DS 8 chuong 4 bat phuong trinh bac nhat mot an day du phuong phap giai va dang toan

Xuctu.com – Chun cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT

BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN
1. KIẾN THỨC CƠ BẢN
a) Khái niệm bất phương trình bậc nhất một ẩn
- Bất phương trình bậc nhất một ẩn là phương trình có dạng: ax + b
> 0 ( hoặc ax + b < 0: ax + b ≥ 0 ; ax + b ≤ 0 ) trong đó x là ẩn a, b là
các số đã cho a ≠ 0 .
b) Bất phương trình tương đương
ĐN: hai bất phương trình được gọi à tương đương nếu chúng có cùng
một tập hợp nghiệm.
Các phép biến đổi tương đương
+ Định lí 1: Nếu cộng cùng một đa thức của ẩn vào hai vế của một
bất phương trình thì được một bất phương trình mới tương đương.
-

Hệ quả 1; Nếu xóa hai hạng tử giống nhau ở hai vế của một bất
phương trình thì được một bất phương trình tương đương.

-

Hệ quả 2: Nếu chuyển hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi dấu
của nó thì được một bất phương trình tương đương.

+ Định lí 2:
- Nếu nhân hai vế của một bất phương trình với một số dương thì
được một bất phương trình tuơng đương.
- Nếu nhân hai vế của một bất phương trình với một số âm và đổi
chiều của bất phương trình thì được một bất phương đương

II. Các dạng bài tập

Phát hành tồn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem và thanh toán tại nhà- ĐT:
0918.972.605(Zalo)


Xuctu.com – Chun cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT

Dạng 1: Giải bất phương trình bậc nhất một ẩn
Bài tập mẫu 1: Giải các bất phương trình sau.
a) x – 4 < - 8

b)x+3>-6

c ) -2x > -3x +3

d ) -4x

-2 > -5x +6
Với bài tập này học sinh có thể giải rễ ràng bằng cách sử dụng các
phép biến đổi tương đương.
Hướng dẫn giải
a ) x – 4 < - 8 ⇔ x < -8 + 4 ⇔ x < - 4
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: S = { x ∈ ¡ |x < −4 }
b ) x + 3 > - 6 ⇔ x > - 6 – 3 ⇔ x > -9
Vậy tập nghiệm cuả bất phương trình đã cho là: S = { x ∈ ¡ |x > −9 }
c ) -2x > - 3x + 3 ⇔ -2x + 3x > 3 ⇔ x > 3
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là:
d) – 4x – 2.> -5x + 6 ⇔ - 4x + 5x > 6 + 2 ⇔ x > 8
Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm là: S = { x ∈ ¡ |x > 8}
Bài tập mẫu 2: Giaỉ các bất phương trình sau ;
a ) (x + 2 )

2

< 2x ( x + 2) +4

b ) (x + 2 ) ( x + 4 ) > ( x – 2 ) (x

+ tập
8) +
26sẽ làm cho học sinh hơi bối rối vì các em thấy lũy thừa của x khơng là
Bài
này
bậc nhất nên khơng biết làm như thế nào vì vậy giáo viên đưa ra một gợi ý nhỏ
cho các em: Hãy thực hiện các phép tính ở hai vế và thu gọn.

Hướng dẫn giải
a. ( x + 2 )

2

< 2x ( x + 2) + 4 ⇔ x2 + 4x + 4 < 2 x2 + 4x + 4

Phát hành tồn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem và thanh tốn tại nhà- ĐT:
0918.972.605(Zalo)


Xuctu.com – Chun cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT

⇔ x2 < 2 x2 ↔ x2 > 0 ⇔ x > 0 hoặc x < 0.
Sau khi giải đến bất phương trình x 2 > 0 sẽ có nhiều học sinh biến đổi

như sau; x2 > 0 ↔ x > 0 như vậy thì khi kết luận nghiệm thì sẽ thiếu
nghiệm của bất phương trình vì vậy cần nhắc lại cho các em lũy thừa
chẵn của một số, biểu thức bao giờ cũng lớn hơn hoặc bằng 0 do vậy
thay cho việc tìm các gía trị của x để x 2 > 0 ta đưa về tìm x để x 2 = 0
khi đó những giá trị cịn lại của x sẽ làm cho x2 > 0.
b ) ( x + 2) ( x + 4 ) > ( x – 2 ) ( x + 8 ) + 26
↔ x2 + 6x + 8 > x2 + 6x -16 + 26 ↔0 > 2 ( vơ lí )
Nên: Bất phương trình vơ nghiệm.
Khi làm xong bài tập 2 giáo viên có thể cho học sinh rút ra các bước
làm:
Bước 1: Thực hiện các phép tính ở hai vế của bất phương trình.
Bước 2: Chuyển các hạng tử chứa ẩn sang một vế, các hạng tử bằng
số sang một vế rồi thu gọn bất phương trình
Bước 3: Giải bất phương trình sau khi thu gọn.
Bài tập mẫu 3: Giải các bất phương trình sau:

Giáo viên cho học sinh nhận xét các bất phương trình trên có đặc
điểm gì và gợi ý học sinh hãy quy đồng và khử mẫu.
Hướng dẫn giải

Phát hành tồn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem và thanh toán tại nhà- ĐT:
0918.972.605(Zalo)


Xuctu.com – Chun cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT

1−2x
1 − 5x
2 − 4 x −16 1 − 5 x
−2 ≤

⇔
≤
⇔ 2 − 4 x −16 ≤ 1 − 5 x
4
8
8
8
⇔ −4 x + 5 x ≤ 14 +1 ⇔ x ≤ 15
a;

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S = {x / x ≤ 15}
x −1
x +1
3 x − 3 −12 4 x + 4 + 96
−1 ≥
+8 ⇔
≥
b) 4
3
12
12
⇔ 3 x − 4 x ≥ 100 +15 ⇔ −x ≥ 115 ⇔ x ≤ −115

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là; S = {x / x ≤ -115}
Qua bài tập này giáo viên cho học sinh rút ra cách giải bất phương trình có
chứa mẫu:

Bước 1: Quy đồng và khử mẫu
Bước 2: Chuyển các hạng tử chứa ẩn sang một vế và các hạng tử bằng
số sang một vế và thu gọn bất phương trình.

Bước 3: Giải bất phương trình sau khi thu gọn.
Bài tập mẫu 4: Giải bất phương trình:
mx + 1 ≥ m2 + x

( với m là tham số )

Hướng dẫn giải
Học sinh có thể biến đổi tương đương bình thường
mx + 1 ≥ m 2 + x ⇔ mx − x ≥ m 2 − 1 ⇔ ( m − 1) x ≥ ( m − 1) ( m + 1)

Đến bước này sẽ có nhiều em vội vàng suy ra x ≥ ( m + 1 ) bàng cách
chia (m-1)(m+1) cho (m-1) mà quên mất điều kiện để một phép chia
có nghĩa là số chia phải khác khơng và quy tắc chia hai vế của bất
phương trình cho một số âm phải đổi chiều bất phương trình. Vậy giáo
Phát hành tồn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem và thanh tốn tại nhà- ĐT:
0918.972.605(Zalo)


Xuctu.com – Chun cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT

viên phải hướng dẫn các em phân chia trường hợp của m- 1 là ( m-1)
> 0; (m – 1 ) <0; ( m- 1 ) = 0 và học sinh có thể giải tiếp như sau:
+ Nếu m < 1 thì nghiệm của bất phương trình là x ≤ m + 1
+ Nếu m > 1 thì nghiệm của bất phương trình là x ≥ m + 1
+ Nếu x = 1 thì bất phương trình có dạng 0x ≥ 0 nghiệm đúng với
mọi giá trị của x.
Bài tập mẫu 5: Giải bất phương trình ( với a là hằng số ).
>
Đây là bất phương trình có chứa mẫu do đó cần phải tìm điều kiện để
cho mẫu có nghĩa sau đó biến đổi và rút gọn bất phương trình.

Hướng dẫn giải
Bất phương trình có nghĩa khi a ≠ 0
x +1
x+2
x 1
x 2
+ ax >
− 2 x ⇔ + + ax > + − 2 x
a
a
a a
a a
⇔ ax + 2x >

2 1
−
a a

⇔ (a + 2) x >

1
a

-

Nếu a > - 2: a ≠ 0 thì nghiệm của bất phương trình là: x >

-

Nếu a < - 2 thì nghiệm của bất phương trình đã cho là: x <

-

Nếu a = -2 thì bất phương trình có dạng 0x > -

1
a (a + 2)

1
a ( a + 2)

1
nghiệm đúng với
2

mọi x

Phát hành tồn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem và thanh toán tại nhà- ĐT:
0918.972.605(Zalo)


Xuctu.com – Chun cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT

Bài tập mẫu 6: Giải bất phương trình:

Với bài tập này phần lớn học sinh sẽ vận dụng cách làm một cách
máy móc đó là quy đồng, rút gọn rồi mới giải bất phương trình, làm
như vậy thì các em sẽ khá vất vả hoặc có em thì lại tách thành

x

2
x
5
x
8
x 11
+
+
+
>
+
+
+
89 89 86 86 83 83 80 80
Làm như vậy cũng rất phức tạp nên giáo viên có thể cho học sinh
nhận xét về mối quan hệ giữa tử và mẫu của mỗi phân thức và hướng
dẫn học sinh tạo ra các phân thức có tử giống nhau bằng cách cộng
thêm

vào

mỗi

phân

thức

với

1

khi

đó

ta

có:

x + 2 x + 5 x + 8 x + 11
+
>
+
89
86
83
80
 x +2
  x +5
  x +8
  x +11 
⇔
+1÷+ 
+1÷> 
+1÷+ 
+1 ÷
 89
  86
  83
  80


x + 91 x + 91 x + 91 x + 91
⇔
+
>
+
89
86
83
80
1
1
1 
 1
⇔ ( x + 91) 
+
−
− ÷> 0
 89 86 83 80 
⇔ x + 91 < 0 ⇔ x < −91
Bên cạnh các bài toán với yêu cầu cụ thể là giải bất phương trình thì
cịn những bài tốn mà để giải được nó thì phải đưa về bài tốn giải bất
phương trình. Bài tốn này địi hỏi học sinh phải có sự tư duy logic,
phân tích chặt chẽ.

Phát hành tồn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem và thanh tốn tại nhà- ĐT:
0918.972.605(Zalo)


Xuctu.com – Chun cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT

Bài tập mẫu 7: Tìm giá trị của x thỏa mãn cả hai bất phương
trình
và
Học sinh phải hiểu các giá trị cần tìm của x chính là nghiệm chung
của cả hai bất phương trình và để tìm được thì ta phải đi giải 2 bất
phương trình và tìm phần chung trong tập nghiệm của chúng.

*

*

2 x 3 − 2 x 3x + 2
+
≥
⇔ 12 x + 30 − 20 x ≥ 45 x + 30
5
3
2
⇔ 12 x − 20 x − 45 x ≥ 0 ⇔ − 53 x ≥ 0 ⇔ x ≤ 0

(1)

x 3 − 2 x 3 x −5
+
≥
2
5
6

⇔ 15 x +18 −12 x ≥ 15 x − 30 ⇔ −12 x ≥ −48
( 2)

⇔x≤4
Từ (1) và (2) ta có x ≤ 0 .
Bài tập mẫu

8: Tìm các số nguyên x thỏa mãn cả hai bất

phương trình
và
Hướng dẫn giải
Xét bất phương trình:

3x − 2 x
≥ + 0,8
5
2

⇔6 x − 4 ≥ 5 x + 8 ⇔6 x − 5 x ≥ 4 + 8 ⇔ x ≥12

(1)

Phát hành tồn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem và thanh tốn tại nhà- ĐT:
0918.972.605(Zalo)


Xuctu.com – Chun cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT

Xét bất phương trình:

1−

2 x −5 3 − x
>
6
4

⇔12 − 4 x +10 > 9 − 3 x ⇔−4 x + 3 x > 9 − 22
⇔−x > −13 ⇔ x <13

(2)

Từ (1) và (2) ta có 12 ≤ x <13
Sau khi tìm được các giá trị của x thỏa mãn cả hai bất phương trình thì
học sinh lại thêm bước lựa chọn các giá trị nguyên của x
Vì x € Z nên x = 12
Nhận xét: Khi cho bài tập thì giáo viên có thể cho những bài tập tương
tự nhau nhưng tập sau phải đòi hỏi cao hơn bài tập trước để tạo cho
các em vừa biết lợi dụng các bài tập đã biết để làm tương tự nhưng lại
phải tư duy thêm để trả lời được câu hỏi của bài như vậy sẽ tạo cho các
em sự hứng thú và say mê học tập.
Bài tập mẫu 9: tìm số nguyên x lớn nhất thỏa mãn mỗi bất phương
trình sau

a. 5,2 + 0,3x < - 0,5

b.
1,2 – (dẫn
2,1 –giải

0,2x ) <4,4
Hướng

a. 5,2 + 0,3x < - 0,5

⇔ 0, 3x < −0,5 − 5, 2 ⇔ 0, 3 x < −5, 7 ⇔ x < −19
Học sinh khi làm đến đây có nhiều em sẽ khơng biết vậy x sẽ nhận
giái trị nào thì giáo viên có thể gợi ý: Số nguyên nhỏ hơn -19 và gần với
-19 nhất là bao nhiêu thì học sinh sẽ tìm được đó là -20
b. 1,2 – ( 2,1 – 0,2x ) < 4,4

⇔ 1, 2 − 2,1 + 0, 2 x < 4, 4 ⇔ 0, 2 x < 4, 4 + 0,9 ⇔ x < 26, 5
Phát hành toàn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem và thanh tốn tại nhà- ĐT:
0918.972.605(Zalo)


