Tài liêu ôn HKI lớp 12 cả 3 ban./.

Đề cương ôn tập Giải Tích 12 Ban KHTN học kì 1 –GV. Đặng Ngọc Liên – Sđt: 0977467739

PHẦN I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM
ℑ1.TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ.
A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:
I. Định nghĩa
Cho hàm số y=f(x) xác định trên K
1) f đồng biến (tăng) trên K nếu với mọi x
1
, x
2
∈K mà x
1
<x
2
thì f(x
1
)<f(x
2
).
2) f nghịch biến(giảm) trên K nếu với mọi x
1
, x
2
∈(a,b) mà x
1
<x
2
thì f(x
1
)>f(x

2
).
II. Định lý:
1) Cho hàm số f có đạo hàm trên khoảng I.
• Nếu
'( ) 0f x >
∀x∈I thì hàm số f đồng biến trên I.
• Nếu
'( ) 0f x >
∀x∈I thì hàm số f nghịch biến trên I.
(Nếu f’(x) =0 tại một số hữu hạn điểm trên khoảng I thì định lý vẫn còn đúng).
• Nếu f’(x)=0 ∀x∈I thì hàm số f không đổi trên I
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP :
Dạng 1: Xét chiều biến thiên cửa một hàm số cụ thể
Dạng 2: Chứng minh một hàm số có chứa tham số m đồng biến ( nghịch biến) trên tập xác
định của nó
Dạng 3: Tìm tham số m để một hàm số đồng biến ( nghịch biến) trên tập xác định của nó
Dạng 4: Tìm tham số m để một hàm số đồng biến( nghịch biến) trên một khỏang
Dạng 5: Dùng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh bất đẳng thức
ℑ2. CỰC ĐẠI VÀ CỰC TIỂU
A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1.Định nghĩa: Cho hàm số f xác định D và điểm x
0
∈D .
• Điểm x
0
được gọi là điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại khoảng (a;b) chứa
điểm x
0
sao cho (a;b)

⊂
D và f(x) < f(x
0
)
( ; )x a b∀ ∈
(x ≠ x
0
).
• Điểm x
0
được gọi là điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại khoảng (a;b) chứa
điểm x
0
sao cho (a;b)
⊂
D và f(x) > f(x
0
)
( ; )x a b∀ ∈
(x ≠ x
0
).
• f(x
0
) được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) hay cực trị của hàm số; x
0
được
gọi là điểm cực trị
2. Điều kiện cần để hàm số có cực trị:
Định lí 1:Nếu hàm số f có đạo hàm tại x

0
và đạt cực trị tại điểm đó thì f’(x) = 0.
Ý nghĩa hình học: Nếu hàm số f có đạo hàm tại x
0
và đạt cực trị tại x
0
thì tiếp tuyến với đồ thị
hàm số tại (x
0
; f(x
0
)) song song hay trùng với trục hoành
3. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị:
Định lí 2:
Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a;b) chứa điểm x
0
và có đạo hàm trên các khoảng
(a;x
0
);(x
0
;b) khi đó
a) Nếu f’(x) > 0
0
( ; )x a x∀ ∈
và f’(x) < 0
0
( ; )x x b∀ ∈
thì hàm số đạt cực đại tại x
0

b) Nếu f’(x) < 0
0
( ; )x a x∀ ∈
và f’(x) > 0
0
( ; )x x b∀ ∈
thì hàm số đạt cực tiểu tại x
0
- 1 -
Tóm tắt lý thuyết
các dạng bài tập
Đề cương ôn tập Giải Tích 12 Ban KHTN học kì 1 –GV. Đặng Ngọc Liên – Sđt: 0977467739
Nói một cách vắn tắt:
a) Nếu khi x đi qua x
0
, đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm thì điểm x
0
là điểm cực đại
b) Nếu khi x đi qua x
0
, đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương thì điểm x
0
là điểm cực đại
QUI TẮC 1 TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ

Định lí 3. Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp 1 trên khoảng (a;b) chứa điểm x
0
; f’(x
0
) = 0,

f''(x
o
) ≠ 0 thì x
o
là một điểm cực trị của hàm số. Hơn nữa
1) Nếu f”(x
0
) > 0 thì x
0
là điểm cực tiểu.
2) Nếu f”(x
0
) < 0 thì x
0
là điểm cực đại.
Nói cách khác:
1) f’(x
0
) = 0, f”(x
0
) > 0 ⇒ x
0
là điểm cực tiểu.
2) f’(x
0
) = 0, f”(x
0
) < 0 ⇒ x
0
là điểm cực đại.

