(Luận văn thạc sĩ) Về véctơ trọng số RBF cho phương pháp không lưới RBF-FD trong không gian ba chiều

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
————— o0o —————

VŨ XUÂN HIỂN

VỀ VÉCTƠ TRỌNG SỐ RBF CHO
PHƯƠNG PHÁP KHÔNG LƯỚI RBF-FD
TRONG KHÔNG GIAN BA CHIỀU

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN, 6/2020


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
————— o0o —————

VŨ XUÂN HIỂN

VỀ VÉCTƠ TRỌNG SỐ RBF CHO
PHƯƠNG PHÁP KHÔNG LƯỚI RBF-FD
TRONG KHÔNG GIAN BA CHIỀU

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 8 46 01 12

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. ĐẶNG THỊ OANH

Thái Nguyên, 6/2020


ii

Mục lục
Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv
Danh mục ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị

3

1.1
1.2

Cơ sở của bài toán nội suy hàm số với dữ liệu phân tán . . 3
Một số định nghĩa và khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3

Lược đồ phương pháp sai phân hữu hạn giải phương trình
đạo hàm riêng trong không gian 3 chiều . . . . . . . . . . 10

1.4

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Chương 2. Phương pháp không lưới RBF – FD giải phương

trình Poisson trong không gian ba chiều
15
2.1 Bài toán mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2

2.3

Véctơ trọng số từ nội suy hàm cơ sở bán kính . . . .
2.2.1 Véctơ trọng số từ vi phân số trên các tâm phân
bố không đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Nội suy không có thành phần đa thức . . . . .
2.2.3 Nội suy có thành phần đa thức . . . . . . . . .

. 16
. 16
. 18
. 20

2.2.4 Véctơ trọng số RBF trong không gian ba chiều . . . 23
Thuật toán chọn tâm dựa trên các góc khối . . . . . . . . 26

2.4

Lược đồ RBF-FD giải bài toán Elliptic trong không gian
ba chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.5

Thử nghiệm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Kết luận

31


iii

Tài liệu tham khảo

32


iv

Lời cảm ơn
Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Khoa học - Đại học
Thái Nguyên. Trong quá trình học tập và thực hiện luận văn này, Trường
Đại học Khoa học đã tạo mọi điều kiện tốt nhất để tác giả học tập,
nghiên cứu. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến các
thầy, cô trong khoa Toán - Tin, trong Trường Đại học Khoa học - Đại
học Thái Nguyên. Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới
TS. Đặng Thị Oanh - Người đã tận tình hướng dẫn tác giả hoàn thành
luận văn này. Tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn tới Ban giám hiệu
trường THPT Ân Thi, Hưng Yên và tập thể các thầy cô giáo trong tổ
Toán Tin của Trường đã tạo điều kiện giúp đỡ tác giả trong thời gian
tác giả tham gia học cao học.
Cuối cùng tôi xin gửi lời cám ơn đến tập thể lớp K12A6, gia đình bạn
bè đã giúp đỡ, động viên tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện
luận văn này.
Thái Nguyên, tháng 6 năm 2020

Tác giả

Vũ Xuân Hiển


v

Danh mục ký hiệu
Ω

Miền hình học.

Ξ
Ξint

Tập các các tâm trong miền và trên biên Ω.
Tập các tâm nằm trong miền Ω.

∂Ω
ζ

Tập các tâm nằm trên biên ∂Ω.
Tâm thuộc tập Ξint .

g
f

Hàm trên biên.
Hàm vế phải của phương trình Poisson.

w
u

véc tơ trọng số.
Nghiệm giải tích.

u˜

Nghiệm xấp xỉ.

∞
Rn

Vô cùng.
Không gian n chiều.

λ
φ

Giá trị riêng của ma trận.
Hàm cơ sở bán kính.

A

Tham số hình dạng.
Ma trận của hệ phương trình đại số tuyến tính.

b
x

Véc tơ vế phải của hệ phương trình đại số tuyến tính.
Nghiệm của hệ phương trình đại số tuyến tính.

E
X

Ma trận đơn vị.
Bộ tâm gồm ξ và ζ. Ký hiệu: X = {ζ, ξ1 , ..., ξk } .

k

Số các điểm ξi cần thiết trong tập Ξζ .


1

Mở đầu
Trong suốt thế kỷ XX, một loạt các phương pháp số đã hình thành
và phát triển như các phương pháp sai phân hữu hạn (finite difference
- FD), phương pháp phần tử hữu hạn (finite element method - FEM),
phương pháp thể tích hữu hạn (Finite Volume Method -FVM), phương
pháp phần tử biên (Boundary Element Method - BEM). . . Những phương
pháp này đã đem lại những đóng góp to lớn trong việc ứng dụng toán
học vào thực tiễn. Tuy nhiên, chúng còn nhiều hạn chế khi áp dụng vào
lớp các bài toán thực tế có cấu trúc phức tạp như: lưới biến dạng trên
phạm vi rộng, số chiều không gian cao, hàm vế phải hoặc hàm điều kiện
biên có kì dị (có độ dao động lớn). Khó khăn lớn nhất ở đây là sinh lưới,
duy trì lưới và cập nhật lưới. Đó là lý do thúc đẩy các nhà khoa học
thuộc các lĩnh vực khác nhau, tìm kiếm những phương pháp mới nhằm
khắc phục những hạn chế này của các phương pháp lưới.