Xuctu.com – Chun cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT

Vậy số nguyên x lớn nhất thỏa mãn bất phương trình là 26.
Bài tập mẫu 10: Với giá trị nào của x thì
Giá trị phân thức lớn hơn giá trị phân thức
Giá trị phân thức nhỏ hơn giá trị phân thức

Ở bài tập này học sinh phải thiết lập được mối quan hệ giữa các phân
thức và đưa về giải bất phương trình.
Hướng dẫn giải
a. Giá trị phân thức

5x − 2
5 −2 x

lớn hơn giá trị phân thức
nghĩa
6
3

là

5 − 2x 5x − 2
>
⇔ 5 − 2 x > 10 x − 4
6
3
⇔ −2 x −10 x > −4 − 5 ⇔ −12 x > −9 ⇔ x <

Vậy giá trị của phân thức

<

3
4

5 − 2x
5x − 2
lớn hơn giá trị phân thức
khi x
3
6

3
4

b. Giá trị phân thức

1,5 − x
4x +5
nhỏ hơn giá trị phân thức
nghĩa là
5
2
1,5 − x
4 x +5
<
5
2

Phát hành tồn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem và thanh tốn tại nhà- ĐT:
0918.972.605(Zalo)


Xuctu.com – Chun cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT

⇔ 3 − 2 x < 20 x + 25

⇔ 22 x > −22
⇔ x > −1
Vậy với x > - 1 thì Giá trị phân thức

1, 5 − x
nhỏ hơn giá trị phân thức
5

4 x +5
2
Dạng bài tập này sau khi giải học sinh thường hay kết luận nghiệm
của bất phương trình do vậy giáo viên chú ý học sinh hãy kết luận theo
yêu cầu của bài.
Bài tập mẫu 11: Tìm giá trị của m để nghiệm của phương trình
sau dương

Đây là phương trình chứa mẫu vì vậy cần tìm điều kiện để phương
trình có nghĩa: Điều kiện x – 1 ≠ 0 suy ra x ≠ 1
Là bài tốn về phương trình nhưng để trả lời được nó thì lại phải sử
dụng đến bất phương trình
Hướng dẫn giải

m+1
= 1 − m ⇔ (1 + m) = (1 − m) x − 1 + m
x−1
⇔ (1 − m) x = 1 + m + 1 − m ⇔ (1 − m) x = 2
- Nếu m = 1 thì phương trình có dạng 0x = 0

phương trình vơ

nghiệm
Phát hành tồn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem và thanh tốn tại nhà- ĐT:
0918.972.605(Zalo)


Xuctu.com – Chun cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT

- Nếu m ≠ 0 thì

Vì x ≠ 1 nên

x=

2
1− m

2
≠ 1 ⇒ m ≠ −1
1− m

Nghiệm của phương trình là x =

2
với m ≠ +-1
1− m
m ≠ + − 1 m ≠ + − 1 m < 1
⇒
⇒
.
1 − m > 0  m < 1
 m ≠ −1

Phương trình có nghiệm dương khi 

Bài tập mẫu 12: Cho biểu thức
Rút gọn biểu thức A.
Tìm x để A > 0.

Hướng dẫn giải
Điều kiện

x ≠ 1; x ≠ − 1; x ≠

1
2

2
2
 x +1+ 2 − 2x − 5 + x  1− x
=−
a) A = 
÷.
2
1− x
2x −1

 2x −1

b) A > 0 ⇒

−2
1
> 0 ⇒ 2x − 1 < 0 ⇒ 2x < 1 ⇒ x <
2x − 1
2

Kết hợp với điều kiện ta được x <

Vậy với x <

1
và x ≠ -1
2

1
và x ≠ -1 thì A > 0
2

Phát hành tồn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem và thanh toán tại nhà- ĐT:
0918.972.605(Zalo)


Xuctu.com – Chun cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT

Giáo viên chú ý học sinh với một biểu thức trong đó có liên quan đế
giá trị của biểu thức thì bao giờ cũng phải tìm điều kiện để cho biểu
thức có nghĩa: các mẫu thức khác 0; phân thức chia khác 0. Sau khi tìm
được các giá trị của biến thì phải so sánh với điều kiện trước khi kết
luận.
Bài tập mẫu 13: Tìm các số nguyên a và b sao cho a2 - 2ab + b2 4a +7 < 0
Giáo viên hướng dẫn, dẫn dắt học sinh biến đổi vế trái của bất
đẳng thức sau đó đánh giá để tìm được a, b.
Hướng dẫn giải
Do a, b nguyên ta cộng 1 vào vế trái của bất đẳng thức đã cho ta
được
a2- 2ab + b2 - 4a +7 < 0

