Đa thức vi phân các hàm phân hình và vấn đề chia sẻ giá trị

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

MAI THỊ LIÊN

ĐA THỨC VI PHÂN
CÁC HÀM PHÂN HÌNH
VÀ VẤN ĐỀ CHIA SẺ GIÁ TRỊ
Chun ngành: Tốn giải tích
Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH.HÀ HUY KHOÁI

THÁI NGUYÊN - 2017


LỜI CAM ĐOAN
Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tôi. Các kết quả
nghiên cứu trong luận văn là trung thực và chưa được công bố trong bất kỳ
cơng trình nào khác.

Thái Ngun, tháng 4 năm 2017
Học viên

Mai Thị Liên

2

MỤC LỤC


LỜI NÓI ĐẦU
Lý thuyết đa thức vi phân các hàm phân hình và vấn đề chia sẻ giá trị là
một trong những hướng nghiên cứu thu hút được sự quan tâm rộng rãi của các
nhà toán học trên thế giới. Đề tài luận văn thuộc hướng nghiên cứu nói trên, với
mục đích trình bày một số kết quả gần đây của lý thuyết đa thức vi phân các
hàm phân hình.
Luận văn gồm phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết và danh mục
tài liệu tham khảo.
Chương 1 “Cở sở lý thuyết của Nevanlinna” được dành để trình bày một
số khái niệm và kết quả cơ bản của Lý thuyết Nevanlinna, cần thiết cho việc
giới thiệu các kết quả ở chương sau.
Chương 2 “Quan hệ của cặp hàm nguyên và hàm phân hình khi đa thức
vi
phân của chúng chia sẻ một giá trị” là phần chính của luận văn. Ở đây, chúng
tôi
giới thiệu (với chứng minh chi tiết) một kết quả gần đây của J. Grahl and Sh.
Nevo
(trong bài báo: Differential polynomials and shared values, Annales Academi®
Scientiarum Fennicc Mathematica Volumen 36, 2011, 47-70).
Luận văn được viết dưới sự hướng dẫn tận tình của GS.TSKH Hà Huy
Khối. Thầy khơng chỉ tận tình hướng dẫn mà cịn thơng cảm, động viên tơi
trong suốt q trình nghiên cứu và hồn thành luận văn. Nhân dịp này em xin
gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Thầy!.
Đồng thời, em cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong hội
đồng bảo vệ luận văn thạc sỹ đã tạo điều kiện thuận lợi để em vững tin hơn
trong việc chuẩn bị bảo vệ luận văn của mình.

4


Em xin chân thành cảm ơn Đại học Thái Nguyên, Đại học Sư phạm,
Khoa sau Đại học Sư phạm, các thầy cơ giáo khoa Tốn và gia đình đã tạo điều
kiện tốt nhất cho em trong thời gian học tập cũng như nghiên cứu và hoàn
thành luận văn. Cuối cùng, em xin cảm ơn các anh, chị, các bạn học viên lớpcao
học Tốn giải tích - k23b Đại học Sư phạm Thái Nguyên đã giúp đỡ, chia
sẻ kinh nghiệm cho em trong suốt thời gian qua.
Trong quá trình viết luận văn cũng như trong việc xử lý văn bản chắc
chắn khơng tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót. Em rất mong nhận được sự
góp ý của các thầy cơ, các bạn đồng nghiệp, các bạn học viên để luận văn được
hoàn thiện hơn.
Thái Nguyên, tháng 4 năm 2017
Học viên
Mai Thị Liên

5


Chương 1
CƠ SỞ LÝ THUYẾT CỦA NEVANLINNA
Công cụ sử dụng chủ yếu trong luận văn này là Lý thuyết phân bố giá trị
các hàm phân hình, hay cịn gọi là Lý thuyết Nevanlinna. Kết quả cơ bản của lý
thuyết Nevanlinna là hai Định lý cơ bản và Quan hệ số khuyết.
Chương này có mục tiêu trình bày những kết quả cơ bản đó cùng với
những hệ quả cần thiết để trình bày phần tiếp theo.
1.1 Các hàm đặc trưng Nevalinnna và Công thức Poison - Jensen
1.1.1.

