Hướng dẫn ôn thi môn Thống Kê. Ôn thi cao học

HƯỚNG DẪN ÔN THỐNG KÊ
THI CAO HỌC
Loại 1: Ước lượng giá trị trung bình của chỉ tiêu X với độ tin cậy γ cho trước (cỡ
mẫu n ≥ 30 ).
Đây là bài toán ước lượng khoảng cho kỳ vọng µ = M(X) với độ tin cậy γ = 1– α = ?
Vì n ≥ 30, σ2 = D(X) chưa biết nên ta có công thức ước lượng khoảng cho kỳ vọng:


S



n

 X − zα

; X + zα

S 

n 

(1)

trong đó ϕ(zα) = (1 – α)/2 = γ /2 = ? Tra bảng giá trị hàm Laplace ta được zα
= ? Vậy ước lượng khoảng là (thế số vào (1)): (?,?).
Nói cách khác, với độ tin cậy γ , giá trị trung bình của chỉ tiêu X từ ? đến ??
Ví dụ 1: Để khảo sát chỉ tiêu X của một loại sản phẩm, người ta quan sát một mẫu và
có kết qủa sau:
11−13 13−15 15−17 17−19 19−21 21−23 23−25
X(cm)

Số sản phẩm
12
14
30
29
18
16
12
Ước lượng giá trị trung bình của chỉ tiêu X với độ tin cậy 95%.
Giải. Lập bảng
Xi 12 14 16 18 20 22 24
ni 12 14 30 29 18 16 12
• Cỡ mẫu: n = 131.
• Kỳ vọng mẫu của X là
1
X = n ∑X i n i = 17, 8779(cm).
 Độ lệch mẫu hiệu chỉnh của X là
S=

1
n −1

X

∑

2
= 3,
n
2

i ni −
n − 1 X 4352(cm).

Đây là bài toán ước lượng khoảng cho kỳ vọng µ = M(X) với độ tin cậy γ = 1– α = 95%
= 0,95.
Vì n ≥ 30, σ2 = D(X) chưa biết nên ta có công thức ước lượng khoảng cho kỳ vọng:


S



n

 X − zα

; X + zα

S 

n 

trong đó ϕ(zα) = γ /2 = 0,95/2 = 0,475. Tra bảng giá trị hàm Laplace ta được zα = 1,96.
Vậy ước lượng khoảng là:
1






17,8779 − 1,96 3,4352 ;17,8779 + 1,96 3,4352  = (17,29;18,47).

131
131 


Nói cách khác, với độ tin cậy 95%, giá trị trung bình của chỉ tiêu X từ 17,29cm đến
18,47cm.
Loại 2: Nếu muốn ước lượng giá trị trung bình của một sản phẩm với độ chính xác

thì sẽ đạt được độ tin cậy là bao nhiêu (cỡ
30 )?
mẫu n ≥
Yêu cầu của bài tóan: Xác định độ tin cậy γ = 1 − α.
Giả thiết: – Ước khỏang cho kỳ vọng của X.
– Độ chính xác ε = ?
Vì n ≥ 30, σ2 = D(X) chưa biết nên ta có công thức tính độ chính xác của ước lượng:
ε = zα Sn

trong đó ϕ(zα) = (1− α)/2 = γ /2 . Suy ra
zα =

,

ε n
S = ?

Tra bảng giá trị hàm Laplace ta được độ tin cậy là:
= 2ϕ(zα ) = 2ϕ(?) = 2. ? = ? %.



Vậy độ tin cậy đạt được là ?%
Ví dụ 2: Để khảo sát chỉ tiêu X của một loại sản phẩm, người ta quan sát một mẫu và có
kết qủa sau:
11−13 13−15 15−17 17−19 19−21 21−23 23−25
X(cm)
Số sản phẩm
12
14
30
29
18
16
12
Nếu muốn ước lượng giá trị trung bình của chỉ tiêu X với độ chính xác 0,6cm thì sẽ đạt
được độ tin cậy là bao nhiêu?
Giải. Lập bảng
Xi 12 14 16 18 20 22 24
ni 12 14 30 29 18 16 12
 Cỡ mẫu n = 131.
 Kỳ vọng mẫu của X là
1
X = n ∑X i n i = 17, 8779(cm).
 Độ lệch mẫu hiệu chỉnh của X là:
1

