Bài giảng Sức bền vật liệu – Chương 6 (Lê Đức Thanh)

GV: Lê đức Thanh

Chương 6

ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC CỦA MẶT CẮT NGANG
6.1 KHÁI NIỆM
Ở chương 3, khi tính độ bền của thanh chòu kéo (nén) đúng tâm, ta thấy
ứng suất trong thanh chỉ phụ thuộc vào độ lớn của diện tích mặt cắt ngang
F (mặt cắt F, diện tích F). Trong những trường hợp khác, như thanh chòu
uốn, xoắn… thì ứng suất trong thanh không chỉ phụ thuộc vào diện tích F mà
còn phụ thuộc vào hình dáng, cách bố trí mặt cắt… nghóa còn những yếu tố
khác mà người ta gọi chung là đặc trưng hình học của mặt cắt ngang.

P
P

z

a)

y

x

b)

y

H.6.1. Dầm chòu uốn
a) Tiết diện đứng; b) Tiết diện nằm ngang

Xét thanh chòu uốn trong hai trường hợp mặt cắt đặt khác nhau như trên
H.6.1. Bằng trực giác, dễ dàng nhận thấy trường hợp a), thanh chòu lực tốt
hơn trường hợp b), tuy rằng trong trong hai trường hợp diện tích của mặt cắt
ngang thanh vẫn như nhau. Như vậy, khả năng chòu lực của thanh còn phụ
thuộc vào cách sắp đặt và vò trí mặt cắt ngang đối với phương tác dụng của
lực.(Ứng suất nhỏ 04 lần độ võng nhỏ 16 lần ). Cho nên sự chòu lực không
những phụ thuộc F, mà cần phải nghiên cứu các đặc trưng hình học khác
của mặt cắt ngang để tính toán độ bền, độ cứng, độ ổn đònh và thiết kế mặt
cắt của thanh cho hợp lý.
6.2 MÔMEN TĨNH - TRỌNG TÂM
_________________________________________________________________
Chương 6: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang
1


GV: Lê đức Thanh

Xét một hình phẳng biểu diễn mặt
cắt ngang F ( mặt cắt F ) như trên H.6.2.
Lập một hệ tọa độ vuông góc Oxy trong
mặt phẳng của mặt cắt. M(x,y) là một
điểm bất kỳ trên hình. Lấy chung quanh
M một diện tích vi phân dF.

yo

y

M
•

yo
y

F

C
xC

dF
xo

xo

yC

x
♦ Mômen tónh của mặt cắt F đối với
x
O
trục x (hay y) là tích phân:
H.6.2 Mặt cắt F và trọng tâm C
S x = ∫ ydF , S y = ∫ xdF
(6.1)
F

F

vì x, y có thể âm hoặc dương nên
mômen tónh có thể có trò số âm hoặc dương.

Thứ nguyên của mômen tónh là [(chiều dài)3].
♦ Trục trung tâm là trục có mômen tónh của mặt cắt F đối với trục đó
bằng không.
♦ Trọng tâm là giao điểm của hai trục trung tâm.
⇒ Mômen tónh đối với một trục đi qua trọng tâm bằng không.
♦ Cách xác đònh trọng tâm C của mặt cắt F:
Dựng hệ trục x o Cy o song song với hệ trục xOy ban đầu (H.6.2). Ta có
x = xC + xo ;

y = yC + yo , với C(x c ,y c )

Thay vào (6.1), ⇒
S x = ∫ ( yC + yo )dF = yC ∫ dF + ∫ yo dF = yC F + S xo
F

F

F

vì trục xo là trục trung tâm nên S xo = 0 ,
S x = yC F , và

: S y = xC F

⇒
(6.2)

Từ (6.2) ⇒
xC =

Sy
F

;

yC =

Kết luận: Tọa độ trọng tâm

Sx
F

C( xC , yC )

(6.3)
được xác đònh trong hệ trục xOy ban

đầu theo mômen tónh Sx , Sy và diệân tích F theo (6.4).
Ngược lại, nếu biết trước tọa độ trọng tâm, có thể sử dụng (6.2), (6.3)
để xác đònh các mômen tónh.

Nhận xét 1:
_________________________________________________________________
Chương 6: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang
2


GV: Lê đức Thanh

Mặt cắt có trục đối xứng, trọng tâm nằm trên trục này vì mômen tónh

đối với trục đối xứng bằng không (H.6.3a,b).
Mặt cắt có hai trục đối xứng, trọng tâm nằm ở giao điểm hai trục đối
xứng (H.6.3c).
y

y

y

x

C

C

a)

C

x

b)

x

c)

H.6.3 Mặt cắt có trục đối xứng

Thực tế, có thể gặp những mặt cắt ngang có hình dáng phức tạp được

ghép từ nhiều hình đơn giản.
Tính chất: mômen tónh của hình phức tạp bằng tổng mômen tónh của
các hình đơn giản.
Với những hình đơn giản như chữ nhật, tròn, tam giác hoặc mặt cắt các
loại thép đònh hình I, U, V, L… ta đã biết trước (hoặc có thể tra theo các bảng
trong phần phụ lục ) diện tích, vò trí trọng tâm, từ đó dễ dàng tính được
mômen tónh của hình phứùc tạp gồm n hình đơn giản:
S x = F1 y1 + F2 y2 + ... + Fn yn =

n

∑F y
i

1

S y = F1 x1 + F2 x2 + ... + Fn xn =

n

∑Fx

i

(6.4)

i i

1

trong đó: Fi , xi , yi - diện tích và tọa độ trọng tâm của hình đơn giản thứ i,
n - số hình đơn giản.
⇒ Toạ độ trọng tâm của một hình phức tạp trong hệ tọa độ xy.
n

xC =

Sy
F

=

∑Fx
i =1
n

i

∑F
i =1

i

n

i

; yC =

Sx

=
F

∑Fy
i =1
n

i

∑F
i =1

i

(6.5)

i

_________________________________________________________________
Chương 6: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang
3