Công thức Poison - Jensen

Giả sử f (z) là hàm phân hình trong hình trịn {Iz\ <
khơng điểm

a

(//

R},0 < R <x>,

có các

= 1,2,..,M); các cực điểm b(v = 1,2,...,N) trong hình trịn đó

(mỗi khơng điểm hoặc cực điểm được tính một lần số bội của nó).
Khi đó, nếu z = re'e; (0 < r < R), f (z) ^ 0, »; ta có
2fi

J

M
R2 - r2
R2 - 2Rrcos (^=1
+rr

log|f (z)| =p log|f (Re*)|
2- 0

1.1.2.

Các kí hiệu

R

R

(za)

2-a

N

R (z-bv)
R2 - bvz

p

được gọi là hàm đếm, trong đó b là cực điểm của f
trong |z| < r tính cả bội,

( r, = m I
r,
a)
m ( r, ») = m ( r, f ),
m

N (r, ») = N (r, f

1.1.3.

).

Các hàm đặc trưng Nevalinnna


Định nghĩal.1 . A(K) = A (K) được gọi là tập các hàm nguyên trên K và
A (K) = { f (z) / p < r} ( bán kính hội tụ p < r).

Định nghĩa 1.2. Giả sử f G AP (K),0< p ro và f (z) = Êa z', (m>0,am* 0),
a e K. Ta định nghĩa

■X1

= {z e K [0; r]: f (z)-a = 0} là hàm đếm được sổ không

điểm
(kể cả bội) của f - a trong đĩa K [0; r].
+ n ^r,-±—I là hàm đếm sổ không điểm phân biệt của f - a trong đĩa
K [0; r ].
1

1...,., J
1 1. f cf-a
: p hàm N| r,—— I := I Ỷ
hàm giá trị của f - a trên đĩa K [0; r].

1

+ Với 0 < p0 <

—-A-dt, p0 < r < p được gọi là

Định nghĩa 1.3. Với a e K u ị/J ta định nghĩa
+ Hàm đếm được số 0 - điểm ( kể cả bội ) của f - a trong đĩa K [0; r]
được xác định bởi
<

1 1
n r,-------- =

<Ị

1 f-a J

,
n

.

11

(

(, )=
r f

n r,

J7 I,f =

\

a

7
X1
1
n r,----------- I,
l , f1 - af0 J,

ro

0

_
a ^ ro

+ Hàm giá trị của f - a trên đĩa K [0; r] được xác định bởi
1X
N1 r^^—
I = 1 f-a }

N (r, f

\

)

11
= N r,-- I, af = ro
0

/

1 1
N r,-----------I,
a ^ ro
l f1 - afữ)
Định nghĩal.4. Giả sử f eM(p (K) với 0 < p ta định nghĩa


+ Hàm xấp xỉ của hàm f trên đĩa K [0; r] được xác định bởi
m

( r, f) = log+ ụ ( r, f) = max {0, log ụ ( r, f )}.

+ Hàm đặc trưng: T ( r, f ) = m (r, f) + N ( r, f ).
Chú ý 1.1. + log ụ ( r, f) = log+ ụ ( r, f)log+

=m

1

ụ( r,f

)

(

r

Cơng thức Jensen có thể viết thông qua hàm đặc trưng như sau
( y^=T(r,f)-logụ(p0,f) hay T(r’y)=T(r,f)+°(1).

T r,

+ M(p (K )= M (K ( 0; p)).
Định nghĩa1.5. Giả sử x là số thực dương, kí hiệu log+ x = max {0,log x}.
Ta có: log x = log x - log -•, vìx x > 1: log x > 0 ^ log x = log x, log — < 0x^ log+ —= 0, x
+

+

+

0 < x < 1: logx < 0 ^ log x = 0, log— >x 0 ^ log+ — =
x log— =
x - logx .
+

1.2.