X

n

2
ni −
= 3, 4352(cm).
X
n −1
n −1
Yêu cầu của bài tóan: Xác định độ tin cậy γ = 1− α.
Giả thiết: – Ước khỏang cho kỳ vọng của X.
S=

∑

i

2

2


– Độ chính xác ε = 0,6cm.
Vì n ≥ 30, σ2 = D(X) chưa biết nên ta có công thức tính độ chính xác của ước lượng:
S

ε = zα

n

trong đó ϕ(zα) = (1− α)/2 = γ /2. Suy ra
zα = ε n = 0, 6. 131 = 2, 00

S

3,4352

Tra bảng giá trị hàm Laplace ta được độ tin cậy là:
= 2ϕ(zα ) = 2ϕ(2, 00) = 2.0, 4772 = 95, 44%.



Vậy độ tin cậy đạt được là 95,44%.
Loại 3: Nếu muốn uớc lượng giá trị trung bình của chỉ tiêu X với độ tin cậy γ và
độ chính xác ε thì phải điều tra thêm ít nhất bao nhiêu số liệu nữa?
Đây là bài toán xác định cỡ mẫu khi ước lượng kỳ vọng của chỉ tiêu X với độ chính
xác ε = ? và độ tin cậy γ = 1 − α = ?. Vì n ≥ 30, σ2 = D(X) chưa biết nên ta có công
thức tính độ chính xác của ước lượng:

ε = zα

S

,

n
trong đó ϕ(zα) = (1 − α) /2 = γ /2 = ? Tra bảng giá trị hàm Laplace ta được zα = ? Suy ra
2

zS

n
= 





Thực tế yêu cầu:

α

ε




= ?



n ≥  ? = ?= n



1

[So sánh số n1 ở trên với n0 (n0 là cỡ mẫu đang có), một trong hai trường hợp sau sẽ xảy
ra]
- Nếu n1 ≤ n0 thì ta không cần điều tra thêm.
- Nếu n1 > n0 thì ta cần điều tra thêm ít nhất là n1 – n0 = ? số liệu nữa.
Ví dụ 3: Để khảo sát chỉ tiêu X của một loại sản phẩm, người ta quan sát một mẫu và có
kết qủa sau:

X(cm) 9,5−12,5 12,5−15,5 15,5−18,5 18,5−21,5 21,5−24,5 24,5−27,5 27,5−30,5
Số sp
11
18
25
24
20
18
11
Nếu muốn uớc lượng giá trị trung bình của chỉ tiêu X với độ tin cậy 95% và độ chính
xác 0,8cm thì phải điều tra thêm ít nhất bao nhiêu sản phẩm nữa? Giải. Ta lập bảng:
Xi
ni

11 14 17
11 18 25

20 23 26 29
24 20 18 11
3


 Cỡ mẫu n = 127.
 Kỳ vọng mẫu của X là
X= n

1

∑X i n i

= 19, 8819

 Độ lệch mẫu hiệu chỉnh của X là:
2
1
n
=
X 2
∑
i ni −
5,2563.
n −1
n −1 X

S=

Đây là bài toán xác định cỡ mẫu khi ước lượng kỳ vọng của chỉ tiêu X với độ chính xác

= 0,8cm và độ tin cậy γ = 1 − α = 95% = 0,95. Vì n ≥ 30, σ2 = D(X) chưa biết
nên ta có công thức tính độ chính xác của ước lượng:
S
 = zα n ,
trong đó ϕ(zα) = (1 − α) /2 = 0,95/2 = 0,475. Tra bảng giá trị hàm Laplace ta được zα =
1,96. Suy ra
n=

Thực tế yêu cầu:

2

 z S 2




α

=

 ε 

 1, 96.5,2563 








0, 8

= 165,84.

= 166 =
n ≥ 165, 84  n1 .