Để khắc phục một số nhược điểm của phương pháp lưới, người ta
đã đưa ra phương pháp không lưới giải phương trình đạo hàm riêng
[4, 5, 9, 11, 12, 14]. Một trong các cách tiếp cận không lưới là phương
pháp RBF – FD (Radial Basis Funcion - Finite Difference) [9, 11, 12, 14].
- Hàm cơ sở bán kính Φ : Rd → R là hàm xác định dương và giá trị của
nó chỉ phụ thuộc vào chuẩn của véctơ biến, tức là Φ(x) = φ(||x||2 ) với
mọi x ∈ Rd và φ : [0; ∞) → R là một hàm cho trước nào đó [6, 10]. Sử
dụng sự thay đổi của hàm này để xây dựng nội suy hàm cơ sở bán kính
(RBF – Interpolation) [6, 10]. Tiếp đó nội suy hàm cơ sở bán kính được
sử dụng xấp xỉ toán tử vi phân, nhằm tạo ra các phương pháp xấp xỉ
giải phương trình vi phân đạo hàm riêng. Phương pháp RBF – FD được
xây dựng theo lược đồ này. Phương pháp RBF – FD là phương pháp
không lưới sử dụng nội suy hàm cơ sở bán kính với cách tiếp cận địa
phương, và dựa trên sự rời rạc hóa giống như phương pháp FD để tính
xấp xỉ nghiệm tại một số điểm rời rạc trong miền xác định. Khi sử dụng
phương pháp RBF – FD giải bài toán d chiều với d lớn tùy ý, thì thay
vì phải làm việc với hàm d biến, ta chỉ cần làm việc với hàm một biến.
Một lợi thế của kỹ thuật rời rạc không lưới là chỉ cần dựa trên tập điểm


2

độc lập phân bố bất kỳ, không cần tạo ra cấu trúc lưới. Do đó, không
còn cần chi phí dành cho sinh lưới, duy trì lưới và cập nhật lưới.
- Các nghiên cứu về phương pháp không lưới dựa trên hàm cơ sở bán
kính (Radial Basis Function – RBF) và ứng dụng giải phương trình đạo
hàm riêng đã được nhiều nhà khoa học trong và ngoài nước quan tâm.
Luận văn tập trung trình bày cách tính véctơ trọng số dựa trên nội
suy RBF trong không gian ba chiều cho phương pháp sai phân hữu hạn
không lưới trên cơ sở đọc hiểu và tổng hợp từ các quyển sách [1, 6, 7, 10]

và các bài báo [14, 15].


3

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị
Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản về cơ
sở của bài toán nội suy hàm số với dữ liệu phân tán; nội suy hàm số với
dữ liệu phân tán; một số hàm cơ sở bán kính và lược đồ phương pháp
sai phân hữu hạn giải phương trình đạo hàm riêng trong không gian 3
chiều. Nội dung chính của chương này được tham khảo chủ yếu từ các
tài liệu [1, 6, 7, 10].

1.1

Cơ sở của bài toán nội suy hàm số với dữ liệu
phân tán

Trong thực tế nhiều khi phải phục hồi một hàm số f (x) tại mọi giá
trị của x trên đoạn [a; b] mà chỉ biết một số hữu hạn giá trị của hàm số
tại một số hữu hạn các điểm rời rạc của đoạn đó. Các giá trị đó được
cung cấp qua thực nghiệm hay tính toán, vì vậy nảy sinh một vấn đề
toán học như sau: Trên đoạn [a; b] cho một lưới các điểm chia (điểm nút)
xi , i = 0, 1, 2, · · · , n và tại các nút xi cho giá trị của hàm số y = f (x) là
yi = f (xi ), i = 0, 1, 2, · · · , n. Cần xây dựng đa thức nội suy Pn (x) sao
cho Pn (x) trùng với f (x) tại tất cả các nút xi , nghĩa là:
Pn (xi ) = yi ;

i = 0, 1, 2, · · · , n.

Một số phương pháp nội suy truyền thống được đưa ra và giải quyết
rất tốt bài toán trên, điển hình là phương pháp nội suy Lagrange và
phương pháp nội suy Newton. Đa thức nội suy Lagrange rất đơn giản


4

và dễ tính, nếu các nút nội suy đã được cố định. Nhưng nếu ta bổ sung
thêm nút nội suy thì quá trình tính lại phải tính lại từ đầu. Phương
pháp nội suy Newton khắc phục được nhược điểm của nội suy Lagrange
ở chỗ khi thêm vào lưới nội suy một nút nội suy mới xn+1 , ta chỉ cần
thêm vào đa thức nội suy Pn (x) một số hạng. Tuy nhiên, khi số mốc
nội suy lớn thì nội suy bằng đa thức thường xảy ra hiện tượng phù hợp
trội (overfitting) do bậc của đa thức thường tăng theo số mốc nội suy.
Hơn nữa, đa số các bài toán nội suy trong các ứng dụng thực tiễn lại là
bài toán nội suy nhiều biến. Để khắc phục nhược điểm này, một phương
pháp nội suy được đề xuất bởi Powell vào năm 1987 là phương pháp nội
suy hàm cơ sở bán kính (Radial basis function-RBF) có thể chuyển từ
bài toán nội suy hàm nhiều biến về nội suy hàm một biến. Hơn nữa còn
cho kết quả rất tốt, đặc biệt với bài toán nội suy hàm nhiều biến trên
tập dữ liệu phân tán.