Một số kết quả cơ bản của lý thuyết Nevanlinna.

Định lý 1.2.1. (Định lý cơ bản thứ nhất) Giả sử f là hàm phân hình khác hằng
trên K (0, p). Khi đó, với mọi a e K, ta có
m| r,

Nhận xét 1.1. Định lý cơ bản thứ nhất cho ta thấy hàm phân hình nhập mọi giá
trị a một số lần như nhau.


Định lý 1.2.2. (Định lý cơ bản thứ hai) Giả sử f là hàm phân hình khác hằng
trên K (0, p) và

a, ,a

là

các điểm phân biệt {1, \at 1}. Khi đó với 0 < r < p ta
có
thuộc
K.
Định

{

õ = min 1, |a; - ay

“

( , )
( - 1)T r f

q

1
f-a

N(r,f) + N(r,f')-N r,1 1-logr + Sf
i

nghĩa


—,

?í

< N (r, /) + £ r,
j l
q
'.
ír
S

f

ì

j) - log r + Sf,

f-a

với

í /-.\ z 1X1 A

\ ,

= E log A( pữ, f - aj)-log p( Pữ, f

) + (7 - l)log7 .

ờ

j =1

Định nghĩa 1.6. Giả sử f (z) là hàm phân hình khác hằng số trên □ . Ta định
nghĩa S (r, f) là một đại lượng xác định thỏa mãn S (r, f ) = o (T (r, f)) khi
r ^-x-; có thể trừ đi một tập E của r có độ đo hữu hạn. Giả sử
a (z), a0 (z), a (z) ,...là các hàm nhỏ của f, tức là các hàm thỏa mãn
T(r,a(z)) = S(r, f) khi r ^ro.

Định lý 1.2.3. ( Định lý Milloux ) Cho l là một số nguyên, f là hàm phân

. z X X z x,„z X
hình khác hãng số trên □ và V (z) = ^ av (z)f (z).
1' 1 „ ,

i

-=0

Khi đó
W (z )

m r,
{ f (z)

í

(1.1)
và

( r ,^)<( l +1) T ( r, f ) + S (
r, f ).
T

(1.2)

Chứng minh. Xét trường hợp y/ (z ) = f(l)(z), chứng minh bằng phép quy nạp
với l. Nếu y (z ) = f' thì
Khi đó m (r, f(l))
Nếu f (z)

= S (r, f). Giả sử , với l nào đó.
f
+ m (r, f
< m rp—
f ).

) = m ( r, f) + S (r,

có cực điểm tại z cấp k thì f(1)

( )

k+1 và k +1 <(l +1)k . Do đó N r,f(l) <(l +1)N(r, f).

(*)

(z) có cực điểm tại z cấp
(**)


Cộng các bất đẳng thức (*) (**) ta được
T

( r, f ) = m ( r, f )+N ( r, f )< m ( r, f ) + (l +1) N (r, f ) + S (r, f )
(l )

(l

)

(l )


<( l +1) T
(l-1

f

Ta kết luận rằng

f)

( r, f ) + 5 (r, f ).
)

) = o (T ( r, f )) = o (T (

= s ( r, f(1)
r, f

(1)

khi

))

Như vậy trong trường hợp này (1.2) được chứng minh.
r ^ rc>, trừ một tập E của r có độ đo hữu hạn.
Khi đó
(

(l -1)
f

ì

mr

-t

( f (l)
( f(l-1)
+ m Y±f
f
k
) 1 )

Vậy định lý được chứng minh trong trường hợp V (z ) = f(1)(z). Trường
hợp tổng quát ta chú ý rằng
r, a (v) + m r,

f|v)( z

)

l

v=0 s

( Y , f)+o (1) = s ( Y , f).

Vậy (1.1) được chứng minh.
Hơn nữa ta có m (r ,y) <

( r, f )< m ( r, f ) + s (
m
r, f ).