Vì n1 = 166 > 127 = n0 (n0 là cỡ mẫu đang có) nên ta cần điều tra thêm ít nhất là 166 –
127 = 39 sản phẩm nữa.
Loại 4: Những sản phẩm có chỉ tiêu X từ ? – ? là những sản phẩm loại A. Ước
lượng tỉ lệ sản phẩm loại A với độ tin cậy γ = 1– α.
Đây là bài toán ước lượng khoảng cho tỉ lệ p các sản phẩm loại A với độ tin cậy γ =
1– α = ?% = ? Ta có công thức ước lượng khoảng:


 Fn − z




α

Fn (1 − Fn )
; Fn + z
n

α

Fn (1 − Fn ) 
 ,
n



trong đó ϕ(zα) = γ /2 = ? Tra bảng giá trị hàm Laplace ta được zα = ?
Ta có tỉ lệ mẫu Fn = m/n = ? (ở đây m là số sản phẩm loại A và n là cỡ mẫu).
Thế vào công thức trên ta suy ra ước lượng khoảng là:

(?,?)
Nói cách khác, với độ tin cậy γ , tỉ lệ sản phẩm loại A từ ? đến ??
Ví dụ 4: Để khảo sát chỉ tiêu X của một loại sản phẩm, người ta quan sát một mẫu và
có kết qủa sau:
11−13 13−15 15−17 17−19 19−21 21−23 23−25
X(cm)
Số sản phẩm
12
14
30
29
18
16
12
4


Những sản phẩm có chỉ tiêu X từ 17cm−23cm là những sản phẩm loại A. Ước lượng tỉ
lệ sản phẩm loại A với độ tin cậy 95%.
Giải.Lập bảng
Xi 12 14 16 18 20 22 24
ni 12 14 30 29 18 16 12
 Cỡ mẫu n = 131.
 Tỉ lệ mẫu sản phẩm loại A là
Fn = m/n = 63/131 = 0,4809
vì trong n =131 sản phẩm có m = 29 + 18 + 16 = 63 sản phẩm có chỉ tiêu X từ 17cm –
23cm, nghĩa là số sản phẩm loại A có trong mẫu là m = 63.
Đây là bài toán ước lượng khoảng cho tỉ lệ p các sản phẩm loại A với độ tin cậy γ = 1
− α = 95% = 0,95. Ta có công thức ước lượng khoảng :


 Fn − z


α



Fn (1 − Fn )
; Fn + z
n

α

Fn (1 − Fn ) 
 ,
n



trong đó ϕ(zα) = γ /2 = 0,95/2 = 0,475. Tra bảng giá trị hàm Laplace ta được zα = 1,96.
Vậy ước lượng khoảng là:





0, 4809 − 1, 96



0, 4809(1 − 0, 4809)

0, 4809(1 − 0, 4809)

; 0, 4809 + 1, 96

131

131








 (39, 53%; 56, 65%).

Nói cách khác, với độ tin cậy 99%, tỉ lệ sản phẩm loại A từ 39,53% đến 56,65%.
Loại 5: Những sản phẩm có chỉ tiêu X từ ? − ? là sản phẩm loại A. Nếu muốn ước
lượng tỉ lệ sản phẩm loại A với độ chính xác ε thì sẽ đạt được độ tin cậy là bao
nhiêu?
Đây là bài toán xác định độ tin cậy γ = 1− α khi ước lượng tỉ lệ sản phẩm loại A với
độ chính xác ε = ?% = ?. Ta có công thức tính độ chính xác của ước lượng:
Fn (1 − Fn ) ,
n

ε = z

α

trong đó ϕ(zα) = (1 − α)/2 = γ /2. Suy ra:
zα =

ε
Fn (1 − Fn )
n

=
?

Tra bảng giá trị hàm Laplace ta được độ tin cậy là:


= 2ϕ(zα ) = 2ϕ(?) = 2. ? = ? %.

