Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức luận án ths toán học 60 46 01 13

Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thứ c

ĐẠI HỌC QUỐC GIA
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

------------

PHẠM THỊ LAN ANH

MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP
CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

LUẬ N VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

HÀ NỘI - 2013


Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

ĐẠI HỌC QUỐC GIA
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

------



------

PHẠM THỊ LAN ANH

MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP

CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp
Mã số: 60.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS Phan Huy Khải

HÀ NỘI - 2013


Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

Mục lục

Lời nói đầu

...................

Chương 1: Mở đầu ..................................................................................................
1.1.

Định nghĩa: ..................................................

1.2.

Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức: .....

Chương 2: Bất đẳng thức Cauchy ............................................................................
2.1.

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy cơ bản. .......

2.1.1. Bất đẳng thức Cauchy: ...............................................................................
2.1.2. Bất đẳng thức Cauchy cơ bản:....................................................................
2.1.3. Các bài toán minh họa. ...............................................................................
2.1.4. Một số bài tập tương tự. .............................................................................
2.2.

Phương pháp sử dụng trực tiếp bất đẳng thứ

Bất đẳng thứ

2.2.1.
2.2.2. Các bài toán minh họa ................................................................................
2.2.3. Một số bài toán tương tự ........................................................................

2.3.

Phương pháp thêm bớt hằng số. ..................

Phương pháp

2.3.1.
2.3.2. Các bài toán minh họa: .............................................................................
2.3.3. Một số bài toán tương tự ..........................................................................
2.4.

Phương pháp thêm bớt biểu thức chứa biến

2.4.1.

Phương pháp

2.4.2. Các bài toán minh họa: .............................................................................
2.4.3.

Một số bài to


Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

2.5. Phương pháp nhóm các số hạng..................................................................... 40
2.5.1.

Phương pháp thứ 1................................................................................... 40

2.5.1.1.

Nội dung phương pháp:........................................................................ 40

2.5.1.2.

Các ví dụ minh họa:.............................................................................. 40
Phương pháp thứ 2................................................................................... 44
Nội dung phương pháp......................................................................... 44

2.5.2.
2.5.2.1.

2.5.2.2.
2.5.3.

Các ví dụ minh họa............................................................................... 44
Một số bài toán tương tự.......................................................................... 50

2.6. Phương pháp sử dụng kĩ thuật Cô-si ngược dấu............................................. 50
2.6.1.

Phương pháp:........................................................................................... 50

2.6.2.

Các bài toán minh họa:............................................................................ 50

2.6.3.

Các bài tập tương tự:................................................................................ 52

Chương 3: Phương pháp miền giá trị hàm số........................................................ 53
3.1. Nội dung phương pháp................................................................................... 53
3.2. Các bài toán minh họa.................................................................................... 53
3.3. Các bài tập tương tự....................................................................................... 55
Chương 4: Phương pháp lượng giác hóa............................................................... 56
4.1.
Nội dung phương pháp................................................................................... 56
4.2.
Các ví dụ minh họa......................................................................................... 56
4.3.
Bài tập tương tự:...............................................................................................................................................................................................62

Chương 5: Phương pháp dùng chiều biến thiên hàm số........................................ 63
5.1. Nội dung phương pháp:................................................................................. 63
5.2. Các bài toán minh họa:................................................................................... 63


Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

5.3. Các bài tập tương tự....................................................................................... 69
Chương 6: Phương pháp sử dụng hình học........................................................... 70
6.1. Nội dung phương pháp.................................................................................. 70
6.2. Các bài toán minh họa.................................................................................... 70
6.3. Các bài tập tương tự....................................................................................... 74
Kết luận................................................................................................................ 75
Tài liệu tham khảo................................................................................................. 76


Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

Lời nói đầu
Bất đẳng thức là một chuyên đề khá thú vị trong chương trình toán học phổ
thông và cũng có rất nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau của toán học. Trong
các đề thi chọn học sinh giỏi hay đề thi tuyển sinh vào Đại học, Cao đẳng những năm
gần đây thì bài toán bất đẳng thức thường xuất hiện như một dạng đề quen thuộc và
thường được hiểu như là một bài toán để lấy điểm tối đa vì việc giải quyết trọn vẹn
bài toán này không phải là đơn giản với phần lớn học sinh.
Lý thuyết về bất đẳng thức được trình bày ở rất nhiều cuốn sách khác nhau và
từ đó các phương pháp chứng minh bất đẳng thức cũng được đề cập để giải quyết
các bài toán bất đẳng thức đó. Trong phạm vi luận văn này, chúng tôi chỉ trình bày và
tổng hợp một vài phương pháp chứng minh bất đẳng thức quen thuộc để giải quyết
các bài toán của chương trình phổ thông, phục vụ quá trình dạy và học môn toán.