1.2

Một số định nghĩa và khái niệm

Bài toán 1.1
Cho bộ dữ liệu (xi ; yi ), i = 1, 2, ..., n, xi ∈ Rd ; yi ∈ R, trong đó xi là các

vị trí đo; yi là kết quả đo được tại vị trí xi . B1 , B2 , ..., Bn là các hàm cơ
sở của không gian tuyến tính của các hàm liên tục d biến. Ký hiệu là:
n

F = span{B1 , B2 , ..., Bn } =

ck Bk ; ck ∈ R

(1.1)

k=1

Tìm hàm Pf ∈ F sao cho
Pf (xi ) = yi ;

i = 1, 2, ..., n,

(1.2)

vì Pf ∈ F nên ta có
n

Pf (x) =

ck Bk (x),

x ∈ Rd .

(1.3)

k=1

Từ (1.2) và (1.3) ta có
Ac = y,

(1.4)


5

trong đó


B1 (x1 ) B2 (x1 ) ... Bn (x1 )

 B2 (x1 ) B2 (x2 ) ... Bn (x2 )
A=
 ...

Bn (x1 ) Bn (x2 ) ... Bn (xn )
c = [c1 , c2 , ..., cn ]T ;




,



(1.5)

y = [y1 , ..., yn ]T .

Bài toán 1.1 có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi ma trận A không suy
biến, tức là detA = 0.
Trường hợp d = 1 (trong không gian một chiều) ta có thể chọn cơ sở
như sau:
{B1 , B2 , ..., Bn } = {1, x, x2 , ..., xn−1 }.
Tuy nhiên khi d ≥ 2 ta có kết quả sau:
Định lý 1.2.1 [10](Mairhuber - Curtis)
Nếu Ω ⊂ Rd , d ≥ 2 và chứa một điểm trong thì không tồn tại không gian
Haar các hàm liên tục trên Ω.
Trong đó, không gian Haar được định nghĩa như sau:
Định nghĩa 1.2.2
Cho Ω ⊂ Rd , và F ⊂ C(Ω) là không gian tuyến tính hữu hạn chiều có cơ
sở là {B1 , B2 , ..., Bn }. Ta nói F là không gian Haar trên Ω nếu detA = 0
với mọi bộ tâm phân biệt {x1 , x2 , ..., xn } trong Ω. Trong đó ma trận
A = (Ajk )n×n ; Ajk = Bk (xj ); j, k = 1, 2, ..., n.
Sự tồn tại của không gian Haar đảm bảo tính khả nghịch của ma trận
nội suy, nghĩa là tồn tại duy nhất nghiệm của Bài toán 1.1.
Ví dụ 1.2.3 Không gian các đa thức một biến bậc n − 1 chính là không
gian Haar n chiều với tập dữ liệu (xj ; yj ), j = 1, ...n; xj ∈ R; yj ∈ R.
Định lí Mairhuber – Curtis cho thấy rằng nếu muốn giải được bài toán
nội suy với dữ liệu phân tán trong không gian nhiều chiều thì cơ sở cần
phụ thuộc vào các vị trí dữ liệu. Để thu được các không gian xấp xỉ phụ


6

thuộc dữ liệu, chúng ta cần xét đến các hàm xác định dương và các ma

trận dương.
Định nghĩa 1.2.4 (Ma trận xác định dương)
Ma trận A vuông, đối xứng, giá trị thực được gọi là xác định dương nếu
dạng toàn phương tương ứng không âm:
n

n

cj ck Ajk ≥ 0 với c = (c1 , c2 , ..., cn )T ∈ Rn .
j=1 k=1

Dấu bằng chỉ xảy ra khi và chỉ khi c = (0, 0, ..., 0)T .
Tính chất quan trọng của ma trận xác định dương là nó có tất cả các
giá trị riêng đều dương và không suy biến.
Nếu hệ cơ sở {Bk }nk=1 , trong Bài toán 1.1 làm cho ma trận nội suy A
xác định dương thì hệ (1.4) có nghiệm duy nhất.
Định nghĩa 1.2.5 (Hàm xác định dương)
Hàm liên tục Φ : Rd −→ R là xác định dương trên Rd khi và chỉ khi nó
là hàm chẵn và với mọi bộ tâm phân biệt từng đôi một
X = {x1 , x2 , ..., xn } ⊂ Rd ; n ∈ N, và mọi vectơ c = (c1 , c2 , ...cn ) ∈ Rn thì
dạng toàn phương
n

n

cj ck Φ(xj − xk ) ≥ 0.