Vậy độ tin cậy đạt được là ?%.
Chú ý: Fn = m/n là tỉ lệ sản phẩm loại A, bằng tỉ số giữa m là số sản phẩm loại A với n
là cỡ mẫu.
5


Ví dụ 5: Để khảo sát chỉ tiêu X của một loại sản phẩm, người ta quan sát một mẫu và
có kết qủa sau:
15,5−18,5 18,5−21,5 21,5−24,5 24,5−27,5 27,5−30,5
X(cm) 9,5−12,5 12,5−15,5
Số sp
11
18

25
24
20
18
11
Những sản phẩm có chỉ tiêu X từ 12,5cm−21,5cm là sản phẩm loại B. Nếu muốn ước
lượng tỉ lệ sản phẩm loại B với độ chính xác 9% thì sẽ đạt được độ tin cậy là bao nhiêu?
Giải.Ta lập bảng:
Xi
ni

11 14 17 20 23 26 29
11 18 25 24 20 18 11

• Cỡ mẫu n = 127.
• Tỉ lệ mẫu sp loại B là

Fn =

m
67
n = 127 = 0, 5276.

vì trong n = 127 sp có m = 18 + 25 + 24 = 67 sp có chỉ tiêu X từ 12,5cm−21,5cm.
Đây là bài toán xác định độ tin cậy γ = 1− α khi lượng tỉ lệ các sản phẩm loại B với
độ chính xác ε = 9% = 0,09. Ta có công thức tính độ chính xác của ước lượng:
Fn (1 − Fn ) ,
n

ε = z

α

trong đó ϕ(zα) = (1 − α)/2 = γ /2. Suy ra:
n

zα= ε

Fn (1 − Fn )

127

= 0,09.

0,5276(1 − 0,5276)

=
2,03.

Tra bảng giá trị hàm Laplace ta được độ tin cậy là
 = 2ϕ(zα ) = 2ϕ(2, 03) = 2.0, 47882 = 95,76%.

Loại 6: Nếu muốn ước lượng tỉ lệ sản phẩm loại A với độ tin cậy γ = 1 − α và độ
chính xác ε thì phải điều tra thêm ít nhất bao nhiêu sản phẩm nữa?
Đây là bài toán xác định cỡ mẫu khi ước lượng tỉ lệ sản phẩm loại A với độ chính xác

= ? và độ tin cậy γ = 1 − α = ?
Ta có công thức tính độ chính xác của ước lượng:
Fn (1 − Fn ) ,
n

ε = z
α

trong đó ϕ(zα) = (1 − α) /2 = γ /2 = ? Tra bảng giá trị hàm Laplace ta được zα = ? Suy ra
2
zα Fn (1 − Fn ) =
n=
?
2
ε

Thực tế yêu cầu:

n ≥  ? = ?= n



6

1


[So sánh số n1 ở trên với n0 (n0 là cỡ mẫu đang có), một trong hai trường hợp sau sẽ xảy
ra]
- Nếu n1 ≤ n0 thì ta không cần điều tra thêm.
- Nếu n1 > n0 thì ta cần điều tra thêm ít nhất là n1 – n0 = ? số liệu nữa.
Chú ý: Fn = m/n là tỉ lệ sản phẩm loại A, bằng tỉ số giữa m là số sản phẩm loại A với n
là cỡ mẫu.
Ví dụ 6: Để khảo sát chỉ tiêu X của một loại sản phẩm, người ta quan sát một mẫu và có
kết qủa sau:

11−13 13−15 15−17 17−19 19−21 21−23 23−25
X(cm)
Số sản phẩm
12
14
30
29
18
16
12
Nhữ ng sản phẩm có chỉ tiêu X từ 17cm−23cm là những sản phẩm loại A. Nếu muốn ước
lượng tỉ lệ sản phẩm loại A với độ tin cậy 99% và độ chính xác 12% thì phải điều tra
thêm ít nhất bao nhiêu sản phẩm nữa?
Giải. Yêu cầu của bài tóan: Xác định cỡ mẫu.
Giả thiết: – Ước khỏang cho tỉ lệ sản phẩm loại A.
– Độ chính xác ε = 12% = 0,12.
– Độ tin cậy γ = 1– α = 99% = 0,99.
Lập bảng
Xi 12 14 16 18
ni 12 14 30 29
• Cỡ mẫu: n = 131.
• Tỉ lệ mẫu sp loại A là
Fn
=

20 22
18 16

m

24
12

63

n = 131 = 0,4809.

vì trong n = 131sp có m = 29 + 18 + 16 = 63 sp có chỉ tiêu X từ 17cm−23cm.
Ta có công thức tính độ chính xác của ước lượng:
Fn (1 − Fn ) ,
n

ε = z
α

trong đó ϕ(zα) = (1– α) /2 = 0,99/2 = 0,495. Tra bảng giá trị hàm Laplace ta được zα =
2,58. Suy ra
2

n=

z Fn (1 − Fn )
α

2

ε

2

2,58 0,4809(1 − 0,4809) ≈
=
115,39.
2
0,12

Thực tế yêu cầu:
n ≥  115, = 116 =
39 n1 .




