Đề thi chọn học sinh giỏi cấp cơ sở môn Toán lớp 12 năm học 2009-2010 – Sở Giáo dục và Đào tạo Điện Biên (Đề chính thức)

SỞ GD&ĐT ĐIỆN 
BIÊN
Đề thi chính thức

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI 
LỚP 12 THPT CẤP CƠ SỞ ­ NĂM HỌC 2009 ­2010
Mơn:Tốn
Thời gian làm bài 180 phút, khơng kể thời gian giao 
đề
Ngày thi: 07/01/2010

(Đề thi có 01 trang)
ĐỀ BÀI
Câu 1: (6 điểm)
21 + 2sin x − 3.21 + sin x = m − 4
1. Cho phương trình:  (1) (m là tham số).
a) Giải phương trình (1) với m = 0.
b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm.
x6 + y 6 = 1
x5 + y 5 = 1
2. Giải hệ phương trình: 
Câu 2: (5 điểm)
y = − x 3 +[ −
37;7
x 2 +] 72 x − 90
1. Tìm GTLN của  hàm số:  trên đoạn .
1
y = x4 − 2x2 + 3
4
2. Cho hàm số  có đồ thị là (C). Tính diện tích tam giác có các đỉnh là các điểm cực  
trị của đồ thị (C).

Câu 3: (6 điểm)
x cos t + y sin t + sin t − 2cos t − 3 = 0
      1. Trong mặt phẳng tọa độ  Oxy. Chứng minh rằng với mọi giá trị  của  t đường 
thẳng (d) có phương trình: (t là tham số) ln tiếp xúc với một đường trịn cố định.
ﾷ 2a⊥= 120
5 o
BAC
      2. Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có AB = a, AC = 2a, AA1 =  và . Gọi M là trung 
điểm của CC1. Chứng minh  MB  MA1 và tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng 
(A1BM).
Câu 4: (1.5 điểm) 
f ( x ) = x n + an−1 xfn−(1 2+) an−32nx n− 2 + L + a1 x + 1
      Cho đa thức  có các hệ số khơng âm và có n nghiệm thực. Chứng minh .  
Câu 5: (1.5 điểm)


3
M
11n ) x
;=ny13n2−2009
y = (xxM
1n−
     Cho hàm số:  có đồ thị là (C).  là điểm trên  (C) có hồnh độ . Tiếp tuyến của (C) 
tại cắt (C)  tại điểm khác , tiếp tuyến của (C) tại   cắt (C) tại điểm  khác , tiếp tuyến  
của (C) tại điểm  cắt (C) tại điểm  khác  (n = 4; 5;…), gọi  là tọa độ điểm . 
2009 xn + yn + 22013 = 0
                            Tìm n để : 
­­­­­­­­­­Hết­­­­­­­­­­

ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHÍNH THỨC HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN 12

NĂM HỌC 2009­2010
NỘI DUNG
Câu 1
1+ 2sin x
1
2
− 3.21+s inx = m − 4
(4điểm
)
2t 2 − 6t = m�
−14 �
2s inx = t ��
t � ;2 �
2 �
�
Đặt  ta có phương trình: (2)
2t 2 − 6t + 4 = 0 � t = 1 �t = 2
a.Với m = 0 suy ra:
t = 1 � 2s inx = 1 � sinx = 0 � x = kπ
t = 2 � 2s inx = 2 � sinx = 1 � x =

b.ycbt(2) có nghiệm 

1

0.5

( 2 ) � 2t 2 − 6t + 4 = m
=12t 2 �
− 6t + 4

( P) : y �
;2
�
2
�

�
�
(2) có nghiệm khi đường thẳng y = m cắt  trên  
……
�1 � 3 �3 � 1
y � �= ; y � �= − ; y ( 2 ) = 0
�2 � 2 �2 � 2
−
Suy ra  thì (1) có nghiệm

0.5

π
+ k 2π
2

1 �
�
;2
�
2 �
�
�

t

6điểm
0.5

1
2

m

3
2

0.5

0.5

0.5


2
(2điểm
)

Câu 2

0.75

x 6 + y 6 = 1 (1)
x5 + y 5 = 1 (2)

Lập luận từ (1) và (2) suy ra  và x, y khơng cùng d
ấu
x, y �[ −1;1]
Vai trị của x, y bình đẳng , khơng làm mất tính tổng qt giả sử 
−1 < x < 0 < y < 1
. Lập luận đưa ra hệ vô nghiệm
( 0;1) ; ( 1;0 )
Nhận thấy  là các nghiệm của hệ
y = − x 3 +[ −
37;7
x 2 +] 72 x − 90
 trên đoạn 

1
(2điểm Xét hàm  trên 
)

0.75
0.5
4 
điểm

f ( x ) = − x3[ −+7;7
3 x 2] + 72 x − 90

0.5

y ' = −3x 2 + 6 x + 72 = 0 � x = −4 �x = 6

y ( −4 ) = −266; y ( 6 ) = 234; y ( 7 ) = 218; y ( −7 ) = −104

1.0

max y = y ( −4 ) = 266

0.5

[ −7;7]