⇔ a 2 − 2ab + 2b 2 − 4a + 8 ≤ 0 ⇔ 2a 2 − 4ab + 4b 2 − 8a + 16 ≤ 0

⇔ ( a 2 − 4ab + 4b 2 ) + ( a 2 − 8a + 16 ) ≤ 0 ⇔ ( a − 2b ) + ( a − 4 ) ≤ 0
2

2

⇔ a = 4; b = 2 .
Bài tập mẫu 14: Tìm x biết rằng

Giáo viên giới thiệu cho học sinh biết khái niệm phần nguyên: Phần
nguyên của a kí hiệu [a] là số ngun lớn nhất khơng vượt quá a
Ví d ụ;

[3,135] = 3 ;

[-1,47] = -2

Phát hành tồn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem và thanh tốn tại nhà- ĐT:
0918.972.605(Zalo)


Xuctu.com – Chun cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT

-

0 ≤ a − b < 1
b ∈ Z

Nếu b là phần ngun của a thì ta có 

Từ đó học sinh có thể dựa vào đó để giải bài tốn.
Hướng dẫn giải

3x − 5
. Do đó
7

Theo đề bài, x là số nguyên lớn nhất không vượt qua

 3x − 5 
 7  = x ⇔

 3x − 5
− x<1
0 ≤
7

 x ∈ Z

Giải bất phương trình 0 ≤

3x − 5
− x < 1 ta có:
7

−4 x − 5
< 1 ⇔ 0 ≤ −4 x − 5 < 7
7
5

⇔ 5 ≤ −4 x < 12 ⇔ − ≥ x > −3
4

0≤

Ta lại có x ∈ ¢ do đó x = -2.
Bài tập mẫu 15: Tìm x biết rằng

Hướng dẫn giải
Ta có 2x +1 là số ngun lớn nhất khơng vượt quá

 34 x + 19 
 11  = 2 x + 1 ⇔

34 x +19
nên
11

 34 x + 19
− 2x − 1 < 1
0 ≤
11

 2 x + 1∈ Z

Phát hành tồn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem và thanh toán tại nhà- ĐT:
0918.972.605(Zalo)


Xuctu.com – Chun cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT

34 x + 19
− 2 x − 1 < 1 ⇔ 0 ≤ 12 x + 8 < 11
11
4
1
1
3
⇔ −8 ≤ 12 x < 3 ⇔ − ≤ 2 x < ⇔ − ≤ 2 x + 1 <
3
2
3
2

0≤

Mặt khác 2x + 1 € Z nên 2x + 1 = 0 hoặc 2x + 1 = 1
Suy ra x = -

1
hoặc x = 0.
2

Bài tập mẫu 16: Cho một dãy các số tự nhiên bắt đầu từ 1. Người
ta xóa đi một số thì trung bình cộng của các số cịn lại bằng . Tìm
số bị xóa.
Hướng dẫn giải
Giả sử ta có n số tựu nhiên liên tiếp từ 1 đến n:
- Nếu xóa số 1 thì trung bình cộng của các số còn lại là

2 + 3 + 4 + ..... + n ( 2 + n ) ( n − 1) 2 + n
=
=
n −1
2 ( n − 1)
2
- Nếu xóa số n thì trung bình cộng của các số còn lại là

1 + 2 + 3 + ..... + ( n − 1) n ( n − 1) n
=
=
n −1
2 ( n − 1) 2
Ta có

n
7 n+2
7
14
14
≤ 35 ≤
⇔ n ≤ 70 ≤ n + 2 ⇔ 68 ≤ n ≤ 70
2
17
2
17
17
17

Do n là số tự nhiên nên n = 69 hoặc n = 70

Nếu n = 70 thì tổng của 69 số cịn lại là 35

7
.69 ∉ N loại
17

Phát hành tồn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem và thanh toán tại nhà- ĐT:
0918.972.605(Zalo)


Xuctu.com – Chun cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT

Nếu n = 69 thì tổng của 69 số cịn lại là 35

7
.68 = 2408 số bị xóa là
17

( 1 + 2 + 3 + …..+ 69 ) – 2408 = 7
Dạng 2: Bất phương trình chúa ẩn trong dấu GTTĐ.
Với dạng tốn này để giải bất phương trình loại này ta phải khử dấu giá
trị tuyệt đối. Ta nhớ lại rằng: Giá trị tuyệt đối của một biểu thức bằng
chính nó nếu biểu thức khơng âm, bằng số đối của nó nếu biểu thức
âm.
│A│=