QUI TẮC 2 TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP:
Dạng 1: Tìm cực trị của một hàm số cụ thể
Dạng 2: Tìm tham số m để hàm số có cực trị
Dạng 3: Tìm tham số m để một hàm số đạt cực trị tại điểm x
0
cho trước
Dạng 4: Tìm tham số m để một hàm số đạt cực trị thoả mãn điều kiện cho trước
ℑ3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT –GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
A.CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN.
1) Định nghĩa : Cho hàm số f xác định trên D ( D
⊂
R)
a) Nếu
0 0
: ( ) ( ),x D f x f x x D∃ ∈ ≤ ∀ ∈
thì số M=f(x
0
) được gọi là GTLN của hàm số f trên D
Ký hiệu
axf(x)
x D
M m
∈
=

b) Nếu
0 0
: ( ) ( ),x D f x f x x D∃ ∈ ≥ ∀ ∈

thì số M=f(x
0
) được gọi là GTNN của hàm số f trên D
Ký hiệu
min f(x)
x D
m
∈
=

2) Cách tìm GTLN-GTNN trên D
- Lập bảng biến thiên của hàm số trên D. Dựa vào BBT để kết luận
( Nếu trên bảng biến thiên có một cực trị duy nhất là cực đại( cực tiểu) thì giá trị cực
đại (cực tiểu) là GTLN(GTNN) của hàm số trên D)
3) Cách tìm GTLN-GTNN của hàm số f liên tục trên đoạn [a,b].
- 2 -
1. Tìm f’(x)
2. Tìm các điểm x
i
( i= 1,2,3…) tại đó đạo hàm hàm số bằng 0 hoặc hàm số liên tục nhưng
không có đạo hàm
3. Xét dấu f’(x) dựa vào định lí 2 để kết luận
1. Tìm f’(x)
2. Tìm các nghiệm x
i
( i= 1,2,3…) của phương trình f’(x)=0
3. Tìm f’’(x) và tính f’’(x
i
) và dựa vào định lí 3 để kết luận
Đề cương ôn tập Giải Tích 12 Ban KHTN học kì 1 –GV. Đặng Ngọc Liên – Sđt: 0977467739

+ Tìm các điểm x
1
,x
2
, ..., x
n
thuộc (a;b) tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo
hàm
+ Tính f(x
1
), f(x
2
), ..., f(x
n
), f(a )và f(b).
+ Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên
[ , ]
[ , ]
max ( ) ; min ( )
a b
a b
M f x m f x= =
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP:
Dạng 1: Tìm GTLN, GTNN của một hàm số cụ thể
Dạng 2: Tìm GTLN,GTNN cho một đại lượng theo một đại lượng biến thiên khác:
Thiết lập hàm số cho đại lượng đó, rồi tìm GTLN,GTNN cho hàm số đó
ℑ4. ĐỒ THỊ HÀM SỐ VÀ PHÉP TỊNH TIẾN HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ

A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1. Phép tịnh tiến hệ toạ độ và công thức chuyển hệ toạ độ

Trong mp(Oxy) cho điểm I(x
0
;y
0
) . Gọi IXY là hệ toạ độ
mới có gốc là I và hai trục IX,IY theo thứ tự có cùng
vectơ đơn vị
,i j
r r
với hai trục Ox, Oy M là điểm bất kì
của mp, giả sử M(x;y)/(Oxy) và M(X;Y)/(IXY) Tacó:
0
0
x X x
y Y y
= +


= +

2. Phương trình của đường cong đối với hệ toạ độ
mới:
Giả sử (C) là đồ thị hàm số y = f(x) đối với hệ Oxy . Tịnh tiến hệ trục Oxy theo vec tơ
OI
uur
với
I(x
0
;y
0

) theo công thức đổi trục
0
0
x X x
y Y y
= +


= +

ta có phương trình của (C) trong hệ toạ độ IXY là:
Y = (X+x
0
) – y
0
B. DẠNG BÀI TẬP:
Viết phương trình của đường cong trong hệ tạo độ mới
ℑ5. TIỆM CẬN
A.CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1) Tiệm cận ngang:
Đường thẳng y=y
0
được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
( )y f x=
nếu
0
lim ( )
x
f x y
→+∞