Trong luận văn này ngoài phần lời nói đầu và kết luận thì bố cục được trình bày
như sau:
- Chương 1: Mở đầu. Ở chương này đưa ra các khái niệm cơ bản về bất
đẳng thức cũng như các tính chất của bất đẳng thức.
Chương 2: Bất đẳng thức Cauchy. Chương này trình bày một số phương
pháp chứng minh bất đẳng thức sử dụng bất đẳng thức Cauchy, trong đó đưa ra
các phương pháp như:








Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Cauchy cơ bản.
Phương pháp sử dụng trực tiếp bất đẳng thức Cauchy.
Phương pháp thêm bớt hằng số.
Phương pháp thêm bớt biểu thức chứa biến.
Phương pháp nhóm các số hạng.
Phương pháp sử dụng kĩ thuật Cauchy ngược dấu.

Chương 3: Phương pháp miền giá trị hàm số. Chương này trình bày cách
từ miền giá trị của biến số để tìm ra miền giá trị của hàm số, từ đó xác định
được điểm cực trị của hàm số trong miền giá trị để chứng minh bất đẳng thức.


Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

Chương 4: Phương pháp lượng giác hóa. Chương này trình bày phương

pháp sử dụng các hệ thức lượng giác hoặc biến đổi bất đẳng thức trở thành các hệ

thức lượng giác quen thuộc để chứng minh bất đẳng thức.
Chương 5: Phương pháp sử dụng chiều biến thiên hàm số. Chương này
trình bày phương pháp lựa chọn hàm số từ bất đẳng thức để từ đó qua đạo hàm
ta thấy được chiều biến thiên trong một khoảng xác định để chứng minh bất đẳng
thức ban đầu.
- Chương 6: Phương pháp sử dụng hình học. Chương này trình bày
phương pháp biến đổi bất đẳng thức trở thành các biểu thức chứa các yếu tố hình
học, từ các bất đẳng thức hình học quen thuộc ta chứng minh được bất đẳng thức
ban đầu.
Luận văn được hoàn thành với sự hướng dẫn của PGS.TS Phan Huy Khải, thầy
đã hướng dẫn và tạo mọi điều kiện cho tôi hoàn thành luận văn này, xin chân thành
cảm ơn Thầy.
Tôi cũng xin gửi lời cám ơn đến các thầy cô giáo khoa Toán – Tin và các cán bộ
giáo viên khoa sau đại học trường ĐH KHTN-ĐH QG HN cùng các bạn bè lớp cao học
toán khóa 2011-2013, những người đã dạy dỗ, hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong suốt
quá trình học tập tại trường.
Sau cùng tôi xin gửi lời tri ân tới cha mẹ, người thân đã tạo điều kiện tốt nhất
cho tôi hoàn thành chương trình thạc sĩ này.
Hà Nội, ngày 30 tháng 11 năm 2013

Phạm Thị Lan Anh


Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

Chƣơng 1: Mở đầu
1.1.

Định nghĩa:
Cho A, B là các biểu thức. Khi đó, bất đẳng thức là:
A>B ⟺A−B>0.
A
1.2.

Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức:

1.2.1.

Tính chất bắc cầu:

Nếu a >

à >

ì > .

1.2.2.

Nếu a >

1.2.3.

Nếu a > ; >

ì + >

1.2.4.

Nếu a > ; <

ì − >

1.2.5.

Nếu a > > 0;

1.2.6.

Nếu a > > 0;

à >

ì:

ma >> 0.

ma << 0.

1.2.7.
1.2.8.
1.2.9.
Nếu a > 1

Nếu a > > 0

ì > ⟺

Nếu a > ⟺ a3 > b3.

Các bất đẳng thức liên quan đến hệ

ìx

1

1.2.10.

Nếu 0 < < 1

ìx

Nếu a > 1
Nếu 0 <

ì

>
<1

ì

> 0 ⟺ loga c > loga d.