A nếu A≥ 0
-A nếu A < 0

Do đó để khử dấu giá trị tuyệt đối cần xét giá trị của biến làm cho

biểu thức âm hay không âm. Nếu biểu thức nằm trong dấu giá trị tuyệt
đối là nhị thức bậc nhất ta cần nhớ định lí sau:
Định lí về dấu của nhị thức bậc nhất ax + b ( a ≠ 0 )
Nhị thức ax + b ( a ≠ 0 )
+ Cùng dấu với a với các giá trị của x lớn hơn nghiệm của nhị thức.
+ Trái dấu với a với các giá trị của x nhỏ hơn nghiệm của nhị thức.
Bài tập mẫu 1: Giải các bất phương trình sau
a) │3x - 1│ > 5

b) │3-2x│ < x + 1
Hướng dẫn giải

a)

│3x - 1│ > 5

(1)

Phát hành tồn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem và thanh toán tại nhà- ĐT:
0918.972.605(Zalo)


Xuctu.com – Chun cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT

1
thì ( 1) có dạng
3

* Xét khoảng x <

1 – 3x > 5 ⇔ −3 x > 5 − 1 ⇔ − 3 x > 4 ⇔ x <

−4
3

Nghiệm của bất phương trình trong khoảng này là x <
* Xét khoảng x ≥

−4
3

1
thì (1) có dạng
3

3 x −1 > 5 ⇔ 3 x > 5 +1 ⇔ 3 x > 6 ⇔ x > 2
Nghiệm của bất phương trình trong khoảng này là x > 2
Kết luận: Nghiệm của bất phương trình đã cho là: x > 2: x <
b)

−4
3

│3-2x│ < x + 1

* Xét khoảng x >

3
,(2) có dạng
2

2x − 3 < x + 1 ⇔ 2x − x < 3 + 1 ⇔ x < 4
Vậy bất phương trình có nghiệm trong khoảng này là

* Xét khoảng x ≤

3
< x <4
2

3
, ( 2 ) có dạng
2

3 − 2 x < x + 1 ⇔ − 2 x − x < 1 − 3 ⇔ − 3x < − 2 ⇔ x >

Vậy bất phương trình có nghiệm trong khoảng này là

2
3

2
3
3
2

Phát hành tồn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem và thanh toán tại nhà- ĐT:
0918.972.605(Zalo)

Xuctu.com – Chun cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT

Kết luận: Nghiệm của bất phương trình đã cho là:

2
< x < 4.
3

Bài tập mẫu 2: Giải bất phương trình
a. │x│- x + 2 ≤ 2│x - 4│
(2)

(1)

b. │x - 1│+│x - 5│> 8

Hướng dẫn giải

a) Lập bảng xét dấu các biểu thức x và x - 4
x

0

x

-

x-4

-

4

0

+

│

+

│

-

0

+

* Xét khoảng x < 0; ( 1) có dạng
- x – x + 2 ≤ 2 ( 4 – x ) ⇔ 0x = 6
Nghiệm đúng với mọi x thuộc khoảng đang xét x < 0
* Xét khoảng 0 ≤ x < 4 ,(1) có dạng
x – x + 2 ≤ 8 - 2x ⇔ x ≤ 3
Nghiệm của bất phương trình đang xét trong khoảng này là 0 ≤ x ≤ 3
* Xét khoảng x ≥ 4, (1) có dạng
x – x + 2 ≤ 2x – 8 ↔ x ≥ 5 thỏa mãn x ≥ 4
Kết luận: Nghiệm của bất phương trình đã cho là x ≤ 3; x ≥ 5
b) Lập bảng xét dấu các biểu thức ( x – 1 ); ( x – 5 )

x

1

Phát hành toàn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem và thanh tốn tại nhà- ĐT:
0918.972.605(Zalo)

5


Xuctu.com – Chun cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT

x-1

-

x-5

-

0

+

│

+

│

-

0

+

* Xét khoảng x < 1, (2) có dạng

1 − x + 5 − x > 8 ⇔ − 2 x > 2 ⇔ x < − 1 thỏa mãn x < 1
* Xét khoảng 1 ≤ x < 5, (2) có dạng
x − 1 + 5 − x > 8 ⇔ 0 x > 2 không xảy ra với mọi x do đó bất

phương trình vơ nghiệm trong khoảng đang xét.
* Xét khoảng x ≥ 5, ( 2) có dạng

x − 1 + x − 5 > 8 ⇔ 2 x > 14 ⇔ x > 7

nghiệm đúng với mọi x ≥ 5

Kết luận: Nghiệm của bất phương trình đã cho là x < - 1; x > 7.
Nhận xét: Trong cách cách giải trên ta đã khử dấu GTTĐ bằng cách xét
từng khoảng giá trị

của biến. Trong một số trường hợp, có thể giải

nhanh hơn cách dùng phương pháp chung nói trên bởi các biến đổi
tương đương sau:
Dạng 1:
a) Với a là số dương, ta có: │f(x) │ < a ⇔ −a < f ( x) < a

b) │f(x) │ < g (x)