=
hoặc
0
lim ( )
x
f x y
→−∞
=
2) Tiệm cận đứng: Đường thẳng x=x
0
được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
( )y f x=
nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn:
0 0
0 0
lim ( ) ; lim ( )
lim ( ) ; lim ( )
x x x x
x x x x
f x f x
f x f x
− +
− +
→ →
→ →
= +∞ = +∞
= −∞ = −∞
3) Tiệm cận xiên:
- 3 -
x

y
X
Y
Y
X
M
1
y
x
Đề cương ôn tập Giải Tích 12 Ban KHTN học kì 1 –GV. Đặng Ngọc Liên – Sđt: 0977467739
Đuờng thẳng y= ax+b (a
≠
0) được gọi là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số
( )y f x=
nếu
lim [ ( ) (ax+b)] 0
x
f x
→+∞
− =

hoặc
lim [ ( ) (ax+b)] 0
x
f x
→−∞
− =
Cách tìm các hệ số a, b của tiệm cận xiên y=ax+b.
x
( )

lim b= lim[ ( ) ax]
x
f x
a f x
x
→∞ →∞
= −
.
(Để tìm tiệm cận xiên của hàm số hữu tỉ b2/b1 ta thực hiện phép chia để viết lại
hàm số)
B. DẠNG BÀI TẬP:
Tìm đường tiệm cận của đồ thị hàm số
PHẦN II: ÔN TẬP KHẢO SÁT HÀM SỐ
Các bước khảo sát hàm số :
Các bước khảo sát hàm đa thức Các bước khảo sát hàm hữu tỷ
1. Tập xác định
2. Sự biến thiên
- Giới hạn tại vô cực
- Chiều biến thiên, cực trị
- Bảng biến thiên
3. Đồ thị
- Điểm uốn
- Điểm đặc biệt
- Đồ thị
1. Tập xác định
2. Sự biến thiên
- Giới hạn, tiệm cận
- Chiều biến thiên, cực trị
- Bảng biến thiên
3. Đồ thị

- Tâm đối xứng
- Giá trị đặc biệt
- Đồ thị
Sự khác biệt : Hàm đa thức không có tiệm cận, hàm hữu tỉ không cần xét đaọ hàm cấp
hai.Các dạng đồ thị hàm số:
 Hàm số bậc 3: y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d (a ≠ 0)
a > 0 a < 0
Pt y’ = 0 có
hai nghiệm
phân biệt.
2
-2
O
2
-2
- 4 -
Đề cương ôn tập Giải Tích 12 Ban KHTN học kì 1 –GV. Đặng Ngọc Liên – Sđt: 0977467739
Pt y’ = 0 có
nghiệm kép
2
2
Pt y’ = 0 vô
nghiệm
2
4
2

 Hàm số trùng phương: y = ax
4
+ bx
2
+ c (a ≠ 0)
a > 0 a < 0
Pt y’ = 0 có
ba nghiệm
phân biệt
-2
2
Pt y’ = 0 có
một nghiệm
2
-2
- 5 -
Đề cương ôn tập Giải Tích 12 Ban KHTN học kì 1 –GV. Đặng Ngọc Liên – Sđt: 0977467739
 Hàm số y =
)0,0(
≠−≠
+
+
bcadc
dcx
bax
D = ad – bc > 0 D = ad – bc < 0
4
2
4
2

-2
 Hàm số y =
)0,0'.(
''''
2
≠≠
+
++=
+
++
raa
bxa
r
qpx
bxa
cbxax
- 6 -
Đề cương ôn tập Giải Tích 12 Ban KHTN học kì 1 –GV. Đặng Ngọc Liên – Sđt: 0977467739
a.a’ > 0 a.a’ < 0
Pt y’ = 0 có hai
nghiệm phân
biệt
2
-2
-4
O
2
-2
-4
O

Pt y’ = 0 vô
nghiệm
2
-2
O
2
-2
O
Phần III: ÔN TẬP CÁC BÀI TOÁN CÓ LIÊN QUAN
Dạng 1: Biện luận số giao điểm của 2 đường (C): y = f(x) và (C’): y = g(x)
Số giao điểm của hai đường (C
1
) y= f(x) và (C
2
) y=g(x) là số nghiệm của phương
trình hoành độ giao điểm của (C
1
), (C
2
): f(x) = g(x) (1)
Sự tiếp xúc của hai đường cong:
Hai đường cong (C
1
), (C
2
) tiếp xúc với nhau khi chỉ khi hệ sau có nghiệm:

( ) ( )
'( ) '( )
f x g x

f x g x
=


=

Dạng 2: Dùng đồ thị biện luận phương trình: h(x,m) = 0
Đưa phương trình về dạng:
f(x) = m hoặc f(x) = g(m) hoặc f(x) = f(m) (1)
+ Với đồ thị (C) của hàm số y = f(x) đã được khảo sát
+ Đường thẳng (d): y = m hoặc y = g(m) hoặc y = f(m) là một đường thẳng thay đổi luôn
cùng phương với trục Ox.
Tuỳ theo m số giao điểm của (C) và d là số nghiệm pt (1)
Sự tiếp xúc của hai đường cong:
Hai đường cong (C
1
), (C
2
) tiếp xúc với nhau khi chỉ khi hệ sau có nghiệm:

( ) ( )
'( ) '( )
f x g x
f x g x
=


=

- 7 -