Nếu f (z) có cực điểm cấp p tại z0 và a (z) có cực điểm cấp khơng q
q

+m

tại z thì V (z) có cực điểm tai z cấp không vượt quá p+1 + q và

p+1 + q <( l +1) p + q . Khi đó
N

( r ,^)<( l +1) N ( r, f) + N ( r, f ) + £v=N0 ( r, av (z ))<( l +1) N (r, f) + s (r, f ).
Vậy T ( r ,ụ) = m ( r ,^) + N ( r ,^)< m ( r, f ) + s ( r, f ) + (l +1) N ( r, f ) + s

( r, f )
<( l +1) T

( r, f ) + s ( r, f ).

Vậy định lý được chứng minh.


Định nghĩa 1.7. Giả sử f (z) là hàm phân hình trên mặt phẳng phức 0 , a eũ
đặt


ổ(a) = ổ(a, f
7 v 77

) = limm^ = 1 -limNra .
T (r, f)

T(r, f)

Khi đó, ổ (a) được gọi là số khuyết của hàm tại giá trị của a.
Kí hiệu
N(r,.f) =

zlog r ,

tổng lấy theo mọi cực điểm của b của hàm trong miền |b| < r đồng thời mọi cực
điểm chỉ được tính một lần.
Đặt
, X „ / „x .
-— N (r, a)
> ổ(a) + ớ(a)
a
f
1
m
©( ) = ©(a ) = -li T(r Ậ

.

e(v a7 v )7 = e( a„f

) = lim

'•'- N(r •a).
T (r, f)

N (r

0( a) được gọi là chỉ số bội của giá tri a.

Định lý 1.2.4. (Định lý Quan hệ số khuyết) Giả sử f (z) là hàm phân hình
trên

ũ

, khi đó tập hợp các giá trị
ổ(a) + ớ(a)}<

thời ta có
aeũ

uoo

a

mà ©(a)

>0

cùng lăm là ờm c, ụng

â(a)< 2 ã
e Uoo

Chng minh.T nh ngha suy ra rng: (a)+(a)<â(a) .Chn dóy

{r}

ã r ^ 'x' sao cho S(r) = o(logT(rn• f)). Từ định lý cơ bản thứ hai, với mọi tập

hợp gồm q số phức phân biệt a • a • • aq ta có

= v=x1 N(rn• av)-N(r,• f

)+N(r,•

f

)-

Bất đẳng thức trên có thể viết lại như sau

+o

(

lo

gT

(rn •f ))


r-

, sn ,

[_q-

1

.9 X ,

,

+ o(1)]T(rn, f )<£N(rn,av) + N(rn, f
v=1

)- ( )- |
N r ,f
n

I.

N r
n

1

1ì

VJ)

Nếu b là một cực điểm cấp k của hàm f (z) trong {Iz\ < rn} thì đại lượng
log tham gia k lần trong cơng thức tính N (r,») đồng thời do b là cực điểm

của f (z) cấp (k +1) lần trong công thức tính N

Su

(r,, f).

y ra N(rn,/)-N(r,,<») = N(rn,M).

Mặt khác, giả sử b là nghiệm bội k của phương trình: f (z) = a với v
nào đó 1 < v < q.
T71

-X • 1

, r„ .1
• , 1Ầ .
/V .1 r . Ảf 1 J Ầ
Khi đó, đại lượng log^ tham gia k lần trong cơng thức tính tơng
q

É N (r,, a ).
v

Vì b là khơng điểm cấp (k -1) lần vào cơng thức tính tơng N ^r <11.

' ] = £N (r,, a)-N„ (f).

Suy ra ±N (r,, a)-N1 r,

V J
J

v=1

v=1

r.

Với N

(f) là tơng có dạng £ log

lấy theo mọi khơng điểm của b của

f' mà không là nghiệm của bất kì phương trình f (z) = av nào 1 < v < q.