Vì n1 = 116 < 131 = n0 (n0 là cỡ mẫu đang có) nên ta không cần điều tra thêm sản phẩm
nữa.
7


Loại 7 (Cỡ mẫu n ≥ 30) – Một ý kiến cho rằng giá trị trung bình của chỉ tiêu X là
µ 0.
Với mức ý nghĩa α, hãy nhận định về ý kiến trên.
– Trước đây giá trị trung bình của chỉ tiêu X là µ 0. Các số liệu trên thu thập được
sau khi áp dụng một phương pháp mới. Hãy nhận định về phương pháp mới với
mức ý nghĩa α.
– Sau khi áp dụng một phương pháp mới người ta thấy giá trị trung bình của chỉ
tiêu X là µ 0. Hãy nhận định về phương pháp mới với mức ý nghĩa α.
– Một tài liệu thống kê cũ cho rằng giá trị trung bình của chỉ tiêu X là µ 0. Hãy
nhận định về tài liệu này với mức ý nghĩa α.
Đây là bài toán kiểm định giả thiết về kỳ vọng µ = M(X) với mức ý nghĩa α = ?:
H0: µ = µ0 với giả thiết đối H1: µ ≠ µ 0.

(µ0 là số được cho trong đề bài).
Vì n ≥ 30; σ2 = D(X) chưa biết, nên ta kiểm định như sau:
Bước 1: Ta có
z=

(X − µ ) n
0

S

= ?

Bước 2: Tra bảng giá trị hàm Laplace để tìm z α thoả
ϕ(zα) = (1− α)/2 = ?
ta được zα = ?
Bước 3: Kiểm định.
[So sánh |z| với zα, một trong hai trường hợp sau sẽ xảy ra]
- Nếu |z| ≤ zα thì ta chấp nhận giả thiết H0, nghĩa ….
- Nếu |z| > zα thì ta bác bỏ giả thiết H0, chấp nhận giả thiết H1, nghĩa là ….).

Ví dụ 7: Trọng lượng của một loại sản phẩm theo qui định là 10kg. Người ta dùng một
máy mới để sản xuất 150 sản phẩm thì thấy trọng lượng trung bình của một sản phẩm là
10,5kg và phương sai mẫu 8,5kg2. Máy được xem là hoạt động bình thường nếu sản
phẩm có trọng lượng trung bình bằng trọng lượng qui định. Với mức ý nghĩa 1%, hãy
nhận định về chiếc máy trên.
Giải. Gọi X là trọng lượng của sản phẩm. Giả thiết cho ta:
 Cỡ mẫu n = 150.
 Kỳ vọng mẫu của X là X = 10,5 (kg).
 Độ lệch mẫu hiệu chỉnh của X là S 8, 5 = 2, 9155 (kg).
Đây là bài toán kiểm định giả thiết về kỳ vọng µ = M(X) với mức ý nghĩa α = 1% =

0,01:
H0: µ = 10 với giả thiết đối H1: µ ≠ 10.
2
Vì n ≥ 30; σ = D(X) chưa biết, nên ta kiểm định như sau:
Bước 1: Ta có
8


z

=

(X − µ0) n
S

(10,5 − 10) 150

=

=
2,1004.

2,9155

Bước 2: Tra bảng giá trị hàm Laplace để tìm zα thoả
ϕ(zα) = (1− α)/2 = 0,99/2 = 0,495

ta được zα = 2,58.
Bước 3: Kiểm định. Vì |z|= 2,1004 < 2,58 = zα nên ta chấp nhận giả thiết H0: µ =
10.

