8)
4
Trường Mùa hè 2007- Chuyên đề Quang học
______________________________________________________________________
và electron chịu một lực chuẩn đàn hồi khi nó lệch khỏi vị trí cân bằng một khoảng
r

rkf


−=
(9)
Do dao động, hệ nguyên tử phát sóng điện từ khiến năng lượng của hệ giảm,
Ngoài ra nguyên tử có thể va chạm với những nguyên tử bên cạnh, cũng làm cho
năng lượng của hệ giảm. Cả hai nguyên nhân đó làm dao động của hệ tắt dần. Điều
đó tương đương với việc electron chịu một lực cản, gọi là lực cản điện từ. Xem lực
cản đó tỷ lệ với vận tốc chuyển động của electron, ta có
'

1
rgf

−=
(10)
Khi có sóng điện từ ngoài với tần số
ω
rọi tới, electron chịu một lực cưỡng
bức (đúng ra là phần còn lại của nguyên tử cũng chịu một lực như electron nhưng
ngược chiều. Song do khối lượng của nguyên tử quá lớn nên nó dịch chuyển không
đáng kể, khiến ta có thể xem chỉ có electron dao động cưỡng bức)
Eef


=
2
(11)
Áp dụng định luật II của Newton, ta có
Eerkrgrm


+−−=
'"
(12)
Chia các số hạng cho m và chuyển vế
E
m
e
rrr
o



=++
2
'"
ωγ
(13)
trong đó hệ số
mg /
=
γ
được gọi là hệ số tắt dần.
Xem vectơ điện trường tại nơi khảo sát có biểu thức
ti
o
eEE
ω

=
, đồng thời
khi hệ nguyên tử dao động cưỡng bức thì bán kính vectơ
r

cũng có biểu thức
ti
o
err
ω

=

. Khi đó
rrrir

2
",'
ωω
−==
.
Thay tất cả vào phương trình (13), ta được
oo
E
i
me
r


γωωω
+−
=
22
1
/
(14)
Biểu thức phức của biên độ
o
r

chứng tỏ electron dao động lệch pha so với điện
trường một lượng
1

ϕ
nào đó. Độ lớn của
1
ϕ
tg
được xác định từ các phần thực và
phần ảo của biên độ phức.
22
1
1
ωω
γω
ϕ
−
−=
tg
(15)
Để tìm manh mối của chiết suất môi trường ta giả thiết rằng trong môi trường
này các phân tử không có momen lưỡng cực tĩnh. Nhưng khi electron dao động và
5
Trường Mùa hè 2007- Chuyên đề Quang học
______________________________________________________________________
lệch khỏi vị trí cân bằng một khoảng
r

thì có momen lưỡng cực tức thời, và nó
cũng biến thiên điều hòa
rep

=

Momen lưỡng cực tính cho một đơn vị thể tích môi trường (chứa N
o
phân tử loại
đang xét) bằng
reNP
o


=
(16)
Tĩnh điện học cho ta biết giữa các vectơ điện cảm
D

, cường độ điện trường
E

và
vectơ phân cực
P

có hệ thức
PEED
oo

+==
εεε
(17)
Suy ra độ thẩm điện
ε
có biểu thức

( )
γωωωε
ε
ε
i
m
e
N
E
P
o
o
o
+−
+=+=
22
1
2
11


(18)
Độ thẩm điện là đại lượng phức. Do đó, chiết suất cũng là một lượng phức. Rõ ràng
là nếu hệ số
γ
bằng không thì cả độ thẩm điện
ε
lẫn chiết suất n đều là thực. Bây
giờ ta sẽ chứng minh rằng hệ số
γ

liên quan trực tiếp tới hiện tượng hấp thụ. Thực
vậy, khi nguyên tử (phân tử) dao động cưỡng bức dưới ảnh hưởng của điện trường
sóng tới thì nó phát sóng điện từ thứ cấp cùng tần số. Tuy nhiên sóng này không chỉ
được phát theo phương sóng tới mà phát theo mọi phương, khiến cho sóng theo
phương ban đầu bị suy giảm. Ngoài ra nguyên tử còn va chạm với các nguyên tử
xung quanh khiến năng lượng dao động giảm dẫn đến sự giảm của cường độ sóng
thứ cấp. Các nguyên nhân đó đều làm suy giảm sóng trên đường truyền, tương
đương với một sự hấp thụ sóng tới.
Điều đó có nghĩa là ta có thể đặt biểu thức của chiết suất phức trong trường
hợp này y như trường hợp truyền sáng trong môi trường có hấp thụ ánh sáng
χ
inn
−=
*
(19)
Biến đổi biểu thức của
ε

( )
( )
( )






+−
−−
+=

+−
+=+=
22
2
22
1
22
1
2
22
1
2
111
ωγωω
γωωω
ε
γωωω
ε
ε
i
m
e
N
i
m
e
N
E
P
o

o
o
o



(20)
Bình phương hai vế của n* và đồng nhất nó với biểu thức của
ε
, đồng thời
chuyển 1 sang vế trái, ta được
6