(1.6)

j=1 k=1

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi c = (0, 0, ..., 0).

Định nghĩa 1.2.6 Hàm một biến φ : [0, ∞) −→ R được gọi là xác
định dương trên Rd nếu hàm nhiều biến tương ứng Φ(x) = φ(||x||) với
∀x ∈ Rd là xác định dương.
Từ định nghĩa trên và tính chất của ma trận xác định dương ta thấy có
thể sử dụng các hàm xác định dương Bn = Φ(x − xk ) là hệ hàm cơ sở
và khi đó (1.3) trở thành
n

ck Φ(x − xk ).

Pf (x) =
k=1

(1.7)


7

Ma trận nội suy A = [Ajk ]n×n với Ajk = Bk (xj ) = Φ(xj − xk );
j, k = 1, ..., n.
Tuy nhiên việc giải bài toán nội suy trong không gian nhiều chiều là khó
khăn, do đó thay vì sử dụng hàm nhiều biến Φ(x) bởi hàm một biến φ
cho tất cả số chiều d.
Định nghĩa 1.2.7 (Hàm bán kính)
Hàm Φ : Rd → R được gọi là hàm bán kính nếu tồn tại hàm một biến
φ : [0, ∞) → R sao cho Φ(x) = φ(||x||) với ∀x ∈ Rd .
Định nghĩa 1.2.8 (Hàm bán kính xác định dương)

Cho hàm Φ : Rd → R với hàm cơ sở tương ứng là φ. Ta nói φ xác định
dương trên Rd khi và chỉ khi Φ xác định dương trên Rd .
Định nghĩa 1.2.9 (Hàm bán kính xác định dương có điều kiện)
Hàm chẵn, liên tục Φ : Rd → R được gọi là xác định dương có điều kiện
bậc l nếu với mọi bộ tâm phân biệt từng đôi một X = {x1 , x2 . . . , xn } ⊂
Rd , n ∈ N, với mọi vectơ c = {c1 , c2 . . . , cn } ∈ Rn và mọi đa thức P giá
trị thực bậc nhỏ hơn l, thỏa mãn
n

cj p(xj ) = 0,
j=1

thì

n

n

cj ck Φ(xj − xk ) ≥ 0,
j=1 k=1

và công thức trên là đẳng thức khi và chỉ khi c là vectơ 0.
Nhận xét
i) Nếu một hàm là xác định dương có điều kiện bậc l trong không gian
Rd thì nó sẽ là xác định dương có điều kiện với mọi bậc lớn hơn l. Cụ
thể là nếu một hàm là xác định dương (l = 0) thì sẽ là xác định dương
với mọi bậc l ∈ N.
ii) Ma trận A với các phần tử Aj,k = Φ(xj − xk ) tương ứng với hàm
chẵn, liên tục và xác định dương có điều kiện bậc l, có thể được xem

8

như là hàm xác định dương trên không gian vectơ c sao cho
n

cj p(xj ) = 0,
j=1

trong đó p là đa thức bậc nhỏ hơn l.
Định nghĩa 1.2.10 (Hàm cơ sở bán kính (Radial basis function - RBF))
Hàm Φ : Rd → R được gọi là hàm bán kính nếu tồn tại hàm số một biến
φ : [0; ∞) → R thỏa mãn:
Φ(x) = φ(r),
với r = ||x||, ||.|| là một chuẩn nào đó trong Rd (ta thường dùng chuẩn
Ơcơlit). φ được gọi là hàm cơ sở bán kính.
Trong khuôn khổ luận văn này tôi trình bày một số hàm cơ sở bán
kính thông dụng, với r = x − xk .
Tên hàm

Tên viết tắt

Multiquadric

MQ

Inverse multiquadric

IMQ

Gaussian

Gauss

Cauchy

Cauchy

Định nghĩa
√
φmq (r) = 1 + r2
1
φimq (r) = √
1 + r2
2
φg (r) = e−r
1
φc (r) =
1 + r2

Bảng 1.1: Bảng một số hàm cơ sở bán kính dùng trong luận văn.
Hàm cơ sở bán kính φ(x) là xác định dương nếu ta nhân r với một số
dương ε thì φ(rε) vẫn là xác định dương.
Khi các mốc nội suy xác định thì giải pháp tối ưu là đưa vào hàm Φk
một tham số hình dạng εk . Như vậy ta cần tìm εk để bài toán thỏa
mãn điều kiện nội suy, đồng thời chất lượng nội suy là tốt nhất. Khi
đó εk còn gọi là tham số tỉ lệ (scaling) của hàm cơ sở bán kính vì nó
dùng để điều chỉnh độ rộng của miền ảnh hưởng của hàm cơ sở φ. Khi
||x − xk || > ε − εk thì giá trị hàm Φk (x) là rất nhỏ không có ý nghĩa vì
nó gần triệt tiêu. Vì vậy ta nói hàm bán kính này chỉ có ảnh hưởng địa

