Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào dạy học giải bài toán cầu phương các hình phẳng và dựng đồ thị hàm số

JOURNAL OF SCIENCE OF HNUE

Educational Sci. 2011, Vol. 56, No. 4, pp. 24-28

SỬ DỤNG HỆ THỨC LỰỢNG TRONG
TAM GIÁC VUÔNG VÀO DẠY HỌC GIẢI BÀI TOÁN
CẦU PHƯƠNG CÁC HÌNH PHẲNG VÀ DỰNG ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Chu Trọng Thanh

Trường Đại học Vinh
E-mail:
Tóm tắt. Bài báo trình bày cách nhìn nhận các hệ thức lượng trong tam
giác vuông theo quan điểm cấu trúc trong Lí thuyết phát sinh nhận thức
của J. Piaget. Trên cơ sở đó làm rõ mối liên hệ giữa các hệ thức này với các
vấn đề cầu phương các hình phẳng và sử dụng để dựng đồ thị của một hàm
số có liên quan đặc biệt với với một hay hai hàm số đã cho.

1.

Mở đầu

Một trong những hệ thức lượng trong tam giác vuông được nhân loại biết đến
trong thời gian đầu của giai đoạn toán học sơ cấp là định lí Pitago. Cùng với định lí
Pitago, trong một tam giác còn có những hệ thức lượng khác. Trong thế kỉ V trước
công nguyên (TCN) các nhà toán học Hylạp đã nghiên cứu các bài toán chia ba một
góc cho trước, dựng một hình vuông có diện tích bằng diện tích của một hình vuông
cho trước và bài toán dựng một hình lập phương có thể tích gấp hai lần thể tích của
một hình lập phương cho trước. Cả ba bài toán này đều được giả thiết là chỉ được
sử dụng thước và compa. Đây cũng là ba bài toán không giải được nhưng việc chứng
minh tính không giải được của chúng mãi tới thế kỉ XVIII và XIX các nhà toán học

mới thực hiện được. Giáo viên có thể khai thác các mối quan hệ của hệ thực lượng
trong tam giác vuông vào việc tạo tình huống gợi vấn đề, gợi động cơ hoạt động vào
việc tổ chức cho học sinh phát hiện hay ứng dụng của định lí Pitago và các hệ thức
lượng trong tam giác vuông khi dạy học những kiến thức này ở trường phổ thông.

2.
2.1.

Nội dung nghiên cứu
Định lí Pitago

Ít có một định lí nào trong toán học sơ cấp lôi cuốn được sự quan tâm của
nhiều người như định lí Pitago. Trong tư liệu lịch sử toán của người Trung Quốc,
định lí này còn được gọi là định lí Cao Thương và được ghi chép trong sách Cửu
chương toán thuật do nhà toán học Trần Sanh biên soạn từ năm 152 (TCN). Các
24


Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào dạy học giải bài toán...

tư liệu lịch sử toán đều cho rằng chính Pitago đã khám phá và chứng minh định lí
này từ thế kỉ VI (TCN):
"Trong một tam giác vuông với độ dài cạnh huyền là a, độ dài các cạnh góc
vuông là b và c ta luôn có hệ thức a2 = b2 + c2 ".
Theo quan điểm cấu trúc nhận thức trong lí thuyết của J. Piaget, mỗi biểu
thức dạng x2 ta luôn có thể coi là số đo diện tích của một hình vuông cạnh là |x|.
Nhìn nhận vấn đề như vậy thì hệ thức a2 = b2 + c2 có nghĩa là tồn tại một hình
vuông có diện tích bằng tổng diện tích của hai hình vuông cho trước. Nếu viết lại
hệ thức trên dưới dạng a2 − b2 = c2 chúng ta lại có thể nói đến sự tồn tại một hình
vuông có diện tích bằng hiệu diện tích của hai hình vuông cho trước. Với cách viết