GV: Lê đức Thanh
y

Thí dụ 6-1 Xác đònh trọng tâm
mặt cắt chữ L chỉ gồm hai hình
chữ nhật như trên H.6.4. Tọa độ

F

1

x1

trọng tâm C của hình trên là:
xF +x F
xC =
= 1 1 2 2 ;
F
F1 + F2
S
y F + y2 F2
yC = x = 1 1
F
F1 + F2

xC

Sy

x

C

1

F
C

x

y1

2

yC

Thí dụ 6.2 Một mặt cắt thanh
ghép, gồm thép chữ Ι số hiệu

x C
O

y2

2

x2

x

H . 6 . 4 T r o ï n g t a âm h ì n h p h ư ùc t a ïp

No55, thép chữ [ số hiệu No27,
và thép chữ nhật 15 × 1,2 cm (H.6.5). Xác đònh trọng tâm C của mặt cắt.
Giải.
Tra bảng (ΓOCT 8239-89) ⇒ số liệu sau:
- Đối với thép chữ Ι No55:

h2 = 55 cm
t = 1,65 cm
F2 = 118 cm2

y≡Y
I

x
IoN55

x
x

C2

x

yC

X

C
y3
o

[ N 27

z3
C3

x

F1 = 15 cm x 1,2 cm = 18 cm2

y1

II

o

- Đối với thép chữ [ N 27:
h3 = 27 cm
F3 = 35,2 cm2
z3 = 2,47 cm
- Hình chữ nhật:

150 × 12 mm

C1

III

H.6.5. Trong tâm C của hình ghép

Chọn hệ trục tọa độ xy qua gốc C2 ⇒ tọa độ trọng tâm của ba hình trên là:
y1 =

55 1,2
55
+

= 28,1 cm ; y2 = 0 ; y3 =
+ 2,47 = 29,97 cm
2
2
2

Diện tích và mômen tónh của toàn mặt cắt là:
F = F1 + F2 + F3 = 18 + 118 + 35,2 = 171,2 cm2

S x = y1 F1 + y2 F2 + y3 F3 = (28,1)(18) + 0 − (29,97 )(35,2 ) = −549,144cm3

vì y là trục đối xứng, trọng tâm C sẽ nằm trên trục này.
⇒ Tọa độ điểm C là:

xC = 0 ; yC =

S x − 549,144
=
≈ −32 cm
F
171,2

Dấu (–) cho thấy trọng tâm C nằm phía dưới trục x.
Chú ý rằng, trục x có thể chọn tùy ý song ở thí dụ này ta đặt trục x đi
qua trọng tâm C2 của mặt cắt chữ Ι cho tiện tính toán.
_________________________________________________________________
Chương 6: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang
4

GV: Lê đức Thanh

Thí dụ 6.3. Cho mặt cắt hình chữ U .Tìm trọng tâm C
Chọn hệ trục x,y như hình vẽ, trục x qua đáy mặt cắt (trục y là trục đối
xứng, C nằm trên trục y)
yC =

Y

S x 24 × 4 × 2 + 2(4 × 12 × 10)
=
= 6cm
(24 × 4) + 2(4 × 12)
F

4cm

Hay :
yC =

S x1 _ S x 2
F1 _ F2

=

2

(24 × 16 × 8) _(16 × 12 × 10)
= 6cm
(24 × 16) _(16 × 12)

y
4cm
16cm
12cm

C

X

4cm

x

1
H. 6.12

6.3 MÔMEN QUÁN TÍNH- HỆ TRỤC QUÁN TÍNH CHÍNH TRUNG TÂM
1- Mômen quán tính (MMQT)
♦Mômen quán tính độc cực

y

( MMQT đối với điểm) của mặt cắt F
đối với điểm O được đònh nghóa là
biểu thức tích phân:

dF
F

ρ

(6.6)

J ρ = ∫ ρ dF
2

M
•

y

F

với ù: ρ - khoảng cách từ điểm M đến
gốc tọa độ O,
♦Mômen quán tính đối với trục

x

O

x

H. 6.6 Hình phẳn g F

y và x của mặt cắt F được đònh nghóa:
J y = ∫ x 2 dF ; J x = ∫ y 2 dF
F

(6.7)

F

♦Mômen quán tính ly tâm của mặt cắt F đối với hệ trục x,y được đònh
nghóa:
(6.8)

J xy = ∫ xydF
F

Từ đònh nghóa các mômen quán tính, ta nhận thấy:
- MMQT có thứ nguyên là [chiều dài]4
- Jx , Jy , Jp > 0
- MMQT ly tâm Jxy cóù thể dương, âm hoặc bằng không.
- Vì

ρ2 = x2 + y2

nên

Jρ = Jx + Jy

(6.9)

_________________________________________________________________
Chương 6: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang
5