9

phương.
* Tham số hình dạng cho một số hàm cơ sở bán kính [10].
Tên hàm

Tên viết tắt Biểu thức tham số hóa hình dạng
√
Multiquadric
MQ
φmq (εr) = ε2 + r2
1
Inverse mulhquadric
IMQ
φimq (εr) = √
ε2 + r 2
2
Gaussian
Gauss
φg (εr) = e−(εr)
1
Cauchy
Cauchy
φc (εr) = 2
ε + r2
Bảng 1.2: Bảng một số hàm cơ sở bán kính với tham số hình dạng
ε > 0.
Cho miền Ω trong không gian Euclide Rd với biên ∂Ω. Ta sẽ dùng

thuật ngữ "Tâm" như là một điểm thuộc miền Ω.
Định nghĩa 1.2.11 (Véc tơ trọng số (Stencil)) Cho D là toán tử vi
phân tuyến tính và X = {x1 , x2 . . . , xn } là bộ tâm phân tán đã được
chọn trong không gian Rd . Một xấp xỉ của toán tử D,
n

Du(x) ≈

wi (x)u(xi ),

(1.8)

i=1

được xác định bởi các trọng số wi = wi (x). Khi đó w = [w1 , w2 . . . , wn ]T
được gọi là véctơ trọng số hay còn được gọi là stencil đối với toán tử vi
phân D.
Định nghĩa 1.2.12 (Bộ tâm nằm trong miền Ξint ) Ξint là bộ tâm nằm
trong miền được định nghĩa bởi Ξint = Ξ \ ∂Ξ, trong đó, Ξ là các tâm
trên toàn bộ miền và ∂Ξ là các tâm nằm trên biên.
Định nghĩa 1.2.13 (Bộ tâm hỗ trợ cho véctơ trọng số Ξζ )
Với mỗi ζ ∈ Ξint , ta chọn bộ tâm bao gồm ζ và các tâm nằm trong lân
cận địa phương của nó. Bộ tâm này được gọi là bộ tâm để tính véctơ
trọng số và được kí hiệu là Ξζ .


10

1.3

Lược đồ phương pháp sai phân hữu hạn giải phương
trình đạo hàm riêng trong không gian 3 chiều

Bài toán truyền nhiệt dừng trong không gian 3 chiều
Cho các số a, b, c, d, e, f với a < b, c < d, e < f. Xét trong không gian
với hệ tọa độ vuông góc Oxyz một khối hộp chữ nhật Ω có các mặt song
song với các mặt phẳng tọa độ (Oxy), (Oyz), (Ozx).
Ω = {(x, y, z)|a < x < b, c < y < d, e < z < f }
có mặt biên khép kín và ký hiệu là ∂Ω.
Xét bài toán: Tìm hàm số u(x, y, z) thỏa mãn phương trình Poission:
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u
∆u ≡ 2 + 2 + 2 = f (x, y, z), (x, y, z) ∈ Ω
∂x
∂y
∂z

(1.9)

và điều kiện biên
u(x, y, z) = g(x, y, z), (x, y, z) ∈ ∂Ω

(1.10)

trong đó f (x, y, z) và g(x, y, z) là các hàm số cho trước.
Giả sử bài toán (1.9) – (1.10) có nghiệm duy nhất u = u(x, y, z) đủ
trơn trong Ω = Ω ∪ ∂Ω.
Bước 1: Xây dựng lưới sai phân và hàm lưới
*) Chọn các số nguyên N > 1, M > 1, P > 1, đặt h =
theo x, k = d−c
M gọi là bước đi theo y, p =

xi = a + ih, yj = c + jk, zn = e + np.

f −e
P

b−a
N

là bước đi

là bước đi theo z. Đặt

Mỗi điểm (xi , yj , zn ) gọi là một nút lưới, còn được ký hiệu là (i, j, n).
Tập Ωhkp = {(xi , yj , zn )|1 ≤ i ≤ N − 1, 1 ≤ j ≤ M − 1, 1 ≤ n ≤ P − 1}
gọi là tập các nút trong.
Tập ∂Ωhkp = {(x0 , yj , zn ), (xN , yj , zn ), (xi , y0 , zn ), (xi , yM , zn ), (xi , yj , z0 ), . . .
(xi , yj , zP )} gọi là tập các nút biên.
Tập Ωhkp = Ωhkp ∪ ∂Ωhkp gọi là một lưới sai phân trên Ω.
*) Hàm số v xác định tại mọi nút của lưới Ωhkp gọi là một hàm lưới
trên Ωhkp . Giá trị của hàm lưới v tại nút (i, j, n) viết là vijn .
*) Đạo hàm cấp 1 tiến, đạo hàm cấp 1 lùi của hàm lưới v xác định
trên Ωhkp :


11

vx xác định bởi

(vx )nij

n
n
− vijn
vi+1j
vijn − vi−1j
n
=
; vx xác định bởi (vx )ij =
h
h

vy xác định bởi

(vy )nij

n
n
− vijn
vij+1
vijn − vij−1
n
=
; vy xác định bởi (vy )ij =
k
k

vijn+1 − vijn
vijn − vijn−1
n
vz xác định bởi

=
; vz xác định bởi (vz )ij =
p
p
*) Đạo hàm cấp 2 của hàm lưới v xác định trên Ωhkp :
(vz )nij