>

Các bất đẳng thức với dấu giá trị tuyệt đối:

> 0 ⟺ loga c < loga d.

Cho α > 0. đó:

A> ⟺

A<

⟺− <

<.

1


Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

Chƣơng 2: Bất đẳng thức Cauchy
2.1. Sử dụng bất đẳng thức Cauchy cơ bản.
2.1.1.
Bất đẳng thức Cauchy.
Cho n số không âm: x1; x2; … ; xn . Khi đó:
x1 + x2 + ⋯ + xn ≥ nn x1x2 … xn .
Dấu "= " xảy ra khi x1 = x2 = ⋯ = xn .

2.1.2.
Bất đẳng thức Cauchy cơ bản.
Ta gọi hai bất đẳng thức thông dụng sau là bất đẳng thức Cauchy cơ bản:

+a+b

+a+b+c.

Chú ý : Dạng tương đương của 2 bất đẳng thức trên là:
1

1

a

+

1

b ≥

1

a

+

Dạng bất đẳng thức Cauchy cơ bản tổng quát
(a1 + a2 + ⋯ + an )

1

⇔
a

1

Dấu “ = “ xảy ra khi a1 = a2 = ⋯ = a n .

2.1.3.

Các bài toán minh họa.
Bài toán 1.

Cho x > 0; y > 0; z > 0 và thỏa mãn điều kiện

Chứng minh rằng:

Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cơ bản cho 4 số x; x; y; z ta được:

2

b +

1


Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

Dấu “ = “ xảy ra khi x = x = y = z ⟺ x = y = z.

Tương tự ta được:

1

x + 2y + z

Dấu “ = “ xảy ra khi x = y = z.

1

x + y + 2z

Dấu “ = “ xảy ra khi x = y = z.

Cộng 2 vế của 3 bất đẳng thức
1

2x + y + z

Dấu “ = “ xảy ra ⇔ x = y = z.

1

1

x

Mà

+ y

Dấu “ = “ xảy ra khi x = y = z =

Bài toán 2.
Cho 3 số dương a, b, c. Chứng minh rằng:
a

b+c

Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cơ bản ta có:

c+a+b+c+a+b

⟺2a+b+c

⟺2 1+
a

⟺

Dấu “ = “ xảy ra khi b + c = c + a = a + b ⟺ a = b = c.

b+c


3


Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

Bài toán 3:

Cho x > 0; y > 0; z > 0 và thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1.

Chứng minh rằng:

x

x+1

Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cơ bản cho các số x+1; y+1; z+1 ta được:
1

x+1

+

1

x+1

⟺−

⟺1−

x

x+1

⟺

Dấu “ = “ xảy ra khi x + 1 = y + 1 = z + 1 ⟺ x = y = z =

Bài toán 4.
Cho x > 0; y > 0; x + y < 1 .

Chứng minh rằng:

Lời giải:
Bất đẳng thức đã cho tương đương với:

−x − 1 +

1

⟺

⟺ 1−x+1−y+x+y

Dấu “ = “ xảy ra khi 1 − x = 1 − y = x + y ⟺ x = y =

1−x


4


Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

Bài toán 5.

Cho 3 số dương a, b, c và abc = ab + bc + ca. Chứng minh rằng:
1113 a + 2b + 3c

+

2a + 3b + c

+

3a + b + 2c

<

16.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cơ bản ta được:

a + 2b + 3c

⟺

a + 2b + 3c

≤

16 a

+

2b

+

2c

.

1

1113

Dấu “ = “ xảy ra khi

mâu thuẫn giả thiết a, b, c dương.

⟹ Dấu “ = “ không xảy ra do đó ta có
Tương tự ta có:

Cộng 2 vế các bất phương trình trên ta có
1

a + 2b + 3c

Do abc = ab + bc + ca ⟺

1

⟹

a + 2b + 3c

5


Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

Cho ∆ABC là tam giác nhọn. Chứng minh rằng:

cosA

Lời giải:

Vì ∆ABC nhọn → 0 < A, B, C <
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cơ bản ta được:

1

1

+

cosA

cosB

A−B

Dấu “ = “ xảy ra khi cos

Tương tự ta có:

1

+

cosB

cosC

1

+

cosC

cosA

Cộng 2 vế của 3 bất đẳng thức trên ta có:

1

2

cosA

cosA + cosB
hay ∆ABC đều.