„
Su

Xz

< 1 ì X— z 9

y ra £N(rn,av)-N| rnẠ |<£N(rn,av).
VJ)

v=1

v=1

q _____ ________________

Ta có

-1

[_q

+o

( )] + (r, )<£ ( rn , avv=)1 + N ( rn , ») .
1

T

,f

N

Chia hai vế cho T (r, f) ta được q -1 + o

^£ N (rn , av ) Ị N (rn, rc)
T (r,, f ) T (rn, f)


(1)<
Cho n

ta suy ra q-1 <Ê {[1 -0(a )]+[1-â(ô)]}.
v=1

Tc l

q

£=©(ạ) + ©(»)<2 .

v

1

Ta cần chứng minh tồn tại tập hợp các giá trị

a

sao cho ©(a) > 0, cùng

lắm là đếm được, đồng thời ^ ©(a) < 2.

eũ ux

a

Đặt
A = {a / ©( a )> 0} = QJứ/©(ứ )>1[.

=11

n

n

J

Tập hợp ] a/©(a)>1 [ có khơng q 2n phần tử.
I

nJ

Vậy A cùng lắm là đếm được.
Suy ra

©(a) < 2.

eũ ux

a

Định lý 1.2.5. ( Định lý Picard) Giả sử f là hàm phân hình khác hằng. khi đó
mọi giá trị f nhận mọi giá trị trừ ra cùng lăm là hai giá trị.
Chứng minh. Gi ả sử f không nh ận ba giá tr ị a, a2, a có nghĩa là phương
trình f = at vô nghiệm.
Suy ra N (f, at ) = 0.
Suy ra T (r, at) = m (r, ai).
Suy ra ổ (a,) = 1.
Suy ra ^©( a )> 3, vô lý.


Định lý 1.2.6. Cho f và

g

là các hàm phân hình khác hằng trong 0 và n

> 11

là số nguyên. Giả sử fnf' và gng' chia sẻ một giá trị khác khơng (kể cả bội).
Khi đó, f = cg, trong đó c eũ thỏa mãn cn = 1 hoặc fg là hằng sô và
+1

f (z) = eaz+b với a, b €Ũ nào đó. Nêu f và g là các hàm nguyên thì điêu này

cũng đúng cho n

> 7.

Đặc biệt kết quả này đã được chứng minh tương tự cho

hàm nguyên và hàm phân hình, liên quan đến các đa thức vi phân như
P[u]:=(un)k, P[u]:=(u (u- 1) ), P[u]:= un(u-1)2u . Định lý trên đây được chứngminh
n

k

bởi Fang [ 2 ], Lin, Yi [8] và nhiều người khác. về sau, chúng ta nghiên
cứu các định lý xác định duy nhất khác nhau đối với các đa thức vi phân dạng
P

[f]

=

: fn

+

af. Điều này được gợi ý bởi kết quả nổi tiếng của Hayman

[ 6 ] nói

rằng, nếu f là hàm phân hình trong □ và thỏa mãn f (z) + af(z)* b với
z eữ (n >5,a,b

eũ ,ao) thì f là hàm hằng. Nếu f là hàm nguyên thì điều này

đúng cho n > 3, n = 2, b = 0. Như Doringer [1] đã chỉ ra rằng, điều nói trên vẫn
cịn
đúng cho

fn + af(k)

thay vì

fn + af

với điều kiện n>k+4. Nếu f là hàm

nguyên, thì chỉ cần giả thiết n > 3, độc lập với k.
1.3. Bổ đề
Bên cạnh các kí hiệu tiêu chuẩn và kết quả của lý thuyết Nevanlinna
chúng tôi sử dụng các kí hiệu sau đây

N

(r f )

P)

, : Ký hiệu hàm đếm cực điểm của

f

có bội nhiều nhất là P, mỗi

f

có bội ít nhất là P, mỗi cực

cực điểm được tính một số lần bằng bội của nó.
Cũng như vậy,
N

(P

(r f )

, : Ký hiệu hàm đếm cực điểm của

điểm được tính một số lần bằng bội của nó.