(vx )ni+1j − (vx )nij
1 n
n
=
=
= 2 [vi+1j
− 2vijn + vi−1j
]
h
h
(vy )nij+1 − (vy )nij
1 n
n
n
n
(vyy )ij = ((vy )y )ij =
= 2 [vij+1
− 2vijn + vij−1
]
k
k
n
(vz )n+1

1
ij − (vz )ij
n
n
(vzz )ij = ((vz )z )ij =
= 2 [vijn+1 − 2vijn + vijn−1 ]
p
p

(vxx )nij

((vx )x )nij

Ta sẽ tính gần đúng giá trị của nghiệm u(x, y, z) tại các nút (xi , yj , zn )
và kí hiệu giá trị gần đúng đó là vijn :
vijn ≈ u(xi , yj , zn )
Bước 2: Xây dựng bài toán sai phân
Áp dụng công thức khai triển Taylor cho:
u(xi+1 , yj , zn ) = u(xi + h, yj , zn )
∂u h2 ∂ 2 u h3 ∂ 3 u
+
+
+ 0(h4 )
= u(xi , yj , zn ) + h
2
3
∂x 2! ∂x
3! ∂x
u(xi−1 , yj , zn ) = u(xi − h, yj , zn )
∂u h2 ∂ 2 u h3 ∂ 3 u

= u(xi , yj , zn ) − h
+
−
+ 0(h4 )
2
3
∂x 2! ∂x
3! ∂x
Vậy có:
u(xi+1 , yj , zn ) − 2u(xi , yj , zn ) + u(xi−1 , yj , zn ) ∂ 2 u
= 2 + 0(h2 )
2
h
∂x
Một cách tương tự:
u(xi , yj+1 , zn ) − 2u(xi , yj , zn ) + u(xi , yj−1 , zn ) ∂ 2 u
= 2 + 0(k 2 )
2
k
∂y
u(xi , yj , zn+1 ) − 2u(xi , yj , zn ) + u(xi , yj , zn−1 ) ∂ 2 u
= 2 + 0(p2 )
2
p
∂z


12

Vậy có:

u(xi+1 , yj , zn ) − 2u(xi , yj , zn ) + u(xi−1 , yj , zn )
+
h2
u(xi , yj+1 , zn ) − 2u(xi , yj , zn ) + u(xi , yj−1 , zn )
+
+
k2
u(xi , yj , zn+1 ) − 2u(xi , yj , zn ) + u(xi , yj , zn−1 )
= ∆u + 0(h2 + k 2 + p2 )
p2
(1.11)
Gọi v là một hàm lưới xác định tại mọi nút của lưới Ωhkp . Ta đặt:
∆hkp

n
n
n
n
vijn+1 − 2vijn + vijn−1
− 2vijn + vi−1j
− 2vijn + vij−1
vi+1j
vij+1
≡
+
+
h2
k2
p2
(1.12)

Khi đó (1.11) chứng tỏ:
∆hkp u = ∆u + 0(h2 + k 2 + p2 )

(1.13)

Số hạng 0(h2 + k 2 + p2 ) là một vô cùng bé. Ta nói toán tử ∆hkp xấp xỉ
toán tử ∆. Do đó khiến ta thay phương trình vi phân (1.9) - (1.10) bằng
phương trình sai phân sau:
∆hkp v = fijn , fijn = f (xi , yj , zn ), (xi , yj , zn ) ∈ Ωhkp

(1.14)

Tức là:
n
n
n
n
vijn+1 − 2vijn + vijn−1
vi+1j
− 2vijn + vi−1j
vij+1
− 2vijn + vij−1
+
+
h2
k2
p2

= f (xi , yj , zn ), (xi , yj , zn ) ∈ Ωhkp

(1.15)

và thay điều kiện biên (1.10) bằng điều kiện:
vijn = g(xi , yj , zn ), (xi , yj , zn ) ∈ ∂Ωhkp

(1.16)

chúng ta được bài toán sai phân hoàn chỉnh: Tìm hàm lưới v = v(xi , yj , zn )
thỏa mãn phương trình sai phân (1.15) – (1.16).
Bước 3: Giải bài toán sai phân (1.15) – (1.16)
Có rất nhiều phương pháp để giải hệ phương trình đại số tuyến tính
(1.15) – (1.16), ví dụ như phương pháp Gauss, phương pháp luân phương


13

ẩn, phương pháp nhẩy ô, phương pháp một chiều địa phương, phương
pháp sai phân hiện, phương pháp sai phân ẩn,....
n
n
n
n
Trong hệ phương trình (1.15) có tới 7 ẩn vi+1j
, vi−1j
, vij+1
, vij−1
, vijn+1 , vijn−1 ,
vijn nên việc giải nghiệm đúng là vô cùng phức tạp, do đó ta chỉ có thể

chọn phương pháp giải nghiệm gần đúng, tức là tìm được các nghiệm
xấp xỉ vijn tại các nút trong (i, j, n) của nghiệm chính xác u = u(x, y, z).