⟺

à

+

cosC

á

≥

sin

A

2

+

sin

B +
C .
2
sin 2

Dấu “ = “ xảy ra khi A = B = C

.

Chứng minh rằng: Trong mọi ∆ABC ta có:

ab sin


Xét vế trái = a


Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

2S

S

=
C

cos

A

Trong ∆ABC ta luôn có 0 <

A

2

⟹ cos

, cos

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cơ bản ta có:

1

1

+
A

cos

cos

2

Mà mọi ∆ABC thì cos

Do đó

cos

A

Dấu “ = “ xảy ra khi

Hay ∆ABC đều.

2.1.4.

Một số bài tập tƣơng tự.

Bài 1: Cho x > 0, y > 0 và x + y =
Bài 2: Giả sử x, y, z là các số thực dương và thỏa mãn điều kiện:

x2 + y2 + z2 = 3xyz.

Chứng minh rằng:


Bài 3: Cho các số thực dương x, y, z sao cho xyz = 1.

Chứng minh rằng:

Bài 4: Cho 3 số dương x, y, z Chứng minh rằng:

x

2x + y + z

P=

7


Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức
Bài 5: Chứng minh rằng: trong mọi ∆ABC ta có ∶ ab + bc + ca ≥
4 3S .
với S là diện tích ∆ABC .

2.2. Phƣơng pháp sử dụng trực tiếp bất đẳng thức Cauchy

2.2.1. Bất đẳng thức Cauchy:
Cho n số không âm a1, a2, … , an khi đó:
(a + a + ⋯ + a )
1

2

n

≥ a a…a

.

n

Dấu “ = “ xảy ra khi a1 = a2 = ⋯ = an .
n

1 2

n

2.2.2. Các bài toán minh họa
Bài toán 1.
Cho 3 số dương x, y, z và xyz=1. Chứng minh rằng:
1+x

3

P=

xy

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số 1, x 3, y3 ta được:

Lời giải:

Dấu “ = “ xảy ra khi 1 = x3 = y3

Tương tự ta có

Dấu “ = “ xảy ra khi 1 = y3 = z3 ⟺ y = z = 1.

3

1+z +x

3

zx

Dấu “ = “ xảy ra khi 1 = z3 = x3 ⟺ z = x = 1.

Cộng 2 vế các bất đẳng thức ta có ∶

P≥

⟹ P≥3

xy

Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

Dấu “ = “ xảy ra khi

Bài toán 2.
Chứng minh rằng: ∀x ∈ ℝ ta có:

Lời giải:
∀x ∈ ℝ
Áp dụng bất đẳng thức
Cauchy ta được:

x

= 2.3x .

x
Dấu “ = “ xảy ra khi

=

x

15

x

=

4

20

x

3

Cộng 2 vế các bất đẳng thức ta có:

12

x

5

Dấu “=” xảy ra khi x=0.
Bài toán 3.

Cho 3 số không âm x, y, z và
1
Chứng minh rằng ∶ xyz ≤ 8.

Từ giả thiết ta có

Lời giải:


9

Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

1
1+x

Dấu “ = “ xảy ra ⟺

Tương tự ta có

xy

1

1+z

Các vế đều không âm, nhân các vế với nhau ta có ∶

1

1+x

1

8

⟺ xy ≤

Bài toán 4.
Cho 3 số dương x, y, z và xy

x

6

Chứng minh rằng:

Lời giải:
Đặt X = x3, Y = y3, Z = z3 => X, Y, Z > 0 .

Khi đó bài toán đã cho trở thành:

Cho X, Y, Z là 3 số dương thỏa mãn

CMR: S =

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:


10


Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

Dấu “ = “ xảy ra khi

Tương tự ta có

2

Y

Y+Z

Z2

Z+X
X+Y+Z

Cộng các vế ta có S +

≥ X + Y + Z.

⟹

S≥X+Y+Z
.

2

Dấu “ = “ xảy ra khi X = Y = Z .

Ta thấy X + Y + Z ≥ XY +

Vậy S ≥

Ta có: x, y, z > 0 và x2 + y2 + x2 = 1

nên ta đưa bài toán về chứng minh rằng

x

1 − x2

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

2 = 2x2 + 1 − x2 + 1 − x2 ≥ 33

⟺ 8 ≥ 27. 2x2

⟹ x 1 − x2 ≤

1
3

3

.


11