Tương ứng

N

P)

(r,f) và

N

(P

(r,f): Ký hiệu các hàm đếm, trong đó mỗi cực điểm chỉ

được tính một lần.
Hơn nữa, bởi
f

N

(r ,f | g * c) chúng ta kí hiệu hàm đếm các cực điểm của

mà không phải là không điểm của

hoặc

N

(,

r f

| g *

). Bởi

c

S

g -

c

. Kí hiệu tương ứng cho

(r,f) chúng ta kí hiệu số hạng tùy ý

o

N

(r,f I g * c)

(T (r,f)) khi

r ^^ ngồi một tập có độ đo hữu hạn.

Đánh giá nổi tiếng sau [5: định lý 3.2] đóng một vai trị rất quan trọng.


Bổ đề 1.3.1. (Bất đẳng thức Milloux) Nếu f là hàm phân laìi^a trong ũ và

k eũ , c * 0thì
T(r, f )< N(r, f

)+N

1

+N
<

f

(

k

* c + S (r, f),

lf(k)

+)
1

với điều kiện fk) * c.
Ngoài ra, chúng ta cần mở rộng sau đây của định lý Tumura Clunie nổi
tiếng bởi Yi [10].
Bổ đề 1.3.2. Cho n > 2, n eũ , P là một đa thức vi phân có bậc deg(P) < n -1 và
trọng lượng w (P) với hệ số khơng đổi. Cho f là các hàm phân hình trong
ũ V:= fn + P[f]. Nếu P[f]*0 thì

( n - eg ( ) (
, ))<
d

P

T

r f

(1 +
w

r1

( p )-deg ( P ) N ( r, f )) r ,

1 J
f

+N

—

+

c1
L

r,

+

S

( r,
f ).

Mở rộng sau đây của bổ đề đạo hàm logarit thuộc về Doriger [1, bổ đề

10] xem [3, bổ đề 5].
Bổ đề 1.3.3. Giả sử Q là một đa thức vi phân với hệ số phức Cj (j = 1, p). Khi
đó
p.

m (r, Q

[ f ])< deg ( Q) m (r,j=1f ) + £

/

X

z

..

m (r, Cj) + S (r, f ).

Đúng với mọi hàm phân hình f và với mọi r > 0 .

Cuối cùng, kết quả sau đây từ [4, Định lý 9] là hữu ích trong chứng minh
của hệ quả 5.
Bổ đề 1.3.4. Cho H = ^aM là một đa thức vi phân thuần nhất với các đơn
j =1

thức vi phân đã chuẩn hóa M và hệ số hằng số a . Giả sử
w (M1 ) =... = w (M )> w (Mj), j = s +1,..., t, s e{1,..., t}, c :=
s

^ a *0
j

j=1


Nêu f là một hàm nguyên khác không trong □ và H[f] = 0, thì f có dạng
f (z) = eax+b, a,b eũ


Chương 2
QUAN HỆ CỦA HÀM PHÂN HÌNH KHI ĐA THỨC VI PHÂN CỦA NÓ
CHIA SẺ MỘT GIÁ TRỊ
2.1. Hai định lý
Định lý 2.1.1. Cho f và
n, k eũ thỏa

g

là các hàm phân hình trong □ ,a,b e□ \{o} và cho

mãn n > 5k+17. Giả sử các hàm

hoặc

f

- g,f ( * = g( )- b.
k

k

Trong thực tế trường hợp (2.3) được tin là không thể xảy ra, nhưng
người ta cũng chưa chứng minh được điều này. Nếu chúng ta hạn chế xét hàm
ngun thì chúng ta có thể làm giảm các giả thiết của n một chút, loại trừ một
số trường hợp (2.3).
Định lý 2.1.2. Cho f và

g

là các hàm phân hình nguyên khác hằng,

a,b eũ \{o} và giả sử n,k eũ thỏa mãn n > 11,n >k +12. Giả sử các hàm vf và
Wg xác định như (2.1) Chia sẻ giá trị b kể cả bội.