14

1.4

Kết luận

Trong chương này, chúng tôi đã trình bày lại một cách chi tiết và có
hệ thống các kiến thức liên qua đến luận văn: Cơ sở của bài toán nội
suy hàm số với dữ liệu phân tán; nội suy với dữ liệu phân tán; khái
niệm về ma trận xác định dương; hàm xác định dương; hàm bán kính;
hàm bán kính xác định dương; hàm bán kính xác định dương có điều
kiện; khái niệm về hàm cơ sở bán kính (RBF); khái niệm về véctơ trọng
số(stencil); khái niệm về bộ tâm nằm trong miền Ξint ; khái niệm về bộ
tâm hỗ trợ cho véctơ trọng số Ξζ . Trình bày lại lược đồ phương pháp
sai phân hữu hạn giải phương trình đạo hàm riêng trong không gian ba
chiều.


15

Chương 2

Phương pháp không lưới RBF –
FD giải phương trình Poisson
trong không gian ba chiều
Trong chương này tôi trình bày một số phương pháp xác định véctơ

trọng số: Véctơ trọng số từ vi phân số trên các tâm phân bố không đều;
véctơ trọng số RBF dựa trên nội suy hàm cơ sở bán kính, trình bày
lại một cách chi tiết kết quả của bài báo [15] về Octant - sự lựa chọn
véctơ trọng số cho phương pháp sai phân không lưới giải phương trình
Poisson trong không gian ba chiều; Và đưa ra lược đồ RBF – FD giải
bài toán Elliptic trong không gian ba chiều. Nội dung chính của chương
này được tham khảo chủ yếu từ các tài liệu [1, 6, 7, 10], và từ các bài
báo [14, 15].

2.1

Bài toán mở đầu

Xét bài toán Dirichlet với phương trình Poisson:
Tìm hàm u : Ω → R sao cho
∆u = f

trong Ω,

u=g

trên ∂Ω.

(2.1)

trong đó ∆ là toán tử Laplace, Ω ⊂ R3 là miền hình học, f là hàm giá
trị thực được xác định trong miền Ω, và g là một hàm giá trị thực được


16

xác định trên ∂Ω.
Phương pháp không lưới RBF – FD được trình bày như sau
Cho Ξ là một tập các nút rời rạc, trong đó Ξ ⊂ Ω và Ξint := Ξ ∩ Ω,
∂Ξ := Ξ ∩ ∂Ω.
Đối với mỗi ζ ∈ Ξint , chọn Ξζ := {ξ0 , ξ1 , ξ2 , . . . , ξk } ⊂ Ξ với ξ0 = ζ, và
xấp xỉ ∆u (ζ) bởi công thức vi phân số
∆u (ζ) ≈

ζ ∈ Ξint .

wζ,ξ u (ξ) ,

(2.2)

ξ∈Ξζ

Khi đó, bài toán (2.1) có thể được viết lại như sau
wζ,ξ uˆ (ξ) = f (ζ) ,

ζ ∈ Ξint ;
(2.3)

ξ∈Ξζ

uˆ (ξ) = g (ξ) ,

ξ ∈ ∂Ξ,

trong đó uˆ(ξ) là xấp xỉ của nghiệm u đối với bài toán (2.1) tại các điểm

ξ ∈ Ξ. Giải hệ phương trình tuyến tính (2.3), chúng ta thu được vectơ
[ˆ
u(ξ)]ξ∈Ξ . Một phương pháp RBF – FD bất kỳ được định nghĩa bởi thuật
toán chọn tâm, thuật toán này chọn các tập hỗ trợ Ξζ ⊂ Ξ, ζ ∈ Ξint và
cách tính trọng số vi phân số (stencil) wζ,ξ , ζ ∈ Ξint , ξ ∈ Ξζ . Các trọng
số này có thể tìm được nhờ công thức (2.2).

2.2
2.2.1

Véctơ trọng số từ nội suy hàm cơ sở bán kính
Véctơ trọng số từ vi phân số trên các tâm phân
bố không đều

Cho bộ dữ liệu phân tán X = {x1 , x2 . . . , xn } ⊂ Rd với giá trị hàm
T
tương ứng u|X = u(x1 ), u(x2 ), . . . , u(xn ) . Giả sử s(x) là một xấp xỉ
của hàm u(x) từ tập dữ liệu X, dưới dạng
m

s(x) =

ai si (x),

(2.4)

i=1

trong đó si (x), i = 1, 2, . . . , m (m ∈ Z, m ≥ n và m hữu hạn) là
các hàm cơ sở của không gian tuyến tính P nào đó và véctơ hệ số

17

a = [a1 , a2 , . . . , am ]T phụ thuộc tuyến tính vào u|X ,
n

ai =

bij u(xj ),

i = 1, 2, . . . , m.

(2.5)

j=1

Ký hiệu B = [bij ]m,n
i=1,j=1 , khi đó ta có a = B · u|X .
Vì D là toán tử vi phân tuyến tính nên ta có,
m

Du(x) ≈ Ds(x) =

ai Dsi (x)
i=1
n

m

=

bij Dsi (x) u(xj )
j=1
n

=

i=1

wj u(xj ),
j=1

và ta nhận được công thức vi phân số (1.8) với véctơ trọng số
w = [w1 , w2 , . . . , wn ]T được xác định bởi
m

wj =

bij Dsi (x),

j = 1, 2, . . . , n,

i=1

hoặc dưới dạng ma trận
w = B T · [Dsi (x)]m
i=1 .