2
(2điểm
)

y=

1.0

1 4
x − 2x2 + 3
4

A ( −2; −1) ; B ( 0;3) ; C ( 2; −1)
Các điểm cực trị: 
1
1
S = BH . AC = 4.4 = 8 ( dvdt )
2
2
NX: các điểm cực trị tạo thành tam giác cân tại C. Suy ra diện tích được 
tính: 

Câu 3
1
x cos t + y sin t + sin t − 2cos t − 3 = 0 � ( y + 1) sin t + ( x − 2 ) cos t = 3
(2điểm (*)
2 2
2 2
)
C
�( y( +
y 1+)1) + +
( x( −x −2 )2 ) =B<3232
 tìm các điểm mà đường thẳng khơng đi qua với mọi t hay (*) vơ 
A
nghiệm xét đt (C )
 C/M đường trịn ( C ) tiếp xúc (d) với mọi t

( y + 1)

+ ( x − 2 ) = 32
Vậy đường thẳng đã cho ln tiếp xúc với đường trịn cố định có 
phương trình : 
B'
2

2

A'

M

C'

1.0

6 
điểm
0.5
0.5

0.5
0.5


uuur uuuur
MB ⊥ MA '

2
(4điểm a. Chứng minh .
)

0.75

uuuur uuur uuuur
uuur uuur uuuur � uuur uuur 1 uuuur �
BM = BA + AM = − AB + AC + CM = �
− AB + AC + AA ' �
2
�
�

(

) (

)

uuuuur uuuur uuuuur �uuur 1 uuuur �
A ' M = A ' C ' + C ' M = �AC − AA ' �
2
�
�

(

)

uuuur uuuuur � uuur uuur 1 uuuur �
uuur 1 uuuur �
�
BM . A ' M = �
− AB + AC + AA ' �
�AC − AA ' �
2
2
�
�
�
�
1 uuur uuuur 1 uuuur uuur 1

� uuur uuur 1 uuur uuuur
�
=�
− AB. AC + AB.AA ' + AC 2 − AC.AA ' + AA '. AC − AA'2 �
2
2
2
4
�
�
2
1
= a 2 + 4 a 2 − 2 5a = 0
4
uuur uuuur
MB ⊥ MA '
Suy ra 

(

0.75

)

0.5

b.Tính khoảnh cách từ A đến mp(A’BM)
0.5

0.5

0.5
0.5


1
1
VA. A ' BM = d ( A, ( A ' BM ) ) .S A ' BM = d ( B, ( AA ' M ) ) .S AA ' M
3
3
1
S A ' BM = MB.MA '
2
1
MB 2 = BC 2 + CM 2 = AB 2 + AC 2 − 2. AC. AB.cos1200 + AA '2 = 12a 2
4
2
2
2
2
MA ' = A ' C ' + C ' M = 9a
1
� S A ' BM = 3a.a 12 = 3a 2 3
2
1
a 3
SAA ' M = 2a.2 5a = 2a 2 5; d ( B, ( AA ' M ) ) = BH = AB.sin 600 =
2
2
a 3

5
d ( A, ( A ' BM ) ) .3a 2 3 = 2a 2 5.
� d ( A, ( A ' BM ) ) =
a
2
3
Câu 5
2 điểm

0.5

y = x 3 − 2009 x
Mk : y − M
yk k=( xyk ';( yxkk )) ( x − xk )
Gọi  suy ra tiếp tuyến tại 
� y = ( 3 xk2 − 2009 ) ( x − xk ) + xk3 − 2009 xk
M) k( +x1 − xk ) + xk3 − 2009 xk
x 3 − 2009 x = ( 3xk2 − 2009

0.5

� ( x − xk ) ( x 2 + x.xk − 2 xk2 ) = 0 � x = xk �x = −2 xk
� xk +1 = −2 xk
Tọa độ điểm  được xác định: 
x1 = 1; x2 = −2; x3 = 4;...; xn = ( −2 )

n −1

0.5

Ta có : 
2009 xn + yn + 22010 = 0 � 2009 xn + xn3 − 2009 xn + 22010 = 0
� ( −2 )

3 n −3

= −22013 = ( −2 )

2013

0.5

� 3n − 3 = 2013 � n = 672

 

1
Câu 4
f ( x ) = x n + an−x1ix,ni−=
+1,2,...,
an−2 xnn− 2 + L + a1 x + 1
2 điểm  có các hệ số khơng âm và n nghiệm thực . Suy n  nghiệm đó âm giả sử 
là các nghiệm:
n

f ( x ) = Π ( x − xi )
i =1

Theo cách phân tích đa thức ta được 

0.5

0.5


Đặt  với 

n

n

i =1

i =1

− xi = α i � α i >Π
0α
�i =f 1( x ) = Π ( x + α i )
n

n

i =1

i =1

f ( 2 ) = Π ( 2 + αi ) = Π ( 1 + 1 + αi )
Ta có .Suy ra đpcm

n

3n 3 Π α i = 3n
i =1

0.5
0.5