Khi đó
Vf - b\f\ ah^n- b (k
Vg g
ag * - b

hoặc

f

-

a

g,f

(k

*

=

g( *
k

-

Ở đây, nếu thêm giả thiết k = 1, ta có thể kết luận rằng f và
nhất bằng nhau.

b

g

.
là đồng

Ta sẽ chứng minh định lý 2.1.1 và 2.1.2 cùng một lúc. Vì vậy, giả sử
rằng f và

g

là các hàm phân hình, íp. và ^ có chia sẻ giá trị b kể cả bội,

n > max {11, k + 2}. Hơn nữa, giả sử f và g là các hàm nguyên hoặc n > 5k+17.

• Phác thảo ngắn gọn các ý tưởng chính để chứng minh Định lý 2.1.1 và

Định lý 2.1.2
Phác thảo của chứng minh: Không giảm tổng quát, giả sử a = 1, xét các hàm
f^
và
^f=fĩ ^■■- =£- ’

gn

trong đó vf và ^ xác định như trong (2.1).
Dễ dàng thấy rằng T(rp) ít nhiều gần với (n± (k +1)).T(r, f).
Đặc biệt ta có
T(r,pf )>(n-k-1)T(r, f

) + 5(r,f ) .

Ta cần áp dụng định lý cơ bản thứ hai cho pf để suy ra ước lượng kiểu
T

(r,Pf)-cT (r, f)

+5

(2.4)

(r,f),

trong đó c > 0độc lập với n. Từ ( 2.4 ) suy ra
z
T

X

z

c

(r f ) fìC / ( r f ) + (r, f ) ,
s

mâu thuẫn nếu n đủ lớn. (Như đã nêu trong các định lý, n > 5k+17 trong trường
hợp phân hình, n > max {11, k + 2} trong trường hợp hàm nguyên).
Để có được một đánh giá như trong (2.4), ta cần nghiên cứu các hàm
đếm thu gọn các không điểm và cực điểm của p và các không điểm của p -1.
Các không điểm của p là không điểm của f , các không điểm của p -1 là
không điểm của f(k) - b và cực điểm của f . Nhờ định lý cơ bản thứ nhất, các
r

1ì

V pf -1)

và(k + 2) T (r, f) + s (r, f). Cực điểm của p là các khơng điểm của p -1. Điểm
khó khăn chính trong các chứng minh là cần nhận được một số ước lượng cho


hàm đếm thu gọn N r,— , N r,
V Pf)
1

có thể ước lượng bởi T (r, f) + s (r, f)


các hàm đếm tương ứng N r,

-c ì1

. Ở đây, các không điểm bội của (pf - b là

J


dễ dàng kiểm sốt; hàm đếm của chúng khơng vượt q (3 + k ).T (r, f) + s (r, f).
(tương ứng nhiều nhất là (2T (r, f) + s (r, f)) trong trường hợp hàm ngun). Vì
vậy, chúng ta có thể giới hạn ở việc xét các không điểm đơn (pf - b.
Hàm phụ trợ hàm sau đây rất có ích
'

'

,

D=JV^_Vg
Vf - b
Vg - b

nó có nhiều tính chất đẹp. Do bổ đề về đạo hàm logarit m (r, D) là nhỏ và
do^ -

b

và

(pg - b

chia sẻ giá trị 0,

các cực điểm của f và

g

D

khơng có cực điểm nào ngồi có thể là

và tất cả các cực điểm của

D

là đơn (vì

D

gồm các

đạo hàm logarit).
Nếu z là khơng điểm của ọf - b và D( z
D(Zo)=

) =1 [vi V ì( z ),

2V

w\r ),
o

nên z là khơng điểm của

(Z )=: H .
o

Điều này có nghĩa rằng chúng ta có thể ước lượng hàm đếm
N1) r,—ỉ—
b

(
m

Ọf -

(r, H)

,

bởi T (r, H). Nhưng ở đây, một trong những vấn đề lớn xảy ra,

lại nhỏ, nhưng có vẻ như N(r, H) khơng thể kiểm sốt được theo các

yêu cầu đặt ra. Các giải pháp cho vấn đề này là như sau.