(2.6)

Trường hợp riêng, khi m = n và các hệ số aj thu được bằng cách giải
bài toán nội suy không suy biến
n

s(xi ) =

aj sj (xi ) = u(xi ),

i = 1, 2, . . . , n.

j=1

Khi đó rõ ràng B = [S|X ]−1 , trong đó S|X := [sj (xi )]ni,j=1 . Vì vậy, véctơ
trọng số w được xác định bởi
w = [S|X ]−T · [Dsi (x)]ni=1 .
Và có thể tìm bằng cách giải hệ phương trình
[S|X ]T w = [Dsi (x)]ni=1 ,

(2.7)


18

tức là,

n

wi sj (xi ) = Dsj (x),

j = 1, 2, . . . , n.

i=1

Điều quan trọng cần lưu ý là từ các công thức trên ta thấy rằng véctơ
trọng số được xác định duy nhất bởi toán tử vi phân D và các hàm cơ
sở s1 , s2 . . . , sn , do đó nó không thay đổi nếu thực hiện phép biến đổi
tuyến tính không suy biến các hàm cơ sở.
Rõ ràng có nhiều phương pháp xấp xỉ khác nhau, ví dụ như phương
pháp bình phương tối thiểu hoặc tựa nội suy kiểu (2.4)–(2.5) có thể dẫn
đến các công thức tính véctơ trọng số dưới dạng (2.6).
Vì

n

Du(x) −

m

wj u(xj ) = D u(x) −
j=1

ai si (x) ,
i=1

nên độ chính xác của các véctơ trọng số liên quan trực tiếp đến độ chính
xác của phương pháp xấp xỉ.
2.2.2

Nội suy không có thành phần đa thức

Cho bộ tâm phân biệt từng đôi một X = {x1 , x2 , . . . , xn } ⊂ Rd ,
u : Rd → R là hàm liên tục và đủ trơn. Giả sử φ : R+ → R là hàm xác
định dương và đủ trơn. Khi đó hàm nội suy cơ sở bán kính [6, 7, 10] s(x)
của hàm u(x) được viết dưới dạng
n

aj Φ(x − xj ),

s(x) =

Φ(x) := φ( x ),

(2.8)

j=1

s(xi ) = u(xi ),

i = 1, . . . , n,

(2.9)

trong đó aj được được chọn sao cho thỏa mãn điều kiện nội suy (2.9).
Từ (2.8) và (2.9), ta có:
n

aj Φ(xi − xj ) = u(xi ),

i = 1, . . . , n.

(2.10)

j=1

Kí hiệu
T
T
Φ|X = [Φ(xi − xj )]n,n
i,j=1 , u|X = [u(x1 ), u(x2 ), . . . , u(xn )] , a = [a1 , a2 , . . . , an ] .


19

Khi đó, ta có thể viết (2.10) dưới dạng ma trận
Φ|X a = u|X .
Vì φ là hàm xác định dương nên ma trận Φ|X là xác định dương với bộ
tâm X phân biệt từng đôi một. Do đó, véctơ a được xác định duy nhất
bởi
a = Φ|X

−1

u|X .

(2.11)

Hàm nội suy cơ sở hàm bán kính s(x) là một xấp xỉ tốt của hàm u(x)
nếu hàm u(x) đủ trơn và các tâm x1 , x2 , . . . , xn ∈ Rd đủ dầy trong lân
cận của x. Hơn nữa, đạo hàm của hàm s(x) cũng là xấp xỉ tốt với đạo

hàm của hàm u(x) nếu hàm φ đủ trơn. Vì vậy, nếu D là toán tử vi phân
tuyến tính thì Ds(x) là xấp xỉ của Du(x) được xét dưới dạng
n

Du(x) ≈ Ds(x) =

aj DΦ(x − xj )
j=1
T

= a D Φ(x − ·)|X
= u|TX Φ|X

−1

D Φ(x − ·)|X .

(2.12)

T

Ký hiệu w = w1 , w2 , . . . , wn . Ta đặt
w = Φ|X

−1

D Φ(x − ·)|X ,

(2.13)

trong đó D Φ(x − ·)|X = (DΦ(x − x1 ), . . . , DΦ(x − xn ))T .
Từ (2.12) và (2.13) ta có thể viết
n

Du(x) ≈ Ds(x) =

wi u(xi ),

(2.14)

i=1

ta nhận được công thức vi phân số (1.8) với véctơ trọng số
w = [w1 , w2 , . . . , wn ]T được xác định bởi (2.13). Quan sát công thức
(2.13) ta thấy w là nghiệm của hệ phương trình
n

wj Φ(xi − xj ) = DΦ(x − xi ),

i = 1, 2, . . . , n,

(2.15)

j=1

Điều này có nghĩa là véctơ trọng số w được cho bởi các hệ số của
nội suy hàm cơ sở bán kính với dữ liệu cho bởi hàm D Φ(x − ·)|X . Vì