⇔ − g ( x ) < f ( x) < g ( x)

Dạng 2:
a) Với số a dương ta có: │f(x) │ > a

 f ( x) < −a
⇔
 f ( x) > a

 f ( x) < − g ( x )
b) │f(x) │ > g (x) ⇔ 
 f ( x) > g ( x )
Phát hành tồn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem và thanh toán tại nhà- ĐT:
0918.972.605(Zalo)


Xuctu.com – Chun cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT

Dạng 3: │f(x)│ > │g(x)│ ⇔ [ f ( x)] > [ g ( x) ]
2

2

Bài tập mẫu 3: Giải bất phương trình
a) 3│2x - 1│ < 2x + 1
3x + 2 ( 2)

(1)

b) │5x - 3│ <

Hướng dẫn giải

a) Cách 1: (Theo phương pháp chung )
* Xét khoảng x <

1
, (1) có dạng
2

3( 1 – 2x ) <2x + 1 ⇔ 3 − 6 x < 2 x + 1 ⇔ −8 x < −2 ⇔ x >

Nghiệm của bất phương trình trong khoảng này là

* Xét khoảng x ≥

1
4

1
1
4
2

1
,(1) có dạng
2

3(2 x − 1) < 2 x + 1 ⇔ 6 x − 3 < 2 x + 1 ⇔ 4 x < 4 ⇔ x < 1

Nghiệm của bất phương trình trong khoảng này là

Kết luận: Nghiệm của bất phương trình đã cho là

1
≤ x <1
2

1
< x <1
4

Cách 2: Biến đổi thành phương trình tương đương theo dạng 1b
3│2x - 1│ < 2x + 1

3(2 x − 1) > −(2 x + 1)
⇔
3(2 x − 1) < 2 x + 1

1

6 x − 3 > −2 x − 1 8 x > 2
1
x >
⇔
⇔
⇔

4 ⇔ < x <1
4
6 x − 3 < 2 x + 1
4 x < 4
 x < 1

Phát hành tồn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem và thanh toán tại nhà- ĐT:
0918.972.605(Zalo)


Xuctu.com – Chun cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT

1

x<

5 x − 3 < −(3x + 2)
8 x < 1
8
⇔
⇔
b) │5x - 3│ < 3x + 2 ⇔ 
5
x
−
3
>
3
x
+

2
2
x
>
5


x > 5

2

Kết luận: Nghiệm của bất phương trình đã cho là x <

1
5
hoặc x >
8
2

Dạng 3: Bất phương trình tích, bất phương trình thương.
Với dạng bài tập này học sinh có thể lập bảng để xét dấu nhưng cũng
có thể sử dụng các phép biến đổi tương đương. Khi sử dụng phép biến
đổi tương đương cần chú ý:
-

Tích (thương ) của hai số cùng dấu là số dương

-

Tích ( thương ) của hai số trái dấu là số âm.

Bài tập mẫu 1: Tìm x sao cho
a) (x – 2 ) (x – 5 ) > 0

b) < 0
Hướng dẫn giải

a) Cách 1: lập bảng xét dấu x – 2 và x - 5
x

2

x–2

5

-

0

+

│

-

│

-

0

+

0

+
x–5
+
(x – 2) ( x – 5 )

-

+
Kết luận: Nghiệm của bất phương trình là x < 2 hoặc x > 5
Cách 2: Sử dụng phép biến đổi tương đương.
Phát hành tồn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem và thanh toán tại nhà- ĐT:
0918.972.605(Zalo)

0


Xuctu.com – Chun cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT

 x − 2 > 0
 x > 2


 x − 5 > 0 ⇔  x > 5 ⇔  x > 5
(x–2)(x–5)>0 

x < 2
 x < 2
x − 2 < 0



  x − 5 < 0
  x < 5

Kết luận: Nghiệm của bất phương trình là: x > 5; x < 2
c) Lập bảng xét dấu của các nhị thức
x

-2

x+2

-

0

x–5

-

│

x+2
x −5

+

5

0

+

│

+

-

0

+

║

+

-

Kết luận: Nghiệm của bất phương trình là x < -2; x > 5.
Bài tập mẫu 2: Giải các bất phương trình sau
a. x2 - 2x + 1 < 9

b. ( x3 -27) ( x3 – 1 ) ( 2x + 3 – x2) ≥ 0
Hướng dẫn giải

2
a) Cách 1: a. x2 - 2x + 1 < 9 ⇔ ( x − 1) < 9 ⇔ x − 1 < 9

⇔ −3 < x −1 < 3 ⇔ −2 < x < 4

Cách 2: Biến đổi bất phương trình về dang bất phương trình tích

x2 − 2x + 1 < 9 ⇔ x 2 − 2x − 8 < 0
⇔ ( x + 2) ( x − 4) < 0
Lập bảng xét dấu của nhị thức (x + 2 ), ( x – 4 )
x
x+2