đẳng thức a2 − b2 = c2 thành c2 = (a − b).(a + b), ta lại có thể nói đến sự tồn tại
của một hình vuông có diện tích bằng diện tích một hình chữ nhật cho trước. Định
lí Pitago không chỉ khẳng định sự tồn tại của hình vuông như vậy mà còn chỉ ra các
cạnh của các hình vuông này làm thành 3 cạnh của một tam giác vuông.
Nhìn nhận vấn đề như vậy, các hệ thức a2 = b2 + c2 và a2 − b2 = c2 này có nội
dung là bài toán cầu phương một tổng hay hiệu (diện tích) của hai hình vuông cho
trước. Chính việc chứng minh định lí Pitago đã thực hiện theo cách quan niệm này.
Chúng ta cũng có thể mở rộng vấn đề cho bài toán: Dựng một hình vuông có diện
tích bằng tổng diện tích của n hình vuông cho trước. Rõ ràng có thể sử dụng định
lí Pitago n − 1 lần ta đi đến lời giải. Cũng có thể chứng minh chi tiết điều này bằng
phương pháp quy nạp toán học.
Cách chứng minh được xem là của Pitago cũng rất độc đáo: cắt ghép các hình
và dùng công thức tính diện tích của các hình đơn giản để suy ra hệ thức trong tam
giác vuông: a2 = b2 + c2 , trong đó a là số đo cạnh huyền, còn b, c là số đo hai cạnh
góc vuông của cùng một tam giác vuông. Cách chứng minh của Pitago ngày này
được giới thiệu trong hầu hết các sách giáo khoa toán trung học cơ sở (xem [1]).
Điều đáng nói là ngoài cách chứng minh của Pitago người ta đã thống kê được 370
cách chứng minh khác của định lí này. Đó quả là một kỉ lục! Cũng cần nói thêm
rằng định lí Pitago còn giữ một số kỉ lục khác như:
- Thời gian loài người tìm kiếm thêm các chứng minh lâu nhất: từ thế kỉ VI
(TCN) đến thế kỉ XX sau công nguyên (năm 1917).
- Thành phần những người tham gia tìm kiếm cách chứng minh đa dạng nhất:
có các nhà toán học như Pitago, Ơclit, có những người lao động chân tay, cả họa
sĩ lừng danh Leonard de Vinci và có cả chính trị gia nổi tiếng là tổng thống James
Garfield của nước Mỹ.
- Phương pháp chứng minh sơ cấp nhất và được sử dụng lặp lại nhiều lần
nhất: trong số 370 cách chứng minh hầu hết đều dùng phương pháp cắt ghép hình.
Vì vậy việc tìm lại những cách cắt ghép hình vuông tương ứng với các cách
chứng minh định lí Pitago sẽ là điều thú vị và hữu ích khi dạy học sinh khám phá
định lí này.

25


Chu Trọng Thanh

2.2.

Hệ thức lượng trong tam giác vuông và các bài toán cầu
phương các hình phẳng

Cùng với định lí Pitago, trong tam giác vuông ABC với cạnh huyền a, cạnh
góc vuông b, c, đường cao thuộc cạnh huyền là h, hình chiếu của b, c lên cạnh huyền
tương ứng là b′ và c′ , ta còn có một số hệ thức lượng khác như:
b2 = a.b′
c2 = a.c′
h2 = b′ .c′
...

(2.1)
(2.2)
(2.3)

Thực chất các hệ thức này tương tự như nhau nên chỉ cần quan tâm một hệ
thức là được, chẳng hạn ta xét (2.3). Theo quan điểm cấu trúc trong lí thuyết của
J. Piaget, có thể nhìn hệ thức (2.3) như là h : b′ = c′ : h; cũng có thể nhìn nhận hệ
thức (2.3) với ý nghĩa độ dài của một trong ba đoạn thẳng (h) là trung bình nhân
của độ dài hai đoạn kia (b′ và c′ ); lại cũng có thể nhìn nhận (2.3) với ý nghĩa diện
tích của hình vuông cạnh h bằng diện tích hình chữ nhật cạnh b′ và c′ . Mỗi cách
nhìn nhận trên đây cho ta một sự thể hiện của cấu trúc nhận thức ứng với hệ thức
(2.3).