Kết luận: Với mức ý nghĩa 1%, máy hoạt động bình thường.

Loại 8: – Một ý kiến cho rằng tỉ lệ sản phẩm loại A là p0. Với mức ý nghĩa α, hãy
nhận định về ý kiến trên.
– Trước đây tỉ lệ sản phẩm loại A là p 0. Các số liệu trên thu thập được sau khi áp
dụng một phương pháp mới. Hãy nhận định về phương pháp mới với mức ý nghĩa
α.
– Sau khi áp dụng một phương pháp mới người ta thấy tỉ lệ sản phẩm loại A là p0.
Hãy nhận định về phương pháp mới với mức ý nghĩa α.
– Một tài liệu thống kê cũ cho rằng tỉ lệ sản phẩm loại A là p0. Hãy nhận định về tài
liệu này với mức ý nghĩa α.
– Tỉ lệ phần tử loại A cũ là p 0. Sau khi sử dụng phương pháp mới, kiểm tra n sản
phẩm thì thấy có m sản phẩm loại A. Hãy nhận định về phương pháp mới với mức
ý nghĩa α.
Từ giả thiết ta suy ra:
 Cỡ mẫu n = ?.
 Số sản phẩm loại A có trong mẫu là m = ?
 Tỉ lệ mẫu sản phẩm tốt là Fn = m/n = ?
Đây là bài toán kiểm định giả thiết về tỉ lệ p các sản phẩm loại A với mức ý nghĩa α
= ?:
H0: p = p0 với giả thiết đối H1: p ≠ p0.
(p0 là số được cho trong đề bài).
Ta kiểm định như sau:
Bước 1: Ta có

z=

(F −p ) n
n

0

= ?

p 0 (1 − p 0 )

Bước 2: Tra bảng giá trị hàm Laplace để tìm z α thoả
ϕ(zα) = (1 − α)/2 = ?
ta được zα = ?
Bước 3: Kiểm định.
9


[So sánh |z| với zα, một trong hai trường hợp sau sẽ xảy ra]
- Nếu |z| ≤ zα thì ta chấp nhận giả thiết H0, nghĩa là …..
- Nếu |z| > zα thì ta bác bỏ giả thiết H0, chấp nhận giả thiết H1,nghĩa là …..
Ví dụ 8: Một máy sản xuất hàng hóa với tỉ lệ loại tốt là 61%. Do sự cố về điện, máy bị
hỏng. Sau khi sửa chữa và cho máy hoạt động lại, người ta kiểm tra ngẫu nhiên 500 sản
phẩm thì thấy có 275 sản phẩm tốt. Với mức ý nghĩa 5%, tỉ lệ sản phẩm tốt do máy sản
xuất có bị thay đổi không?
Giải. Từ giả thiết ta suy ra:
 Cỡ mẫu n = 500.
 Số sản phẩm loại tốt có trong mẫu là m = 275.
 Tỉ lệ mẫu sản phẩm tốt là Fn = m/n = 275/500 = 0,55.
Đây là bài toán kiểm định giả thiết về tỉ lệ p các sản phẩm tốt với mức ý nghĩa α =
5% = 0,05:
H0: p = 61% = 0,61 với giả thiết đối H1: p ≠ 0,61.
Ta kiểm định như sau:
Bước 1: Ta có
z

=

(Fn − p 0 ) n
p 0 (1 − p 0 )

(0, 55 − 0, 61)

=

500

0, 61(1 − 0, 61)

= − 2,7507.

Bước 2: Tra bảng giá trị hàm Laplace để tìm zα thoả

ϕ(zα) = (1 − α)/2 = 0,95/2 = 0,475

ta được zα = 1,96.
Bước 3: Kiểm định. Vì |z| = 2,7507 > 1,96 = zα nên ta bác bỏ giả thiết H0, chấp nhận
giả thiết H1: p ≠ 0,61.
Kết luận: Với mức ý nghĩa 5%, có thể nói tỉ lệ sản phẩm tốt do máy sản xuất bị thay đổi
(theo chiều hướng giảm, vì Fn = 0,55 < 0,61).
–––––––––––––––––

10