-2
-

4
0

+

Phát hành tồn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem và thanh tốn tại nhà- ĐT:
0918.972.605(Zalo)

│


Xuctu.com – Chun cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT

+
x–4

-

│

+

0

-

0

+
(x + 2) ( x – 4 )

-

0

+
Nghiệm của bất phương trình là – 2 < x < 4
b. ( x3 -27) ( x3 – 1 ) ( 2x + 3 – x2) ≥ 0

⇔ ( x − 3) ( x 2 + 3x + 9 ) ( x + 1) ( x 2 − x + 1) ( 3 − x ) ( x + 1) ≥ 0
⇔ ( x − 3) ( x + 1)

2

( 3 − x ) ≥ 0 ⇔ − ( x − 3) ( x + 1)
2

2

x = 3
≥0⇔ 
 x = −1

Vậy nghiệm của bất phương trình là x = 3, x = - 1.
Bài 3: Giải bất phương trình sau
a)

b)

Hướng dẫn giải

x3 − 4 x 2 + 5 x − 20
x 2 ( x − 4) + 5( x − 4)
a) 3
>0⇔
>0
x − x 2 − 10 x − 8
( x + 2)( x + 1)( x − 4)

(1)

ĐK; x ≠ -1; x ≠ -2; x ≠ 4
(1)

( x − 4 ) ( x 2 + 5)
⇔
( x + 1) ( x + 2 ) ( x − 4 )

>0⇔

x
x+2

(x

2

+ 5)

( x + 1) ( x + 2 )

> 0 ⇔ ( x + 1)( x + 2) > 0

-2
-

-1
0

+

Phát hành toàn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem và thanh tốn tại nhà- ĐT:
0918.972.605(Zalo)

│


Xuctu.com – Chun cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT

+
x+1

-

│

-

0

-

║

+
(x + 2) ( x + 1 )

+

║

+
Kết luận: Nghiệm của bất phương trình đã cho là: x < -2; - 1 < x < 4; x

>4

x2 + 2x + 2 x2 + 4 x + 5
b)
>
− 1 (2)
x+1
x+ 2
ĐK: x ≠ -1; x ≠ -2
(2)

x 2 + 2 x = 2 x2 + 4 x + 5 − x − 2 x 2 + 2 x + 2 x 2 + 3x + 3
⇔
>
⇔
>
x+1
x+ 2
x+1
x+ 2

x 2 + 2 x + 2 x 2 + 3x + 3
( x 2 + 2 x + 2)( x + 2) ( x 2 + 3x + 3)
⇔
−
>0⇔
−
>0
x +1
x+2

( x + 1)( x + 2)
( x + 1)( x + 2)
⇔

1
> 0 ⇔ ( x + 1)( x + 2) > 0
( x + 1)( x + 2)

Vì (x + 2) > ( x + 1 ) nên ta có

(x + 1)( x + 2) > 0

 x +1 > 0
 x > −1
⇔
⇔
x + 2 < 0
 x < −2
Kết luận: Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm x > -1, x < - 2.

Phát hành tồn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem và thanh toán tại nhà- ĐT:
0918.972.605(Zalo)


Xuctu.com – Chun cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT

Bài tập mẫu 4: Tìm điều kiện của x, y để biểu thức A có giá trị
lớn hơn 1

Hướng dẫn giải

ĐK: xy ≠ 0; x ≠ y; x ≠ - y

 x 2 − xy + y 2   y 2 + x 2 − xy  x
A=
÷: 
÷:
 xy ( x + y )   x( x + y )( x − y )  y
=

x−y
y
= 1 − . Với A > 1
x
x

y
 xy < 0
 <0
⇔x
⇔
x ≠ − y

xy
≠
0,
x
≠
y
,
x

≠
−
y

Vậy A nhận giá trị lớn hơn 1 khi xy < 0 và x + y ≠ 0.

TRON BỘ SACH THAM KHAO TOAN 8 MƠI NHÂT-2020

Phát hành toàn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem và thanh tốn tại nhà- ĐT:
0918.972.605(Zalo)


Xuctu.com – Chun cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT

Bộ phận bán hàng: 0918.972.605(Zalo)
Đặt mua tại: />FB: facebook.com/xuctu.book/
Email:
Đặt online tại biểu mẫu:

/>9

Phát hành tồn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem và thanh toán tại nhà- ĐT:
0918.972.605(Zalo)