Sau đây chúng tôi sử dụng cách nhìn nhận thứ ba vừa nêu ở trên để xét bài
toán cầu phương một số hình phẳng.
Bài toán 1. Dựng một hình vuông có diện tích bằng diện tích của một hình
chữ nhật cho trước.
Sử dụng hệ thức (2.3) sẽ có được lời giải bài toán này. Khi coi các cạnh của
hình chữ nhật cho trước là b′ và c′ thì sử dụng (2.3) ta có cạnh hình vuông cần dựng
chính là đường cao h trong tam giác vuông có cạnh huyền là a = b′ + c′ và b′ , c′ là
hình chiếu của các cạnh góc vuông lên cạnh huyền.
Bài toán 2. Dựng một hình vuông có diện tích bằng diện tích của một tam giác
cho trước.
Rõ ràng với tam giác có cạnh đáy a và đường cao tương ứng là h ta có diện
ah
h
a
tích S của nó được tính theo công thức S =
= a = h. Như vậy cũng có thể
2
2
2
h
a
coi S là diện tích của một hình chữ nhật có các cạnh là a và hoặc cạnh là và
2
2
cạnh kia là h. Theo cách diễn đạt này bài toán cầu phương một hình tam giác đưa
về bài toán dựng hình chữ nhật có diện thích bằng diện tích hình tam giác đã cho
và bài toán cầu phương một hình chữ nhật.
Bài toán 3. Dựng một hình vuông có diện tích bằng diện tích một hình đa giác
cho trước.
Để giải bài toán này ta cần dùng các đường chéo của hình đa giác đã cho để

26


Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào dạy học giải bài toán...

phân chia miền trong của đa giác thành hợp của các miền tam không đè lên nhau
(tức là không có điểm trong chung). Khi đó diện tích của đa giác bằng tổng của
diện tích các tam giác được tách ra trong phép phân chia trên. Bài toán cầu phương
hình đa giác đã cho đưa về bài toán dựng hình vuông có diện tích bằng tổng diện
tích của các tam giác đã cho. Vì việc cầu phương mỗi tam giác thực hiện được nhờ
Bài toán 2 ở trên nên bài toán cầu phương một đa giác lại trở thành vấn đề dựng
hình vuông có diện tích bằng tổng diện tích của các hình vuông cho trước. Vấn đề
này được giải quyết bằng cách sử dụng định lí Pitago cùng với lập luận quy nạp
toán học như đã trình bày ở trên.
Vấn đề tiếp theo của bài toán cầu phương sẽ là gi? Có lẽ bài toán cầu phương
hình tròn đã xuất hiện trong sự cố gắng sử dụng các hệ thức lượng trong tam giác
vuông để giải quyết các bài toán cầu phương đơn giản ở trên. Tuy nhiên khi chuyển
từ bài toán cầu phương một đa giác sang bài toán cầu phương một hình tròn (tưởng
tượng hình tròn như một đa giác có vô số cạnh!) vấn đề đã trở nên khó khăn gấp
nhiều lần. Khó khăn đến nỗi mãi cuối thế kỉ XVIII loài người mới nhận ra rằng nó
không giải được với các công cụ thước và compa.

2.3.

Hệ thức lượng trong tam giác vuông và vấn đề dựng đồ thị
của một số hàm số có liên quan với một hàm số cho trước

Chúng ta lại tiếp tục tìm cách ứng dụng hệ thức (2.3) ở trên vào một số tình
huống khác. Trước hết, ta tìm cách chuẩn hóa hệ thức (2.3) bằng cách chia 2 vế cho
b′ c′

b′
c′
h2 để có 1 = . . Đặt u = và v = , ta có u.v = 1 hay v là nghịch đảo của u.
h h
h
h
Ở đây ta lại có một cấu trúc nhận thức khác ứng với (2.3). Ta sẽ khai thác (2.3)
theo quan điểm cấu trúc này vào một lĩnh vực khác. Tình huống lúc này được đặt
ra trong bài toán sau:
Bài toán 4. Giả sử trong một hệ tọa độ trực chuẩn Oxy đã có đồ thị (C) của
1
hàm số y = f (x) . Hãy dựng đồ thị (C ′ ) của hàm số y =
.
f (x)
Bằng các công cụ thông thường khi nói đến vẽ đồ thị của hàm số ta chỉ có
thể xác định được những điểm của đồ thị mà thôi. Để có đồ thị đầy đủ (tương đối
chính xác thôi) ta phải chấp nhận dựng một số điểm của đồ thị đó và sử dụng các
thuộc tính của hàm số để nối các điểm đó lại thành đường (đồ thị). Với cách đặt
vấn đề như vậy ta đưa vấn đề cần giải quyết về bài toán sau:
1
)
Cho biết điểm M(x0 ; f (x0 )) thuộc đồ thị (C), hãy dựng điểm M ′ (x0 ;
f (x0 )
trên mặt phẳng tọa độ Oxy (với hệ tọa độ trực chuẩn).
Trước hết ta nhận các giao điểm của đồ thị (C) với trục hoành không thuộc
đồ thị (C ′ ) vì tại đó f (x) triệt tiêu. Với các giá trị x0 mà f (x0 ) = 0 ta luôn có
1
= 0 và cùng dấu với f (x0 ). Điều này có nghĩa là M và M ′ nằm về cùng một
f (x0 )
27

Chu Trọng Thanh

nừa mặt phẳng tọa độ so với trục Ox. Vấn đề còn lại là xác định |

1
| khi biết
f (x0 )

1
|.|f (x)| = 1, có dạng hệ thức (2.3). Do đó M ′ dựng được
f (x0 )
bằng cách: Kí hiệu K là điểm trên Ox có tọa độ (x0 ; 0). Dựng điểm A trên trục
hoành có tọa độ (x0 − 1; 0) hoặc (x0 + 1; 0). Khi đó ta có độ dài AK = 1. Dựng
tam giác vuông có đỉnh góc vuông tại A và một cạnh góc vuông đi qua điểm M. Kí
1
|.
hiệu giao điểm của cạnh góc vuông kia với MK là N. Khi đó độ dài KN = |
f (x0 )
Điểm M ′ cần dựng chính là N hay điểm đối xứng với N qua Ox tùy thuộc điểm M
nằm nửa dưới hay nửa trên của mặt phẳng tọa độ so với trục hoành.
Cũng theo cách sử dụng hệ thức lượng (2.3) trong tam giác vuông, ta có thể
giải bài toán liên quan đến việc dựng đồ thị hàm số y = |f (x)g(x)| khi biết đồ thị
các hàm số y = f (x) và y = g(x).

|f (x)|. Ở đây ta có |

3.

Kết luận

Thông qua việc tìm hiểu tư liệu lịch sử toán và nhìn nhận một số kiến thức
môn toán theo quan điểm cấu trúc nhận thức của J. Piaget, có thể định hướng việc
tổ chức cho học sinh các hoạt động phát hiện kiến thức, khám phá kiến thức mới
và ứng dụng kiến thức vào các chủ đề khác nhau trong dạy học môn toán ở trường
phổ thông.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Howard Eves, 1993. Giới thiệu lịch sử Toán. Công ty Sách và Thiết bị trường
học thành phố Hồ Chí Minh.
[2] G. Polia, 1997. Sáng tạo toán học. Nxb Giáo dục, Hà Nội.
[3] Chu Trọng Thanh, 2009. Sử dụng các khái niệm công cụ trong lí thuyết phát sinh
nhận thức của J. Piaget vào môn Toán. Tạp chí Giáo dục, số 207, tr. 37, 38 và 9.
ABSTRACT
Using the Tael relation in right-angled triangles for teaching plane figures
quadrature task and build the diagram of function
This paper presents the views of Tael relations in right-angled triangles according to the terms of structure in J. Piaget’s cognitive development theory. On
this basis to clarify the relationship between Tael relation with plane figures quadrature task and uses to build the diagram of function related specifically to one or two
functions given.

28